Поделиться
pril2.ppt
Квадратные уравнения: методы решения.
Учителя математики
МОУ СОШ № г.Каспийск
«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль.
ПЛАН УРОКА
1. Теоретическая разминка.
2. Энциклопедия квадратных уравнений.
3. Думающий колпак.
4. Историческая справка.
5. Копилка ценных мыслей.
6. Домашнее задание.
Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).
3. Перечислите виды квадратных уравнений.
4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример.
5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример.
6. Способы решения полного квадратного уравнения?
Вопросы
теоретической разминки:
подробнее
подробнее
Специальные методы:
1. Метод выделения квадрата двучлена.
2. Метод «переброски» старшего коэффициента.
3. На основании теорем.
Общие методы:
Разложение на множители;
Введение новой переменной;
Графический метод.
ДУМАЮЩИЙ КОЛПАК
Большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей.
УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ
• Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно. • Упражнение повторяют трижды или более раз.
.
Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ Кристиан Вольф.
Кристиан Вольф - знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B0%D0%BD_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84
Сильвестр Джеймс Джозеф – английский математик, который ввел термин «дискриминант».
http://www.persons-info.com/index.php?pid=10965
В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – Михаэль Штифель. Это было настоящее событие в математике.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D1%82%D0%B8%D1%84%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C
Домашнее задание
Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0:
используя формулу дискриминанта – «3»,
двумя способами – «4»,
тремя способами – «5».
Дополнительно.
Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.
Энциклопедия квадратного уравнения
подробнее
РЕШЕНИЕ
НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
в=0
ах2+с=0
с=0
ах2+вх=0
в,с=0
ах2=0
подробнее
подробнее
подробнее
Алгоритм решения
1.Переносим с в правую часть уравнения.
ах2= - с.
2.Делим обе части уравнения на а≠0.
х2= .
3.Если –с/а>0 -два решения:
х1 = и х2 = -
Если <0 - нет решений.
в=0
ах2+с=0
Выносим x за скобки:
х (ах + в) = 0.
2. «Разбиваем» уравнение
на два:
x = 0, ах + в = 0.
3. Два решения:
х = 0 и х = (а≠0).
Алгоритм решения
с=0
ах2+вх=0
1. Делим обе части уравнения на а≠0.
х2 = 0
2. Одно решение: х = 0.
Алгоритм решения
Подведём итог!
в,с=0
ах2=0
Если < 0, то корней нет. | |
Неполные квадратные уравнения:
D < 0
D = 0
D > 0
Корней нет
b = 2k (чётное число)
Теорема Виета
x1 и х2 – корни уравнения
x1 и х2 – корни уравнения
Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.
Пример: х2 - 6х + 5 = 0.
Метод выделения квадрата двучлена.
подробнее
Корни квадратных уравнений
и
связаны соотношениями
и
Пример:
Метод «переброски» старшего коэффициента.
подробнее
2х2 - 9х – 5 = 0.
На основании теорем:
Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а
второй по теореме Виета равен
Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1,
а второй по теореме Виета равен
Примеры:
подробнее
200х2 + 210х + 10 = 0.
Метод разложения на множители
привести квадратное уравнение общего вида к виду
А(х)·В(х)=0,
где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
Цель:
Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.
Способы:
Пример:
подробнее
4х2 + 5х + 1 = 0.
Введение новой переменной.
Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.
Пример:
подробнее
(2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.
Графический метод
Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций
y = f(x), y = g(x)
и найти точки их пересечения;
абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.
Пример:
подробнее
х2 =х+2.
Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.
Метод выделения квадрата двучлена.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.
Метод “переброски” старшего коэффициента
ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0
связаны соотношениями:
Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0.
у2 - 9у - 10 = 0.
Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен
Решите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0.
.
Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен
Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.
Ответ: -1; -0,05
Метод разложения на множители.
Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.
Метод введения новой переменной.
Решите уравнение (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.
№ уравнения | № метода | |
1 | 100x2 + 53x – 153 = 0 | |
2 | 20x2 - 6x = 0 | |
3 | 299x2 + 300x + 1 = 0 | |
4 | 3x2 - 5x + 4 = 0 | |
5 | 7x2 + 8x + 2 = 0 | |
6 | 35x2 – 8 = 0 | |
7 | 4x2 – 4x + 3 = 0 | |
8 | (x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0 | |
9 | 4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0 | |
10 | 12x2 = 0 |
3. в=0
ах2+с=0
2. с=0
ах2+вх=0
1. в,с=0
ах2=0
4. b - нечётное
ах2+bx+с=0
5. b - чётное
ах2+bx+с=0
6. Теорема Виета.
7. Метод выделения квадрата двучлена.
8. Метод «переброски» старшего коэффициента.
9. Т1 или Т2.
10. Метод разложения на множители.
11. Метод введения новой переменной.
№ метода | шифр |
1 | ! |
2 | те |
3 | но |
4 | тик |
5 | нем |
6 | ке |
7 | до |
8 | го |
9 | ма |
10 | по |
11 | эт |
12 | ру |
13 | - |
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Слог | ма | те | ма | тик | нем | но | го | по | эт | ! |
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Слог | ||||||||||
Математик немного поэт. Т. Вейерштрасс
http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/158739/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
