Типичные ошибки на ОГЭ

ОГЭ.
Ошибки в оформлении 2 части
20-25 задания

Контрольные измерительные материалы (далее КИМ) разработаны с учётом положения, что результатом освоения основной образовательной программы основного общего образования должна стать математическая компетентность выпускников, т.е. они должны:
овладеть специфическими для математики знаниями и видами деятельности;
научиться преобразованию знания и его применению в учебных и внеучебных ситуациях;
сформировать качества, присущие математическому мышлению, а также овладеть математической терминологией, ключевыми понятиями, методами и приёмами.
Работа состоит из двух частей, соответствующих проверке на базовом, повышенном и высоком уровнях.

Каждое задание второй части КИМ ОГЭ по математике оценивается в два балла.
Тематическая принадлежность заданий осталась в основном неизменной.
А именно, в 2021 году,
задание №20 – упрощение алгебраических выражений, решение уравнений, решение систем уравнений,
№21 – решение текстовой задачи,
№22 – построение графика функции,
№23 – задача на вычисление по геометрии,
№24 – задача по геометрии на доказательство,
№25 – геометрическая задача по геометрии высокого уровня сложности.

Общие подходы к проверке и оценке выполнения заданий с развернутым ответом
Решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений обучающегося. Эксперты не оценивают положительными баллами частично решенное;
Решение в демоверсии и критериях, это не эталон, это для эксперта, а ученик должен решать подробно, чтобы был виден ход его мыслей. Мы не должны ни о чем догадываться;
Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным. Не следует требовать от учащихся слишком подробных комментариев (например, описания алгоритмов). Лаконичное решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, следует рассматривать как решение без недочетов.

Если решение заданий 20–25 удовлетворяет этим требованиям, то выставляется полный балл – 2 балла за каждое задание. Если в решении допущена ошибка непринципиального характера (вычислительная, погрешность в терминологии или символике и др.), не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного, что и отражено в критериях оценивания заданий с развернутым ответом. В критериях исчезло слово ОПИСКА, значит, если в системе ученик между скобками с ответом поставит знак объединение, то эксперт имеет право поставить 0 баллов, даже если пример решен верно.

Результаты оценивания заданий фиксируются в протоколе проверки развернутых ответов.

Задание № 20 из второй части ОГЭ по математике включает в себя следующие разделы:

1. Алгебраические выражения;
2. Неравенства;
3. Системы неравенств;
4. Уравнения;
5. Системы уравнений.
Основные проверяемые требования к математической подготовке:
 
Уметь выполнять преобразования алгебраических выражений, решать уравнения, неравенства и их системы.

1. Алгебраические выражения

Пропускают шаги (нет обоснований перехода от одного действия к последующему); записывают необоснованные алгебраические преобразования;
-Подбирают ответ, не показывая, откуда он получается;
Допускают вычислительные ошибки
-Допускают ошибки при сравнении двух выражений, нарушают основное математическое понятие «равенство», ошибки вида: 0=15, то есть приравнивают разные по числовым значениям буквенные выражения;
-Неверное оформление решения;
- неверное использование математической терминологии: вместо слова «выражение» записывают «уравнение» и т. д.;
-Приравнивают к нулю буквенное выражение, значение которого необходимо найти;
-Делают ссылки на основное свойство пропорции или дроби, а в дальнейшем этими свойствами не пользуются, или пользуются неверно;
-Невнимательно читают задание, не доводят решение до конца.
 

Системы уравнений

Типичные ошибки
Ошибки при раскрытии скобок, используя формулы сокращенного умножения.
Отсутствие ОДЗ, либо проверки корней.
Ошибки при решении квадратных уравнений (желательно всегда писать формулу)
Использование символики (уравнения объединяют системой и в ответ записывают как для системы, а не уравнения)
При введении новой переменной забывают вернуться к исходным неизвестным.
Вычислительные ошибки.
Отсутствие ответа.

Неравенства
(х – 8)2 < 3 3 3 3 (х – 8)
(х – 8)2 - 3 3 3 3 (х – 8) < 0
(х – 8) (х – 8 - 3 3 3 3 ) < 0
у = (х – 8) (х – 8 - 3 3 3 3 )
Найдем нули функции: х = 8 и х = 8 + 3 3 3 3
+ - +
  8 8+ 3 3 3 3
Если х = 9 , то (9-8)(9-8- 3 3 3 3 ) < 0
Ответ: (8;8+ 3 3 3 3 )

Ошибки при нарушении алгоритма решения неравенства
Невнимательное чтение условия (неправильный выбор интервала)
Неправильно записанный ответ (скобки)
Арифметические ошибки с отрицательными числами

Типичные ошибки

Задание 21
Текстовые задачи

1. Задачи на движение по воде;
2. Задачи на проценты, сплавы и смеси;
3. Задачи на совместную работу;
4. Разные задачи;
5. Движение по прямой.

Решение.
Скорость обгона пешехода поездом, равна
v = 141 - 6 = 135  км/ч.
С этой скоростью поезд обгонял пешехода в течении 12 секунд, то есть в течении   t = 12/3600 = 1/300 часа. Следовательно, длина поезда есть

l = v• t = 135/300 = 0,45 км
что составляет 450 метров.
Ответ: 450.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Игорь и Паша могут покрасить забор за 14 часов, Паша и Володя – за 15 часов, а Володя и Игорь за 30 часов. За какое время покрасят забор мальчики, работая втроем. Ответ дайте в минутах.
Ответ: 700 минут

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 60км/ч, а вторую – 90км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
Ответ:72 км/ч

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде , если скорость течения равна 4 км/ч , стоянка длится 9 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из него

Перед началом решения обсудим следующее- ПРИ СУШКЕ ИЗ ФРУКТОВ ИСПАРЯЕТСЯ ВОДА, НО СУХОЕ ВЕЩЕСТВО (МЯКОТЬ) НЕ МЕНЯЕТСЯ ПО МАССЕ.
Данные задачи представлю в небольшой, но, на мой взгляд, наглядной таблице:
Найдем массу сухого вещества в высущенных фруктах, используя следующее:
78%=0,78.
5%=0,05
Чтобы найти дробь от числа, нужно дробь умножить на это число.
1) 55*0,78=42,9 (кг) - масса сухого вещества в высушенных фруктах.
Помним, что именно столько же (42,9 кг) сухого вещества в еще свежих фруктах, массу которых и нужно найти.
2) 0,05х (кг) - масса сухого вещества в свежих фруктах.
Приравниваем массы:
3) 0,05х=42,9 (линейное уравнение с неизвестным множителем)
х=42,9/0,05
х=858 (кг) - необходимая масса свежих фруктов для получения 55 кг высушенных.
Ответ: 585 кг.

Типичные ошибки
-Находят среднюю скорость движения как среднее арифметическое двух скоростей ( Vср. = 𝑉1+𝑉2 2 𝑉𝑉1+𝑉𝑉2 𝑉1+𝑉2 2 2 𝑉1+𝑉2 2 );
-Решают задачу, рассматривая только частные случаи (придают величине пути всевозможные значения- 1 км., или 108 км.);
-Приписывают единицы измерения не соответствующие данным величинам;
-Забывают записывать единицы измерения к введенным значениям;
-Допускают записи вида: составим уравнение, а сами составляют выражения и их преобразования, неоднократно используют при этом знак равенства;
-Не вводят переменные величины, а используют при составлении уравнений;
Не показано как составлено уравнение (формула)
-Путают понятия скорости и времени движения;
-Допускают вычислительные ошибки;
-Записывают ответ, используя приближения (≈);
-Используют формулу для нахождения средней скорости без ее вывода;
-Отсутствие краткой записи к решению задачи, и таблицы, и обоснований, решение задачи выглядит как столбик примеров без каких бы то ни было пояснений;
-Использование неравносильных преобразований при решении уравнений.

Задание 23

Комментарий. Форма графика соблюдена, выколотая точка обозначена верно. Вторая часть задания выполнена верно.
Оценка эксперта: 2 балла.

Комментарий
Несмотря на описание, по данному рисунку нельзя судить о верности графика.
Оценка эксперта: 0 баллов.

Комментарий.
График построен верно. Наличие некоторой прямой на графике не может быть поводом для снижения баллов.
Оценка эксперта: 1 балл.

Типичные ошибки:
-Вместо области определения записывают ОДЗ
- Не показывают нахождение значений параметра m графическим способом (не чертят прямые, заданные уравнением у=m, или не описывают их построение);
-Отсутствуют деления на координатных осях, в результате чего график построен схематично и не проходит через точки, взятые в таблице значений;
-Запись не соответствует построению, например, пишут: построим параболу, а строят ее часть и т.д.;
-Путают линейную функцию с функцией прямой пропорциональной зависимости;
Отсутствие таблиц значений для построения графиков, либо значения переменной(ых) найдены с ошибкой;
Построение части графика функции, не являющейся линейной, по двум точкам и наоборот, построение части графика линейной функции по трем и более точкам;

-Ошибки при словесном описании функции, например, при нахождении вершины параболы, значение абсциссы и ординаты называют средними точками;
-При вычислении координат вершины параболы используют несуществующие формулы: Д= в а в в а а в а ;
-Неверная запись параметра в виде двойного неравенства или промежутка (допускали записи вида:-1<м<-2, или (-1;-2));
-Выписывают не все значения параметра;
- Неверное название или отсутствие названия функции, ее графика;
-Отсутствует проверка граничной (критической) точки;
-Подписывают построенный график исходной функции без учета промежутков построения;
-Допускают небрежность в написании функции, например функцию вида y=-x-2 записывают как -x-2, выражение называют функцией;
-Вычислительные ошибки при нахождении значений ординат, при нахождении точек пересечения с осями координат: Д=4+4=16.

Задание 23

Высота, опущенная из вершины ромба, делит противоположную сторону на отрезки равные 24 и 2, считая от вершины острого угла. Вычислите длину высоты ромба. Ответ: 10.

Комментарий.
Арифметическая ошибка под знаком корня.
Оценка эксперта: 1 балл.

Комментарий.
Задача выполнена верно, несмотря на изображение перпендикуляра AH.
Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 2

Пример 3

Комментарий. Учащийся решает свою задачу: не учтен порядок расположения отрезков.
Оценка эксперта: 0 баллов.

Типичные ошибки
-Чертеж не соответствует условию задачи;
-Допускают ошибки в чертежах, обозначение разных углов одинаковыми дугами, «пустые» чертежи…;
-Отсутствие чертежа при решении геометрической задачи;
-На чертеже неверно определяют центр описанной окружности;
- Не записывают обоснования к действиям геометрической задачи, отсутствуют ссылки на свойства, признаки, теоремы;
-Допускают ошибки в пояснениях, например, используют признак равностороннего треугольника, а записывают по определению (в треугольнике все углы по 60 градусов, значит треугольник равносторонний по определению);

-Обозначают накрест лежащие углы одной заглавной буквой;
-необоснованный вывод равенства двух отрезков, имеющих общую точку, которая является так же точкой пересечения диагоналей параллелограмма (частный случай переносится на решение общей задачи);
-Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют центром или серединой параллелограмма;
-Применяют ошибочное утверждение о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма равноудалена от сторон параллелограмма;
-Из доказательства равенства определенной пары треугольников делают вывод о равенстве отрезков, не являющихся элементами этих треугольников.
-применяют факты, которые требуют доказательства, без таковых;
- путают названия углов, например, вместо накрест лежащего- смежный, или вместо вертикальных- односторонние…;
-ошибки в использовании свойств параллелограмма.

Задание 24

Две окружности с центрами E и F пересекаются в точках C и D, центры E и F лежат по одну сторону относительно прямой CD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна прямой EF.

Комментарий. Классическое доказательство данного факта.
Оценка эксперта: 2 балла.

Пример 2

Комментарий
Неточность в обосновании (см. пункт 5)
Оценка эксперта: 1 балл.

Пример 3

Комментарий. Не доказано, почему FH делит CD пополам. Оценка эксперта: 0 баллов.

Типичные ошибки
-Ошибки при выполнении чертежа: изображение трапеции вместо параллелограмма;
-Применение свойств несуществующей средней линии параллелограмма;
-Путают признаки равенства треугольников с признаками подобия треугольников;
-Используют не существующий признак равенства треугольников по трем углам, либо признак формулируют неверно, например, по двум углам и стороне между ними;
-При доказательстве равенства элементов записывают неграмотные обоснования;
-Не указывают признак по которому доказывают равенство треугольников;
-Производят подмену геометрических понятий: путают отрезок и прямую;
- Не указаны параллельные прямые при которых накрест лежащие углы равны, либо секущая при которой накрест лежащие углы образованы, либо неверное указание пары накрест лежащих углов (нет обоснования параллельности прямых);

Совмещают теорему синусов и обобщенную теорему синусов, а ссылку делают только на одну из теорем;
-Сторону треугольника, вписанного в окружность, называют диаметром, а по условию задачи треугольник не содержит прямой угол;
-Алгебраические преобразования выполняют с ошибками, например: вс sin А вс вс sin А sin А sin sin А А sin А вс sin А = 2R, ВС= 2𝑅 sin А 2𝑅𝑅 2𝑅 sin А sin А sin sin А А sin А 2𝑅 sin А ;
-Допускают ошибки при нахождении sin 30 sin sin 30 30 sin 30 ;
-При словесном обосновании действий недопустимы фразы вида: 2 угла лежат на одной стороне;
-При введении обозначений их не описывают;
-Решение задачи с другими данными;
-Использование формулы для нахождения радиуса равностороннего треугольника, вместо произвольного, в случае когда равносторонний треугольник является частью данного.

Биссектриса угла A, треугольника ABC делит высоту BH в отношении 5:4, считая от вершины. BC равно 6. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5.

Пример 4. Биссектриса A, треугольника ABC делит высоту BH в отношении 25:24, считая от вершины. BC равно 14. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 25.
.

Комментарий. Арифметическая ошибка.
Оценка эксперта: 1 балл.

Биссектриса угла A, треугольника ABC делит высоту BH в отношении 5:4, считая от вершины. BC равно 6. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5.

Комментарий. Решение незаконченное: формула для нахождения радиуса выписана, все компоненты найдены, но не получен итоговый результат. Оценка эксперта: 1 балл.

Биссектриса A, треугольника ABC делит высоту BH в отношении 25:24, считая от вершины. Длина BC равна 14. Найдите радиус описанной окружности.
Ответ: 25.

Пример 2

Комментарий. Логическая ошибка, неверно применено свойство биссектрисы.Оценка эксперта: 0 баллов.

Типичные ошибки
-Неверно построенный чертеж
-Отсутствие доказательства геометрических фактов;
-Отсутствие введения переменной (в случаях, когда величину отрезка обозначали переменной);
-Арифметические ошибки при вычислениях