Учебное пособие по математике (для студентов, обучающихся по индивидуальному учебному плану)

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ для студентов, обучающихся  по индивидуальному учебному плану Тольятти, 2017г. 2 Автор (составитель):  Н.А. Гончарова, преподаватель  математики Учебное   пособие   по   математике   для   студентов,   обучающихся   по индивидуальному учебному плану, ГАПОУ КТиХО, 2017г., 53 стр. Данное учебное пособие разработано с целью оказания практической помощи   студентам,   осваивающим   программу   среднего   профессионального образования по индивидуальному учебному плану.  Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями ФГОС СПО по специальности 22.02.06 Сварочное производство к образовательным результатам по математике в общем математическом и естественнонаучном цикле дисциплин и структурировано по 4 учебным модулям. Каждый учебный модуль   содержит   3   блока   –   А.   Б.   В.   Блок   А,   помимо   теоретического материала,   включает   подробное   описание   решения   типичных   примеров   и задания  для  самостоятельного  решения;   в блоке  Б предложен  контрольно­ оценочный   материал   для   подготовки   к   тестированию;   блок   В   содержит методические   указания   по   выполнению   внеаудиторной   самостоятельной работы.  Предлагаемый   в   пособии   материал   может   быть   использован   как дополнительный   к   учебнику   для   более   качественного   усвоения   материала, обобщения ранее полученных знаний. 3 Содержание  4 6 6 24 26 29 30 Информация для студентов………………………………………………...... Учебный модуль 1. Математический анализ………………………….......... Блок  А…………………………………………………………………………. Блок Б………………………………………………………………………..... Блок В…………………………………………………………………………. Учебный модуль 2. Теория вероятностей и математической статистики... Блок  А…………………………………………………………………………. Блок Б………………………………………………………………………..... Блок В…………………………………………………………………………. Учебный модуль 3. Комплексные числа……………………………………. Блок  А…………………………………………………………………………. Блок Б………………………………………………………………………..... Блок В…………………………………………………………………………. Учебный модуль 4. Основы линейной алгебры……………………………. Блок  А…………………………………………………………………………. 51 Блок Б…………………………………………………………………………. Блок В…………………………………………………………………………. 52 Информационные источники …………..…………………………………… 53 39 40 41 41 33 34 34 34 4 Информация для студента Учебная   дисциплина  ЕН   01  МАТЕМАТИКА   является   составной частью   образовательной   программы   по   специальности   среднего профессионального образования 22.02.06 Сварочное производство.  Содержание   программы   по   математике   направлено   на   формирование следующих общих компетенций:  эффективного   ОК   1.   Понимать   сущность   и   социальную   значимость   своей   будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес  ОК 3. Принимать решение в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для   задач, профессионального и личностного развития ОК   5.   Использовать   информационно­коммуникационные   технологии   в профессиональной деятельности ОК   8.   Самостоятельно   определять   задачи   профессионального   и личностного   развития,   осознанно планировать повышение квалификации ОК   9.   Ориентироваться   в   условиях   частой   смены   технологий   в профессиональной деятельности выполнения   профессиональных     заниматься   самообразованием,      В результате освоения дисциплины обучающийся должен  уметь:        знать:    анализировать сложные функции и строить их графики; выполнять действия над комплексными числами; вычислять значения геометрических величин;  производить операции над матрицами и определителями; решать   задачи   на   вычисление   вероятности   с   использованием элементов комбинаторики; решать   прикладные   задачи   с   использованием   элементов дифференциального и интегрального исчислений; решать системы линейных уравнений различными методами;  основные математические методы решения прикладных задач; основные   понятия   и   методы   математического   анализа,   линейной алгебры,   теорию   комплексных   чисел,   теории   вероятности   и математической статистики; основы интегрального и дифференциального исчисления; 5  роль   и   место   математики   в   современном   мире   при   освоении профессиональных   дисциплин   и   в   сфере   профессиональной деятельности Знания и умения, которые ты приобретешь, освоив данную программу, помогут тебе в решении профессиональных задач.  Перед тобой дорожная карта по выполнению тестов,   практических работ и внеаудиторной самостоятельной работы (далее ­ ВСР). Постарайся успевать выполнять зачетные работы в указанные сроки! дата Виды зачетных работ дифференциалов. ПР№4 Вычисление простейших определенных интегралов. Тест №2 ВСР по теме 1.2. Интегральное исчисление ПР№5 Вычисление вероятностей случайных событий. до 10 октября Тест №1 до 21 сентября ПР№1 Вычисление пределов. Нахождение асимптот. до 21 сентября ПР№2 Вычисление производных сложных функций и  до 25 сентября ВСР по теме 1.1. Дифференциальное исчисление до 27 октября ПР№3 Вычисление неопределенных интегралов. до 11 ноября до 18 ноября до 20 ноября до 25 ноября до 01 декабря Тест №3 до 05 декабря ВСР по теме 2.1. Элементы комбинаторики и теории  до 08 декабря ВСР по теме 2.2. Элементы математической статистики до 10 декабря ПР№6 Действия с КЧ, заданными в алгебраической форме до 10 декабря ПР№7 Действия с КЧ, заданными в тригонометрической  до 14 декабря ВСР по теме 3.1. Числовые множества. Операции над  до 15 декабря ПР№8 Вычисление определителей до 20 декабря ПР№9 Решение СЛАУ методом Крамера. до 20 декабря ПР№10 Решение СЛАУ методом Гаусса до 23 декабря ВСР по теме 4.1. Системы линейных алгебраических  уравнений вероятностей форме комплексными числами Данное   пособие   поможет   вам   самостоятельно,   без   повседневной помощи   преподавателя,   изучить   математику   и   приобрести   необходимые навыки   в   решении   задач.   В   случае   затруднений   преподаватель   математики 6 всегда готов оказать консультационную помощь (каб. 201 в соответствии с графиком  консультаций либо дистанционно через социальные сети). Желаю успеха!  7 Учебный модуль 1. Математический анализ Блок А. Вычисление пределов функций Конечное число A называется пределом функции  δ для любого положительного числа  δ ε ( ), что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 0 < | x − x0| <  соответствующие значения функции удовлетворяют неравенству |f(x) − A| <  Для обозначения такого предела используют символику:    можно указать такое положительное   f  (  x  ) в точке x0, если  = ,δ .ε ε   Основные  свойства пределов функций: 1. Если функция имеет конечный предел, то он единственный. 2. Постоянный   множитель   можно   выносить   за   знак   предела 3. Предел  суммы  (или разности) функций  равен  сумме (или разности) их конечными пределов, являются предела если       оба     4. Предел произведения функций равен произведению их пределов, если оба предела являются конечными  5. Предел   отношения   функций   равен   отношению   их   пределов,   если   оба предела   являются   конечными   и   знаменатель   не   обращается   в   нуль   6.   Пусть дана дробно­рациональная функция    некоторые многочлены.  , где  P(x) и  Q(x) Тогда:  а) Если степень многочлена P(x) больше степени многочлена Q(x), то б) Если степень многочлена P(x) меньше степени многочлена Q(x), то 8 в) Если степень многочлена P(x) равна степени многочлена Q(x), то  , где p, q числовые коэффициенты при наивысших степенях x в данных многочленах. 7.       ­ первый замечательный предел x sin x  1 lim  x 0 8.      1 lim   x – иррациональное (е  x    lim  a 0 1 x 1( )  1  ≈  2,718…  ). Вычисление несложных пределов      ­ второй замечательный предел.  Число е  e 1. Найти предел функции:      Решение: Имеем неопределенность вида    Для   ее   раскрытия   разложим   числитель   и   знаменатель   на   множители   и  ­2 не равен нулю. В сократим на общий множитель  x  + 2, который при  x  результате раскрыта. неопределенность → будет       2. Найти предел функции:       Решение: .  Для ее раскрытия можно либо разделить Имеем неопределенность вида  числитель и знаменатель на наибольшую степень переменной x и учитывая, что величина   обратная   бесконечно   большой   величине   есть   бесконечно   малая величина, раскроем исходную неопределенность.  3. Найти предел функции:      Решение:  Имеем неопределенность вида  .   9 Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2. 4. Найти предел функции:      Решение:  Имеем неопределенность вида  Раскрываем ее аналогично тому, как это сделано в примере 2. .   5. Найти предел функции:       Решение:  В данном случае имеем неопределенность вида  Для её раскрытия можно использовать свойство 6, что существенно упростит вычисление предела.  В   данном   случае   степени   числителя   и   знаменателя   равны   двум,   поэтому .   6. Найти предел функции:     Решение: В данном случае снова имеем неопределённость вида    Для её раскрытия используем то же известное свойство, что и в предыдущем  случае. Степень числителя равна двум, а степень знаменателя – трём. Поэтому 7. Найти предел функции:      10 Решение:   Имеем неопределенность вида    Для   ее   раскрытия   умножим   числитель   и   знаменатель   на   выражение сопряженное   числителю,   разложим   выражение,   стоящее   в   знаменателе,   на множители по формуле разности кубов и сократим числитель и знаменатель на общий  множитель  x  ­  4,  который  при  x    4  не  равен   нулю.  В  результате неопределенность будет раскрыта.  →   8. Найти предел функции6      Решение:  Имеем неопределенность вида    Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся вторым замечательным  пределом 9. Найти предел функции  Решение:   В данном примере при выяснении вида неопределенности видим,  что таковой не имеется. Имеем    , тогда Производная функции 11 Пусть   функция   )(xf .   Производной   функции   y  точки   0x   определенная   в   некоторой   окрестности   в  точке   y  )(xf 0x   называется   предел отношения приращения функции   ( 0xf )  к приращению аргумента   при x 0x   , если этот придел существует, и обозначается  . f  ( 0x )  ( f x 0  lim)  ) 0 ( xf  x  lim Производную функции  )( xf x ;    при   x  0x   ) 0 ( xf x 0 , в точке х обозначают: y  ­ (эф штрих от икс),  x  )(xf  (игрек штрих от икс),  );( вa f )(' x ' xy  (де игрек по де икс) dy dx Все эти обозначения равноправны. Операция   нахождения   производной   называется  дифференцированием. Функция, имеющая производную в точке  , называется  дифференцируемой 0x в этой точке. Если функция   )(xf    дифференцируемая в точке   , то она непрерывна в 0x этой точке. Это условие является  необходимым  для существования производной, но  не достаточным, т.е. существуют функции, всюду непрерывные, но не имеющие производных. Правила дифференцирования: С­ постоянная величина. 1.    ) uC   uC ( производной 2.   ( 3.   ) v u u  v  ) vu ( uv vu   постоянный   множитель   можно   вынести   за   знак  ­ производная суммы (разности) функций  ­ производная произведения 12 ­ производная частного 4.   ( u v  )  vu uv v 2 5.Пусть дана сложная функция  , где  y  )(uq u  )(xf , т.е.  y  ( ( xfq )). Тогда  ' y  ­ производная сложной функции. ' '  f )( x uq )( Таблица производных элементарных функций   Здесь С – постоянная величина;  1.    2.    3.    ' C 0 ;    1 '  n x  n xn ;  x '  1 2 x ; a 9.   x x ln   a a 10.   e    e  11.   ;   ; ln x   x x 1 x 4.   ;    1 x '    1 2 x 5.   6.   7.   8.     sin  x '  ;   cos x cos x  '  sin x ; ;  ' tgx 1 2 cos x ctgx  '  1 2 sin x ; 12.   13.   14.   15.   16.        Пример 1: Найти производные функции а)          x 2  5 3 )( xf cos 3 x   1 ;   log xa  '  1 ln x a arcsin  ' x  ; 1  1 2 x ; 2 x ;   arccos x  '  1 1  arctgx  ' 1  x 2  1 arcctgx  '  1  x 2 1 ;   13 б)   y  ctg  3 3 x  2 Решение: а)    )(' x f   2 3   3 x x 2     2 2  x  25  5 3 sin 3  3  5  cos    1 cos x     3 x 1    3 1 3 x x 2 x     2   x   3  5   2 x 25  2 x  5    3  sin   x  cos  x 3 3 cos x 3     1   1    1  3   2 x 3 2  cos  xx  sin5 6 3  x 5    1 3  2    x  cos 1   1  2 5   x   3 x  б)     y ' ctg 3  3  3 2 3   2 x   x 2 x 2 6  cos x  4 sin 2  3  2 x      1 3        2 x  2 x  6 xctg 2 sin 2 sin ctg   3'  2  3   3   x x 2 2   Приложение   производной   к   исследованию   функции.   Построение графиков функций Пусть   непрерывная   функция   ,   , ];[ вa . Кривая L – график этой функции. На )(xf y  x  дифференцируемая в точке  x  0 );( вa кривой  L  возьмем   точку   ( xM 0 0 ; y 0 )   и   производную   точку   ; yxM ;( ) проведем секущую    0MM . Касательной   ) положение   секущей   0TM ( положение существует)   к кривой      L  в точке     называется предельное LM 0 ,   при   MM 0 0MM    (если   такое   предельное y 14 Производная   функции     в   точке   )(xf 0x   равна   угловому   коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой , т.е.   0x f ' x ( 0 ) tg ­ уравнение касательной.   ' f  0 0 0 ) ) ( x x x )( ( xf y Механический   смысл  производной   заключается   в   том,   что   мгновенная скорость   прямолинейного   движения   материальной   точки   в   любой   момент времени  t  есть   производная   от   пути  S  по   времени  t,   а   ускорение  а(t) прямолинейного   движения   материальной   точки   в   момент   времени  t  равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени т.е.               ' tS )( )( t ta )(  dv dt 2 Sd 2 dt dS dt   обращается в нуль или не существует, называются Точки, в которых   f )(' x 0x критическими точками первого рода. Если     при переходе через точку f )(' x  меняет знак с плюса на минус, то   является точкой максимума . Если 0x   меняет знак с минуса на плюс, то     при переходе через точку   )(' x f является точкой минимума. Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Точки, в которых    обращается в нуль или не существует, называются 0x 0x f )(" x критическими точками второго рода. Точка   графика   непрерывной   функции   ,   при   переходе   через   которую )(xf )(" x  меняет знак, называется точкой перегиба. При исследовании функции f полезно   установить   формы   ее   графика.   Если   на   интервале  (а;в)  дважды дифференцируемая   функция ,   имеет   отрицательную   , y  )(xf x  );( вa (положительную)   вторую   производную,   то   график   функции   обращен выпуклостью вверх (вниз). 15 Асимптотой  кривой   называется   прямая,   к   которой   неограниченно приближается   точка   кривой   при   неограниченном   удалении   её   от   начала координат. Прямая  называются наклонной асимптотой кривой   при y  )(xf  . 0                  kx y , если:  b x        Отсюда    lim   xf   k kx  lim x    b  xf x Очевидно,   что   если   0k горизонтальная асимптота. Прямая  b  lim  x   xf   kx ,   то   уравнение   асимптоты   примет   вид   ­ y  b x  называется вертикальной асимптотой, если  a    xf k Пример 1  Составить уравнение касательной к кривой  lim  x  y 3  x  в точке 2 x  1 с абсциссой  0 x 2 Решение: 1) Вычисляем    f 2) Находим производную   ( xf ) 0 )2( 3  122 2 11 f ' )( x  x 3 2  2 3) Вычисляем   f ' ( x 0 )  f ' )2( 4) Подставим найденные значения  ( 0xf ) y=11+14(x­2)=11+14x­28;         у=14х­17 Пример   2    Дана   функция   2 23   и  2 14 функцию на экстремум и точки перегиба Решение:  Найдём производную   в уравнение касательной: f ' x ( 0 ) )( xf  .   Исследуйте   данную 3 x  2 x  1 3 1 3 f x )(' 2  x   2 x 16 Найдём критические точки первого рода, решая уравнение  f )(' x 0 2 ; т.е. х=0   и х=­2 – критические точки первого рода. Выясним,  x 0 2 x являются   ли   они   точками   экстремума.   Для   этого   определим   знак   первой производной в окрестности этих точек.  f Таким образом, х=0 – точка минимума;   х=­2 – точка максимума Найдем координаты точек экстремума: )3(' )1(' ;....0 ;....0 )1('   0  f    ­ max;      ­ min f 1)2( f )0(  f 1 3 Найдём критические точки второго рода, решая уравнение   f II )( x 0 2 x   т.е. х=­1 – критическая точка второго рода. Выясним, является 2 ли   она   точкой   перегиба.   Для   этого   определим   знак   второй   производной   в окрестности этой точки.  ; а     0   0)3( Следовательно,   что   в   интервале   IIf IIf  0)0(   график   обращен   выпуклостью (   )1; ­ выпуклостью вниз, а сама точка х=­1 будет вверх, я в интервале    ;1( ) являться точкой перегиба. Найдем координаты точки перегиба:   )1( f   1 3 Построение графика функции с применением производной 1 и 2 порядка. Для построения графиков функций необходимо провести её исследование (по схеме).  1.           Найти область определения функции 2.           Исследовать функцию на четность и нечетность  3. 4. это возможно). 5. 6. экстремумы функции. 7. Исследовать функцию на периодичность. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если Найти асимптоты графика      Найти критические точки первого рода, интервалы монотонности и Найти точки перегиба и интервалы выпуклости. 17 Завершают исследование функции построением ее графика 8. Пример 3: Построить график функции  )( xf  3 x  2 x 4 x 2 4 0 2x 1. Область определения функции:  ;    , т.е. функция определена на всей числовой оси, кроме точек х = ­2; х = 2. 2. Проверим функцию на четность и нечетность   f  x    x x  2 3       2 x x  3 4 4  3 x  2 x 4   xf   ­ функция нечетна. 3. Исследуем  функцию на периодичность. Данная функция непериодическая. 4.  {х=0;   у=0}   –   точка   пересечения   графика   данной   функции   с   осями координат 5. Найдём асимптоты графика:  а) Находим  для наклонной асимптоты: и  b k ( ) f x  x 3 x 2    k  lim  x  lim ( lim   x x y  ­   наклонная   асимптота   т.   к.   Следовательно   ( x x x lim (  x )( xf kx 4)    1 b  ) 0b 3 x  2 x  x ) 0 4 ,   следовательно, горизонтальных асимптот нет. Вертикальная асимптота:  3 x lim 2  x  02 x 4          ; 3 x lim 2  x  02 x 4  ; т.е.   и   ­ вертикальные асимптоты. 6. Найдём критические точки первого рода.   2  12 x   2 x 4  x 2  2 f I   4 3 3 x x x    2 2 4 3 4 2 x   2 x  4 x 2 12 x 2  4 2x 2x   4  2 x  2 xx   f I Очевидно   , если    0x 4 x  12 2 x  0 ,    xx 2 2  12  0    х = 0      12x 12 x Кроме того,   x f I  не существует при  . Следовательно,  2x    имеет  xf критические точки первого рода:   x x 1 Определим  интервалы монотонности и экстремумы функции. ;32     ;2 ;0 ;2 x x x 5 4 3 2 32 18 If )5(  0 If )5,2(  0    If )1(  0    0 0       If  0 If If )1(  )5,2( )5(   ­ min ­ min. )(xf 32       не меняет знак, следовательно в + - 2 3 и ­ выпуклостью вниз.   график   обращен   выпуклостью  )2;0()2; xx (8 )( x  0 )12 f II 0 2 1 32 x При переходе через  ­ max;  2 x  x ;0 этих точках экстремума нет. Найдем координаты точек экстремума:  2 x  ­ max;     f II )( x 0x 2 (8 xx  2 ( x       x 2 0  )12 3 )4 12  )(x f II Определим знак  f II )(x Видим,   что   в   интервалах   (  вверх, я в интервалах   ;2()0;2( и  )  33 f )32( 7.  Найдём   интервалы   выпуклости   и   точки   перегиба.   Для   этого   найдём критические точки второго рода:      Очевидно:  33)32( , если    f  не существует в точках х = 2; х = ­2.  в интервалах (­∞; ­2); (­2; 0); (0;2); (2; +∞) 8. Используя данные исследования, построим график функции  )( xf  3 x  2 x 4 Заметим, что необходимо выбрать масштаб, учитывая координаты найденных точек. (см. Рис. 1) 19 Неопределенный интеграл Рис. 1 Функцию,  восстанавливаемую   по   заданной   ее   производной   или дифференциалу,  называют первообразной. Дифференцируемая   функция  F(x),    x  Є   (а,   в),   называется  первообразной функцией  для функции ƒ (x) на интервале (а, в), если   F  /  (x) = ƒ (x) для каждого х Є (а, в). Отыскание первообразной функции по заданной её производной ƒ/(x) или по дифференциалу   ƒ(х)  dx    есть   действие,   обратное   дифференцированию   и называется интегрированием. Совокупность всех первообразных функции ƒ (х) называется неопределенным интегралом от функции ƒ (х)  на (а, в) и обозначается:   (читается:  dxxf )(  ­ знак интеграла интеграл от эф от х по дэ икс)  ƒ (х) – подынтегральная функция  ƒ (х) dx – подынтегральное выражение  х – переменная интегрирования  Таким образом:          )( dxxf Свойства неопределенного интеграла: CxF )( 20 dx   xfa )(  [( xf )(  a  dx )]  xg ( )( xf Основные формулы интегрирования  (табличные интегралы) dxxg )(  dxxf )(          1.  2.  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.   , где  а ≠ 0  постоянное число  dx   , где С – постоянная величина;  dx Cx  x n dx  x n n  1  1  C dx  x ln | Cx  | x  dxa  a ln x a  C x  e  cos  sin dx x  e C xdx  sin Cx  xdx  cos Cx  dx  2 cos x dx  2 sin x  tgx C     ctgx  C dx  x 2 Cx  21 11. 12. 13. 14. 2 x a dx 2  dx  a dx  x a dx  2 x 2 2 2 a  arcsin 2 x  1 a arctg x a x a   axC |; |  aC ;  0  1 2 a ln | ax ax   |  aC ;  0  ln | x  2 x 2  a |  aC ;  0 2 Методы интегрирования.   x²   +  x  +   1)dx  =   1. Непосредственное интегрирование – данный метод основан либо на прямом использовании таблицы интегралов, либо после элементарных тождественных преобразований   над   подынтегральной   функцией   приводится   к   одному   или нескольким табличным интегралам.  Пример 1: а)    (3 3 2 x 3 б)  8 x 4 ∫ x 2   (8∫ x³+sinx–2x) x 2  dx  =   8∫ x³dx  +   ∫sinxdx  2   x 2 x     xС x 2∫ xdx  =   =                                                  dx  +   x²  ∫ xdx  +    x С cos dx  =   3   x С 2 x 2   3∫ cos  xС   1   2  ­    4  ∫ 2 3 4  ; 2. Метод замены переменной (метод подстановки).  Сущность данного метода заключается в преобразовании интеграла  ,  в интеграл  ( )F u du который   легко   вычисляется   по   какой   либо   из   основных   формул интегрирования. Пример 2: а)   с∫ os 5x dx ( ) f x dx   22 Пусть 5х = u.  Дифференцируя, имеем   du = 5dx  =>   dx =  . Подставив в du 5 данный интеграл вместо  5х    и    dx их выражения, получим:  ∫ сos 5x dx =   sin u + C =    cos u du =   ∫  cos u   = ∫  sin 5x + C du 5         1 5 1 5 1 5 1    dx x 2 1­x²=u;   Тогда  du=­2xdx; б)   х ∫ Пусть =  в)  1 3   xdx= du 2 ;   = udu  2   1 2  udu   1 2 u du   1 2      c 1 2 2 3 3 2 u  C 1 2 3 u 2 3 2 3 uС   1 3 (1 x   2 3 С ) ;  sin cos x 7 xdx   7 u duС    8 u 8  8 cos   С 8 Здесь ввели следующую переменную: cos x = u;  тогда du = ­ sinx dx .               x  ; 3.Интегрирование   по   частям.          В   данном   методе   применяется   правило дифференцирования произведения двух функций: d(uv) = u dv + v du. Интегрируя обе части равенства, получим:    ( d uv )  udv  vdu ;   Согласно свойствам интегралов, имеем:  uv =  udv       vdu ; udv uv  Пример 3:         – формула интегрирования по частям.   vdu 23 a)   xxe dx  пусть x=u, (1);       тогда   (2)   dv= xe dx Из первого равенства находим  dx=du ;   Интегрируя обе части второго равенства, получаем    правую часть формулы интегрирования, получаем: = . Подставляя в v  xe  x eС ; x e dx x xe                 xe б)   x    nxdx   u = ℓnx                  тогда  dv = dх                             v = x dx x du  = l x nx в)      x dx x  l x x           x cos xdx u = x                dv = cosxdx  du = dx             v = sinx .  = dx  l x x   xС     ; x sin x  sin xdx  x sin x  cos  xС ;  Примечание:  При использовании формулы интегрирования по частям трудно дать общее правило   для   определения   того,   какой   сомножитель   в   подынтегральном выражении следует обозначать через   u  и какой  dv  (естественно  dx  должно входить в выражение для dv) 1) В интегралах вида.   exP )( за u принимается многочлен P(x).  xP )(  xP sin)( mxdx ; dx ; cos mxdx mx . 24 2) В интегралах вида   l  P x nxdx P x arctgxdx P x ( ) ( ) ( )arcsin ; ;  . xdx Если в интегралах 1 многочлен P(x) выше первой степени, то операцию за u принимается соответственно  ℓnx; arctgx; arcsinx. 3) интегрирования по частям применяют несколько раз. Определенный интеграл Если функция f(x) определена на отрезке [a;в], то предел интегральной суммы называется  определенным интегралом  от функции  f(x)  на [а;в], при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков, на которые разбиты [а;в], стремится к нулю.       (1)  dxxf )( b a Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) в том случае, если первообразную можно найти, применяют формулу Ньютона­Лейбница:    (2)  dxxf )( b a  )( xF â à  )( âF  )( aF Свойства определенного интеграла: 1.   xf )(  xq ( )) dx dxxf )( dxxq )( в  а в  а в  ( а 2.    в  dxxfR а )(* в  а R * dxxf )( 3.    4.    5.    в  а a  a в  а   dxxf )( а  в dxxf )( )( xf dx  0 xf )( dx c  a dxxf )( в  с dxxf )(    если с€[a;в], Пример 1: 25 а).    3  x 2 2 dx  3 x 3 3 2  3 3 3 3 2 3  27 3 8 3 19 3 б). 2  (  1 x 2  2 x  )1 dx  [ 3 x 3  2 2 x 2  x ] 2  1  [ 3 2 3  2 2  ]2 ( 3  )1( 3  )1( 2 в).    e dx   xn x 1 e 1   en   n 1   n e 1   ne  1  )1 9 6311 6 8 3 1 3 Определенный   интеграл   широко   используется   при   вычислениях   различных геометрических и физических величин:  ­ вычисление площади плоских фигур.   ­ вычисление объемов тел вращения.  ­ вычисление длины дуги.   ­ вычисление пути, пройденного телом.  ­ вычисление работы силы.  Остановимся на вычислении площадей плоских фигур. Фигура,   ограниченная   кривой  y  =  f(x),   осью   0х,   прямыми   х   =   а,   х   =   в называется криволинейной трапецией.   Ее площадь находится по формуле:  )( xf а 1. Если   криволинейная   трапеция   лежит   под   осью   0х,   то   её   площадь S dx )( xf а 2. Если фигура ограничена двумя кривыми  y  =  f(x) и  y  =  q(x), то её             (3) в S y равна: dx в            (4) площадь равна: 26 S c  a xq )( dx в  с dxxf )(    (5) 3.   Если фигура не ограничена осью 0х, её площадь равна:         (6)  S в  [ а xf )(  xq ( )] dx Применение   определенного   интеграла   при   решении   физических   и технических задач. 1.   Задача   о   вычислении   пути.     Пусть   материальная   точка   движется прямолинейно  с некоторой  мгновенной скорость  v  =  v(t). Требуется найти путь, который пройдет тело за промежуток времени от t = T1 до t = T2. В   простейшем   случае,   если   мгновенная   скорость   постоянна,   то   путь, пройденный   телом   равен   (по   определению,   известном   из   курса   физики) произведению скорости на время движения:   s=v0(T2−T1) . В общем случае, когда мгновенная скорость не постоянна, её вычисляют по формуле:  y y T2 s=∫ T1 v(t)dt           (7) Пример   2:  Тело   движется   прямолинейно   со   скоростью v(t)=3t2+4t+1   м/с. Найти путь, пройденный телом за первые 3 сек. Решение:  по формуле (7) получим s=∫ Пример 3: Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = at + v0 . Какой путь пройдет точка за промежуток времени от t = T1 до t = T2 ? (3t2+4t+1)dt=(t3+2t2+t)|0 =48(м) 3 0 3 27 a