Урок по математике на тему "Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии" (9 класс)

Тема. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. (2 часа) Тип урока. Урок формирования новых знаний. Цели урока. 1) Воспитательная цель. Воспитание эмоционально­ценностного отношения к  изучаемому материалу. 2) Развивающая цель. Учить анализировать и выделять главное. 3) Обучающая цель. Научить выводить формулу суммы n первых членов  арифметической прогрессии и применять ее. Ход урока. nb ) известны b 1 =­1,2 и d =3. Найдите 1) Организационный момент. 2) Всесторонняя проверка знаний. 6 человек по карточкам. 1) Зная первые два члена арифметической прогрессии: 5; 11;…, найдите следующие пять  ее членов. 2) В арифметической прогрессии ( 3) Мастерская выполнила в январе 44 заказа, а в каждый следующий месяц увеличивала  производительность труда на11 заказов. Сколько заказов выполнила мастерская в  декабре? 4) Зная формулу n члена арифметической прогрессии ( an 5) Является ли число 44 членом арифметической прогрессии (      Если да, то укажите номер этого члена. 6) Начиная с какого номера n все члены арифметической прогрессии ( заданного числа А? 1a =­12;  d =34; А=141. na ): ­7; ­1,9; 3,2;… na ) будут больше  na ), найдите  8b ;  17b . 1a  и  d . 3  n 2 3 человека у доски (по карточкам). Задача 1. (Способ 1) Определите, является ли заданная последовательность  арифметической прогрессией: 10; 7; 4;1; ­2;… Дано: (            ( Доказать: ( Доказательство. 2a ­ na )­последовательность. na ):10; 7; 4;1; ­2;… na )­арифметическая прогрессия. =…=­3 (   1a = a a a a a 3 4  a 2 4 3 5 na ) ­ арифметическая прогрессия. Задача 2. (Способ 2) Определите, является ли последовательность: 3; 0; ­3; ­6; ­8; …  арифметической прогрессией. Дано: (            ( na )­арифметическая прогрессия? (          Решение. na )­последовательность. na ):3; 0; ­3; ­6; ­8; … a 3 a 4  a 5  2 ­6=  3 )8( 2 ­6 ­5,5 ( na ) ­не является арифметической прогрессией. Задача 3. Найдите значения x , при которых числа  x ­1; 4 x ­3 и  арифметическую прогрессию. 2x +1 образуют конечную  nb )­конечная арифметическая прогрессия. nb ): x ­1; 4 x ­3;  2x +1 Дано: (           ( Найти:  x           Решение. b b n b n    1 2 n  1 )1 2  ( x  x )1  ( 2 4 x ­3= 8 x ­6= x ­1+ 2x +1 2x ­7 x +6=0 x =1; 6 Ответ:  x =1; 6 3) Подготовка учащихся к усвоению нового материала. Со всем классом (устно). 1) Последовательность ( nC ) задана формулой  nC =5n­1. Найдите:  ccc ; ; 3 1 12 2) Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией? 3) Из данных формул выделите формулу n­го члена арифметической прогрессии. a 1 a 1 a 1  )1 )1  )1 na = an an (2 nd  ( nd ( 2 nd    а)  б)  в)  А каким еще способом можно задать n­й член арифметической прогрессии? a (    1 a d ) n n 4) Как найти разность арифметической прогрессии? 5) Работаем с арифметической прогрессией. Выразите через  aa a a ; ; ; 18 12 3 . 349 1a  и  d 6) Выразить данные члены арифметической прогрессии через предыдущий и через  последующий ее члены. aaa ; aa a ; ; ; ; n  1 98 n 4 7        . n  2 Давайте подведем итог повторения. Какие вопросы мы повторили? (Подводят итог  дети). ­ Как найти любой член последовательности по заданной формуле. ­ Определение арифметической прогрессии. ­ Формулу n­го члена арифметической прогрессии и рекуррентную формулу  арифметической прогрессии. ­ Как найти любой член последовательности, зная первый и разность арифметической  прогрессии. ­ Как найти d . 4) Усвоение новых знаний. Запишите тему нашего урока. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. А сейчас стоит перед нами задача. Предлагаю найти сумму первых 100 натуральных чисел: 1; 2; 3; …; 99; 100. Немецкий математик 19 века Карл Фридрих Гаусс додумался до приведенного решения в  возрасте 5 лет. Рассмотрим последовательность ( Через S обозначим сумму ее членов и расположим их вначале в порядке возрастания, а  потом убывания. na ):1; 2; 3; …;98; 99; 100.   S=1+2+3+…+98+99+100 +     S=100+99+98+     2 S=101+101+101+…+101+101+101   2 S=101*100 100  …+3+2+1 101 * 2  5050   S= Задача. Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии. Применим эту идею для произвольной арифметической прогрессии. nS Дано: na )­арифметическая прогрессия. ( Найти:  Решение. na ):  ( nS =    +    ; aaa 3  a a 1 ;...; a  ...  ; 1  nS = a   n a  n a ...    a a a a a a ; ; 1 2 2 1 2 3 2 n n n n n     2 3 2 1 ;... n  1 aa ; n  a n  a 1 nS =(   2  Рассмотрим, чему равна сумма каждой пары членов арифметической прогрессии. a 1 a 1 ... a a a a a a a a a a ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 2 3 1 2 n n n n n n                1 d   a n  a  a a 1  a d d a 2 n  a     2 Сколько пар таких слагаемых? (n) И каждая пара n слагаемых равна   a a 1 d n a a 1 2 2 3 n n   a n  1  a 1 a n a 1 na . Поэтому: (1)   S n  ( 1 a  *) n n a 2 ­ формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. Когда работает эта формула? (Когда известно Проблемная задача. ;1 naa n ; ). 1a  и разность арифметической А если известно первый член арифметической прогрессии  прогрессии  d , сможем ли мы найти сумму n первых членов арифметической прогрессии? an  nd )1 a 1  ( ( a 1  a 1 S n  nd (  ))1 * n  2 (2)    nS = a 2 1  прогрессии.  )1 nd ( 2 * n ­ формула суммы n первых членов арифметической  2 1 a 5) Проверка понимания учащимися нового материала. Задача 1. Найти сумму 20 первых членов арифметической прогрессии (                    Дано: (              Найти:               Решение. na ) ­арифметическая прогрессия. 1 a 20S 20 a 20 a 48 48 ;  ;  2 . . na ), если       20S = ( a  1 2(        20S = 20*) a 20 2 20*)48 2  500 20S =500      Ответ:        Задача 2. Найдите сумму 12 членов арифметической прогрессии (       Дано: (                  (        Найти:  na ) ­арифметическая прогрессия. na ): 4; 6; 8;… 12S                Решение. na ): 4; 6; 8;… 4 1 a  S 12 S 12   d =  2 a 6 ;  11 2 1 a d 2  4*2( 12*)22 2 12* a  2 a 1 =2  180 Ответ:  12S =180 6) Закрепление нового материала.       № 370 а)      Дано: (                  (      Найти:                     Решение.        na ) ­арифметическая прогрессия. na ): ­23; ­20; … 8S 8S =       a 1 2 1  a 2 ;  23 7 d * n a 2 20    d =  a  2 a 1 =­20+23=3       S 8 (*2  3*7)23  2 8*  100 8S =­100       Ответ:        № 372 (а; б)    а) Дано:          (                   Найти:                    Решение.          X n  x n * n 1  x 2 nX )­арифметическая прогрессия. nX = 4n+2 50S                   50x =4*50+2=202;  50*)  ( x 1 S 50  1x  = 4+2=6 S 50  ;      x 50 2 6(  50*)202 2 =5200 nX )­арифметическая прогрессия. Х n 3 50S =5200 2  n 100S          Ответ:     б) Дано:          (                     Найти:                   Решение.  x 100 2  531*2  100 x 1 S 100                                5( x 1 S ( 2 *) 100 ;    *)203 x 100 100 *2 100  3 203  208 50*  10400 100S =10400          Ответ:           № 376          Дано: na )­арифметическая прогрессия.          ( 1 a 10 ;  d =3            15S          Найти:  30                  Решение.  2  2  S            30 30 15S          Ответ:   S =1192 S 14 S 30            1605 ;        30* 14* ;               13 d 2 1 a 413 2 1 a 29   S S d S 15 30 14 30 14  10*2( 10*2(   14*)3*13 2 30*)3*29 2  413 =1605  1192 7) Информация о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению.   Подведение итога урока. Подведение итога урока. Домашнее задание: № 371; 373; 377.