Введение понятия функции в средней школе

Введение понятия функции в средней школе

Понятие функции является одним из важнейших понятий в средней школе. Как правило, определение функции дается в седьмом классе, а затем это понятие уточняется на протяжении всего курса школьной математики до одиннадцатого класса.

В 10 классе подводится итог знаний о функции, которые были даны прежде. Рассматриваются основные свойства функции, общая схема исследования функции. Вводятся понятия: целая рациональная и дробно-рациональная функции. Вводятся тригонометрические функции, и, наконец, показательные и логарифмические функции. Все эти функции рассматриваются только как функции одной переменной, причем сами переменные не выходят за рамки множества вещественных чисел.

Введение понятия функции - длительный процесс, завершающийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

- упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной линии (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);

- глубокое изучение отдельных функций и их классов;

- расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функцией.

Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной алгебры ранее остальных.

В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции, -- однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.

Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчиненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколькими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраическую форму их выражения.

Однако при введении понятия, сопоставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таблицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего многообразия аспектов понятия функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами.

Использование перевода задания функции из одной формы представления в другую - необходимый методический прием при введении понятия функции.

Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода. Если ограничиться основными способами представления функции - формулой, графиком, таблицей, то получится 6 типов упражнений, при которых форма представления меняется, и 3 - при которых она остается такой же.

Одна из распространенных трудностей, которую приходится преодолевать начинающему знакомиться с понятием функции, связана с заданием функций графиками и формулами. Эта трудность заключается в следующем: как можно говорить об одной и той же функции, в случае когда мы для ее определения пользуемся несколькими произвольными кривыми (график) или несколькими произвольными формулами? Трудность эта является фактически иллюзорной и при правильном ознакомлении с понятием функции, исходящем из наглядных примеров соответствий (между множествами), задаваемых самими различными путями (вообще говоря, без графиков и формул), с ней можно не встретиться совсем.