Векторный метод решения задач

Департамент образования и науки

МБОУ СОШ № 26

Элективный курс

Тема: «Векторный метод решения задач»

Составитель: Лысяк Н.Н. – учитель математики

Классы реализации: 10 класс

Количество часов: 35 часа

Сургут   2019 г.

Пояснительная записка.

В основу данного элективного курса положено учебное пособие «Векторные методы решения задач», И.Кушнир, Москва «Просвещение» 2011 г.

Этот курс рассчитан на учащихся 10-х и 11-х классов в рамках профильной подготовки учащихся.

Векторный метод решения задач практически не затрагивается в школьном курсе геометрии Эти задачи представлены фрагментарно, без всякой типологии, и овладение ими вызывает трудности у учащихся. Это естественно, так как изучается новый язык математики, новая «азбука общения». Данный курс содержит задачи векторного содержания, и именно такие задачи являются прекрасным материалом для изучения векторного языка. Возможности векторов широко иллюстрируются в курсе при решении традиционных задач классической геометрии. С их помощью они иногда имеют более лаконичное решение, чем традиционное. Векторный метод позволяет взглянуть на геометрию совсем под другим углом: увидеть её красоту, её необыкновенность, её многообразие. В курсе решены все векторные задачи  из «Сборника задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией  М.И. Сканави. Кроме этих задач в программу курса включены наиболее «знаменитые» векторные задачи.

Цели курса:

·         расширить возможности учащихся при решении геометрических задач через введение «векторного метода»,

·         развитие логического мышления учащихся,

·         развитие математического языка учащихся через введение новой терминологии,

·         научить разумному применению «векторного» метода при решении задач.

Задачи курса:

• расширить словарный запас учащихся,
• изучить новые теоремы из курса «Векторной геометрии»,
• научить решать геометрические задачи олимпиадного характера.

В основе данного курса лежат обязательные результаты обучения по геометрии  в модуле изучения векторов. Но вместе с тем, данный модуль получает своё дальнейшее развитие в рамках данного курса. С помощью векторного метода учащиеся учатся решать задачи, которые до сих пор решали методами классической геометрии. Учатся анализировать задачи и применять векторный метод при их решении. При реализации курса учащимися рассматриваются совершенно новые теоремы для векторов, отрабатывается умение их применения при решении задач повышенной сложности. Наличие сложных задач по геометрии из модуля «Вектора» всегда отличало вступительные экзаменационные работы  на математические факультеты ведущих ВУЗов страны. Поэтому, умение решать такие задачи, ещё и решение вопроса дальнейшего образования в ВУЗе. Следует отметить, что такие задачи стали предлагаться при проведении ЕГЭ, в группе С.

Следует отметить одну из главных особенностей данного курса. В процессе изучения материала учащиеся должны чётко осознать, что всю геометрию можно изложить с позиции координатно-векторного метода. И тогда мы бы в школе изучали не просто геометрию, а «векторную геометрию». Практически не существует задач, которые нельзя было бы решить координатно-векторным способом.

Весь курс состоит из 15 модулей, и на его изучение отводится 34 часа.  На изучение каждого модуля будет отведено от 1 до 4 часов. Оставшееся время будет отведено на защиту проектов, защиту индивидуальных рефератов. Программой данного курса определена такая последовательность изучения знаний, которая является наиболее «коротким путём» в достижении целей. Эта последовательность, при которой на восстановление забытых или уже утраченных знаний не нужно будет тратить много времени. Изучение новых знаний будет опираться на недавно пройденный или на только восстановленный материал.  Материал  программы распределён во времени с учётом его достаточности для качественного изучения каждого модуля и получения запланированного результата. Время рассчитано на устранение возможных сбоев в программе, при этом используются наиболее эффективные методы обучения – наглядный, словесный, научно-исследовательский, метод работы в группах.

Методика оценивания.

Учащиеся получают оценку при работе в классе за ответы у доски, за индивидуальные домашние работы, за зачёты по блокам тем, за защиту проектов и рефератов по различным темам.

Содержание курса.

М 1: «Основные теоретические сведения».

Сложение векторов по правилу «треугольника» и «параллелограмма». Понятие коллинеарных и компланарных векторов. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.

М 2: «Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарность и компланарностиь векторов».

Доказательство  неравенства    Решение задач на сложение векторов и умножения вектора на число. Задачи на доказательство компланарности. Задача на разложение медиан по двум сторонам треугольника. Задача о перпендикулярных хордах. Задача о биссектрисах двух плоских углов трёхгранного угла. Задача о нахождение суммы длин трёх попарно неколлинеарных векторов.

М 3: «Метод прокола».

Теорема о средней линии трапеции. Задачи на трапецию. Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Задача о сумме квадратов расстояний для квадрата, вписанного в окружность.

М 4: «Метод замкнутого контура».

Метод построения треугольника по его медианам. Задача о замкнутой ломанной и параллельности её звеньев. Задача о сумме сторон прaвильного  n-угольника. Отношение отрезков, лежащих на перпендикулярных скрещивающихся прямых. Задача о гомотетичных четырёхугольниках.

М 5: «Скалярное произведение векторов».

Свойства скалярного произведения векторов. Задача о двух касательных к окружности. Теорема о точке пересечения высот треугольника. Теорема о площади выпуклого четырёхугольника. Задача о сумме квадратов  расстояний от вершин параллелепипеда до произвольной точки пространства.

М 6: «Нахождение расстояний и углов между прямыми».

Задача о расстоянии между скрещивающимися прямыми куба.  Нахождение объёма треугольной призмы. Метод введения вспомогательной системы координат. Медианы в равнобедренном треугольнике.  Нахождение косинуса угла в прямоугольном параллелепипеде. Нахождение косинуса угла в тетраэдре.

М 7: «Некоторые векторные формулы».

Теорема о делении отрезка в данном отношении. Задача о сумме расстояний от середин сторон треугольника до произвольной точки пространства. Разложение произвольного вектора по данным векторам. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника. Теорема о разложении векторов в тетраэдре. Задача о перпендикулярных отрезках в треугольнике.

М 8: «Медианы, центроид в треугольнике и тетраэдре».

Определение о точке центроида  в треугольнике и тетраэдре. Теорема о центроиде треугольника. Теорема об отношении отрезком медиан треугольника. Задача о соотношении суммы длин медиан и сторон треугольника. Задача о треугольнике и его проекции на плоскость. Теорема о связи прямого тетраэдра, его центроида и описанной сфере.

М 9: «Разложение векторов».

Задача о делении отрезка в данном отношении. Теорема о пересечении высот треугольника. Задача о связи длин сторон треугольника с радиусом вписанной окружности. Задача о биссектрисе угла треугольника, вписанного в окружность. Разложение векторов в правильном пятиугольнике.

М 10: «Формула Гамильтона».

Доказательство формулы Гамильтона. Понятие ортоцентра треугольника. Теорема о цнтроиде, ортоцентре и центре вписанной окружности треугольника. Понятие прямой Эйлера, теорема о прямой. Задача о сумме квадратов расстояний от вершин правильного треугольника до произвольной точки плоскости.

М 11: «Вектора и множество точек».

Составление векторного уравнения прямой, проходящей через две точки. Нахождение местоположение точек, заданных формулой.

М 12: «Формула радиус – вектора».

Определение радиус-вектора. Координаты радиус вектора. Задача о делении сторон треугольника в данном отношении. Теорема о пересечении высот треугольника.  Задача о пересечении медиан в тетраэдре. Теорема о высоте тетраэдра.

М 13: «Векторная формула для тетраэдра. Поворот вектора на 90⁰».

Деление сторон тетраэдра в данном отношении. Задача о вписанной сфере для тетраэдра. Разложение векторов в тетраэдре. Свойства поворота на 90⁰. Задача о связи углов и высот в непрямоугольном треугольнике. Задача о связи между вписанной окружностью и внутренними углами правильного многоугольника. Теорема об ортоцентрах четырёхугольника. 

М 14: «Векторно – координатный метод».

Разложение вектора по базисным векторам. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Координаты середины отрезка. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Условие перпендикулярности двух векторов. Уравнение плоскости, перпендикулярной данному вектору. Умножение вектора на число. Задача о нахождение площади треугольника через скалярное произведение векторов.

М 15: «Векторы и неравенства».

Основные векторные неравенства. Задача о сумме косинусов углов в треугольнике. Задача о сумме косинусов двойных углов в треугольнике. Задача о взаимно-перпендикулярных медианах треугольника. Задача о сумме квадратов сторон произвольного треугольника. Задача о связи углов правильной треугольной пирамиды с радиусом описанной около неё сферы. Задача о связи длин рёбер произвольного тетраэдра с радиусом сферы, описанной возле данного тетраэдра

Требования к уровню усвоения учебного материала курса.

Список использованной и рекомендованной литературы.

1. Алексеев В.М., Ушаков Р.П.:  Математика, К., Высшая школа, 2009г.
2. Бевз Г.П.:  Геометрия тетраэдра, К., Рад. шк. 2001г.
3. Болтянский В.Г., Яглом И.М.: Преобразования. Векторы.  М., Просвещение, 2011г.
4. Гельфанд М.Б., Макуха А.С., Ушаков Р.П.:  Математика, К., Высшая школа, 1999г.
5. Герасимова И.С., Гусев В.А., Маслова Г.Г., Скопец З.А., Ягодский М.И.:  Сборник задач по геометрии (10 и 11 классы), М., Просвещение, 2001г.
6.  Крайман И.А.: Решение геометрических задач методом векторов, К., Рад. шк.,  1998г.
7. Кушнир И.А.: Векторы в задачах.  К., Рад. шк., 2011г.
8. Кушнир И.А.: Математика в школе. О применении одной векторной формулы. М., 2002г.
9.  Майоров В.М., Скопец З.А.: Задачник – практикум по векторной алгебре. М., Просвещение, 2004г.
10. Скопец З.А.:  Геометрические миниатюры, М., Просвещение, 2005г.