Учебное пособие "Проценты на все случаи жизни"(8 класс, математика)

УТВЕРЖДЕНО                                                                                  УТВЕРЖДЕНО на заседании городского                                                        на заседании педагогического  Экспертного совета                                                                 совета  СШ № 1 протокол №____                                                                        протокол № 1 _______________                                                                             29.08.2009 г. Председатель Экспертного совета:                                              Председатель педсовета: _____________Цымбалюк В.А.                                               ___________Гомзяков П.А. Методическое пособие      по математике «Проценты на все случаи жизни»   Васильченко Л.В. – учитель математики СШ № 1 г. Костанай   2010год                                 Пояснительная записка.             Данное методическое пособие является приложением к программе   по математике     «Проценты на все случаи жизни». Основное содержание  программы курса способствует интеллектуальному, творческому,  эмоциональному развитию школьников (так как задачи, решаемые при  изучении курса, непосредственно связаны с жизнедеятельностью человека и  окружающей среды). Пособие рассчитано в первую очередь  на  учащихся,  желающих расширить и углубить свои знания  о процентах. Оно поможет  школьникам систематизировать полученные на уроках знания   и открыть  новые методы и формулы  вычисления процентов.        Учебное пособие имеет как теоретическую, так и практическую  направленность и предназначено как для  учителей  математики, так и для  учащихся, стремящихся получить хорошие знания и навыки  решения задач,  используемые  не только в  математике, но и  в  повседневной жизни, которые  могут быть реализованы в межпредметных связях с  химией, физикой,  экономикой.         Данный  курс рассчитан на 34 часа, один час в неделю. Целесообразно   начать   изучение   темы   «Проценты»   с   вводной диагностики   с   помощью   тестирования.   Ответы   на   данные   вопросы актуализируют   базовые   понятия,   определения,   правила,   которые   будут использоваться в этом разделе, и оценят степень готовности школьников к его изучению. Учащимся можно предложить подготовить исторический материал о процентах. В   разделе  «Комбинированные   задачи»  задачи   решаются   с   помощью составления уравнений. Занятия рекомендуется проводить в виде практикума по решению различных задач на проценты. Подборку задач можно сделать из сборника «Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе», из сборников тестовых заданий для подготовки к ЕНТ, из пособий для   подготовке к поступлению в ВУЗы.   При решении задач возможна как групповая форма  так и индивидуальная работа с учащимися, работа в парах. В   данном   разделе   программы   рассматриваются   задачи,   имеющие прикладную   направленность.   Задачи,   предлагаемые   на   уроках   физики   на совершении   работы,   на   уроках   химии   на   смеси,   сплавы,   концентрацию   и процентное   содержание.   При   решении   экономических   задач   можно рассмотреть   практические   задачи   на   доходность,   цепные   вклады.   Для повышения   познавательного   интереса   учащимся   можно   предложить самостоятельно сделать предметную подборку задач, провести деловую игру: 2 «Что значит жить на проценты?». Завершить изучение раздела «Прикладные задачи» и    курс в целом итоговым тестированием.  По итогам изучения курса   у учащиеся должны быть сформированы навыки   практического   применения   процентов   в   окружающем   мире. Школьники   готовят   проекты,   связанные   с   различными   областями жизнедеятельности. Ожидаемые результаты Учащиеся должны знать: ­ что такое процент; ­ алгоритм решения задач на проценты составлением уравнений; ­ формулы начисления «сложных процентов» и процентного роста; ­ что такое концентрация, процентная концентрация. Учащиеся должны уметь: ­ решать типовые задачи на проценты; ­  применять   алгоритм  решения  задач  составлением   уравнений     к   решению более сложных задач; ­   использовать   формулы   начисления   «сложных   процентов»   и   простого процентного роста при решении задач; ­решать задачи на сплавы, смеси, растворы.                        3 Содержание   1.Вводный тест по теме «Проценты»..........................................................................................5  2. Решение задач на применение основных понятий о процентах.............................................6 3. Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", “процентный  раствор"...........................................................................................................................................9 4. Прикладные задачи. Задачи с химическим и физическим содержанием............................11  1.Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра.  Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления  вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?..................................................................14 5.    Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения............................15 6. Решение задач с использованием формулы «сложных процентов».....................................16 7. Тестовые задания на проценты...............................................................................................19 8. Тестовые задания для самостоятельного решения...............................................................22  9. Сложные задачи на проценты.................................................................................................27 4 1.Вводный тест по теме «Проценты»   1. Найдите 25% от 56.                 А) 14         В) 22,04         С) 20         Д) 25       Е) 10 2.Найдите число, если 1% его равен 75.                А) 0,75         В) 7,5         С) 7500         Д) 750    Е) 75    3.   Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в   27 кг клубники?   А) 1,82 кг         В) 1,62 кг      С) 2,24 кг         Д) 2,42 кг   Е) 1,6кг           4.  Книга стоила 25 тенге. После повышения цены она стоит 30,25 тенге.                     На  сколько  процентов возросла стоимость книги?  А) на 21%         В) на 20%       С) на 24%    Д) на 25%   Е)на 18%           5.  Найдите число, 34% которого равны 170.    А) 57,8         В) 50         С) 56,5         Д) 510    Е) 500         6.   На   математической   олимпиаде   32%   участников   получили   грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?    А) 932         В) 1300         С) 133,1         Д) 1340    Е)134          7. Надо  вспахать  участок   поля  в 500  га.  В  первый  день   вспахали  150  га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?    А) 330%         В) 30%         С) 125%         Д) 45%   Е) 115%              8. Число   уменьшили   на   20%.   На   сколько   процентов   надо   увеличить полученное число, чтобы получить данное число?      А) на 20%       В) на 40%      С) на 25%   Д) на 30%   Е)на 50%           9. Число   56   составляет   80%   от   некоторого   числа.   Найдите   среднее арифметическое этих чисел.     А) 63         В) 44,8         С) 126         Д) 56      Е) 76          10.   Сторону   квадрата   уменьшили   на   20%.   На   сколько   процентов   уменьшилась его площадь? 5 А) на 20%         В) на 30%     С) на 10%      Д) на 40%     Е)на 36%                 №пп 1 ответ А 2 С 3 В 4 А 5 Е 6 В 7 В 8 С 9 А 10 Е  2. Решение задач на применение основных понятий о процентах. Сотая часть метра ­ это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть  центнера ­ килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в  тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное  название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а  один сантиметр – один процент от одного метра.  Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими  знаками один процент записывается так: 1%.  Определение одного процента можно записать равенством:  1 %  =  0,01 * а   5%=0,05,  23%=0,23, 130%=1,3  и т. д  Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на  100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы  найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти  5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.  Пример. Найти: 25% от 120.  Решение: 1) 25% = 0,25; 2) 120 . 0,25 = 30.  Ответ: 30.   Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно  проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на  эту десятичную дробь  Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более  прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько  процентов повысилась производительность труда токаря?  Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов  составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть  составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40.  Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ:  производительность труда токаря повысилась на 25%. 6 Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет  от  другого, нужно разделить первое число на второе и полученную  дробь записать в виде процентов.   Пример.  При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66  автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план? Решение:        ­ такую часть составляют изготовленные автомобили от  количества автомобилей по плану.   Запишем в процентах   =110% Ответ: 110% Примеры: 1.На сколько процентов 10 больше 6?       2. На сколько процентов 6 меньше 10?              Решение: 1. ((10 ­ 6).100%)/6 = 66 2/3 % 2. ((10 ­ 6).100%)/10 = 40% Ответ: 66 2/3 %,  40 %. 2.  Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава  составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди? Решение:  1)       6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава. 2)       = 85%     сплава составляет медь. Ответ. 85%. 3.Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом  понизить на 25%? Решение:  Пусть цена товара х , тогда после повышения товар стоит 125%  прежней цены, т.е.   1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость  составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х,  тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х ­ 0,9375х = 0,0625х ;           0,0625х/х . 100% = 6,25% Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.   Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо  отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить  (а/в)*100%.  Пример.  Найти число, если 15% его равны 30. Решение: 7 1) 15% = 0,15; 2) 30 : 0,15 = 200. или:   х ­ данное число;    0,15.х = 300;     х = 200. Ответ: 200.  1.  Из хлопка­сырца  получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка­ сырца, чтобы получить 480кг волокна.? Решение.  Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о  нахождении числа по известной ему части (дроби).  480 : 0,24= 2000 кг = 2 т Ответ: 2 т  2. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если  при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается  10% массы обработанных  грибов? Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1  кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных  грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг Ответ: 20 кг  3. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько  получится сухих грибов из 22 кг свежих? Решение: 1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) ­ грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого  вещества) 2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) ­ сухих грибов, получаемых из свежих (количество  сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в  грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).             Ответ: 2,5 кг.  Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо  выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов   разделить на эту дробь.                                  Задания для самостоятельного решения. 1.  Найти 14% от 84. 2. Найти число, если 12% его составляют 9,03. 3. Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал стоить 57 руб. На сколько процентов снижена цена? 8 4. При продаже товара за 1548 руб. получено 20% прибыли. Определить себестоимость товара. 5. Свежие фрукты содержали 72%, а сухие ­ 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих? 6. Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было 40% меди? 7. имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%? 8. Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%­ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%­ный раствор? 9. Сбербанк   начисляет   по   вкладам   ежегодно   110%.   Вкладчик   внес   в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года? 10. Площадь   прямоугольника   равна   100   см2.   Одна   сторона прямоугольника уменьшилась на 16,4%, вторая увеличилась на 25%. Найти площадь нового прямоугольника. 3. Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", “процентный раствор".  Процентное содержание. Процентный раствор. Пример.  Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание  соли 15%.              Решение.        10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.              Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда  называют %­м раствором, например, 15%­й раствор соли.  Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное  содержание олова и цинка в сплаве?  Решение: Процентное содержание вещества в сплаве ­ это часть, которую  составляет вес данного вещества от веса всего сплава.  1) 10 + 15 = 25 (кг) ­ сплав; 2) 10/25 . 100% = 40% ­ процентное содержание олова в сплаве; 9 3) 15/25 . 100% = 60% ­ процентное содержание цинка в сплаве; Ответ: 40%, 60%.   Концентрация. Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы  всего соединения.  Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает,  что чистого серебра в сплаве 261 г.  Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).  В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.  Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему  смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.  Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.  Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация  находится по формуле:      К=р/100%  к ­ концентрация вещества;    р ­ процентное содержание вещества (в процентах).  Пример.  Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом  20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого,  чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?  Решение:   Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава.  Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится  0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в  (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим  уравнение:  8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);          х = 13 1/3.  Ответ:    13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы  получить сплав, содержащий 32% серебра.  Пример.  К 15 л 10%­ного раствора соли добавили 5%­ный раствор соли и  получили 8%­ный раствор. Какое количество литров 5%­ного раствора  добавили?              Решение. Пусть добавили х л 5%­ного раствора соли. Тогда нового  раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л  10 10%­ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%­ного раствора  содержится 0,05х (л) соли.  Составим уравнение. 1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х); х = 10.            Ответ: добавили 10 л 5%­ного раствора                          Задания для самостоятельного решения. 1.На складе было 500 головок сыра. Мыши съели 7% сыра, а крысы 60% того  количества сыра, которое съели мыши. Сколько убытков в деньгах понес  хозяин сыра, если одна головка сыра стоит140 тенге?     (7840т) 2. Дельфинам на день Нептуна дали задание найти 50 сундуков с  драгоценностями. Утром они нашли 16 % всех сундуков , днем еще 48% всех  сундуков. Сколько еще сундуков осталось найти дельфинам?       (18с) 3.Кощей поспорил с бабой Ягой, что просидит в печке 200 минут, а просидел  68% этого времени. Сколько минут просидел Кощей в печке?        (136мин) 4. В первую неделю работы в пещере  7гномов нашли 16 кг золота, а во вторую – 25%от  найденного первый раз. Сколько  килограмм золота в пещере, если за две недели они нашли  всего количества?            (55кг) 4 11 5.Дядя Митя купил новый шампунь. После того, как он им помылся, от его  прежних волосинок осталось 37%.Сколько волосинок исчезли с головы дяди  Мити?                                                                                                     (284шт) 4. Прикладные задачи. Задачи с химическим и физическим содержанием.  1. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу, сумма,  имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число  процентов. Вкладчик положил 1 января 1000 тенге и в течение 2 лет не  производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им  сумма увеличилась до 1210 тенге. На сколько процентов ежегодно  увеличивалась сумма денег, положенная на этот вклад? Решение. Используя формулу увеличения положительного число на p%,  получим, что через год сумма вклада составит 1000*(1+0,01р), а через два  года  1000*(1+0,01р)2=1210, т.е. (1+0,01р)2=1,21,    1+0,01р=1,1,       0,01р=0,1,  откуда р=10% 11 Ответ: сумма ежегодно увеличивалась  на 10%. 2. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за увеличением  прибыли он повысил цену на билеты на 25%. Количество посетителей резко  уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной  цене билетов. На сколько процентов,  владелец дискотеки снизил новую цену  билетов, чтобы она стала равна первоначальной? Решение. Пусть цена билета была А. После повышения на 25% цена стала  1,25А, после понижения  цена билета стала р*1,25А. Т.к. цена билета  вернулась к первоначальной, то получим  р*1,25А=А, откуда р=1/1,25 = 0,8,  что означает, что новая цена составляет 80% цены после повышения., значит  владелец дискотеки  снизил цену на 20%. Ответ: 20% 3. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов,  необходимо  теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его  первоначального уровня? Решение. Пусть А количество продукции, выпускаемое предприятием, 0,8А­ количество продукции, которое стало выпускать предприятия после  уменьшения на 20%. Из условия задачи следует уравнение р*0,8А=А, где р – коэффициент увеличения, откуда р=1/0,8=1,25, что означает, что необходимо  увеличить выпуск продукции на 25%. Ответ: 25% 4. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора,  содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в  получившемся растворе? Решение. 1) 0,8*120=96(г)­соли в первоначальном растворе; 2) 480*0,2=96(г) соли во втором  растворе; 3) ((96+96)/(120+480))*100%=32%­процентное содержание соли в  получившемся растворе. Ответ: 32% 5. За год стипендия студента увеличилась на 32%. В первом полугодии  стипендия увеличилась на 10%. Определить, на сколько процентов  увеличилась стипендия во втором полугодии? Решение.  Пусть А­ первоначальный размер стипендии, 1,1А – размер  стипендии после повышения в 1 полугодии, р*1,1А­ размер стипендии после  увеличения во 2 полугодии, где р­ коэффициент увеличения. Так во 2  полугодии, где р­ коэффициент увеличения. Так как за год стипендия  увеличилась на 32%, получим уравнение р*1,1А=1,32А, р=132/110=1,2, что  12 означает , что стипендия во 2 полугодии составляет  120% стипендии 1  полугодия., т.е. стипендия во 2 полугодии увеличилась на 20% Ответ:  на 20%. 6. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г  золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого  слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором  оказалось 84 % золота. Определить массу ( в граммах) куска, взятого от  первого слитка. Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках. 1)  230+20=250(г)­масса 1 слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание  золота в 1 слитке. 2) 240+60=300(г) –масса 2 слитка, 240/300=0,8 (80%)­  процентное содержание золота во 2 слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1  слитка, (300­х)­ масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение  0,92х+0,8(300­х)=0,84*300, откуда х=100 Ответ: 100г. 7. Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210 г  серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава,  сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82 % серебра.  Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве? Решение. Пусть х г серебра содержится в 1 сплаве., тогда 70/(х+70)­какую  часть 1 сплава составляет медь, 90/(210+90)­такую часть составляет медь во 2 сплаве., кусок второго сплава 300­225=75г, тогда получаем уравнение. 225*(70/(х+70))+75*(90/300)=(1­0,82)*300, откуда х=430г Ответ: 430г. 8. В колбе было 200 г 80% ­го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое  количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы  получить 60% ­ ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?. Решение. 200*0,8=160(г)­масса чистого спирта в колбе, их колбы отлили х г  раствора, осталось (200­х)г раствора, в котором чистого спирта 0,8*(200­х).  Когда к раствору добавили х г воды, то масса раствора снова стала 200 г, а  концентрация [(0,8*(200­х))/200]*100%=60%, откуда х=50(г). Ответ: провизор добавил 50г воды. 9.В колбе было 800 г 80% ­ного спирта. Провизор отлил из колбы 200 г этого  спирта и добавил в нее 200 г воды. Определить концентрацию ( в процентах)  полученного спирта. 13 Решение. После того, как провизор отлил 200 г раствора, стало 600г, в  котором чистого спирта 0,8*600=480г, когда добавили200г воды, то раствор  снова 800г, а концентрация чистого спирта в растворе (480/800)*100%=60% Ответ: 60% 10.Численность населения в городе Т. в течение двух лет возрастала на 2  процента ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек.  Сколько жителей было в Т. первоначально? Решение. А­ первоначальное количество жителей Т. Используя формулу  коэффициента увеличения, получаем А(1+0,02)2=А+11312, откуда А=280000 Ответ:  280000 чел 11.Из сосуда, доверху наполненного 94% ­м раствором кислоты, отлили 1,5 л  жидкости и долили 1,5 л 70% ­го раствора этой же кислоты. После этого в  сосуде получился 86% раствор кислоты. Сколько л раствора вмещает сосуд? Решение. Пусть х л вмещает сосуд, тогда из условий задачи следует уравнение 0,94(х­1,5)+0,7*1,5=0,86х, откуда х=4,5 л. Ответ: 4,5 л 12.Денежный вклад в банк за год увеличивается на 11 %. Вкладчик внес в  банк 7000 тенге. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и  продлить срок действия договора еще на год, чтобы в конце второго года  иметь на счету не менее 10000 тенге. Какую наименьшую сумму необходимо  дополнительно положить на счет по окончании первого года, чтобы при той  же процентной ставке (11 %) реализовать этот план? (Ответ округлите до  целых.) Решение. 1,11* 7000=7770тенге­будет на счете в конце 1 года. Пусть х тенге  положили дополнительно на счет, из условия задачи получаем неравенство  1,11(7770+х)> 10000, получим х>1239, 1/111, что означает, чтобы на счету  было не менее 10000 тенге, нужно положить не менее12 40тенге.  Ответ: 1240 тенге.                    Задания для самостоятельного решения.    1.Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20%  серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы  после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? 2.Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова? 14 3.Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди.   Сколько   нужно   взять   первого   и   второго   сплавов,   чтобы   после   их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?      4.Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра? 5.Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу   чистого   золота   нужно   взять   для   получения   80   кг   нового   сплава, содержащего 50% золота? 6.Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа. 7.Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу   чистого   свинца   нужно   взять   для   получения   40   кг   нового   сплава, содержащего 10% олова?   5.             Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения. Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует  умножить  число а на коэффициент увеличения  к=(1+0,01р).  Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует  умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1­0,01р).  Пример.  Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной  13125 тенге. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?              Решение. Если а (тенге) – размер первоначального вклада, то в конце  первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада  составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.             Ответ: 8400 тенге. Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с  январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов  мартовская цена изменилась  по сравнению с январской?  Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна  15 (1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1­0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75  1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 – 100=84­100= ­16(%), т.е. цена упала на 16 %              Ответ: цена упала на 16%. Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у  отличается от положительного числа а , следует  вычислить,  сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.  6. Решение задач с использованием формулы «сложных процентов». Проценты, начисленные на величины, полученные в результате  начисления процентов, называются сложными.  Пусть некоторая переменная величина А в начальный момент имеет  значение А0, когда она увеличилась на р%, то стала равна А1;. Найдём  это значение. А0 ­ 100% А0 : А1 = 100: (100 + р)  А1 ­ (100 + р)% А1 = А0 (1+р/100) Если же величина несколько раз изменилась на одно и тоже число %, то её  значение вычисляется через n изменений по формуле “сложных процентов”. А1 = А0 (1+р/100)n  Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит  так: Аn = А0 (1+р1/100) (1+р2/100)…. (1+рn/100) Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит  так: An=A0(1+p1/100)(1+p2/100)…(1+pn/100) Примеры задач, решаемых по этой формуле: 16 1)Зарплату рабочему повысить сначала на 10% , а через год еще на 20%. На  сколько процентов повысилась зарплата рабочего по сравнению с  первоначальной? Решение. Т.к. здесь проценты находятся от величины , полученной от начисления  процентов, то можно применить формулу сложных процентов: Пусть A0=1, то A2=1*(1+1,1)(1+0,2)=1,32 или A2=1*(1­X/100) (100­X)/100=1,32 ; 100­X=132 X=32% Ответ : на 32% 2) Цену на товар снизили на 10%, а через месяц повысили на 10%. Дороже или дешевле стал товар по сравнению с начальной ценой? Решение Пусть х ­ цена начальная , то, применяя формулу сложных %,имеем:  А2=Х(1­0,1)(1+0,1)=0,9*1,1Х=0,99Х 0,99/х*100%=99%, т.е. дешевле на 1%. 3) Саша за весну похудел на 20%, за лето поправился на 30%, за осень похудел на 20%, за зиму поправился на 10%. Как изменился его вес? Решение Если задачу решать обычным путем – с помощью уравнения, то решение будет  очень длинным. Применяем формулу сложных %: Пусть А 0=1, то А4=1(1­0,2)(1+0,3)(1­0,2)(1+0,1) или А4=1(1­х/100) А4=0,9152 и уравнение : 100­х=0,9152*100 Х=8,48% 17 Ответом: похудел на 8,48%. 4) Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5%, по сравнению с полуднем. Сколько процентов от  утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько  процентов она снизилась? Решение: По формуле сложных процентов получаем уравнение : (100­X)/100=1*(1­0,12)(1­0,05) 100­X=0,088*0,95*100 100­X=83,6 X=16,4 Ответ: снизилась на 16,4%, составляет 83,6% 5) В сберкассу положили положить в начале года а тенге  под 3% годовых.  Сколько тенге будет положено через N лет? An =a*(1+0,03) 6) Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 4 раза. На сколько  процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по  сравнению с предыдущим годом? Решение: Пусть X­искомое число процентов, тогда (1+(x/100))4=4 из уравнения x=41% 7) За 3 года население города увеличилось с 2000000 до 2315250 человек.  Найти средний годовой процент прироста населения. Решение: Применив формулу “Сложных процентов”, получаем: Решение: 18 2315250 = 2000000 (1 + Р/100)3 из уравнения имеем: Р = 100 (3√(2315250/2000000) ­ 1) P=5% Ответ: Р=5% 8. Деньги, вложенные в акции фирмы, приносят ежемесячно 20% дохода. За сколько месяцев вложенная сумма удвоился? Решение  Аn = 1*(1+0.2)n 1.2n = 2 n = 4 Ответ: За 4 месяца. 9 В автоинспекции города подсчитали, что число легковых автомобилей  увеличилось за последние годы на 15% ежегодно. Во сколько раз  увеличилось число автомобилей за 5 лет.  Решение А 5 = 1*(1+0.15)5 А5 = 1.155 Т.е. примерно в два раза. Ответ: в 2 раза. 7.  Тестовые задания на проценты. Задача 1.Товар стоил тысячу тенге. Продавец поднял цену на 10%, а через  месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар? 19 Решение.  Пусть товар стоил 1000тенге, после повышения цены на 10% он  стал стоить 1,1*1000 тенге. После понижения этой цены на 10%, он стал  стоить 0,9*1,1*1000=990 тенге. Ответ. 990 тенге.  Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда  грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих  грибов после подсушивания?      Решение.  Так как влажность грибов составляет 99%,  это означает, что на  так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки  влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг  это 0,02 подсушенных  грибов,  1 кг : 0,02=50 кг. Ответ. 50 кг.  Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После  снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка  выросла на 25% .Сколько стал стоить  билет после снижения?        Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А  чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р,  зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны,  выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем  1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит  1,8*12,5/15=1,5 руб. Ответ.  1руб. 50 коп  Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает  шаги  на 10%  короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет  быстрее и почему?        Решение.  Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен  в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда  прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав. Ответ. Второй турист идет быстрее.   Задача 5.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он  дешевле, если цену сразу снизить на 20%?      Решение. Если товар стоил А тенге, после двух понижений он стал стоить  0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить  0,8*А , что дешевле. 20 Ответ. Да.    Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов  надо   уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?        Решение.  Пусть   данная дробь,   новая дробь.  , откуда К=0,6, что  означает, что знаменатель нужно уменьшить на 40% Ответ. 40%   Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за    него 25 тенге за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?        Решение.  Пусть молоко продает магазин по А тенге, тогда после  удержания 20% стоимости товара,  Матроскину остается 0,8*А=25, откуда  А=31, 25 тенге. Ответ. 31,25 тенге.   Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй  покупатель 30%  остатка, а третий ­ 40%  нового остатка. Сколько (в  процентах) полотна осталось непроданным?        Решение. Пусть полотна было р .  Первый купил 0,25р,, осталось (1­0,25)р  полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р – 0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р­0,21р=0,315р,  что составляет 31,5% от р. Ответ.  31,5%  Задача 9.Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га,  а  во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.      Решение.  6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1  дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га  ­ это половина луга, весь луг 20 га Ответ. 20 га          Задача 10.Как изменится в процентах площадь  прямоугольника,  если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?        Решение.  АВ­ площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ  – площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного. Ответ. Уменьшится  на 9% 21 Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет   80%  от  числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке  от числа мальчиков? Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков  А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков Ответ. 125%    Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько  процентов  вследствие этого увеличится  время, необходимое для заполнения бассейна  Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при  притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е.  стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна  до засорения, т.е. время увеличилось на 150%  Ответ.  150% Задача 13.  5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами  20%­ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой  воды. Какой  жирности  получилась смесь?      Решение.  0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5% Ответ. 25,5%  8. Тестовые задания для самостоятельного решения.    1.     В штате гаража числится 54 шофера. Найдите количество свободных  дней, которые может иметь каждый шофер в месяц (30 дней), если  ежедневно 25% автомашин, из имеющихся 60, остаются в гараже для  профилактического ремонта A) 3 дня B) 6 дней C) 2 дня D) 5 дней E) 4 дня 2.    12,5% от числа составляет 10. Чему равно это число A) 70 B) 100 C) 80 D) 85 22 E) 75 3.    Морская вода содержит по весу 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составляло 2%? A) 120 кг B) 130 кг C) 121 кг D) 122 кг E) 123 кг 4.    Хранившееся на складе зерно имело влажность 20%. После просушивания влажность его стала 15%. При первоначальной влажности на складе было  51 т зерна. После просушивания масса зерна стала равна: A) 50,7 т B) 48 т C) 50 т D) 48,7 т E) 38 т 5.    Сухие фрукты содержат 20% воды, а свежие – 72% воды. Найдите массу  свежих фруктов, чтобы получить 7 кг сухих A) 23,8 кг B) 35 кг C) 25,2 кг D) 19,4 кг E) 20 кг 6. Из молока получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько  нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла? A) 11500 кг B) 12200 кг C) 12500 кг D) 12600 кг E) 12300 кг 7. На начало года в школе было 650 учащихся. За год число учеников в школе  выросло на 4%. На конец года в школе стало: A) 676 B) 813 C) 800 D) 700 E) 910 8. Токарь выточил за смену 36 деталей, что составляет 72% нормы. Норма  составляет: A) 54 B) 500 C) 200 23 D) 50 E) 72 9. Число х увеличили на 15%, получили 34,5. Отсюда следует, что х равно: A) 33 B) 23,5 C) 30 D) 23 E) 3 10. За 1 час станок­автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции  этого станка он стал изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько  процентов повысилась производительность станка? A) 25% B) 20% C) 16% D) 18% E) 15% 11. Сколько процентов составляет 90 от 60? A) 54% B) 66% C) 15% D) 150% E)  % 66 2 3 12. Одна сторона прямоугольника составляет 25% другой стороны.  Определите стороны прямоугольника, если его периметр равен 50 A) 25 и 10 B) 5 и 15 C) 20 и 5 D) 10 и 15 E) 35 и 10  кг меди, тогда в руде содержится меди: 1 2 13. Из 450 кг руды выплавили 67 A) 30,375% B) 25% C) 66% D) 15% E) 20% 14. В первую поездку автомобиль израсходовал 10% бензина, имеющегося в баке, затем во вторую поездку ­ 25% остатка. После этого в баке осталось на 13 л меньше, чем было первоначально. Первоначально в баке находилось:  A) 67л 24 B) 60л C) 57л  D) 40л  E) 33л 15.   Из   850   учащихся   80%   занимаются   в   спортивных   секциях.   Количество учащихся, не занятых в спортивных секциях, составляет: A) 170 B) 680 C) 108  D) 340  E) 107 16. Сколько процентов составляет 90 от 60? A) 150%      B) 15%   C) 66%      D) 66 %  2 3 E) 54% 17. В штате гаража числится 54 шофера. Найдите количество свободных дней, которые может иметь каждый шофер в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин,   из   имеющихся   60,   остаются   в   гараже   для   профилактического ремонта. A) 4 дня. B) 5 дней. C) 2 дня. D) 6 дней. E) 3 дня. 18.   После   двух   последовательных   снижений   цен   на   одно   и   то   же   число процентов цена фотоаппарата упала с 300 тенге до 192 тенге. На сколько процентов снижалась цена фотоаппарата каждый раз? A) 19 %. B) 22 %. C) 20 %. D) 21 %. E) 24 %. 19. На начало года в школе было 650 учащихся. За год число учеников в  школе выросло на 4%. На конец года в школе стало: A) 676  B) 813;  C) 800  D) 700  Е) 910 25 кг меди, тогда в руде содержится меди: 67 1 2 20. Из 450 кг руды выплавили  A) 15% B) 20% C) 25% D) 66% E) 30,375% 21.   Из   850   учащихся   80%   занимаются   в   спортивных   секциях.   Количество учащихся, не занятых в спортивных секциях, составляет: A) 108 B) 340 C) 107 D) 680  Е) 170 22. В первую поездку автомобиль израсходовал 10% бензина, имеющегося в  баке, затем во вторую поездку ­ 25% остатка. После этого в баке осталось  на 13 л меньше, чем было первоначально. Первоначально в баке находилось: A) 33л B) 57л C) 67л  D)  40л  E)  60л 23. Один раствор содержит 30% (по объему) азотной кислоты, а второй 55%  азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы  получить 100 л 50%­ного раствора азотной кислоты? А)40л;60л. B) 20 л; 80 л. C) 25 л; 75 л. D) 22 л; 78 л. E)30 л; 70 л. 24. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число  процентов цена фотоаппарата упала с 300 тенге до 192 тенге. На сколько  процентов снижалась цена фотоаппарата каждый раз? A) 20 %. B) 24 %. C) 21 %: D) 19 %. E)22 %. 25. Сколько процентов составляет 90 от 60? A) 150% 26 % B)   66 2 3 C) 15% D) 66% E) 54%       9. Сложные задачи на проценты  Задачи этого раздела являются необязательными для всех учащихся, среди   них   есть   действительно   сложные   задачи,   но   есть   и   такие,   в которых   всем   учащимся   разобраться   полезно.   Это   задачи   на   так называемые сложные проценты — проценты начисляемые на процентные деньги.      1. В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 т. за 1 кг. 30 февраля  был принят закон о повышении цен на винтики на 50 % и снижению цен на шпунтики на 50 %. 31 февраля    вновь был  принят закон о снижении цен на винтики на 50 % и повышению цен на шпунтики на 50 %. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешевым в марте?   2. 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?    2)   Число   увеличили   на   10 %,   результат   уменьшили   на   10 %.   Какое получилось   число   —   большее   или   меньшее   первоначального?   На   сколько процентов?  3.    Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?  4.  Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился за лето на 30 %, за осень опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его вес прежним?  Если Женя весил x кг, то после уменьшения веса на 20 % он стал весить 0,8x кг, а после увеличения веса на 30 % – 0,8x∙1,3 кг и т. д., в итоге Женя весил 0,8x∙1,3∙0,8∙1,1 или 0,9152x кг, что меньше x кг. Значит, Женя похудел.          Задания для самостоятельного решения. 1.  Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?  2. Все стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?  3.  Каждую  сторону  квадрата  увеличили  на  20 %. На   сколько  процентов увеличилась его площадь?  27 4. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?  5. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие — уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?  6. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?  7.  Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?  8.    На некотором участке  пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?  1.  Арбуз   массой   20  кг  содержал   99 %   воды.   Когда   он   немного   усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?  На первый взгляд кажется, что масса арбуза мало изменилась, но это на первый взгляд! Масса «сухого вещества» арбуза составляла 100 – 99 = 1 (%). Это 20∙0,01 = 0,2 кг. После усушки его масса составляла уже 100 – 98 = 2 (%). То есть те же самые 0,2 кг составляют 2 % от новой массы арбуза. Найдем эту новую массу: 0,2:0,02 = 10 (кг).      2.  Некий   леспромхоз   решил   вырубить   сосновый   лес,   но   экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза всех успокоил, сказав: «В нашем лесу 99% сосны. После рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев». Какую часть леса может вырубить леспромхоз?  Если   бы   экологи   хорошо   знали   проценты,   то   они   смогли   бы   возразить предприимчивому   директору   леспромхоза,   планирующему   вырубить   как минимум половину леса – это при условии, что вырубать будут только сосны. Если   же   топор   коснется   и   других   деревьев,   то   от   соснового   леса   можно оставить   меньше   половины.   Ведь   удовлетворить   условию   задачи   можно, оставив в лесу 50 деревьев: 49 сосен и 1 березу.  3.  а)   Яблоки,   содержащие   70 %   воды,   потеряли   при   сушке   60 %   своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?  б) Груши, содержащие 65 % воды, потеряли при сушке 50 % своей массы. Сколько процентов воды содержат сушеные груши?  Объясняя решение задачи , воспользуемся следующей иллюстрацией.  28 Вода составляла 70 % массы яблок, 60 из них испарилось, а 10 осталось. Теперь 10 частей воды приходится на 30 частей «сухого вещества» яблок или на 40 частей массы сушеных яблок. Масса воды составляет 10:40 = 0,25, или 25 % массы сушеных яблок?  4. а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10%­й раствор соли?  б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120  г  раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?    5.  В   драмкружке   число   мальчиков   составляет   80 %   от   числа   девочек. Сколько   процентов   составляет   число   девочек   от   числа   мальчиков   в   этом кружке?  I способ. Число мальчиков составляют 80 % от числа девочек (100 %).  Определим, сколько процентов составляют 100 % от 80 % : 100/80 =  100100/80 % = 125 %. II  способ.  Число  мальчиков (m)  составляют 80 %  от числа  девочек  (d), значит, m = 0,8d. Отсюда d = 1,25m, то есть число девочек составляет 125 % от числа мальчиков.  III  способ.   На   10   девочек   приходится   8   мальчиков,   число   девочек составляет 10/8  или 125 %  от числа мальчиков.  6. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход из расчета 150 % от вложенной суммы; в течение полугода — 130 % годовых, в течение трех месяцев — 120 % годовых. Каким образом   за   год   на   условиях   Сбербанка   можно   было   получить   наибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?  На первый взгляд самое выгодное вложение денег на год — под 150 % годовых (через год сумма обратится в 100∙2,5 = 250 тыс. р.). Но это только на первый взгляд! Давайте для сравнения положим деньги на полгода, а через полгода   получим   их   обратно   с   доходом   130:2   =   = 65 (%) от вложенной суммы. Затем все полученные деньги положим еще на полгода. Таким образом через год мы получим:  100∙1,65∙1,65 = 272,25 (тыс. р.). Это   несколько   больше   полученной   ранее   суммы.   Попросите   учащихся провести   расчеты   для   третьего   случая.   Пусть   они   убедятся,   что   знание 29 процентов   может   быть   полезным   при   выборе   более   выгодного   способа вложения денег.  7.  В   спортивной   секции   девочки   составляют   60 %  числа   мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?    Если   число   мальчиков   принять   за   100 %,   то   число   девочек   от   него составляет 60 %, а число всех участников секции 160 % от числа мальчиков. 60 % от 160 % составляет  60100/160  = 37,5 (%). Но понять это решение из­за нагромождения   процентов   нелегко.   Если   же   число   мальчиков   обозначить буквой x, то те же самые действия легче объяснить и понять. Итак, число девочек   равно   0,6x,   а   число   всех   участников   секции   x   +   0,6x   =   1,6x. Определим, сколько процентов от 1,6х составляет число 0,6х:  0,6x100/1,6x = 37,5 (%). 8. В некотором царстве, в некотором государстве пятиклассники стали  изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал  длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли  пятиклассники? Ответ округлите до десятых.   Учебное   время   теперь   составляет  5/640/45  =  20/27  от   прежнего.   Потеря =   20/27  –   составила =  7/27 = 0,2592…, или примерно 25,9 %. 1   9. а) Торговец продал книгу со скидкой 5 % от назначенной цены и получил 14 % прибыли. Сколько процентов прибыли планировал получить торговец при продаже книги?  б)   Торговец   продал   товар,   имевший   небольшой   дефект,   уступив покупателю 30 % от назначенной цены. При этом он имел 16 % убытка. Какой процент прибыли планировал получить торговец при продаже товара?  Рассмотрим решение первой задачи. Пусть торговец планировал продать книгу за a р., тогда он продал ее за (1 – 0,05)a = 0,95a р. Эта сумма составила 100 + 14 = 114 (%) цены, по которой торговец сам купил книгу и которая составляла 0,95а/1,14 = 5/6 а р. Подсчитаем доход, который планировал получить торговец (в процентах):   a: 5/6 a ∙100 = 120 (%). Торговец планировал получить 120 – 100 = 20 % дохода                     Задания для самостоятельного решения.   1.  На  коробке  вермишели написано: «Масса  нетто 500  г  при  влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?  30 2.    Для получения томат­пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных   машинах.   Сколько   томат­пасты,   содержащей   30 %   воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?  3.    Из 40  т  руды выплавили 20  т  металла, содержащего 6 % примесей. Сколько процентов примесей в руде?  4. * Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие — 20 %. Сколько сухих фруктов получится из  40 кг свежих?  5.  До сушки влажность зерна составляла 23 %, а после сушки составила 12 %. Сколько процентов массы теряет зерно при сушке?  6.    Компания  X  выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?  7.  Производительность   труда   повысили   на   25 %.   На   сколько   процентов уменьшится время выполнения задания.   8.  Если   при   повышении   производительности   труда   рабочего   на   10 % повысить его зарплату на 6,7 %, то это позволит снизить расход на оплату труда в расчете на единицу продукции на 3 %. Проверьте это.  9.  Рабочий   повысил   производительность   труда   на   15 %,   а   его   зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?  10.  Купили конфеты и печенье. За 1 кг конфет заплатили на 50 % больше, чем   за   1  кг  печенья,   но   их   купили   на   50 %   меньше,   чем   печенья.   За   что заплатили больше?  11.  Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80 % олова, сплавили с куском олова весом 300  г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.  12.  Имеется   500  г  40 %­го   раствора   кислоты.   Сколько   воды   требуется добавить, чтобы получить 25 %­й раствор кислоты? 13. В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?  14. В автоинспекции города N подсчитали, что число легковых автомобилей увеличивалось в последние годы на 15 % ежегодно. Во сколько раз увеличится число легковых автомобилей за пять лет, если эта тенденция сохранится?  15. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?                                              10. Модель урока. Тема: Решение задач на проценты с помощью уравнений 31 Цель  урока:   Отработка   навыков   по   решению   задач   на   проценты   с помощью уравнений Ход урока: I Актуализация знания  Тест – опрос. Установите истинность (ложность утверждения) 1) Верно ли:                       а) 37% = 0,37                       б) 290% = 2,9                       в) 9% = 0,9 2) Верно ли:                        а) 5% от 400 равно 20                       б) 20% от 300 равно 6                       в) 1% от 1 м равно 10 см 3) Найти число х:                        а) 4% его равны 160; х = 400                        б) 70% его равны 560; х = 800                        в) 17% его равны 68; х = 400 4) Процентное отношение чисел:                        а) 150 к 500 равно 30%                        б) 7 к 10 равно 700%                        в) 137 к 100 равно 137% Таблица ответов: 1 б + а + в – а + 2 б – в + а – 3 б + в + а + 4 б – в + Условные обозначения:                                           + «Истинна»                                          – «Ложь» II Решение задач Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а 32 затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За   сколько   часов   могла   бы   перепечатать   рукопись   каждая   машинистка, работая отдельно? Решение:  Пусть   на   перепечатку   рукописи   первой   машинистке   ч.   На   перепечатку   25%   ч,   тогда   второй   потребуется   требуется   x  12x рукописи первая машинистка затратит   ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи.  часть рукописи, вторая – Первая машинистка перепечатывает за один час  x 4 1 x   часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают     часть 1 x 12 рукописи. На перепечатку   1 x  x 1  12   рукописи им потребуется   3 4 3 4 :    1 x  1  12    x   ч, т.е.  xx 3  x 24    ч. Отсюда получаем уравнение:   12 12 Решив   это   уравнение,   найдем,   что   оно   имеет   два   корня:    xx 3  x 24 12 12  35 x 4        и 1 x 60 . 2 x 4,5 Второй корень не соответствует условию задачи.  Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй – 48 ч. Задача 2. Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч тенге. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч тенге. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?   Решение:  Допустим, что первоначальный вклад составляет   тенге.   Тогда   процент   прибыли   за   год   равен     тысяч .   Сумма   вклада, x 240  x %100 положенного в банк через год, составила  240  тысяч тенге. Этот вклад принес доход, равный   x Всего вкладчик получил 1100 тысяч тенге. 60  x  300  240 x  тысяч тенге, т.е.  300x   тысячам тенге. 33 Получаем уравнение:   x  300    x    240  1100 300 x Решив   его,   найдем,   что   это   уравнение   имеет   два   корня:   200   Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствует 1 x , 2 x .360 условию задачи. Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч тенге и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч тенге и получил доход   в год.  66 % 2 3 Задача   3.   Имелось   два   слитка   меди.   Процент   содержания   меди   в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После   того   как   оба   слитка   сплавили,   получили   слиток,   содержащий   36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг. Решение:   Обозначим   за     массу   первого   слитка   в   кг,   за   y   массу x второго слитка в кг, получим систему уравнений:  4,0 36,0 6 x         12 y 18  y  x x ,0  В результате получим: х=30, у=20. Ответ: 30 кг, 20 кг y 0 Задача   4.   Для   определения   оптимального   режима   снижения   цен социологи предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое,   чтобы   через   полгода   (1   июля)   цены   снова   стали   одинаковыми.   На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые два месяца во втором магазине? Решение: Пусть  I магазин         Февраль  a    ­ стоимость товара,  x а  ­ число процентов. Тогда, 1,0 a  )1,01( a         Март        1,01  a  1,0  a   1,01   2)1,01( a 34 ……………………………………         Июль     6)1,01( a II магазин         Март              Май                Июль      a  01,0 xa  )01,01( x a a  2)01,01( x a  3)01,01( x По   условию   задачи   через   полгода   (1   июля)   цены   снова   стали одинаковые, составляем уравнение:  )1,01( а  Ответ: на 21%. )01,01( х а  6 21х 3 III Задачи для самостоятельной работы Задача 1. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь   от   инфляции   была   обязана   в   начале   каждого   квартала   повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той   зарплате,   которую   он   получил   бы   при   режиме   повышения, предусмотренной договором.   ­ зарплата,   ­ процент повышения зарплаты. Тогда, x Решение: Пусть  По плану         I квартал         а   )03,01( a ……………………………        IV квартал        4)03,01( a Фактически         I полугодие            II полугодие   a  )01,01( x   a  2)01,01( x        По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую   он   получил   бы   при   режиме   повышения,   предусмотренного договором, составляем уравнение:  а Ответ: на 6,09 %. )03,01(  )01,01( х а  4 09,6х 2 35 Задача 2. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось   на   20%.   На   сколько   процентов   возросла   производительность труда этого рабочего? Решение:   Пусть   х работы.   Тогда   работа   будет   выполнена   за   время     ­   производительность   труда,   а   у   ­   весь   объем .   В   результате   роста у х у х .   Соответственно   рост 8,0 производительности труда время на изготовление детали стало равно   , соответственно   производительность   у 8,0: у х ,   или   х 8,0 производительности труда составил:  Ответ: 25%  х х 8,0/ х  %25%100  Задача   3.   Из   жителей   города   одни   говорят   только   на   украинском, другие – только на русском, третьи – на обоих языках. По­украински говорят 85% всех жителей, а по­русски – 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках? Решение:  100%­85%=15% ­ не говорят на украинском; 100%­75%=25% ­ не говорят на русском; 100%­15%­25%=60% ­ говорят на обоих языках. Ответ: 60%                    Задания для самостоятельного решения. 1. Яблоки содержащие  70 % воды,  потеряли при сушке 60% своей массы.  Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?                            ( 25 %) 2. В киоск привезли 400 газет. До обеда продали 30% всех газет . А после  обеда ­  45% всех газет. На сколько больше газет продано после обеда?  (60)     3. Цену товара снизили сначала на 20%, затем новую цену снизили еще на  25%. На сколько всего снизили первоначальную цену товара?            (40%)        4.Арбуз на 98% состоит из воды. Найти массу воды в 5 кг арбуза?      (4,9кг) 5. В растворе содержится 40 % соли. Если добавить 120г. Соли, то в растворе  будет содержаться 70% соли. Найти массу соли в первоначальном растворе.    (48г) 6. Длина прямоугольника 15 см, площадь 90 см . Сколько процентов  2 составляет ширина от длины?                                  ( 40%)                                       36 7. В течении января цена на яблоки возросла на 30% , а в течении февраля –  на 20%. На сколько процентов увеличилась цена на яблоки за два месяца?         (56%) 8. Стороны прямоугольника 6,4см и 2,1 см. периметр квадрата составляет  80% от периметра прямоугольника. Найти сторону квадрата.             (3,4см)     9.За хранение денег в банке вкладчику начисляют проценты. На счет в банке,  который выплачивает 20% годовых, положили 1000 тенге. Сколько будет  денег на счете через три года?                                                      (1728т)                 10. Первое число составляет 80% от второго. Тогда сколько процентов  составляет второе от первого?                                               (125%)                       11. Объем строительных работ увеличился на 80%. На сколько процентов  нужно  увеличить число рабочих, если производительность труда увеличится  на 20%?                                                                                     (50%) 12.Поле вспахивали в течении трех дней. В первый день вспахали 56% всей  площади, во второй  ­ 75% остатка, а в третий – 330га. Какова площадь поля?  (3000га)       13.Один раствор содержит 30% (по объему)азотной кислоты, а второй 55%  азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго растворов, чтобы  получить 100л 50%­ного раствора азотной кислоты?                  ( 20л и 80л)                                                                                                                          37 Используемая литература: 1.  Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. – М.: Экзамен, 2005 2.  Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. – Челябинск, 1996 3.  Усов Н.А. Повторим математику. – Киев, 1994 4.Винокурова Е., Винокуров Н. Экономика в задачах. – М, 1998    5.Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения   письменного   экзамена   по   математике   в   9­м   классе.   –   М.: Просвещение, 1994  6.Макарычев   Ю.Н.   Дополнительные   главы   к   школьному   учебнику.   –   М.: Просвещение, 1996 7.   Математика:   2600   тестов   и   проверочных   заданий   для   школьников   и поступающих в вузы / П.И. Алтынов, Л.И. Звавич, А.И. Медяник и др. – М.: Дрофа, 1999 8.Рельдман   Ф.Г.,   Рудзитис   Г.Е.   Химия   для   9­х   классов   средних общеобразовательных учебных заведений. – М.: Просвещение, 1994 38 9.Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией А.Н. Приленко. – М.: Высшая школа, 1989 10.Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М: Школа­Пресс, 1999 11.Цыпкин   А.Г.,   Пинский   А.Н.   Справочник   по   методам   решения   задач   по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989 12.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1994 39