Зачет по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»

Зачет по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости» Теоретические вопросы 1. Определение перпендикулярности прямой и плоскости 2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 3. Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости 4. Теорема о трех перпендикулярах 5. Определение угла между прямой и плоскостью Задачи 1. В тетраэдре ДАВС АД АС, АД АВ, ДС СВ. А) Докажите, что АД ВС. Б) Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АДС. В) Найдите площадь треугольника ВСА, если ВС= 4, АС = 3. 2. Отрезок АВ пересекает некоторую плоскость в точке О. Прямые АД и ВС,  перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках Д и С соответственно, АД = 6  см, ВС = 2 см, ОС = 1,5 см. Найдите АВ. 3. Отрезок АВ, равный 5 см, не имеет общих точек с плоскостью  перпендикулярные этой плоскости, пересекают ее в точках С и Д соответственно. Найдите  ВД, если СД = 3 см, АС = 17 см, ВД α . Прямые АС и ВД,  4. Прямая СД перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника АВС. СК – его  высота. Докажите, что прямые ДК и АВ взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до плоскости ДКС, если ДА = √2 см, а ДАК = 45˚. 5. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 см, В = 30˚. Прямая ВД перпендикулярна плоскости  треугольника, ВД = 5 см. Найдите расстояние от точки Д до прямой АС и расстояние от  точки В до плоскости АДС. 6. Отрезок АМ является перпендикуляром к плоскости прямоугольника АВСД. Угол  между прямой МС и этой плоскостью равен 30˚, АД = √2, СД = 2. Найдите АМ. 7. В параллелограмме АВСД АВ = 20 см, ВАД = 45˚, ВМ – перпендикуляр к плоскости  АВС. Угол между прямой МА и плоскостью АВС равен 60˚. Найдите расстояние от точки  М до плоскости АВС. 8. Точка О – центр квадрата АВСД. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости АВСД.  Доказать, что отрезки АМ, ВМ и ДМ равны. 9. В треугольнике АВС известно, что АВ = АС = 20 см, ВС = 24 см. Отрезок МА  перпендикулярен плоскости АВС и имеет длину 12 см. Найти расстояние от точки М до  прямой ВС. 10. АВСД – квадрат, ВМ АВС. Найдите отрезок ДМ, если АВ = √12 см, а ВМ = 5 см. 11. Треугольник АВС – прямоугольный, С = 90˚, АС = 8 см, ВС = 6 см. Отрезок СД –  перпендикуляр к плоскости АВС. Найдите СД, если расстояние от точки Д до стороны АВ  равно 5 см. 12. Треугольник МКН равносторонний со стороной, равной 18 см. Точка С удалена от  вершин треугольника МКН на 12 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости МКН. 13. АВСД – квадрат. Точка М удалена от сторон квадрата на 3√2 см. Найдите периметр  квадрата, если точка М удалена от плоскости АВС на √2 см. 14. АВСДА1В1С1Д1 – куб. Найдите расстояние между прямыми АВ1 и ВС, если ребро куба  равно 2√2 см. 15. Отрезок АВ пересекает плоскость  плоскости  см, А1АО = 60˚, А1О : ОВ = 1 : 2. α 1 и ВВ1 перпендикулярны к   в точке О. Прямые АА α 1 и В1 соответственно. Найдите АВ, если А1А = 4   и пересекают ее в точках А 16. Из точки А к плоскости  точки А до плоскости  плоскость  α  относятся как 16 : 9. α  проведены наклонные АВ и АС. Найдите расстояние от  α , если АВ = 20 см, АС = 15 см, а длины проекций АВ и АС на  17. Концы отрезка АВ лежат в двух параллельных плоскостях. Найдите длину отрезка АВ,  если он образует со своей проекцией на одну из данных плоскостей угол 45˚, а расстояние  между данными плоскостями равно 4√2 дм. 18. В треугольнике АВС АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см. Через точку В к плоскости  треугольника проведен перпендикуляр ВД длиной 15 см. Найдите расстояние от точки Д  до прямой АС. 19. Диагонали квадрата АВСД пересекаются в точке О. КО – перпендикуляр к плоскости  квадрата, КО = 4√2 см. Докажите равенство углов, образуемых прямыми КА, КВ, КС и КД  с плоскостью квадрата. Найдите эти углы, если периметр АВСД равен 32 см. 20. Треугольник АСД ­ равносторонний. Точка Х удалена от вершин треугольника АСД на  6 см, а от плоскости треугольника АСД на 3 см. Найдите сторону треугольника АСД.