Творческая работа "Вписанные и описанные многогранники"

Муниципальная бюджетная общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №18» Энгельсского муниципального района Саратовской области. Творческая исследовательская работа ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОГРАННИКИ. Подготовила ученица 11А класса Милашевская Таисия Валерьевна Руководитель: учитель математики Пастухова Н.А. и   1.   История  комбинации ОГЛАВЛЕНИЕ Введение………………………………………………………………………… 3 Основная часть. многогранников Часть сферы…………………………… 3 Часть 2. Призма, описанная около сферы…………………………………… 4 Часть 3. Пирамида, описанная около сферы………………………………… 6 Часть 4. Призма, вписанная в сферу…………………………………………. 8  Часть 5. Пирамида, вписанная в сферу……………………………………….10  Часть 6. Практическое применение комбинации многогранников и сферы.11  Заключение………………………………………………………………………13 Используемые литература и источники………………………………………14 Приложение……………………………………………………………………..15 2 ВВЕДЕНИЕ Математика   ­   прикладная   наука.   Такие   профессии,   как;   архитектор, дизайнер,   художник,   дизайнер   рекламы,   промышленный   дизайнер   предполагают знание   основ   геометрии,   развитого   пространственного   воображения,   навыков грамотного   рисования,   изображения   пространственных   тел   и   их   комбинаций. Одним   из   самых   важных   достижений   при   изучении   геометрии   является формирование и развитие пространственных представлений, а также способности и умения производить операции над пространственными объектами. Эти умения формируются   также   при   решении   разнообразных   задач   на   комбинации   фигур. Аналогичные   задачи   встречаются   и   на   ЕГЭ   по   математике,   для   их   успешного решения   и   дальнейшего     практического   применения   геометрических   знаний   в реальной жизни проведена данная исследовательская работа. Данная   работа   представляет   собой   теоретическое   исследование,   где предметом исследования являются комбинации сферы и многогранников.  Целью исследования стал вопрос, как определить положение центра сферы относительно   многогранника,   входящего   в   данную   комбинацию,   как   построить данную конфигурации тел и установить метрическую зависимость между радиусом сферы и элементами многогранника, входящего в комбинацию. В ходе исследования решались задачи:   сферы».  знакомство с  историей комбинации  многогранников и сферы; решение теоретических  задач по теме  «Комбинация многогранника и Знакомство   с   практическим   применением   комбинации   призмы   и пирамиды со сферой. Часть 1. История комбинации  многогранников и сферы. Комбинация   (лат.  combinatio)   –   сочетание,   соединение   в   правильном порядке;   план;   замысел.   Комбинировать   –   соединять,   сочетать,   придумывать комбинации. Частым   случаем   комбинации   многогранников   и   тел   вращения   являют вписанные в многогранники сферы и описанные около многогранников сферы.  История многогранников уходит в глубокую древность и связана с именами таких ученых как Пифагор, Евклид, Архимед, Платон и Кеплер. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская. Пифагорейцев поражала красота, совершенство   и   гармония   правильных   многоугольников.   Позже   учение пифагорейцев   о   правильных   многогранниках   изложил   в   своих   трудах   другой 3 древнегреческий   ученый,   философ   –   идеалист   Платон.   С   тех   пор   правильные многогранники (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр) стали называться Платоновыми телами. Среди ученых, исследовавших многогранники, особое место принадлежит   Иоганну   Кеплеру   (1571­1630).   Вера   в   гармонию,   красоту   и математически закономерное устройство мироздания привела его к мысли о том, что пяти правильным многогранникам соответствуют только шесть (как казалось тогда)   планет   Солнечной   системы:   Меркурий,   Венера,   Земля,   Марс,   Юпитер, Сатурн. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной   сфер   совпадают,   то   вся   модель   имела   единый   центр   –   Солнце. Вокругсферы Меркурия описан октаэдр. Этот октаэдр вписан в сферу Венеры, вокруг которой описан икосаэдр. Вокруг икосаэдра описана сфера Земли, а вокруг этой сферы ­ додекаэдр. Додекаэдр вписан в сферу Марса, вокруг которой описан тетраэдр. Вокруг тетраэдра описана сфера Юпитера, вписанная в куб. Наконец, вокруг куба описана сфера Сатурна. Часть 2. Призма, описанная около сферы Сфера называется вписанной в призму, если она касается оснований призмы и всех ее боковых граней, при этом призма называется описанной около сферы.  В правильную призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда её высота   равна   диаметру   окружности,   вписанной   в   основание.   Рассмотрим определение   положения   центра   шара,   вписанного   в   многогранник   на   примере задачи. Задача 1 Вокруг   сферы   радиуса  R  описана   правильная   шестиугольная   призма. Найдите её объем.  (рис. 1) Решение. Центр   вписанной   в   призму   сферы   лежит   в   точке   пересечения   двух плоскостей,   делящих   двугранные   углы   при   основании   пополам,   как   точка, одинаково удаленная от граней этих углов, и является вершиной двух пирамид, основаниями которых служат основания призмы. Двугранные углы при основании рассматриваемых   пирамид   равны   как   половины   прямых   двугранных   углов   при основании призмы, поэтому высоты пирамид проходят через центры окружностей, вписанных   в   основание   призмы,   и   равны   радиусам   этих   окружностей,   так   как 4 линейные   углы   двухгранных   углов   при   основании   содержат   по   45о.   Высоты пирамид лежат на одной прямой, так как основания пирамид параллельны друг другу   как   основания   призмы.   Следовательно,   центр   вписанной   сферы   должен лежать   на  высоте   прямой   призмы,  соединяющей   центры   её   оснований   в  точке, делящей   высоту   пополам,   одинаково   удаленной   от   основания   призмы. Радиус   сферы   равен   радиусу   окружности,   вписанной   в   основание   призмы. Объем призмы V =  S0∙H=2R2√3∙ 2R = 4 √3 R3. Ответ: 4 √3 R3. Задача 2 Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы многогранника, если этот многогранник является кубом. (рис. 2) Решение. В кубе центр вписанной сферы совпадает с центром куба. Пусть  a  ­ ребро куба. Sп = 6 ∙ So = 6a2 . Так как сфера вписана в куб, то 2R = h = a. Sп = 6a2 = 6 ∙ (2R)2 = 24R2. Ответ: 24R2.   Полезным бывает при решении задач использование следующего свойства описанного около  сферы многогранника.  Если в многогранник (в данном случае в призму)   можно   вписать   сферу   радиусом  R,   то   объем   этого   многогранника V=1 RS , где  S  ­ площадь полной поверхности многогранника. 3 Докажем   это.   Представим   многогранник   как   объединение   пирамид, вершинами которых является центр сферы, а основаниями – грани многогранника. Обозначим площади граней многогранника S1, S2, …, Sn, по условию S= S1+ S2+ …+ Sn. Радиус, проведенный в точку касания какой­нибудь грани со сферой, является высотой   пирамиды,   для   которой   эта   грань   служит   основанием.   Объем многогранника таких   пирамид: RS1+ 1 V=1 3 3 Рассмотрим использование этого свойства на примере задачи. Задача 3 Около   сферы   описан   прямой   параллелепипед,   у   которого   диагонали   основания   равны  a  и  b.   Найдите   полную   поверхность   параллелепипеда. Решение.    объемов   всех   сумме RS .    равен   RS2+…+ 1 3 RSn=1 3 Способ 1. (рис.3а) Пусть радиус сферы  OK=R. Тогда, проведя через центр сферы плоскость, параллельную   основанию   параллелепипеда,   в   сечении   получим   параллелограмм A2B2C2D2  R.   Так   как   суммы противоположных   сторон   такого   описанного   параллелограмма   равны,   он 5  описанный   около   окружности   радиуса представляет собой ромб. Пусть сторона ромба равна m, тогда полная поверхность параллелепипеда S = 2So + Sб = 2m ∙ 2R+4m ∙ 2R = 6Sо. Но So=0,5ab. Получим S =6 ∙ 0,5ab = 3ab. Способ 2. (рис. 3б) Воспользуемся формулой: V  =   1 3 RS;  S  = 3V R ,  V  = S0∙H=¿   ab 2 ∙ 2R  =  ab ∙ R,  S  =   3abR R = 3ab. Ответ: 3ab Задача 4 В основании правильной треугольной призмы лежит правильный треугольник со   стороной   6.   Найдите   объем   этой   призмы,   если   известно,   что   в   нее   можно вписать сферу. (рис. 4) Решение. Так как в призму можно вписать сферу, то радиус сферы R равен половине высоты призмы, то есть  h=2R.  L  – точка касания шара с гранью  BB1C1C  и  OL  = нахождению  O1K. O1K. 2 =3√3 . О1К =  √3 , R ∙ 2 √3  = 54.   3 AK. Из треугольника ABC находим АК = 6 ∙√3 1 сводится =  √3 ,   h = 2 √3 . V(ABCA1 B1C1) = So  ∙  h = O1K =  Задача     к   62∙√3 4 Ответ: 54 Часть 3. Пирамида, описанная около сферы.  Сфера   называется   вписанной   в   пирамиду,   если   она   касается   основания пирамиды и её боковых граней. В этом случае пирамида называется описанной около сферы. Центр   сферы,   касающейся   двух   пересекающихся   плоскостей,   лежит   в плоскости, которая делит на два равных угла двухгранный угол, образованный этими   плоскостями.   Такая   плоскость   называется   биссектральной   плоскостью двугранного   угла.   Центр   сферы,   вписанной   в   пирамиду,   является   точкой пересечения таких биссектральных плоскостей, в этом прослеживается с центром окружности, вписанной в треугольник, который лежит на пересечении биссектрис углов   треугольника.   Центром   вписанной   в   пирамиду   сферы   является   точка пересечения высоты пирамиды и биссектрисы линейного угла двугранного угла при основании, лежащего в плоскости, которая проходит через высоту пирамиды. Сферу   можно   вписать   в   любую   треугольную   пирамиду;   в   правильную пирамиду   и   в   пирамиду,   у   которой   двугранные   углы   при   сторонах   основания равны.  6 R r Центр сферы лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является апофема,   а   высотой   –   высота   пирамиды.   Радиус   сферы   равен   радиусу   этой окружности. Если основание высоты пирамиды совпадает с центром вписанной в основание   окружности,   то   радиус   сферы  R,   высота  H,   радиус   окружности  r, вписанной в основание пирамиды, связаны соотношением      H−R = √H2+r2 . (рис. 5). При решении задач на сферу, вписанную в правильный тетраэдр, полезно знать, что если все плоские углы трёхгранного угла равны 60о, то расстояние от вершины   угла   до   центра   вписанного   в   этот   угол   шара   радиуса  R  равно   3R,   а расстояние от центра этого шара до ребра тетраэдра равно  R √3 . Все высоты правильного тетраэдра проходят через центр вписанной в него сферы и делятся этим центром в отношении 3 : 1, считая от вершины. Задача 5 В правильный тетраэдр с ребром а вписана сфера. Найдите: а) радиус сферы; б) расстояние от центра сферы до вершины, грани и ребра тетраэдра.   (рис. 6)  Решение. Пусть в правильный тетраэдр SABC вписана сфера с центром O и радиусом  D  –   середина   ВС,   то  E  –   центр   грани  ABC, 2 =a√3 3  SE  =   √AS2−EA2   =   √a2−(a√3 3∙a√3 R.   Если   точка 2 3 AD= 2 EА   =   =a√6 3 3 ) , . 2 Так все четыре отрезка, соединяющие вершины правильного тетраэдра с центром его противоположных граней, равны, перпендикулярны соответствующим граням, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3 : 1, считая от вершины, то эта   точка   является   центром  O  сферы,   вписанной   в   тетраэдр.   Значит,  R  = a√6 1 4ES=1 12   – расстояние от центра  O  до грани тетраэдра (плоскость АВС перпендикулярна радиусу ОE  сферы, проведенному в 12 . Тогда  OE  =   3 =a√6 4∙a√6 точку E касания сферы и грани AВС). Далее, АO = SO =  3 4SE= 3 4∙a√6 3 =a√6 4  – расстояние от центра О до вершины А тетраэдра. Расстояние от центра O сферы до ребра АS равно длине медианы OM (M ∈AS¿  равнобедренного треугольника АSO,   значит это OM =  √АO2−АM2  =  √(а√6 4 ) a√6 12 ;  б)  a√6 4 a√6 12 ;  ;  2 2 −a 4 а√2 4 а√2 4 . = . Ответ: а) R =  7 2 способ (а) (рис. 5) Из подобия треугольников SOF и SDE следует     ED=1 3 AD=a√3 6 , ,   4 =a√3 2   SD=√a2−a2 R=a√6 12 .  OF SO=DE SD ,   R SE−R=DE SD ,   R = a√6 3 −R a√3 6 a√3 2   3R=a√6 3 −R , , Задача 6 Сфера радиуса 4 вписана в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом 30о. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60о. Найдите объем пирамиды. (рис. 7) Решение. Основание высоты пирамиды – центр вписанного в ромб круга. FE – высота ромба.   По   теореме   о   трёх   перпендикулярах  SE  перпендикулярна   ВС,  SF перпендикулярна  AD.   Точки   касания   поверхности   сферы   с   боковыми   гранями AD∙EF∙SO . ∙ SO  =    Vn  =   1 3 лежат   на   апофемах   этих   граней. SO=3R=12. 1 3 S o OF  =  OЕ =  OO1 ∙   ctg30o  = 4 √3 ,  EF  = 2 ∙ 4 √3=8√3 ,  DK  =  EF  = 8√3 Из треугольника ADK имеем: AD =  sin 30°=8√3 DK 1 2 =16√3   S o = AD ∙ EF =  16√3   ∙   8√3  = 384.  V =  .  Следовательно,     1 3 ∙384∙12=1536 . Часть 4. Призма, вписанная в сферу.    Призма называется вписанной в сферу, если все её вершины принадлежат поверхности сферы. В этом случае сфера называется описанной около призмы. Чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямой, и около основания призмы можно было описать окружность. При   этом   центр   шара   будет   лежать   на   середине   высоты,  соединяющей   центры окружностей, описанных около основания призмы. Перпендикуляр, опущенный из центра   описанной   около   многогранника   сферы   на   ребро   многогранника,   будет делить  это   ребро  как  хорду  сферы  пополам. Кроме   этого,  центр  сферы  будет проецироваться в центр боковой грани, являющейся прямоугольником. 8 Задача 7 Докажите, что около призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда   призма   прямая   и   около   многоугольника   основания   можно   описать окружность. (рис. 8) Действительно,   если   около   многоугольника   основания   призмы   можно описать окружность, то центр сферы, описанной около призмы, будет лежать на высоте призмы, проходящей через центр окружности, описанной около основания. Так   как   призма   прямая,   то   её   высота,   проходящая   через   центр   окружности, описанной около одного основания, проходит через центр окружности, описанной около другого основания. Центр сферы, описанной около призмы, должен так же лежать на плоскости, перпендикулярной боковому ребру и проходящей через его середину, так как поверхность сферы проходит через вершины призмы, лежащие на концах этого ребра. Так как данная призма прямая, то эта плоскость пройдёт через середину высоты. Середина высоты и будет центром сферы, описанной около призмы, так как одинаково удалена от всех вершин. Необходимость приведенных условий   вытекает   из   следующих   рассуждений.   Так   как   сечением   поверхности сферы   плоскостью   служит   окружность,  то   вершины   основания   призмы   должны лежать на окружности, то есть в сновании призмы должен лежать многоугольник, около   которого   можно   описать   окружность.   То   же   можно   сказать   о   боковых гранях, поэтому боковые грани должны быть прямоугольниками, то есть призма должна быть прямой. высота H призмы связаны зависимостью  R2=r2+H2  Радиус шара R, радиус окружности r, описанной около основания призмы, и 4 .  Например,   если  a  –   длина   стороны   основания,   то   для   правильной треугольной призмы  r  =   4 ; для правильной четырёхугольной призмы r =  R2=a2+H2 3 +H2 a √3   и   R2=a2 2 +H2 a √2  и  R2=a2 4 ; для правильной шестиугольной призмы r = a и 4 .   Если   сфера   описана   около   куба,     то   центр   сферы   совпадает   с центром куба ( центр куба удалён от каждой его вершины на расстояние  где а – длина ребра куба), а радиус этой сферы равен  a√3 2 .  a√3 2 , Задача 8 В шар радиусом 2 √5  вписана правильная треугольная призма ABCA1B1C1. Прямая ВА1 образует с плоскостью ВСC1 угол 30о. Найдите объём призмы.(рис. 9) 9 Решение.  Пусть  D1  –   середина   ребра  B1C1.   Так   как   призма   правильная,   то  A1D1  СС∩ 1 = С1, значит A1D1 перпендикулярно B1C1 и СС1 перпендикулярно A1D1, B1C1  перпендикулярно   ВCC1  по   признаку   перпендикулярности   прямой   и   плоскости. Угол  A1BD1  =   30o  как   угол   между   прямой  A1B  и   плоскостью  BCC1. a√3 2 Пусть  AB  =  a.   Тогда  A1D1  =   .   Треугольник  A1BD1  прямоугольный следовательно,  BA1  =   A1D1 sin 30°= a√3 2 1 2 =a√3 . Из треугольника  ABA1  по теореме Пифагора имеем: AA1 =  √BA1 2−AB2=√3a2−a2=a√2 .  Отрезок  MB  =   2 3 A1D1= a √3 ,  OM  =   2 AA1=a√2 1 2 прямоугольного   треугольника  OMB  следует   .  OB  =  R  = 2 √5. Поэтому из 2 +a2 a2 3 =20 ,   откуда  a  =   2 √6 . Объем   призмы  V(ABCA1B1C1)  =  SABC ∙ AA1.     Но  SABC  =   a2√3 4 ,   значит  V  = 4 ∙a√2=a3√6 a2√3 4 = Ответ: 72. (2√6)3√6 4 =72 .  Интересен   вопрос   о   расположении   центра   сферы,   описанной   около треугольной призмы. Задача 9 При каком соотношении между сторонами основания прямой треугольной призмы центр сферы, описанной около призмы, лежит: а) внутри призмы; б) на боковой грани призмы; в) вне призмы? (рис. 10 а, б, в) Так   как   центр   сферы   должен   лежать   на   перпендикуляре   к   плоскости основания   призмы,   проходящем   через   центр   окружности,   описанной   около многоугольника основания призмы, то возможны три случая расположения центра сферы.   а)   Когда   центр   описанной   окружности   лежит   внутри   многоугольника основания,   центр   сферы   лежит   внутри   призмы;   б)   когда   центр   описанной окружности лежит на стороне многоугольника основания, центр сферы лежит на боковой   грани   призмы;   в)   когда   центр   описанной   окружности   лежит   вне многоугольника   основания,   центр   сферы   лежит   вне   призмы.   Для   треугольной призмы   указанные   случаи   положения   центра   сферы   будут   иметь   место   при следующем   соотношении   между   сторонами   треугольника   основания:   квадрат 10 большей стороны а) меньше суммы квадратов двух других сторон; б)равен сумме квадратов двух других сторон; в) больше суммы квадратов двух других сторон. Задача 10 (КИМ 2017, профильный уровень) Около куба с ребром  √3  описан шар. Найдите объем этого шара, деленный .  (рис. 11) Решение. на  Пусть длина ребра куба равна а, а его диагональ равна d. Радиус описанного шара  R равен половине диагонали куба: R=1 2 . Поэтому объем шара  2 равен   V= 4 2 =4,5. 3 π.  Тогда   πR3= 9 2 d= 1 2 a√3=3 π=9 V Ответ: 4,5 Часть 5. Пирамида, вписанная в сферу.  Пирамида называется вписанной в сферу, если все её вершины принадлежат поверхности   сферы;   тогда   сферу   называют   описанной   около   пирамиды.   Чтобы около   пирамиды   можно  было   описать  сферу,  необходимо  и  достаточно,  чтобы около   её   основания   можно   было   описать   окружность.  Центр   описанной   сферы лежит   на   прямой,   содержащей   высоту   пирамиды,   и   совпадает   с   центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды. Радиус сферы равен радиусу этой окружности. Если   около   пирамиды   описана   сфера,   то   ее   центр   является   точкой пересечения   всех   плоскостей,   проведенных   через   середины   ребер   пирамиды перпендикулярно этим ребрам. ( рис. 12) Аналогия с центром описанной около треугольника окружности, который совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус   сферы  R,  высота  пирамиды  H  и  радиус  окружности  r,  описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: (рис. 13) R2 = (H – R)2 + r2. Сферу   можно   описать   около   любой   треугольной   пирамиды,   около правильной пирамиды. Центр сферы проецируется на апофемы боковых граней правильной пирамиды и лежит на ее высоте. Задача 11 В правильной пирамиде высота H, радиус круга, описанного около основания r. При каком соотношении между высотой и радиусом основания центр описанной сферы лежит: а) на основании, б) внутри пирамиды, в) вне пирамиды? (рис. 14 а, б, в) Решение. 11 а) В первом случае, высота пирамиды и радиус основания равны радиусу сферы. OT = OC = R; OT = H; OC = r; H = r. б)   Во   втором  случае,  высота   пирамиды  больше  радиуса   сферы,  а  радиус основания пирамиды меньше радиуса сферы. H > R; R > r; H > r. в) В третьем случае, высота пирамиды меньше радиуса сферы. H < R, r < R. При   решении   задач   на   сферу,   описанную   около   правильного   тетраэдра, полезно   знать,  что   все   плоские   углы   трёхгранного   угла   равны   60о,  все   высоты правильного тетраэдра проходят через центр описанной около него сферы.  Задача 12 В   сферу   радиуса  R  вписана   правильная   четырёхугольная   пирамида. Определите объем этой пирамиды, если радиус окружности, описанной около её основания, равен r. (рис. 15) Решение. Задача     к   сводится нахождению   пирамиды. Пусть OO1 = x, тогда MO1 = R + x, O1N = R – x, по теореме о пропорциональности отрезков   хорд   в   круге   имеем  AO1  ∙   O1C  =  MO1  ∙   O1N  или , отсюда   x=√R2−r2 , высота  MO1  =  R  + √R2−r2 r2=(R+x)(R−x),r2=R2−x2 или           MO1  =  R ­  √R2−r2  (зависит от расположения плоскости основания пирамиды). высоты   r 2¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ 1 3 ∙¿ V(пирамиды) =  1 3 So  ∙  h =   R ±  √R2−r2  ) =  ¿ 2 3 r2 ¿  R ±  √R2−r2  ). Ответ:  ¿ 2 3 r2¿  R ±  √R2−r2  ). Задача 13 Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности вписанного правильного тетраэдра. (рис. 16 а, б) Решение. Пусть ребро тетраэдра равно  a. Центр описанной сферы лежит на высоте a √3 .  Из прямоугольного ΔАDH: DH, точка Н — центр ΔАВС, поэтому  HA  =   12 DH=√a2−HA2=a∙√ 2 3 , ∠ADH = α, cosα=DH AD=√ 2 3 . Из ΔАОD по теореме косинусов: a2=2R2−2R2cos(1800−2α)=2R2+2R2cos2α=2R2(1+cos2α)=4R2cos2α=8 3 R2 Площадь грани тетраэдра равна  4 =a2√3= 8 3 Sполн=4∙a2√3 R2√3=8√3 3 R2            Ответ:    8√3 3 R2  . a2√3 4 ,  значит  Часть   6.   Практическое   применение   комбинации   многогранников   и сферы. Для развития пространственного   воображения у детей младшего возраста используют     игрушки,   имеющие   геометрическую   форму.   А   также   упаковки комплектов игрушек часто имеют геометрическую форму.  а) Комплект «Лего» в форме шара упакован в коробку  кубической формы.  Для   расчета   размеров   используемого   для   упаковки   материала   требуется   учет метрической   зависимости   между   радиусом   шара   и   ребром   куба,   входящего   в комбинацию. б) Елочный шар изготавливают такого размера, чтобы он был описан около правильного тетраэдра.                                     а)                                       б) Некоторые   детали   механизмов   представляют   собой   комбинацию многогранников   и   сферы.   Например,   автомобильное   импульсное   зарядное устройство. Для   вытачивания   на   токарном   станке   комбинаций   многогранников, вписанных в сферу, необходимы расчеты, связанные с метрическим соотношением размеров их элементов. 13 Часто в архитектурном сооружении сочетаются различные геометрические  фигуры, что позволяет создавать разнообразные архитектурные сооружения,  непохожие друг на друга. Эти  пространственные геометрические фигуры служат  основой сооружения в целом или отдельных его частей.  Центральный парк Манхэттен. Шар вписан в куб.   ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Наука  геометрия   возникла   из   практических   задач,   ее   предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете, в основе всей техники, так или иначе, лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров.  И   технику,   и   инженеру,   и   квалифицированному   рабочему,   и   людям искусства   геометрическое   воображение   необходимо,   как   геометру   или архитектору.   Математика,   в   частности   геометрия,   представляет   собой могущественный   инструмент   познания   природы,   создания   техники   и преобразования мира. Геометрия     предлагает   ряд   общих   правил   организации   частей   в   целое, которые   помогают   расположить   эти   части   в   пространстве,   так,   что   в   них проявляется порядок.  История изучения и изображения многогранников, их комбинаций со сферой являет   собой   яркий   пример   взаимопроникновения   различных   областей   знания, неразрывности понятий «наука», и «искусство» как различных способов познания мира,   двух   основных   составляющих   единого   целого   —   культуры,   главного наследия человеческой цивилизации.  14 Умение   правильно   определять   положение   центра   сферы   в   комбинации   с многогранником   и   вычислять   метрические   соотношения   между   их   элементами позволяет также успешно решать задачи на комбинации многогранников и сфер, представленные на ЕГЭ по математике. Используемые литература и источники. 1. Геометрия.   10­11   классы:   учебник   для   общеобразовательных   учреждений: базовый и профильный уровни/ Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф, Кадамцева С.Б. и др.  – М. Просвещение, 2010. 2.   Практическая   геометрия.   Комбинация   геометрических   тел.   10­11   классы: методическое   пособие/Сагателова   Л.С.,   Студенецкая   В.Н.   –   М.   «Глобус», 2010. 3. Дидактические материалы по геометрии. 11 класс/ Зив Б.Г. – М. Просвещение, 2014. 4.   Задачи   по   готовым   чертежам.   Стереометрия,   в   2   частях/Орехова   А.И.   – Мозырь. «Белый Ветер», 2012. 5.   Готовимся   к   ЕГЭ.   (   Геометрия):   вписанные   и   описанные   фигуры   в пространстве/ Смирнова И.М., Смирнов В.А. – М. Мнемозина, 2008. 6. Электронное приложение к УМК Смирнова В.А. 7.  ЕГЭ:   4000   задач   с   ответами,   математика,   базовый   +профильный   уровень. «Закрытый сегмент». / Под ред. А.В. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Изд­во «Экзамен», 2016 – 640 с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ») 15 8.https://yandex.ru/images/search?text= %D0%A1%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0%20%D0%B8%20%D0%BA %D1%83%D0%B1.%20%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%BA %20%D0%B2%20%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D1%85%D1%8D %D1%82%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B5&lr=1948 9.https://yandex.ru/images/search?p=31&text= %D0%98%D0%B3%D1%80%D1%83%D1%88%D0%BA %D0%B8.%20%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0%20%D0%B2%D 0%BF%D0%B8%D1%81%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F %20%D0%B2%20%D0%BA%D1%83%D0%B1&lr=194 ПРИЛОЖЕНИЕ Чертежи к задачам. Задача 1 (рис. 1)                                        Задача 2 (рис. 2)                                                     16 Задача 3 (рис. 3а)                                        Задача 3  (рис. 3б)                                                          Задача 4 (рис.4)                                             (рис. 5) S F O E D Задача 5. (рис. 6)                                          Задача 6 (рис. 7) M R R 17 Задача 7. (рис. 8)                                          Задача 8. (рис. 9) Задача 9 (рис. 10а)            (рис. 10б)                       (рис. 10в)    Задача 10. (рис. 11)            (рис. 12)                                    (рис. 13) Задача 11 (рис. 14а)                (рис. 14б)                      (рис. 14в) r 18 Задача 12 (рис. 15)               Задача 13 (рис. 16а)            (рис. 16б) 19