Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Квадратные уравнения:методы решения.
Учителя математики
МОУ СОШ № г.Каспийск

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

С. Коваль.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

ПЛАН УРОКА
1. Теоретическая разминка.
2. Энциклопедия квадратных уравнений.
3. Думающий колпак.
4. Историческая справка.
5. Копилка ценных мыслей.
6. Домашнее задание.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Сформулируйте определение квадратного уравнения.
2. Объясните, в чём заключается смысл ограничения в определении квадратного уравнения (а ≠ 0).
3. Перечислите виды квадратных уравнений.
4. Какое квадратное уравнение называется неполным? Приведите пример.
5. Какое квадратное уравнение называется приведённым? Приведите пример.
6. Способы решения полного квадратного уравнения?
Вопросы
теоретической разминки:
подробнее
подробнее

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Специальные методы:
1. Метод выделения квадрата двучлена.
2. Метод «переброски» старшего коэффициента.
3. На основании теорем.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Общие методы:
Разложение на множители;
Введение новой переменной;
Графический метод.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

ДУМАЮЩИЙ КОЛПАК
Большим и указательным пальцами мягко оттягивают назад и прижимают, массируя, раковины ушей.

УЧЕБНЫЕ ИНСТРУКЦИИ
• Держите голову прямо, чтобы подбородку было удобно. • Упражнение повторяют трижды или более раз.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Впервые ввёл термин «квадратное уравнение» немецкий философ Кристиан Вольф.
Кристиан Вольф - знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B0%D0%BD_%D0%92%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%84

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Сильвестр Джеймс Джозеф – английский математик, который ввел термин «дискриминант».
http://www.persons-info.com/index.php?pid=10965

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – Михаэль Штифель. Это было настоящее событие в математике.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D1%82%D0%B8%D1%84%D0%B5%D0%BB%D1%8C,_%D0%9C%D0%B8%D1%85%D0%B0%D1%8D%D0%BB%D1%8C

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Домашнее задание

Решите уравнение 3х2 + 5х + 2 = 0:

используя формулу дискриминанта – «3»,
двумя способами – «4»,
тремя способами – «5».

Дополнительно.
Решите уравнение (х2-х)2 - 14(х2-х) + 24 = 0 методом введения новой переменной.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Энциклопедия квадратного уравнения
подробнее

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

РЕШЕНИЕ
НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
в=0
ах2+с=0
с=0
ах2+вх=0
в,с=0
ах2=0
подробнее
подробнее
подробнее

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Алгоритм решения
1.Переносим с в правую часть уравнения.
ах2= - с.
2.Делим обе части уравнения на а≠0.
х2= .
3.Если –с/а>0 -два решения:
х1 = и х2 = -

Если <0 - нет решений.
в=0
ах2+с=0

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Выносим x за скобки:
х (ах + в) = 0.
2. «Разбиваем» уравнение
на два:
x = 0, ах + в = 0.
3. Два решения:
х = 0 и х = (а≠0).
Алгоритм решения
с=0
ах2+вх=0

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

1. Делим обе части уравнения на а≠0.
х2 = 0
2. Одно решение: х = 0.
Алгоритм решения
Подведём итог!
в,с=0
ах2=0

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"



		Если < 0, то *корней нет.* Если > 0, то

Неполные квадратные уравнения:

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

D < 0

D = 0
D > 0
Корней нет

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

b = 2k (чётное число)

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Теорема Виета

x1 и х2 – корни уравнения

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Суть метода: привести квадратное уравнение общего вида к неполному квадратному уравнению.

Пример: х2 - 6х + 5 = 0.

Метод выделения квадрата двучлена.
подробнее

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Корни квадратных уравнений
и
связаны соотношениями
и

Пример:
Метод «переброски» старшего коэффициента.
подробнее
2х2 - 9х – 5 = 0.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

На основании теорем:
Если в квадратном уравнении a+b+c=0, то один из корней равен 1, а
второй по теореме Виета равен

Если в квадратном уравнении a+c=b, то один из корней равен -1,
а второй по теореме Виета равен

Примеры:
подробнее
200х2 + 210х + 10 = 0.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Метод разложения на множители
привести квадратное уравнение общего вида к виду
А(х)·В(х)=0,
где А(х) и В(х) – многочлены относительно х.
Цель:
Вынесение общего множителя за скобки;
Использование формул сокращенного умножения;
Способ группировки.
Способы:
Пример:
подробнее
4х2 + 5х + 1 = 0.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Введение новой переменной.
Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример:

подробнее
(2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Графический метод
Для решения уравнения f(x) = g(x) необходимо построить графики функций
y = f(x), y = g(x)
и найти точки их пересечения;
абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.
Пример:
подробнее
х2 =х+2.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Графический метод часто применяют не для нахождения корней уравнения, а для определения их количества.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Метод выделения квадрата двучлена.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

Решим уравнение х2 - 6х + 5 = 0.

х2 - 6х + 5 = 0.
(х -3)2 – 4 = 0.
(х -3)2 = 4.
х – 3 = 2 ; х – 3 = -2.
х = 5, х =1.

Ответ: 5; 1.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Метод “переброски” старшего коэффициента
ax2 + bx + c = 0 и y2+ by + ac = 0

связаны соотношениями:

Решите уравнение 2х2 - 9х – 5 = 0.

у2 - 9у - 10 = 0.
D>0, по теореме, обратной теореме Виета, получаем корни: -1; 10,
далее возвращаемся к корням исходного уравнения: - 0,5; 5.

Ответ: 5; -0,5.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Теорема 1. Если в квадратном уравнении a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а второй по теореме Виета равен

Решите уравнение 137х2 + 20х – 157 = 0.
137х2 + 20х – 157 = 0.
a = 137, b = 20, c = -157.
a + b+ c = 137 + 20 – 157 =0.

x1 = 1, х2= -157/137.

Ответ: 1; -157/137.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Теорема 2. Если в квадратном уравнении a + c = b, то один из корней равен -1, а второй по теореме Виета равен

Решите уравнение 200х2 + 210х + 10 = 0.
200х2 + 210х + 10 = 0.
a = 200, b = 210, c = 10.
a + c = 200 + 10 = 210 = b.

х1 = -1, х2 = -

Ответ: -1; -0,05

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Метод разложения на множители.

Решите уравнение 4х2 + 5х + 1 = 0.
4х2 + 5х + 1 = 0.
4х2 + 4х + х + 1 = 0.
4х(х+1) + (х+1) = 0.
4х(х + 1) = 0.
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла, или когда оба равны нулю.
4х = 0 и х + 1 = 0.
х = 0, х = -1.
Ответ: 0; -1.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

Метод введения новой переменной.

Решите уравнение (2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.
(2х+3)2 = 3(2х+3) – 2.
Пусть: t = 2х + 3.
Произведем замену переменной: t2 = 3t - 2.
t2 -3t + 2 = 0. D > 0.
По теореме, обратной теореме Виета: t1 = 1, t2 = 2.
Произведем обратную замену и вернемся к переменной х, получим следующие корни:
-1; -0,5.
Ответ: -1; -0,5.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

	№ уравнения	№ метода
1	100x2 + 53x – 153 = 0
2	20x2 - 6x = 0
3	299x2 + 300x + 1 = 0
4	3x2 - 5x + 4 = 0
5	7x2 + 8x + 2 = 0
6	35x2 – 8 = 0
7	4x2 – 4x + 3 = 0
8	(x – 8)2 – (3x + 1)2 = 0
9	4(x – 1)2 + 0,5(x – 1) – 1 = 0
10	12x2 = 0

3. в=0
ах2+с=0
2. с=0
ах2+вх=0
1. в,с=0
ах2=0
4. b - нечётное
ах2+bx+с=0
5. b - чётное
ах2+bx+с=0
6. Теорема Виета.
7. Метод выделения квадрата двучлена.
8. Метод «переброски» старшего коэффициента.
9. Т1 или Т2.
10. Метод разложения на множители.
11. Метод введения новой переменной.

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

№ метода	шифр
1	!
2	те
3	но
4	тик
5	нем
6	ке
7	до
8	го
9	ма
10	по
11	эт
12	ру
13	-

Урок алгебры 8 класс "Квадратные уравнения:методы решения"

№ уравнения	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Слог	ма	те	ма	тик	нем	но	го	по	эт	!

№ уравнения	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Слог

Математик немного поэт. Т. Вейерштрасс
http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/158739/%D0%92%D0%B5%D0%B9%D0%B5%D1%80%D1%88%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%81

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

04.01.2020