Всё о скрещивающихся прямых

Скрещивающиеся прямые 1.Определение. Если прямые не лежат в одной плоскости, то они называются скрещивающимися (а . ❑в ) 2.Признак. Если одна прямая лежит в плоскости, а другая её пересекает в точке эти прямые скрещивающиеся(следствие: если две прямые содержат две точки, не лежащие в одной плоскости, то они скрещиваются). не принадлежащей первой прямой, то , 3. Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость , параллельную другой прямой. 4.Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. 5.Теорема.Существует и единственный общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым. Длина этого перпендикуляра – это расстояние между скрещивающимися прямыми. Как построить общий перпендикуляр? Ответ. Через каждую из скрещивающихся прямых проходит плоскость , перпендикулярная другой. Искомый перпендикуляр лежит на прямой пересечения этих плоскостей и является отрезком с концами в точках пересечения прямых с соответствующими плоскостями. Обе плоскости можно не строить. Тогда общий перпендикуляр- это перпендикуляр из точки пересечения одной прямой с плоскостью на другую прямую. АВ- общий перпендикуляр. В а а в А 6.Теорема. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями , в которых лежат прямые (расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки одной прямой до параллельной ей плоскости, в которой лежит другая прямая). 7. !!! Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми без построения общего перпендикуляра? Способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми: метод проекций; метод объёмов; метод координат; векторный метод. Метод проекций:  Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых;  проецируем каждую прямую на эту плоскость;  расстояние между проекциями и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми. Метод объёмов:  построить треугольную пирамиду, в которой опущенная из вершины высота является искомым расстоянием;  найти объём пирамиды двумя способами и выразить высоту. Метод координат: задаём прямоугольную систему координат;   составляем уравнение плоскости параллельной одной прямой, в которой лежит вторая прямая (ax+by+cz+d=0, где n(a,b,c) –вектор нормали);  находим расстояние от какой-нибудь точки второй прямой до плоскости по формуле h=|ax0+by0+cz0+d| . √a2+b2+c2 Векторный метод:  задаём вектор , лежащий на общем перпендикуляре и выражаем его через известные векторы;  пользуясь перпендикулярностью векторов находим координаты заданного вектора , его длина –искомое расстояние. 8. Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым. Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми. 1 способ. Координатный. Нахождения угла между направляющими векторами.  вписываем фигуру в систему координат;  находим координаты векторов; → → ∙b  по формуле cosβ= a →| находим косинус угла. |a →|∙|b 2 способ. С помощью параллельного переноса.  перенос одной из скрещивающихся прямых( или сразу двух) так, p чтобы прямые полученные в результате этого пересеклись. A 3 способ. «В три косинуса». β  p и q скрещивающиеся прямые;  Проведём через q плоскость β, пересекающую прямую p ;  Спроектируем p на плоскость β , получим прямую p1;  cospq=cospp1cosp1q . p1 B d 4 способ. Проецирование обеих прямых на плоскость, перпендикулярную одной из них. d1 . ❑q , βp, p β=A, q β=B, q1=prβq. Н прямой q лежит отрезок d, d1 –его p q проекция, d1=dsin. q1 5 способ. Проецирование одной из скрещивающихся прямых на другую. d p d1=dcos, - угол между прямыми p и q q d 1 6 способ. С помощью замкнутой ломаной. 1) ⃗АВ=⃗АD+⃗DC+⃗CB . Умножим обе части на ⃗DC. AB ∙DCcos=AD∙DCcosα+DC2+CB∙CDcosβ, находим cos , зная все остальное. 2) ⃗АD=⃗АВ + ⃗BC+⃗CD, возводим в квадрат обе части равенства,получим AD2=AB2+BC2+CD2+2AB ∙CDcosφ+2AB∙BCcosα+2CD∙ACcosβ, находим cos , зная все остальное. 7 способ. Координатный. Уравнение прямой в координатной форме z−z0 k , где ( (x0,y0,z0) -координаты фиксированной точки, (x,y,z) –координаты произвольной точки, (m,n,k)- координаты вектора ,параллельного прямой или лежащего на прямой(направляющего вектора) x−x0 m = y−y0 n =  Составляем уравнения прямых;  Находим направляющие векторы;  Находим угол между ними.