Задачи на движение по физике. 11 класс

Задачи на движение по физике.

 11 класс

Цель: научить и закрепить навыки в решении задач на движение по уравнению движения.

Задача 1

            Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t³-4t². Найти скорость и ускорение в момент t=5c.(Перемещение измеряется в метрах.)

         Производная от координаты по времени есть скорость, а от скорости по времени – ускорение. v(t) – скорость: a(t) – ускорение; t₀=5.

         V(t) = x´(t) = (t³ - 4t²)´ = 3t² - 8t. V(5) = 3 ·5² -8 ·5 = 75 -40 = 35(м/c)

         A(t) = v´(t) = (3t² -8t)´ = 6t – 8. a(5) = 6 ·5 – 8 = 30 -8 = 22(м/c).

Ответ: 35 м/с; 22 м/с

Задача 2

         Вращение тела вокруг оси совершается по закону Ф(t) = 3t² -4t +2. Найти угловую скорость w(t) в произвольный момент времени t и при t =4c.

( Ф(t) – угол в радианах, w(t)- скорость в радианах в секунду, t- время в секундах)

         Скорость есть производная от расстояния по времени.

         Ф(t)= 3t²- 4t + 2. w(t)= Ф´(t)= (3t² - 4t +2)´ =6t – 4(рад/с);

                       w(4) = 20(рад/с).

Ответ: 20 рад/с

Задача 3

         Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол Ф(t) =4t- 0,3 t².

Найти: а) угловую скорость w(t) вращения маховика в момент времени t = 2с; б)такой момент времени, когда маховик остановится (Ф(t)-угол радианах, t- время в секундах)

         Скорость- производная от расстояния по времени.

         Ф(t)=4t-0,3t². w(t)=(4t-0,3t²)´=4-0,6t

         1)w(2)=4-0,6·2=2,8(рад/с)

         2)Маховик остановится, если w (t)= 0,т. е. 4-0,6t=0, t=4 с

Ответ: 2,8 рад/с; 4 с

Задача 4

         Точка движения прямолинейно по закону X(t)=2t²+t-1.

Найти ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно:

а) 1см/c²;  б)2см/с². Х(t)- перемещение  в метрах, t- время в секундах)

         Ускорение - вторая производная от расстояния по времени, т. е. производная от скорости по времени.

         x(t)=2t³+t-1;V(t)=(2t³+t-1) ´=6t²+1; а(t)=(6t²+1) ´=12t.

         А)а(t)=1см/с², если 12t=1,т. е.t=1/12 c

         Б)а(t)=2см/с², если 12t=2, т. е. t=1/6 с.

Ответ: 1/12 c; 1/6 с.

Задача 5

Точка движется прямолинейно по закону x(t)=-t³/6+3t²-5. (координата  в метрах, t- время в секундах)

Найти: а) момент времени t, когда ускорение точки равно нулю;

           б) скорость движения точки в этот момент.

Скорость - производная от расстояния по времени, а ускорение производная скорости по времени.

         x(t)=-t³/6+3t²-5; v(t)=x ´(t)=-t²/2+6t;  a(t)=v`(t)=-t+6

a)     a(t)=0 при –t+6=0; t=6 с;

b)    v(6)=-6²/2+6·6=-18+36= 18 (м/с).

Ответ: 6 с; 18 м/с

Задача 6

Точка движется прямолинейно по закону х(t)=√t.

Покажите, что ее ускорение пропорционально кубу скорости.

         x(t) = √t; v(t) = x`(t)= ½·t^-½;  v³(t)= (½·t^-½)³= 1/8·t^-³/²

         a(t) = v ´(t) = (½·t^-½) = -¼ · t^-³/².

Таким образом,

         v³(t)/a(t) = 1/8 · t^-³/² : (-¼ · t^-³/²) =1/8 : (-¼) = -½

Вывод: ускорение пропорционально кубу скорости.

Задача 7

         Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону x(t)=2t³-t² при t=2.

         Ускорение – есть производная от скорости по времени.

F=m·a

x(t)=2t³-t²; v(t)=x'(t)=(2t³-t²)'=6t²-2t¸  a(t)=v'(t)=(6t²-2t)'=12t-2

F=m·a=m(12t-2);  при t=2 F=m(12 · 2-2)=22m

Ответ: 22m

Задача 8

         Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t²+t+1. Координата х измеряется в сантиметрах, время t – в секундах.

Найдите:

а) действующую силу; б) кинетическую энергию Е тела через 2 с. после начала движения.

x(t)=t²+t=1;  v(t)=(t²+t+1)`=2t+1  a(t)=(2t+1)´=2(c)

а)F=m·a=2 · 2 (кг · см/с²)= 4(кг · см/с²)=0,004(кг · см/с²)=0,04Н

б)Е=m·v²/2; при    t=2c ; v(2)=2 · 2+1=5

   E=2 · 5²/2 (кг ·см/с² )=0,0025 Дж.

Ответ: 0,04 Н; 0,0025 Дж

Задача 9

Известно, что для любой точки  C  стержня  АВ  длиной 20 см, отстоящей от точки   А  на расстояние  l, масса куска стержня  АС в граммах определяется по формуле  m(l) = 3t² + 5l.

Найдите  линейную плотность стержня: а) в середине отрезка  АВ;  б) в конце В  стержня.

  Линейная плотность стержня  d(l)  есть производная от массы по длине.

m(l) = 3l² + 5l;  d(l) = m´(l) = (3l² + 5l)´ = 6l + 5.

   а) Линейная плотность в середине отрезка  АВ = 20 см: d(10) = 6 · 10 + 5 = 65 (г/см).

   б) Линейная плотность в конце  В  отрезка  АВ: d(20) = 6 · 20 + 5 = 125 (г/см).

Ответ: 65 г/см; 125 г/см

Задача 10

По прямой движутся две материальные точки по законам  x1(t) = 4t² - 3  и  x2(t) = t³.

В каком промежутке времени  скорость первой точки больше скорости второй точки?

   x1(t) = 4t² - 3, значит,  v1(t) = (4t² - 3)  = 8t .

   x2(t) = t³,  значит v2(t) = (t³)´ = 3t².

   Скорость первой точки больше скорости второй точки, поэтому:

   8t > 3t² ,

   3t/22 - 8t < 0 ,

   t · (3t – 8) < 0 ,

   t = 0 или  t =2⅔ .

                                                    0^{*                            *}2²₃                                                      t                                   

Ответ: при t € (0 =2⅔).

Задача11

Из пункта  О  по двум лучам, угол между которыми 60˚, движутся два тела: первое – равномерно со скоростью 5км/ч, которое – по закону s(t) = 2t² + t .

С какой скоростью они удаляются друг от друга? (s измеряется в километрах, t – в секундах.)

                              S₁(t)=S(t)

                  0)   60⁰                      S(t)

                                  S₂(t)=S(t)

   По теореме косинусов:

 s²(t) = (5t)² + (2t² + t)² - 2 · 5t · (2t² + t) · cos60˚

 = 25t² + 4t² +4t³ + +t² - 10t³ - 5t² = 4t⁴ – 6t³ + 21t² ,

т.е. s(t) =t·√4t² -6t + 21, где t > 0.

v(t) = s´(t) =(t · √4t² -6t + 21)´=t ·√4t² -6t + 21 + t · (4t² -6t + 21) ₌  4t²-6t + 21  ₊   t · ( 8t – 6 )

                                                                                     √4t² -6t + 21              1           2√4t² -6t + 21

8t² – 12t +42 + 8t² – 6t   16t² – 18t + 42   8t² – 9t +21

        2√4t² -6t + 21           2√4t² -6t + 21  √4t² -6t + 21  

при t > 0.