Учебно-исследовательский проект «Удивительный мир обыкновенных дробей»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение  "Ершичская средняя школа"  муниципального образования – Ершичский район Смоленской области  Учебно­исследовательский проект «Удивительный мир обыкновенных дробей» Выполнили учащиеся 6а­б классов   Руководитель:Костылева Тамара Николаевна,  учитель математики высшей категории 2018­2019 учебный год 1 Введение. 1 слайд        На уроках математики при изучении темы «Обыкновенные дроби» мы узнали  некоторые исторические факты из появления и развития дробей. Нам захотелось  рассмотреть этот вопрос более основательно: рассмотреть более подробно этапы  развития обыкновенных дробей; найти задачи с дробями, составленные в далёком  прошлом. Хотелось в ходе исследования этого вопроса убедиться и убедить других  в необходимости дробей в повседневной жизни. Работа «Удивительный мир  обыкновенных дробей»  ­ результат коллективного творчества. Работа выполнялась   с декабря по январь 2019 года (период изучения на уроках математики главы « Обыкновенные дроби»)  Цель исследования: 2 слайд Сформировать представление о возникновении и развитии обыкновенных дробей; развивать   любознательность;   вызвать   интерес   к   изучению   математики. Для достижения этой цели были сформулированы  Задачи:      3 слайд • • собрать дополнительный теоретический материал по теме «Дроби» ;  сделать подборку нестандартных задач с дробями;  • найти  незримую явно связь окружающего нас мира с миром дробных чисел  (составить таблицы, диаграммы) ;  создать электронную презентацию по нашему проекту ; • • продемонстрировать другим учащимся, что мир дробей может быть очень  увлекательным;  2 • провести опрос учащихся с целью определения степени эффективности нашей работы;  • привитие интереса к изучению математики через рассмотрение   исторических фактов ; • научиться обобщать полученную информацию.  слайд 4   Объект исследования – математика. Предмет исследования – обыкновенные дроби. Гипотеза: повседневная жизнь человека не обходится без дробей. слайд 5   Актуальность и значимость нашей работы в том, что будет интересной  для учащихся и полезной для учителей математики в качестве дополнительного  материала при проведении уроков и мероприятий. Общая характеристика проекта Тип проекта: практико­ориентированный. Виды деятельности: творческий, информационный, прикладной. Применяемые умения:  – проектные (организационные, информационные, поисковые, коммуникативные,  презентационные, оценочные);  – предметные (математические). База выполнения: школьная. Формы обучения: групповая и индивидуальная. Продолжительность выполнения: средняя продолжительность – один месяц. Средства обучения: печатные, наглядные, компьютерные презентации. 3 Формы продуктов деятельности: электронная презентация.  Слайд    История развития обыкновенных дробей.       2.1 Появление   обыкновенных дробей.                                                                  Что может быть проще счёта? Говорить подряд: один, два, три, четыре, пять и т.д. может всякий. Счёт вошёл в наш быт так прочно, мы с ним так сжились, что не можем себе представить  человека,  не умеющего считать. И всё же было  время, когда люди считать не умели. Наши отдалённые предки, населявшие землю тысячи веков   тому   назад, знали   и   счёта.          В старинных сказаниях упоминаются пророки и герои, которым боги открыли знавшие   огня,   не     не   или   которые   сами   отняли   у   богов   огонь   и   число.   Таких   пророков   и   героев, разумеется, никогда не было. Люди научились считать сами, постепенно в течение сотен веков, передавая свой опыт и свои знания из поколения в поколение, развивая и счёта. совершенствуя искусство                           На   древних   гробницах,  на   развалинах   старых   храмов   находят   иногда странные, причудливые письмена. Учёные сумели их прочесть и узнали, как жили люди   четыре­пять   тысяч   лет   назад.   Из   этих   надписей   видно,   что   и   тогда   наши предки считали неплохо. Но как считали они ещё раньше, когда не умели писать?   этом Об догадываться.         В те отдалённые времена, когда люди едва научились говорить и пользоваться только можем мы         огнём, они знали только два числа: один и два. Число «два» связывалось с органами зрения   и   слуха   и   вообще   с   конкретной   парой   предметов.   Если   перечисляемых предметов было больше двух, то люди говорили просто «много». «Много» было звёзд   на   небе,   но   и   пальцев   на   руке   было   тоже   «много».                  Постепенно к первым двум числам прибавлялись новые и новые. Люди научились считать до пяти и соединять два «пятка» в десяток. На первых ступенях развития   общества   люди   считали   с   помощью   десяти   пальцев   рук.   Поныне 4 существует высказывание «Перечесть по пальцам». Так постепенно увеличивался набор чисел, которые употребляли при счёте предметов, т.е. появились натуральные числа.            В жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Например, измеряя длину участка шагами, человек   встречался   с   таким   явлением:   в   длине   укладывалось   десять   шагов,   и оставался   остаток   меньше   одного   шага.   Появление   дробей   связано   у   многих народов с делением добычи на охоте. В связи с этой необходимой работой люди стали   употреблять   выражения:   половина,   треть,   два   с   половиной   шага.   Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин.   2.2 Дроби в древнем Египте.                         слайд Египтяне в своих вычислениях пользовались только единичными дробями. Числитель в единичных дробях всегда постоянный и равен 1. Такие дроби математики ещё называют аликвотными дробями. Слайд В древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Об этом  свидетельствуют сохранившиеся до наших дней египетские пирамиды. Разумеется,  для того чтобы строить их, чтобы вычислить длины, площади и объёмы фигур,  необходимо было знать арифметику.      Дроби в Слайд          Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые  заменяли части известных величин. Медленным и длительным был переход от  древнем Риме.   конкретных к отвлечённым дробям, не связанным с определёнными мерами. Они  остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной  единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать  частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 5 и т. д. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых  знаменателем всегда было число 12. Вместо  римляне говорили «одна унция», – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью,  шесть унций – половиной.   Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей и таблицу  сложения, и таблицу умножения. Для облегчения работы составлялись специальные  таблицы, некоторые из них дошли до нас.          Сейчас «асс» ­ аптекарский фунт. Слайд      Дроби в Вавилоне В Древнем Вавилоне использовались дроби, имеющие в знаменателе всегда число 60 или его степени. Шестидесятые доли были привычными в жизни вавилонян.  Происхождение этих дробей связаны с тем, что вавилонская денежная единица  измерения делилась на 60 равных частей. Эти дроби называются  шестидесятеричные, позднее их стали называть астрономические. До наших дней  сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 сек., окружности на 360 град.,  градуса в окружности на 60 мин., мин на 60 сек. Вавилоняне   внесли   ценный   вклад   в   развитие   астрономии.   Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими   дробями.   В   отличие   от   них,   дроби   общего   вида,   которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными. Слайд                 Нумерация и дроби в древней Греции           В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие  учёные считали, что математика должна заниматься только целыми числами.  6 Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также  астрономам, землемерам и другому «чёрному люду». В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от  логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать  только в логистике. Греки свободно оперировали всеми арифметическими  действиями с дробями, но числами их не признавали.             Греки употребляли наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие  обыкновенные дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху  знаменатель, под ним – числитель дроби. Например,  означало три пятых и т.д. Слайд                      Нумерация и дроби на Руси              Как свидетельствуют старинные памятники русской истории, наши предки­ славяне,   находившиеся   в   культурном   общении   с   Византией,   пользовались десятичной   алфавитной   славянской   нумерацией,   сходной   с   ионийской.   Над буквами­числами ставился особый знак, названный титло. Для обозначения тысячи   который   приставлялся   слева   от   букв. применялся   другой   знак,        Старейшим арифметическим памятником Киевской Руси является сочинение о календаре, написанное на славянском языке в 1136году и названное «Учение им же ведати   человеку   числа   всех   лет»,   то   есть   «Наставление,   как   человеку   познать счисление   лет».   автор   сочинений   –   учёный   монах   Кирик   Новгородец,   о   жизни которого известно немного. Кирик пользуется конкретными дробями:   т.д. и                  В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси: 7 1/2 – половина, полтина 1/3 – треть 1/4 – четь 1/8 ­ полчеть 1/6 – полтреть 1/12 –полполтреть 1/16 ­ полполчеть 1/24 – полполполтреть (малая треть) 1/32 – полполполчеть (малая четь) 1/5 – пятина 1/7 ­ седьмина 1/10 ­ десятина   Слайд        Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в  страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления.  Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I  Слайд          Дроби в других государствах древности          Примерно во II в.н.э. в китайском трактате «Математика в девяти книгах» уже имеют   место   сокращения   дробей   и   все   действия   с   дробями.   Эта   книга   была предназначена   для     техников   и   счётных   работников.          Индия, одна из древнейших и величественных стран мира, является родиной землемеров, позиционной                    Индийцы широко употребляли «обыкновенные» дроби. Наше обозначение нумерации(V­VII десятичной вв.н.э.).       обыкновенных дробей при помощи числителя и знаменателя было принято в Индии ещё   в   VIIIв.н.э.,   однако   запись   была   без   дробной   черты.   Дробная   черта   стала применяться   веке.                 Широко   известны   математики   древней   Индии   Ариабхатта(Vв.), лишь XIII в         Брахмагупта(VII в.), изложивший правила действий с дробями, мало отличавшиеся от   наших,   и   Бхаскара(X   в.).   У   них   встречаются   разные   дроби:   и   основные,   и произвольные с любым числителем. Числитель и знаменатель записываются так же, 8 как и у нас сейчас, но без горизонтальной черты, а просто размещаются один над другим. Около 1500 лет назад индусы первыми начали отделять чертой числитель   знаменателя. от            В VII в.н.э. жил известный армянский ученый Ананий Ширакаци, составил обширные таблицы сложения, вычитания и умножения чисел. Леонардо Пизанский уже записывает дроби, помещая в случае смешанного числа,  целое число справа, но читает так, как принято у нас.                     В XV – XVI столетиях учение о дробях приобретает уже знакомый нам  теперь вид и оформляется приблизительно в те самые разделы, которые  встречаются учебниках. в наших              Следует отметить, что раздел арифметики о дробях долгое время был  одним из наиболее трудных. Недаром у немцев сохранилась поговорка: «Попасть в  дроби», что означало – зайти в безвыходное положение. Считалось, что тот, кто не  знает дробей, не знает и арифметики.    3. Старинные задачи с использованием обыкновенных дробей В древних рукописях и книгах сохранились старинные задачи с дробями, которые  интересно решать и современным школьникам. В различных книжных пособиях мы  нашли интересные задачи, которые были использованы в различные исторические  периоды. Задачи занимательные и не всегда просто решаются. Есть над чем поломать  голову! Вот одна из них. слайд                     1) Задача Эйлера. Леонард Эйлер (4 апреля 1707г.­ 18 сентября 1783г.) ­ является основателем  русской научной математической школы. Полное собрание его сочинений  насчитывает более 70 томов, а списки его трудов – более 850 названий. 9 Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто  составил завещание. «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и  восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей и восьмую часть нового остатка;  третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т.д.». Определите  число сыновей и размер завещанного сбережения. слайд    Решение: так как все сыновья получили поровну, то восьмая часть каждого нового остатка была на 1000 рублей меньше восьмой части предыдущего остатка, а,  значит, весь новый остаток был на 8000 рублей меньше предыдущего. Так как по  условию все деньги были поделены полностью, то, когда младший сын получил по  завещанию, кроме нескольких тысяч рублей, ещё восьмую часть остатка, этого  остатка не оказалось. Но тогда предыдущий остаток 8000 рублей. Из него  предпоследний сын получил восьмую часть, равную 1000 рублей, а остальные 7000  рублей получил младший сын, который, таким образом, был седьмым сыном:  сыновей было семь, а завещанная сумма 49000 рублей. . Применение дробей в повседневной жизни.   Невозможно представить ни одну отрасль промышленности  или сельского хозяйства, или строительства, где бы в расчётах не встречалось дробных чисел. Мы   привыкли   пользоваться   благами   цивилизации   –   автомобилем,   телефоном, телевизором   и   прочей   техникой,  делающей   нашу   жизнь   легче   и   интереснее.   А сколько расчётов и вычислений делают конструкторы, инженеры, чтобы на свет всё время появлялись новинки, и везде в расчётах инженеров ­ конструкторов присутствуют дроби! Приведу  примеры применения обыкновенных дробей Слайд  1) Дроби и музыка. Учащиеся музыкальной школы знакомятся с дробями  раньше, чем в общеобразовательной школе. С первых дней занятий дети знакомятся  с такими понятиями как размер и длительности нот 10 Ноты отличаются по длительности их звучания. Знаком обозначают целую ноту,  ноту вдвое короче – половинную ­ , четвертную ­ ,восьмую ­ , шестнадцатую ­ . Слайд    2) Дроби  в танцах В русском танце имеется весьма распространенный вид движений выполняемых  сильными, четкими, короткими, частыми ударами ног об пол. такие движения  русской пляски называются “ дроби”. Дроби весьма разнообразны по ритму и  технике исполнения. Слайд       3) Золотое сечение    Золотым сечением называли математики древности и средневековья деление  отрезка при кот ором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, .  как длина большей части к меньшей. Это отношение приближённо равно 0,618 Золотое сечение чаще всего применяется в произведениях искусства, архитектуре,  встречается в природе. Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплёты многих книг имеют отношение ширины и длины, близкое к значению  0,618. Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры – Парфенон – построено  вV в. до н.э. отношение высоты здания к его длине равно 0,618(приложение 2) Слайд        Дроби в рисовании Для построения изображения головы человека высоту головы делим на 7 частей.  Расстояние между глазами равно длине глаз. Ширина головы = 3\4 высоты головы Слайд       4) География  Участки земной поверхности изображаются на карте в уменьшенном виде, для этого используется понятие масштаба: отношение длины отрезка на карте к длине  соответствующего отрезка на местности. 11 Например: масштаб карты  на местности. означает, что 1см на карте соответствует 10000см  Слайд        4) В строительстве. Фасад здания Первой клинической больницы им. Н.И. Пирогова (Москва) построен  по золотому сечению. Дроби используются в различных отчётных документах в медицине, в образовании,  в торговле, в налоговой службе. А какая точность нужна в фармацевтике! При  составлении лекарственных препаратов нужна предельная осторожность при  обращении с дробями. 5. Практическая часть Слайд   . Опрос № 1 «Ваше отношение к дробям»   Среди взрослых и учащихся 5­11 классов   мы провели опрос по выяснению  отношения к обыкновенным дробям. Для опроса нами была выбрана такая форма –  опрашиваемым предлагалось изобразить своё мнение  в виде смайликов. Было опрошено 39 человек. Из них подавляющее большинство,особенно  учащиеся, изобразило далеко не радостное отношение к дробям  . Большинство  взрослых подтвердило необходимость дробей в повседневной жизни. 12 Такой результат только укрепил наше стремление к работе над данным  проектом. 5.2. Дроби вокруг нас                                              Слайд     Как нас много                                                                                 Творческое название работы ­ “Перепись школы ”. Проблемный вопрос: какую долю по числу учащихся занимает наш класс по  сравнению с общим количеством школьников? Задание: узнать общее число учащихся в нашей школе, количество учеников по  классам; составить дроби, показывающие долю 6 классов (и не только)  в нашей  школе, долю девочек и мальчиков от числа всех учащихся. Выполнение задания. Мы обратились за помощью к завучу по УР Закроевой Л.А.  Она предоставила нам списки всех учащихся нашей школы, отдельно по каждому  классу. По спискам мы провели необходимые подсчёты и по их результатам составили  таблицу и  сравнительные диаграммы 13 1  кл 41 20 21 2 кл 29 13 16 3  кл 31 17 14 4 кл 34 18 16 5  кл 44 20 24 6 кл 29 15 14 7  кл 37 18 19 8  кл 27 12 15 9  кл 31 14 17 10кл 11  кл 19 11 8 23 14 9 Результаты: всег о учеников 344 девочек 172 мальчик 172 Сок р. ов доля  класса доля  девочек доля  мальчик. 1 14 Слайд    Школьная библиотека Творческое название работы – «Книжный двор». Проблемный вопрос: какова доля книг разных жанров в нашей библиотеке? Задание: провести подсчёты книг по разным жанрам; вычислить общее число книг на период нашей группы; определить долю каждого жанра в сравнении с общим количеством книг. Выполнение задания. Справиться с данной работой нам помогла наша библиотекарь Лылина С.А. Она рассказала   нам   о   разных   жанрах   имеющихся   книг,   объяснила,   где   находятся ответствующие книги. Светлана Анатальевна давала советы по ходу нашей работы. Собранный материал мы обработали и составили 1 таблицу и 1 диаграмму данных. По данным библиотекаря фонд учебники Кол­во книг доля 22327 7457 1 7457/22327 15 Художественная литература 12235 12235/22327 Методическая литература Литература Смололенщины Диск­носители Словари Научная литература 321 701 67 47 625 321/22327 701/22327 67/22327 47/22327 625/22327 Слайд               Цветы школы Творческое название работы ­ “Море цветов ”. Проблемный вопрос: какова доля цветов (по кабинетам) в сравнении со всеми  цветами в нашей школе? Задание:  произвести   подсчёты   количества   цветов   в   классных   кабинетах   и   по зданию школы в целом; определить, какую часть составляют цветы отдельно взятого кабинета; по собранным данным составить таблицу и диаграмму, демонстрирующие долю кабинетных цветов от всех по школе.  Выполнение задания. Выполнение данного задания не вызвало у нас особых затруднений, если не считать, что   не   все   кабинеты   были   открыты,   и   приходилось   ждать   или   в   другой   день приходить.   Мы   даже   и   не   задумывались,   как   много   в   нашей   любимой   школе прекрасных цветов! Мы ощущали себя словно на зелёном островке, в оазисе.  И вот, что нам удалось узнать: Результаты: кабин 4 11   14 15 20 24 13 30 1, 3  2  ет всег 17 6 21. 9 12 1 1 2 14 1 кл 24 кл 12 4  кл 12 биб кори всег л. 9 д. 8 о 128 16 о  цвет ов доли                              1           сокр.                                Слайд     Дроби внутри нас (наши размеры) Творческое название работы ­ “Справочник размеров 6 класса ”. Проблемный вопрос: каков был бы человек (существо), с размерами, равными  сумме наших параметров? Какова доля размеров одного ученика в сравнении с  общими данными класса? 17 Задание: измерить каждому ученику 6 класса рост, массу тела, длину руки, длину  ноги, обхват талии; попробовать представить себе и изобразить человека с  суммированными нашими измерениями; определить долю размеров каждого уч­ка в  сравнении с общими. Составить по собранным данным таблицы и диаграммы наших  измерений. Выполнение задания. При выполнении данного задания мы измеряли друг друга по четырём, так  называемым, станциям замера роста, массы, руки, ноги, талии. Было очень весело и  увлекательно! Время пролетало незаметно. Затем пришлось потрудиться над  подсчётами: и ошибались, и устраивали взаимопроверку, но своей цели добились.  Как говорится, дебит сошёлся с кредитом!  Результаты: В целых числах Алешина Анастасия Алешин Роман Атрохова София Голубкова Светлана Лащенков Артем Зенкова Елизавета Левшунов Рост, см Масса, кг Рука, см Нога, см Талия, см 161 160 158 158 130 150 165 40 50 37 44 42 51 51 73 74 73 75 54 64 70 23 26 24 21 25 26 30 61 78 64 68 68 76 72 18 Игорь Макаров Роман Марченков Даниил Павлюченков Егор Слезкина Полина Смашнева Ирина Широкова Алина Чудо­ человек 160 132 163 151 170 160 51 31 50 49 56 50 62 62 71 71 75 78 30 26 24 24 31 27 72 62 63 71 70 74 2018 602 902 337 573 Наш Чудо­человек выглядит, наверное, так:  Мы здесь сравнили его с усреднённым представителем нашего класса.  В дробях Рост Масса Рука Нога Талия Алешина Анастасия Алешин Роман Атрохова София Голубкова Светлана 19 Лащенков Артем Зенкова Елизавета Левшунов Игорь Макаров Роман Марченков Даниил Павлюченков Егор Слезкина Полина Смашнева Ирина Широкова Алина Чудо­ человек   1 1 1 1 1 Слайд   6. Конкурс рисунков «Дробь, дробушка, дробинка» В ходе работы над проектом мы решили приукрасить его произведениями  художественного искусства – провести конкурс рисунков о дробях с последующей  организацией их выставки. С выставкой можно ознакомиться в кабинете  математики . Слайд    . Опрос № 2 «Ваше отношение к дробям» 20 После демонстрации нашей работы (на уроках математики, иногда после  уроков) мы     повторно провели опрос по выяснению отношения ребят к дробям.  Опрашиваемые снова изображали своё мнение  в виде смайликов. Был опрошен 31 человек.  На этот раз победили «хорошие» смайлики       ! Наша работа над проектом сократила отрицательные результаты опроса на   ! ,особенно среди учащихся. Т.е. число хороших эмоций увеличилось на   ! Слайд  . Заключение Наша работа над проектом заканчивается ответом на основополагающий вопрос­ просьбу   учителя   о   поиске   способов   увеличения   нашего   интереса   к   теме «Обыкновенные дроби». В результате работы над проектом мы узнали   историю развития обыкновенных дробей, сумели рассмотреть задачи древности, связанные с дробями и задачи с практическим содержанием. В ходе их решения мы закрепили алгоритмы выполнения действий над дробями, нахождение числа по его части и числа. части от                   Особый   интерес   при   работе   над   проектом   мы   испытали     при   решении дробей. старинных использованием задач с                 Разнообразие предложенных задач и результаты анкетирования убедили нас в необходимости   применения   дробей   в   повседневной   жизни   и   для   многих профессий. 21 Да, в ходе работы нам было очень интересно, и нас совсем не пугали неуклюжие дроби. Мы пришли ко мнению, что для большей нашей (детей) заинтересованности дробями просто необходимо выполнять разного рода мини­проекты на протяжении изучения глав о дробях.  Думаем, что мы не отказались бы от решения необычных занимательных задач а, наоборот, с большой охотой потратили бы урок или два на поиск ответов.  Подводя итоги работы над проектом, каждый из нас давал оценку своей работы. А так как  все  ребята были очень старательны и активны, то у нас не было даже мысли поставить кому­либо «3», да и «4» нам кажется маловато.  В общем, все сработали на крепкую «5»! (по сбору информации) Но при выполнении разных видов расчётов, конечно, нам не было так легко и комфортно. Нам помогала наша учительница Тамара Николаевна. Да и разве могли мы оставить необработанными собранные нами данные!  Исходя из всех выводов нами было решено:  Продолжить работу в дробном направлении.   Пополнять копилку занимательных задач на дроби;  Собирать интересный материал о дробях; На   уроках   будем   стараться   придумывать   побольше   заданий   с   реальными,  окружающими   нас     поблизости,   предметами   (так   намного   интереснее!   И   тема усваивается как­то незаметно, сама собой)   22