• Закрепить изученный теоретический материал на практике, обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах;
• Сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (буквенное) значение, какого – либо элемента;
• Учить умению читать чертеж;
• Учить умению объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде цельного связного рассказа.
• Способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания;
• Развивать навыки исследовательской деятельности (выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов).
• Развивать у учащихся коммуникативные компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского искусства);
• Способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.Презентация к уроку геометрии в 10 классе
«Теорема о трех перпендикулярах,
ее применение при решении задач»
учитель математики муниципального казенного общеобразовательного учреждения
Садовская СОШ №2 Аннинского района Воронежской области
Студеникина Любовь Александровна
ЦЕЛЬ УРОКА
РАЗВИВАЮЩАЯ :
ОБУЧАЮЩАЯ :
• обосновать необходимость теоремы о трех
перпендикулярах
• сформировать видение изученной закономерности в
различных ситуациях: при решении задач на
доказательство или задач, требующих найти
численное (или буквенное значение) какого-либо
элемента .
• учиться умению читать чертеж,
• учить умению объяснять, комментировать
выполняемое упражнение в виде цельного связного
• способствовать развитию общения как метода
рассказа.
научного познания, аналитико-синтетического
мышления, смысловой памяти и произвольного
внимания,
• развитие навыков исследовательской деятельности
(планирование, выдвижение гипотез, анализ,
обобщение).
ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ :
• развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
• способствовать развитию творческой деятельности
учащихся, потребности к самообразованию.
ПЛАН УРОКА
I. Организационный момент.
II.
Проверка домашнего задания.
III. Актуализация знаний.
IY. Применение теории на практике.
Y. Осмысление содержания и
последовательности применения практических
действий при выполнении предстоящих заданий
YI. Самостоятельное выполнение
учащимися заданий под контролем
учителя
YII. Подведение итогов.
YIII. Домашнее задание.
Дерзай !!
!
Denis Diderot
1
7
1
3
1
7
8
4
Екатерина II
ЭПИГРАФ К УРОКУ
«НАЧИНАТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
МОЖНО ПОРАЗНОМУ... Все равно
начало почти всегда оказывается весьма
несовершенной, нередко безуспешной
попыткой. ЕСТЬ ИСТИНЫ, как страны,
НАИБОЛЕЕ УДОБНЫЙ ПУТЬ К
КОТОРЫМ СТАНОВИТСЯ
ИЗВЕСТНЫМ ЛИШЬ ПОСЛЕ ТОГО,
КАК МЫ ИСПРОБУЕМ ВСЕ ПУТИ.
Комуто приходится, рискуя собой, сходить
с проторенной дороги, чтобы указать
другим правильный путь... НА ПУТИ К
ИСТИНЕ МЫ ПОЧТИ ВСЕГДА
ОБРЕЧЕНЫ СОВЕРШАТЬ ОШИБКИ»
(Дени Дидро).
Акцентируем теорию по
теме.
1. Угол между прямыми равен 90˚. Как называются такие
прямые?
Ответ: перпендикулярные.
2. Верно ли утверждение: «прямая называется
перпендикулярной плоскости, если она
перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой
плоскости»
Ответ: да.
3. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой
и плоскости.
Ответ: если пряма перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
4. Как определяется расстояние от точки до
прямой на плоскости?
Ответ: как длина перпендикуляра,
проведённого из точки к данной прямой.
5. По рисунку назовите:
перпендикуляр, основание
перпендикуляра, наклонную к
плоскости α, основание
наклонной и её проекцию на
плоскость α.
6. Сформулируйте теорему о трёх
α
P
D
K
перпендикулярах.
Теорема о трёх
перпендикулярах.
Прямая, проведённая в плоскости через
основание
наклонной перпендикулярно к её проекции
плоскость, перпендикулярна и к самой
на эту
наклонной
через
Обратно: прямая, проведённая в плоскости
основание наклонной перпендикулярно к ней
перпендикулярна и к её проекции.
А
В
А
1
С
α
с
Дано: α , АС – наклонная,
ВС – проекция, ВС с ┴ , АВ ┴ α.
Доказать: АС с.┴
Доказательство.
1.Проведем СА1 с .┴
2.СА1||АВ по теореме.(Теорема:
Если две прямые
перпендикулярны к плоскости,
то они параллельны).
3.Проведем через АВ и СА1
плоскость β.
4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теореме:
«Если прямая перпендикулярна
к двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости,
то она перпендикулярна к этой
плоскости».),с ┴ β, значит,
с АС.
┴
Iспособ (от противного)
S
2
SA
2
ОА
О
2
В
2
2
SO
,
OB
SB
А
С
t
Если
Теорема:
прямая,
проведенная на плоскости через
основание
наклонной,
перпендикулярна ее проекции,
то она перпендикулярна и
самой наклонной.
Доказательство:
Пусть t ┴ ОА. Допустим, что SA не
Получаем: ОА>OB. Между тем ОА
< OB, так как ОА ┴ t по условию.
К данному противоречию нас
привело предположение, что SA
не перпендикулярна прямой t.
Значит, SA┴ t.
перпендикулярна прямой t.
Проведем SB ┴ t, тогда SA> SB.
Из прямоугольных
OB
треугольников SOA и SOB:
SA
SB
OA
SO
2
SO
,
2
/
2
2
2
2
II способ (свойства равнобедренного
треугольника)
S
O
t
N
M
A
MON
Доказательство:
От точки А отложим равные
отрезки: АМ= АN. Точки М и N
соединим с точками O и S. В
ОА есть
одновременно высота и
медиана, этот треугольник
равнобедренный: ОМ = ОN.
Прямоугольные треугольники
OSM и OSN равны (по двум
катетам). Из их равенства
следует, что SM= SN и SA-
медиана равнобедренного
треугольника MSN. Значит, SA
одновременно и высота этого
треугольника, т. е. SA┴MN.
III способ (теорема Пифагора)
Доказательство:
S
На прямой t возьмем
SB2
произвольную точку В и
соединим ее с точками О и S.
Из прямоугольных
треугольников SOB, SOA и
AOB: = SO2+ OB2, SA2 =
=SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2.
Вычтя из первого равенства
второе, получим:SB2 – SA2 =
=OB2 – OA2. Приняв во
внимание третье равенство,
будем иметь: SB2 – SA2 = AB2,
SB2 = SA2 +AB2. Согласно
теореме, обратной теореме
Пифагора, SA┴AB, т. е. t┴SA.
O
B
A
t
IV способ (векторный)Доказательство:
Зададим векторы
S
N
O
A
M
α
SA
.
,
SO
SOOAMN
,
,
OA
MN
SA
MN
SO
Умножим обе части на
MN
OA
SA
MN
Скалярное произведение
двух перпендикулярных
векторов равно нулю:
MN
SA
SA MN
0
Но и не нулевые
SA
векторы, значит,
MN
, прямая оказалась
перпендикулярной
наклонной, что и
требовалось доказать.
Задача № 1
М
В
А
К
Дано:
МВ
АВСК
АВСК –
прямоугольник.
Доказать:
МСК
900
Дано:
,
АВС
С
Доказать:
DCB
900
,
AD
(
ABC
)
прямоуголь
ный
.
Задача № 2
D
A
B
C
Задача № 3
Как определить вид диагонального сечения куба,
проведенного через диагонали параллельных граней?
В1
А1
В
D
1
С1
C
А
D
Ответ: А1ВСD1 - прямоугольник
Задача №4
На изображении куба построить несколько
прямых перпендикулярных диагонали куба.
Задача №154 (Атанасян)
Прямая BD перпендикулярна к плоскости
треугольника АВС. Известно, что BD = 9 см,
АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.
Найдите: а) расстояние от точки D до
прямой АС; б) площадь треугольника
ACD.
ДумайДУ М А Й!!
!
Задача № 158
Через вершину В ромба ABCD проведена
прямая ВМ, перпендикулярная к его
плоскости. Найдите расстояние от точки М
до прямы, содержащих стороны ромба,
если АВ = 25 см, угол BAD равен 60
градусам, ВМ = 12,5 см.
Р Е Ш А Й
!!
!
Задача №161
Луч ВА не лежит в
плоскости
неразвернутого угла
CBD. Докажите, что
если угол АВС равен
углу ABD, причем угол
АВС меньше 90
градусов, то проекцией
луча ВА на плоскость
CBD является
биссектриса угла CBD.
Теорема
о
трех
перпендикуляра х
- это . . .
1. Верно ли, что две прямые, параллельные одной
плоскости, перпендикулярны (две прямые,
перпендикулярные к одной плоскости,
параллельны).
2. Может ли прямая, перпендикулярная к плоскости,
скрещиваться с прямой, лежащей в этой плоскости
(прямая, перпендикулярная к плоскости, быть
параллельна прямой, лежащей в этой плоскости)?
3. Верно ли, что прямая перпендикулярна к
плоскости, если она перпендикулярна к двум
прямым этой плоскости (она перпендикулярна к
двум прямым, параллельным этой плоскости)?
4. Могут ли две скрещивающиеся прямые быть
перпендикулярными к одной плоскости (две
пересекающиеся прямые быть перпендикулярными
к одной плоскости)?
5. Верно ли, что любая из трех взаимно
перпендикулярных прямых
перпендикулярна к плоскости двух
других прямых (две прямые в
пространстве, перпендикулярные к
третьей прямой, параллельны)?
6. Могут ли пересекаться две плоскости,
перпендикулярные к одной прямой
( прямая а и плоскость,
перпендикулярные к одной прямой с)?
7. Верно ли, что длина перпендикуляра
меньше длины наклонной, проведенной
из той же точки (длина перпендикуляра
меньше длины проекции наклонной,
проведенной из той же точки)?
Критерии оценок
7 правильных ответов – «5»
6 правильных ответов – «4»
5 правильных ответов – «3»
4
6
- + -
-
1 2 3
вариант - + -
-
вариант + -
-
I
II
5
7
-
- +
I уровень.(на «3»)
Дано:, АС ┴ ВС, SA = SB = SC =10 см; СМ =5 см –
Найти: SM (расстояние от точки S до плоскости
медиана.
(АВС)).
II уровень ( на «4»)
Дано: ABCD – прямоугольник; АК ┴ (АВС), KD= 6 см,
КВ = = 7 см, КС = 9 см.
Найти: расстояние от точки К до (АВС).
III уровень.( на «5»)
Дано: АВ = 17 см, АС = 15 см, ВС = 8 см, АМ ┴ (АВС),
<А – меньший,
АМ = 20 см.
Найти: МЕ.
Подведение итогов.
D
A
B
C
28
0
.
0
,
62
Дано: AD┴ (АВС),
ВАС
АСВ
Каково взаимное
расположение
прямых СВ и BD ?
Ответ обоснуйте.
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. № 145, 143, 140.
2. Ответить на вопросы пп 19, 20.
3. Дополнительная задача: Через
сторону AD ромба ABCD проведена
плоскость . Найдите расстояние от прямой
α
ВС до плоскости
, если площадь ромба равна 80
,высота – 8 см, а угол между проекцией стороны
CD и прямой AD равен 45 градусов.
α
см2
Дальнейш
их
успехов !!!
СПАСИБО
!
perpendikuliary_prezent.pptx
