Урок по геометрии в 10 классепо теме: «Расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение задач»

Занятие по геометрии в 10 классе по теме: «Расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение задач» Учитель математики Матвеенко В.Н.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Определение 1: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между ближайшими точками этих прямых. • Определение2: Расстояние между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. • Определение 3: …называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую. • Определение 4: … называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые. • Определение 5: … называется расстояние между из проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Определение 1: Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между ближайшими точками этих прямых. • Определение2: Расстояние между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. • Определение 3: …называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую. • Определение 4: … называется расстояние между параллельными плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые. • Определение 5: … называется расстояние между из проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. •   • Задача. Основание прямой призмы (АС1) является квадрат со стороной 4. Высота призмы равна 2. Найти расстояние между DA1и CD1.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Решение (определение 3). HA1=ρ(DA1,CD1 )=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Решение (определение 4). OH=ρ(A1D,CD1 )=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Решение (метод объемов). Используют вспомогательную пирамиду, высота которой есть искомое расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Для её нахождения вычисляют объем этой пирамиды двумя способами, и затем находят высоту.

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Решение (определение 3). HA1=ρ(DA1,CD1 )=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Решение (метод ортогонального проектирования). FH=ρ(DA1,CD1)=2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Решение (метод координат). Уравнение плоскости ax+by+cz+d=0, Проходящей через точки A1,B,D. Решаем систему относительно   (A1) a,b,c,d: (B) (D) x – y - z = 0   ρ(DA1,CD1) = 2

Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми. • Решение (определение 3). HA1=ρ(DA1,CD1 )=2

АВС и ADC – равнобедренные, значит, высота является и медианой.       В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4,  а боковое ребро 3. Найдите расстояние от стороны основания до  противоположного бокового ребра.  Построим плоскость, перпендикулярную прямой АС.  Одна из них Спроектируем на плоскость BDN обе прямые. спроектируется в точку: АC в точку N, а прямая BD в прямую BD, т.к. А общий перпендикуляр, т.к. она лежит в плоскости проекции. он параллелен плоскости проекции, спроектируется на нее в натуральную величину. Поэтому расстояние от проекции одной прямой до проекции другой прямой и будет равно длине общего перпендикуляра, т.е искомому расстоянию. Кстати в этой задаче получился именно общий перпендикуляр. NK – искомое расстояние. N 4 K 3 B D 3 A 4 3 4 C

: BN ; 2 ; 2  Из  2 CN  2 2  2 16   BCN  2 BN ;4 ;12 .32 BC 2 4 BN BN BN D 3 5 3 C A N4 2 4 3 2 4 K N D 5 h B 32 x К 3 3-x В BD 2 3 BN BN BN 2  Из DCN   2 FN  2 2 2 BN  2 ;49  ;5  3 высоту  систему  x  2  3 h 2 2  : BN   ;      12    5 Найдем Составим 2 ; 32  2  h x 5  2 х h«–» 69  2 h x 2 2  2 x .5 Подставим во второе уравнение  2 5 DBN . ; 2 h уравнений .  ;697 х х 6 ;79 1х . 3 1 9 1 9 8 2 h ; 9 44h 9 11 3 2h h 2 5 4 ; ; .

3      В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна  3    , а высота 4. Найдите расстояние от бокового ребра до  противолежащей стороны основания.  Построим плоскость, перпендикулярную прямой АС.  АВС и ADC – равнобедренные, значит, высота является и медианой. Одна из них  Спроектируем на плоскость BDN обе прямые. спроектируется в точку: АC в точку N, а прямая BD в прямую BD, т.к. она лежит в плоскости проекции. D K А общий перпендикуляр, т.к. он параллелен плоскости проекции, спроектируется на нее в натуральную величину. Поэтому расстояние от проекции одной прямой до проекции другой прямой и будет равно длине общего перпендикуляра, т.е. искомому расстоянию. A N 33 B 33 C Кстати, в этой задаче получился именно общий перпендикуляр.

Применим и подобие треугольников KBN и OBD. Треугольники подобны по двум углам: угол B – общий, DOB и NKB – прямые. Составим пропорцию сходственных сторон.   Из  sin 60 0  : ; BCN BN BC 3 2  BN  ; BN 33 9 2 . D 4 5 K B A N 33 O 3 9 2 33 600 C ;  DO NK 4 NK DB  NB 5 9 2 9 NK 2 ; ;5:4 NK ;  49  52 18NK 5 Ответ: 6,3NK

О – точка пересечения медиан. Применим свойство медиан: медианы треугольника пересекаются в отношении 2 к 1, считая от вершины BO : ON = 2 : 1. Вся медиана BN – это 3 части. 9 2 NО = : 3 = (это 1 часть) 9  2 BО = : 3 * 2 = 3 (это 2 части) B 3 2 D 4 5 K A N 33 O 3 9 2 33 600 C