Задачи на растворы, смеси и сплавы.

Муниципальное казённое учреждение Управление образования Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа села Удельно – Дуваней муниципального района Благовещенский район Χ  районная конференция исследовательских работ  «Лаборатория  ΧΧΙ  века» Секция: «Математика» Задачи на растворы, смеси и сплавы. Автор: Бабичев Ринат Финатович 8 класс МОБУ СОШ села Удельно – Дуваней Руководитель: Султангареева Анна Васильевна Почётный работник общего образования РФ учитель математики и физики  МОБУ СОШ села Удельно – Дуваней Благовещенск 2013 1 Оглавление 1. 2. 3. 4. 5. Введение Задачи на растворы, смеси и сплавы 2.1. Теоретические основы решения задач на смеси,  сплавы, растворы 2.2. Способы решения задач на растворы,  сплавы и  смеси 2.3. Решение задач на растворы, смеси и сплавы Заключение Список источников информации Приложение  Дидактические материалы по математике стр.3 стр.5 стр.5 стр.6 стр.7 стр.11 стр.12 стр.13 1. Введение. 2 «Развивающему   обществу   нужны   современные   образованные, нравственные,   предприимчивые   люди,   которые   могут   самостоятельно принимать   ответственные   решения   в   ситуации   выбора,   прогнозируя   их возможные   последствия,   способные   к   сотрудничеству,   отличающиеся мобильностью,   динамизмом,   конструктивностью,   обладающие   развитым чувством   ответственности   за   судьбу   страны»   (Концепция   Модернизации Российского образования на период до 2020 года).             Доминирующей   идеей   федерального   компонента   государственного образовательного   стандарта   по   математике   является   интенсивное   развитие логического   мышления,   пространственного   воображения,   алгоритмической культуры, критического мышления, овладения математическими знаниями и умениями на всех ступенях обучения, использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности. Моя работа посвящена решению текстовых задач на растворы, смеси и сплавы.   Эти   задачи   объединяет   то,   что   они   чаще   других   вызывают затруднения   обучающихся   общеобразовательных   школ.   Самостоятельно справиться с ними могут немногие. В базовом курсе школьной математики такого типа задачи встречаются с 5 класса и представлены в малом объёме. Раньше они встречались в основном на вступительных экзаменах в СУЗы и ВУЗы, на олимпиадах, а сейчас включены в КИМы для подготовки к ГИА и ЕГЭ. Они встречаются не только в математике, но и в химии.   Задачи на растворы, смеси и сплавы имеют также практическое значение,как на   производстве,   так   и   в   повседневной   жизни.   Например,   как   правильно приготовить   маринад   для   консервирования,   как   смешать   клей   для   обоев, приготовить   раствор   для   заливки   фундамента   дома,   разбавить   спирт, приготовить   различной   концентрации   растворы   в   фармакологической практике. Кроме того задачи на растворы, смеси и сплавы являются хорошим средством развития логического мышления обучающихся. Одним   из   возможных   путей   устранения   обозначенной   темы   является изучение методов (способов, алгоритмов) решения задач на растворы, смеси и сплавы.   В   данной   ситуации   будет   полезным   не   только   самому   научиться решать такого типа задачи, но и научить других, а также помочь учителям математики сэкономить время при подборке задач к урокам математики в 5­8 классах, а затем их можно использовать при подготовке 9 и 11 классов к итоговой   аттестации.   В   этом   и   состоит  актуальность   и   практическая значимость работы. Проблема   исследования:  возможность   применения   рассмотренных способов   решения   задач   как   в   подготовке   обучающихся   к   продолжению математического образования, так и в практической деятельности. Объект исследования: математика. Предмет   исследования:   решение   текстовых   задач   по   математике,   а именно задачи на растворы, смеси и сплавы. 3 Цели  исследования (в соответствии с ФГОС): ­ в направлении личностного развития: формирование логического мышления, формирование интереса к творчеству и математических способностей; ­   в   метапредметном   направлении:   практическое   применение   результатов работы; ­ в предметном направлении: овладение методами решения задач на растворы, смеси и сплавы. Задачи исследования: ­ изучить литературу по данной теме; ­расширить и систематизировать знания по теме, достичь более осмысленного понимания теоретических сведений; ­рассмотреть различные способы решениязадач на растворы, смеси и сплавы; ­помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен задачами на растворы, смеси и сплавы; ­подготовить дидактические материалы для учителя. Методы исследования: ­изучение научно­популярной, учебной и справочной литературы, материалов учебных сайтов Интернет, КИМов для подготовки к итоговой аттестации по математике за курс основной школы и ЕГЭ; ­обобщение способов решения задач на растворы, смеси и сплавы; ­опрос. Гипотеза:  задачи на растворы, смеси и сплавы вызывают затруднения у большинства   обучающихся,   но   их   решение   облегчится,   если   усвоить определённый алгоритм  решения задач данного типа. Для   того   чтобы   научиться   решать   задачи,   нужно   научиться   такому подходу   к   задаче,   при   котором   задача   выступает   как   объект   тщательного изучения, а её решение – как объект конструирования изобретения. Этапы исследования: 1.Изучение  учебной и дополнительной литературы по теме работы. 2.Проведение опроса среди обучающихся 5­8 классов. 3.Сбор материала по исследуемой теме и его анализ. 4.Изучение способов решения задач по теме. 5.Выработка алгоритма решения задач. 6. Подготовка дидактического материала. Апробация работы: моя работа нашла применение на уроках математики в качестве дополнительного материала  в 5­6 классах   при изучении новой темы, а в 7­8 классах при повторении.  4 2.Задачи на растворы, смеси и сплавы. 2.1.Теоретические основы решения задач на смеси, сплавы, растворы. Задачи   на   растворы,   смеси   и   сплавы   имеют   практическое   значение, являются   хорошим   средством   развития   мышления   обучающихся.   Они расширяют   базовый   курс   математики   и   позволяют   обучающимся   осознать практическую   ценность   математики.   Задачи   на   растворы,   смеси   и   сплавы обладают   диагностической   и   прогностической   ценностью,   то   есть   с   их помощью можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, то есть лишний раз проверить и   оценить свои способности   к математике. При решении задач на растворы, смеси и сплавы   очевидны   межпредметные   связи   с   химией,  физикой   и   экономикой, знание этого повышает учебную мотивацию обучающихся по всем предметам. Трудности при решении этих задач могут возникнуть на различных этапах:  ­   составления   математической   модели   (уравнения,   системы   уравнений, неравенства)  ­ решения полученной модели;  ­ анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнений в системе или слишком много неизвестных и пр.) Решение   задач   на   растворы,     сплавы   и   смеси   связано   с   понятиями «концентрация», «процентное содержание», «проба», «влажность». При решении задач данного типа используются следующие допущения: 1.  Всегда выполняется закон сохранения объема или массы: если два раствора (сплава) соединяют в один, то выполняются равенства: V= V1 + V2­ сохраняется объем; т =m1+ т2 ­ закон сохранения массы. Данный   закон   выполняется   и   для   отдельных   составляющих   частей (компонентов) сплава (раствора). 2.   При   соединении   растворов   и   сплавов   не   учитываются   химические взаимодействия их отдельных компонентов. 3.Все получившиеся смеси (растворы и сплавы) однородны. 4.Не делаются различия между литром как единицей ёмкости и литром как единицей массы. Концентрация ­  это число, показывающее, сколько процентов от всей смеси составляет растворимое вещество.  Пусть в сосуде содержится 20 литров раствора, который состоит из 5 литров кислоты и 15 литров воды. Определим концентрацию кислоты в растворе:  р=5/20=0,25.  Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В этом примере процентное  содержание  0,25•100%=25%, т.е.  р•100%. Как видно,   переход   от   концентрации   к   процентному   содержанию   и   наоборот довольно   прост.   В   дальнейшем   понятие   будем   использовать   не   только   в отношении   растворов,   но   и   в   отношении   любых   смесей   или   сплавов.   Так, 5 например, если в слитке олова и меди весом 20 кг олова имеется 3кг, то это означает, что процентное содержание олова равно 3/20•100%=15%, т.е. его концентрация   в   сплаве   равна  р=0,15.   Процентное   содержание   вещества   в растворе, иногда называют  %­м раствором, например, 15%­й раствор соли. При решении задач мы везде будем использовать тот факт, что 1% =0,01. Пример работы над задачами с понятием концентрации: Масса смеси Масса растворимого вещества Концентрация т (кг) 10 5 4 mc р % 1:10=0,1=10% 2:5=0,4=40% 0,5:4=0,125=12,5% тв: mc = к а (кг) 1 2 0,5 тв После получения формулы тв: mc = к задачи на растворы будут уже осознанно решаться  на основе соотношений: тв =k•mc,  mc = тв:к. 2.2.Способы решения задач на растворы,  сплавы и смеси. Задачи на смеси и сплавы охватывают большой круг ситуаций: смешение  товаров разной цены, смешение жидкостей с различным содержанием соли,  смешение кислот разной концентрации, сплавление металлов с разным  содержанием некоторого металла.  Рассмотрим способы решения задач на растворы,  сплавы и смеси. 1. Арифметический способ. При образовании смеси складываются массы смеси и массы растворимых веществ. А если известны только   процентные содержания веществ,   нужно: подсчитать массы компонентов каждой смеси, сложить их, то есть подсчитать массу компонентов полученной смеси; найти массу полученной смеси; подсчитать концентрацию компонентов полученной смеси. Записать ответ. 2.Применение   линейного   уравнения.   При   составлении   уравнения прослеживается содержание какого­нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются) и т.д. Обозначить неизвестную величину через х. Составить   уравнение   по   условию   задачи.   Решить   получившееся   уравнение. Перейти к условию задачи (ответить на вопрос). Записать ответ. 3.Применение систем линейных уравнений.  Обозначить одну неизвестную величину через х, другую неизвестную величину через у. Составить систему двух линейных уравнений по условию задачи. Решить получившуюся систему уравнений. Перейти к условию задачи (ответить на вопрос). Записать ответ. В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если   при   их   решении   использовать   схемы,   рисунки,   таблицы.   На   примере конкретной задачи я покажу один из старинных способов решения таких задач 6 – по правилу «креста». Этот способ был описан в «Арифметике» Магницкого (Л.Ф. Телятин, 1669­1739). Задача (ЕГЭ­2006) . Имеется два сплава с разным содержанием золота. В  первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении  надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав,  содержащий 40% золота?  Ввиду   большой   простоты   данный   способ   применялся   купцами   и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался  рецепт решения: либо, как в рассмотренной   задаче,   рисовалась   схема,   либо   словесно   описывалась последовательность действий ­ поступай так и получишь ответ. Изучив литературу и другие информационные источники по данной теме,я расширил   и   систематизировал   свои   знания   по   теме,   достиг   более осмысленного понимания теоретических основ решения задач на   растворы, смеси и сплавы, кроме того рассмотрел различные способы их решения.  Это   помогло   мне   обусловлен задачами такого типа и я готов к их решению.   преодолеть   психологический   барьер,   который   был 2.3. Решение задач на растворы, смеси и сплавы. Одну   и   ту   же   задачу   можно   использовать   в   5­м   или   6­м   классе   при изучении   темы,   а   потом   ее   включить   при   повторении   в   7­11   классах.   В процессе решения задач обучающиеся повторяют, как найти часть от числа и число   по   его   части,   прямую   и   обратную   пропорциональные   зависимости, способы решения уравнений и систем уравнений. 7   6,0 12 Задача 1. В 2л водного раствора, содержащего 60% кислоты, добавили 4л чистой воды. Определите процентное содержание кислоты в новом растворе. Задача 2.В сосуд, содержащий 5 литров 12%­го водного раствора некоторого вещества,   добавили   7   литров   воды.   Сколько   процентов   составляет концентрация получившегося раствора? Решим эти задачи арифметическим способом. Решение задачи 1. В данной задаче объём раствора увеличился в 3 раза,  содержание кислоты не изменилось, поэтому  процентное содержание  кислоты уменьшилось в 3 раза.    60:3=20 (%).                               Ответ. 20 %.    Решение задачи 2. Представим, что раствор отстоялся. получившегося раствора,  растворе. концентрация получившегося раствора. Ответ. 5%. объём чистого вещества в первом   %5 100 объём  12,05 )(6,0 л  75  )(12 л  Задача 3.Сколько нужно взять 10%­го и 30%­го растворов марганцовки, раствор (г) х 200­х 200 марганцовка 10  % или 0,1 30% или 0,3 16 % или 0,16 чтобы получить 200 г 16%­го раствора марганцовки? Решим  эту задачу разными способами. Применение линейного уравнения (5 класс).Пусть масса 1 раствора х г.  Заполним таблицу по условию задачи: марганцовка (г) растворы 0,1х 1 раствор 0,3(200­х) 2 раствор 3 раствор 0,16•200 Решим уравнение: 0,1х + 0,3(200 — х) = 0,16•200;  0,2х = 28; х = 140. 200­140=60 (г).                                 Ответ. 140 г 10%­го и 60 г 30%­го. Применение систем линейных уравнений (7 класс).Пусть масса 1 раствора  х г, а масса 2 раствора  у г. Заполним таблицу по условию задачи: растворы 1 раствор 2 раствор 3 раствор Решим систему уравнений:  х+у=200,                   х=200—у,                      х=40,                                                 0,1х+0,3у=32;           0,1(200—у)+0,зу=32;    у=60.  Ответ: 140 г 10%­го и 60 г30%го. Старинный способ по правилу «креста» (диагональный способ). Составим  марганцовка (г) 0,1х 0,3у 0,16•200 марганцовка 10  % или 0,1 30%или 0,3 16 % или 0,16 раствор (г) х у 200 схему: процентные содержания марганцовки в имеющихся растворах. Посередине —  процентное содержание марганцовки в полученной смеси. В правой —  разности процентных содержаний имеющихся растворов и полученной смеси  В левой колонке схемы записаны  8 (вычитаем из большего числа меньшее и записываем разность на ту диагональ,  где находятся, соответственно, уменьшаемое и вычитаемое). Исходя из схемы, делаем вывод: в 200 г смеси содержится 14 частей 10%­го раствора и 6 частей 30%­го раствора. Найдем их массы: 200:(14+6) •14=140 (г);      200 : (14 + 6)•6 = 60 (г).                                                                          Ответ. 140 г 10%­го и 60 г 30%­го. Среди   задач   на   смеси,   сплавы   и   растворы   можно   выделить   несколько типов, это задачи: на понижение  и повышение концентрации, на смешивание растворов разных концентраций, на «высушивание».   Рассмотрю   решения   задач,   применяемых   в   реальных  жизненных   ситуациях (задачи сочинил сам).  Задача   4   (5   класс)  На   сладе   кондитерского   цеха   имеется   40   кг   20% сиропа. Сколько надо добавить воды, чтобы получить 10% сироп для выпечки тортов (на понижение концентрации) Решим уравнением. 20%=0,2, 16%­0,16. В сиропе было 0,2•40=8(кг)­сахара;  пусть добавили х кг воды, тогда сахара в растворе стало  0,16•(40+х) кг. Так  как масса сахара не изменилась, то составим и решим уравнение:  0,16•(40+х)=8;  0,16х=1,6; х=10. Надо 10 кг воды.                        Ответ. 10 кг. Задача 5(7 класс)  В 200г маринада содержится 4% соли. Сколько нужно добавить соли, чтобы получить 7% маринад для консервирования огурцов? (на повышение концентрации) Решим уравнением.  4%=0,04, 7%=0.07;  200•0,04=8 (г)­было соли в маринаде. Пусть добавили х г воды, тогда соли в новом маринаде стало:  (200+х)•0,07,  решим уравнение  х+8=(200+х)•0,07;  х=200.         Ответ. 200г. Задача   6   (8   класс)    В   ювелирной   мастерской   сплавили   два   слитка серебра  75 г 600­й и 150 г 864­й пробы. Какой пробы получился сплав (на смешивание)  Решим по правилу «креста». Пусть проба сплава равна x. Составим схему: Получаем: (864­х):(х­600)=75:150; 1728­2х=х­600; х=776. Ответ.776­й пробы. Особо выделю  задачи на «высушивание».  При решении этих задач надо помнить, что все тела, вещества, продукты содержат в себе воду, которая частично   испаряется.   Поэтому   при   решении   этих   задач   мы   каждый   раз разделяем данное нам вещество на воду и «сухое вещество», масса которого не меняется в условиях задачи. Задача 7 (6 класс)  Грибы удобно хранить  в сухом виде. Сколько уйдёт на хранение сухих грибов из 20 кг свежих, если свежие грибы содержат по массе 9 90%   воды,   а   сухие   12%.   Составим   по   условию  таблицу  и   решим   задачу уравнением. Вид данных Общая масса Вода Сухое вещество Свежие грибы (кг.) 22 22 ∙ 0,9 = 19,8 22 – 19,8 = 2,2 Сухие грибы ( кг.) х х ∙ 0,12 22 х – 0,12х = 2,2;   0,88х = 2,2;   х= 2,5.                                                Ответ: 2,5 кг. Задачи  на   смешивание  можно   решить  способом   «стаканов»  (берутся   два стакана   с  растворами,  которые   сливаются   в  третий,  и  получается   раствор новой концентрации). Этот способ мне показала моя учительница математики Султангареева Анна Васильевна.  Задача 7(подобные задачи были в вариантах ЕГЭ­2011г,  №В12).  В бак с 5л   12%­го   водного   раствора   соли   повар   добавил   7   л   воды.Какой концентрация получится раствор? Рисуем   три   стакана   и   начинаем   записывать   условие   задачи.   Концентрация вещества   во   втором   стакане   равна   0%   т.к.   добавили   воду.Первый   стакан содержал   0,12•5=0,6 (л) соли. Во втором стакане была только вода. Значит, в третьем стакане столько же литров соли, сколько и в первом: х%=0,01х;  0,6=0,01•12;  х=5.                                                             Ответ. 5%. Способ «стаканов» мне понравился, он понятен и прост.  Я  нашёл много простых и сложных задач на растворы, смеси и сплавы, научился     их   решать   различными   способами,  рассмотрел   их   применение   в практической деятельности, даже сочинил несколько задач сам. Я убедился в важности умения решать такие задачи и пришёл к мнению, что все способы решения интересны и нужны, но запись условия задачи с помощью таблицы показался   мне   самым   надёжным,   а   наглядностью   выделяются   правило «креста» и способ «стаканов». 3. Заключение. 10 Решение   задач   на   растворы,   смеси   и   сплавы   являются   хорошим накоплением опыта решения задач, и кроме того, очень полезно составлять свои задачи. Такой вид работы делает мышление «сочинителя» оперативным, воспитывает   творческое   отношение   к   тем   задачам,   которые   ставит   жизнь, учит     прогнозированию.   В   задачах   этого   типа   прослеживается   системный подход   к   решению,   происходит   успешная   отработка   и   закрепление интеллектуальных   умений   (анализ,   обобщение, конкретизация и т.д.).   аналогия,   синтез, Вначале   я  не знал, как   подойти   к  решению  некоторых  задач,  но  когда научился   составлять   таблицы   по   условию   задачи,   дела   пошли   лучше. Хорошим   подспорьем   в   решении   задач   стали,   изученные   мной,   правило «креста» и способ «стаканов».  В такой ситуации оказался не один я. Мною был проведён опрос среди обучающихся 5­8 классов. Если пятиклассники и шестиклассники ещё могут решать задачи на растворы арифметическим способом или уравнением, то в 7­ х и в 8­х классах дела обстоят хуже. Провёл анализ учебников математики 5­8 классов и выяснил: в учебнике 5 класса таких задач ­ 14,   6 класса   ­ 16, в алгебре 7 класса ­ 8, в 8классе ­ всего 6. По этой причине я на уроках алгебры в своём, 8 классе, познакомил одноклассников со способами решения задач на растворы, смеси и сплавы  и показал решения некоторых задач.  Для успешного решения  задач на растворы, смеси и сплавы  я предлагаю такую схему (алгоритм):   1.Изучить   условие   задачи,   составить   таблицу   по   условию   задачи,   выбрать неизвестные величины (обозначить буквами x,y и т. д.), относительно которых составить математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. 2.Наметить     план     решения.   Используя   условия   задачи,   определить   все взаимосвязи между данными величинами. 3.   По   намеченному   плану   оформить   найденное     решение   и     перейти     от словесной формулировки  к математической модели. 4.Изучить полученное решение и дать критический анализ результата.   Используя методы исследования, я решил, поставленные мной, задачи.  В ходе   исследования   подтвердилась,   выдвинутая   мной,   гипотеза.   Решения задач на   растворы,   смеси   и   сплавы   не   будут   вызывать   затруднения,   если усвоить определённый алгоритм решения этих задач. Я   убеждён,   что   моя   исследовательская   работа   станет   хорошим репетитором для обучающихся и помощником для учителя (Приложение 1 «Дидактические   материалы»).  Она   может   служить   пособием   при   обучении решению задач, как на уроках, так и при подготовке к экзаменам. В этом и состоит её актуальность и практическая значимость. 4. Список источников информации. 11 1.Прокопенко Н. И. Задачи на смеси и сплавы. – М.: Чистые пруды, 2010г.­32 с. 2.Шевкин   А.В.  Текстовые   задачи:   7–11   классы:   Учебное   пособие   по математике. – М.: ТИД «Русское слово – РС». – 2003. – 184 с. 3.Шевкин   А.В.  Текстовые   задачи   по   математике:   7–11   классы.   –   М.: ИЛЕКСА. – 2011, 208 с.  4.Семёнова А.Л. ЕГЭ 2012. Математика. Типовые экзаменационные варианты. ­М.: Национальное образование , 2011.­192с. 5.Математика.   Методический   журнал   для   учителей   математики,   ноябрь, №10.Издательский дом «Первое сентября»,2012г. Электронная версия. 6. Городнова О. Учимся решать задачи на «смеси и сплавы».// Математика, приложение к газете «Первое сентября»­ 2004:­ №36.­с.14­18. 7.М. Кац. Проценты.// Математика, приложение к газете «Первое сентября»­ 2004:­№23. ­с.28­32. 8. Задачи на концентрацию и процентное содержание.//Математика в школе.­ 1994:­ №4.­с. 32­36. 9. Математика. 5 класс: учеб, для общеобразоват. учрежд. / Н. Я. Виленкин, В. И.  Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. ­ М.: Мнемозина, 2008. 10. Математика. 6 класс / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2009. 11. «Алгебра. 7 класс» / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2013. 12. «Алгебра. 8 класс» / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. С.А. Теляковского. М.: Просвещение, 2013. Интернет ­  ресурсы: 1.http://www.edu.ru 2.http://viripit.ru 3.http://www.info­u.ru 4.http://pedmir.ru/ 5.http://www.youtube.com (видео) 6. http://www.nado5.ru 12 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Дидактические материалы по математике. Задачи на растворы, смеси и сплавы. 1.Задачи с решениями. Задача 1. Сколько чистой воды надо добавить к 300 г. морской воды,  содержащей 4% соли, чтобы получить воду, содержащую 3% соли? Морская вода (г) 300 300 ∙ 0,04 = 12 Вид данных Общая масса Соль Т.к. количество соли не меняется при добавлении воды, то  (300 + х) ∙ 0,03 = 12; 300 + х = 400;  х = 100. Ответ. 100 г. Новая вода (г) 300 + х (300 + х) ∙ 0,03 Задача 2. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г. раствора,  содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор? Раствор (г) 50 50 ∙ 0,08 = 4 Новый раствор (г) 50 + х (50 + х) ∙ 0,05 Вид данных Общая масса соль (50 + х) ∙ 0,05 = 4;  50 + х = 30; х = 30. Ответ. 30 г. Задача 3. Сколько граммов 30% ­го раствора надо добавить к 80 г. 12% ­го  раствора этой же соли, чтобы получить 20% ­й раствор соли? 2 раствор (г) 80 80 ∙ 0,12 = 9,4 Новый раствор 80 + х (80 +х) ∙ 0,2 1 раствор (г) х х ∙ 0,03 Вид данных Общая масса Соль 0,3х + 9,4 = (80 + х) ∙  0,2; 0,3х + 9,4 = 16 +0,2х; 0,1х = 6,4; х = 64. Ответ. 64 г. 13 Задача 4. Кусок сплава меди и цинка массой 12 кг, содержит 45% меди.  Сколько кг. Олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?   Вид данных Общая масса Медь (12 + х) ∙ 0,4 = 5,4; 4,8 + 0,4х = 5,4; 0,4х = 0,6; х = 1,5. Ответ. 1,5 кг.  Кусок сплава (кг) 12 12 ∙ 0,45 = 5,4 Новый сплав 12 + х (12 + х) ∙ 0,4 Задача 5. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг, содержит 45% меди.  Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы получить  новый сплав, содержащий 60%  меди?  Кусок сплава (кг) 36 36 ∙ 0,45 = 16,2 36 ∙ 16,2 = 19,8 Вид данных Общая масса Медь Цинк Т.к. количество цинка не меняется, то (36 + х) ∙ 0,4 = 19,8; 14,4 + 0,4 = 19,8; 0,4х = 5,4; х = 13,5. Ответ. 13,5 кг. Новый сплав (кг) 36 + х (36 + х) ∙ 0,6 (36 + х) ∙ 0,4 Задача 6.Даны два куска с разным содержанием олова, первый массой 300  грамм 20% олова, а второй содержит 40% олова массой 200 грамм. Сколько  % олова будет содержать сплав из этих кусков? Первый кусок (г) Второй кусок (г) 300 300∙0,2=60 200 200∙0,6=80 Вид данных Общая масса Олово   140/500∙100%=28%; Ответ. 28%. Сплав (г) 300+200=500 60+80=140 Задача 7.Сколько грамм воды можно выпарить из 80 грамм 6%­ой соли,  чтобы получить раствор, содержащий 10% соли. 14 Раствор (г) 80 80∙0,06=4,8 Новый раствор 80­х (80­х) ∙0,1 Вид данных Общая масса Соль (80­х) ∙0,1=4,8; 80­х=48; х=80­48; х=32. Ответ. 32 г. Задача 8. Имеется две кислотных раствора. 20%­ый и 30%­ый. Взяли 0,5  литра первого и 1,5 литра второго раствора. Образовали новый раствор.  Какова концентрация кислоты в новом растворе? 1­ый раствор (г) 0,5 0,5∙0,2=0,1 Вид данных Общая масса Кислота 2∙0,01х=0,1+0,45; 0,02х=0,55; х=27,5. Ответ. 27,5%. 2­ой раствор (г) 1,5 1,5∙0,3=0,45 Новый раствор 0,5+1,5=2 2∙0,01х Задача 9. Имеется два куска слитка олова и свинца, содержащие 40% и 60%  олова. По сколько грамм от каждого куска надо взять, чтобы получить 600  грамм сплава, содержащего 45% олова? 2­ой кусок (г) 600­х 0,4(600­х) 0,6(600­х) Сплав (г) 600 600∙0,45=270 600­270=330 1­ый кусок (г) х 0,6х х­0,6х=0,4х Вид данных Общая масса Олово Свинец Количество свинца не изменяется.  0,4х+0,6(600­х)=330; 0,4х­0,6х+360=330; ­0,2х=­30; х=150. 600­150=450 (г). Ответ. 150 г, 450 г. Задача 10. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит  25% цинка, второй – 50% меди. Процентное содержание олова в первом  15 сплаве в два раза больше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг  второго, получили сплав, где 28% олова. Сколько же меди в новом сплаве? 300 Первый сплав Второй сплав Новый сплав 200 300+200=500 200∙0,25=50 Вид данных Общая масса Цинк Медь Олово  4х+3х=140; х=20. В первом сплаве 80кг олова, а меди 200­50­80=70  (кг), следовательно, в  новом сплаве меди будет 70+150=220 (кг). Ответ. 220 кг. 200∙0,012х=4х 300∙0,5=150 300∙0,01х=3х 500∙0,28=140 Задача 11. Имеются два слитка, состоящих из цинка, меди и олова. Известно,  что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26 % меди. Процентное  содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг  первого сплава и 250 второго, получили новый сплав, в котором оказалось  30% цинка. Определите сколько килограммов олова в получившемся новом  сплаве? Вид данных Общая масса Цинк Медь Первый сплав 150 150∙0,01х=1,5х Второй сплав 250 250∙0,01=2,5х 250∙0,26=65 Новый сплав 150+250=400 400∙0,3=120 Олово 150∙0,4=60 250­75­65=110 1,5х+2,5х=120; 4х=1204 х=3 2,5∙30=75 (кг), значит олова во втором сплаве 250­75­65=110 (КГ), а в новом  60+110=170 (кг). Ответ. 170 кг. Задача 12. Имеются две смеси апельсинового и ананасового соков. Первая  смесь 40%­ого апельсинового сока, а вторая – 80%. Смешивают Р л первой  смеси и Q л второй, в результате получается 20 л смеси, содержащей 70%  апельсинового сока. Определите P и Q.  Вид данных Первая смесь (л) Вторая смесь  Новая  16 х 0,4х (л) 20­х 0,8(20­х) смесь 20 20∙0,7=14 Общая масса Апельсиновый сок 0,4х+0,8(20­х)=14; 0,4х+16­0,8х=14; ­0,4х=­2; х=5. Если х=5, то 20­5=15. Ответ. Р=5 л, Q=15 л. Задача 13. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После  удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа,  содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Определите, какое  количество железа осталось ещё в руде. Вид   данных Общая  масса Руда (кг) Примеси (кг) Остаток (кг) 500 200 500­200=300 500∙0,01х 200∙0,125=25 300∙0,01(х+20) Железо  5х­25=3(х+20); 2х=82,5; х=42,5. 3(42,5+20)=187,5 (кг). Ответ: 187,5 кг. Задача 14. Арбуз весил  20 кг. и содержал 99% воды, когда он немного усох,  то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?  Арбуз до усушки 20 20 ∙ 0,99 = 19,8 20 – 19,8 = 0,2 Вид данных Общая масса Ода Мякоть Т.к. неизменяемым остается «сухое вещество», то х – 0,98х = 0,2; 0,02х = 0,2; х = 10. Ответ. 10 кг. Арбуз после усушки х х ∙ 0,98 0,2 17 Задача 15. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%.  Сколько получиться сухих грибов из 20 кг свежих? Вид данных Общая масса Вода Сухое вещество х – 0,12х = 2,2; 0,88х = 2,2; х = 2,5. Ответ.  2,5 кг. Свежие грибы (кг.) 22 22 ∙ 0,9 = 19,8 22 – 19,8 = 2,2 Сухие грибы ( кг.) х х ∙ 0,12 22 Задача 16. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влажность  которого 99%. за время хранения на базе влажность уменьшилась на 1%.  Сколько тонн крыжовника теперь храниться на базе?  Вид данных Свежий крыжовник (т.) 10 10 ∙ 0,99 = 9,9 10 – 9,9 = 0,1 Общая масса Вода Твердое вещество  х – 0,98х = 0,1; 0,02х = 0,1; х = 5. Ответ. 5 т. Крыжовник, после  крашения  х х ∙ 0,098 0,1 Задача 17. В свежих грибах было 90% воды. Когда их подсушили, то они  стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько кг было свежих грибов? Вид данных Общая масса Вода Твердое вещество  0,1х = 0,9; х = 90. Ответ.  90 кг. Свежие грибы (кг.) х х ∙ 0,9 0,1 ∙ х Сухие грибы ( кг.) 15  15 ∙ 0,6 15 ∙ 0,6 = 0,9 Задача 18. Перерабатывая цветочный нектар в мёд, пчелы освобождают его  от значительной части воды. Нектар содержит 10% воды, а мёд – 16%.  Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг мёда?  Вид данных Общая масса Нектар (кг.) х Мед (кг.) 1 18 0,16 1 ­ 0,16 = 0,84 0,7 ∙ х х – 0.7х = 0.3х Вода Твердое вещество 0,3 ∙ х = 0,84; х = 218. Ответ.  218 кг.  Задача 19. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После  удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа,  содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Определите, какое  количество железа осталось ещё в руде. Вид данных Руда Масса руды (кг) Масса железа (кг) Концентрация (доля железа в  руде) 500­200=300 (кг) – масса руды после удаления примесей. 0,125∙200=25 (кг) – масса железа в 200 кг примесей. 500 х х/500 Руда, после удаления  примесей 500­200=300 х­0,125∙200=х­25 х­25/300 Пусть х кг масса железа в руде, (х­25) кг масса железа в руде после  удаления примесей. х/500 – доля железа в руде, (х­25)/300  ­ доли железа в  руде после удаления примесей. По условию, содержание железа в оставшейся  руде повысилось 20% =0,2. Решим  уравнение: х­25/300 – 1/5 = х/500; 5(х­25)/1500 – 300/1500 – 3х/1500=0; 5х­125­300­3х=0; 2х=425;  х=212,5. 212,5 кг – масса железа в руде. 212,5­25=187,5 (кг) – железа осталось в руде после удаления примесей. Ответ. 187,5 кг. Задача 20. Смешали 30%­ый раствор соляной кислоты с 10%­ым и получили  600 г 15%­ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Вид данных 1­ый раствор 2­ой  Смесь Масса соляной кислоты в  г Масса раствора в г Концентрация  (доля HCl  в растворе) 0,3х х 30%=0,3 раствор 0,1(600­х) 600­х 10%=0,1 0,3х+0,1(600­ х)=0,2х+60 600 15%=0,15 Пусть х г – масса 30%­ого раствора соляной кислоты, а (600­х) г – масса  10%­ого раствора соляной кислоты, 0,3х г – масса соляной кислоты в 30%­ом  растворе,  19 0,1(600­х) г – масса соляной кислоты в 10%­ом растворе соляной кислоты.  0,3х+0,1(600­х)=(0,2х+60) (г )– масса в смеси соляной кислоты. По условию  концентрация смеси равна 15%=0,15. Решим уравнение: 60+0,2х/600=0,15; 0,2х+60=90;  0,2х=30;  х=150.   150 г – масса 30%­ого раствора соляной кислоты. Значит,  600­150=450  (г) – масса 10%­ого раствора соляной кислоты. Ответ. 150 г и 450 г.  2. Задачи с ответами. Задача 1. К 10 литрам 45%­ного водного раствора кислоты добавили некоторое количество чистой воды, в результате чего концентрация кислоты в растворе снизилась до 37,5%. Сколько литров воды было добавлено?                                                                                                                                  Ответ. 2л.   Задача 2.   К 9 литрам водного раствора кислоты добавили 3 литра чистой воды.  Смесь   тщательно  перемешали,  а   затем  3  литра  раствора  отлили.  Эту процедуру   выполнили   еще  2  раза,  после   чего   получили   9  литров   27%­ного раствора кислоты. Какова была исходная концентрация кислоты в растворе?                                                                                                                           Ответ .64%.   Задача     3.  К   8   литрам   водного  раствора  кислоты   добавили  4   литра   27­ процентного раствора той же кислоты. Смесь тщательно перемешали, а  затем такое же количество, т.е. 4 литра, отлили. Операцию повторили трижды, после чего   концентрация   кислоты   составила   43%.   Какова   была   исходная концентрация кислоты в растворе?                                                          Ответ. 81%. Задача 4. Из  сосуда,  доверху  наполненного  97%­м  раствором  кислоты, отлили   2 литра   жидкости   и долили   2 литра 45%­го   раствора   этой   же кислоты. После  этого в  сосуде  получился 81%­й  раствор  кислоты. Сколько литров  раствора вмещает сосуд?                                                      Ответ. 6,5л. Задача 5.  Из сосуда,   доверху   наполненного   93%­м   раствором кислоты, отлили   1,5 литра жидкости  и долили 1,5 литра   69%­го раствора  этой же кислоты. После этого в сосуде  получился 85%­й раствор  кислоты. Сколько литров раствора  вмещает сосуд?                                                     Ответ. 4,5 л. Задача 6.  Из сосуда,   доверху   наполненного   99%­м   раствором кислоты, отлили   3,5 литра жидкости  и долили 3,5 литра   51%­го раствора  этой же кислоты. После этого в сосуде  получился 89%­й раствор  кислоты. Сколько литров раствора  вмещает сосуд?                                                     Ответ. 16,8 л.    20 Задача   7.  В   бидон   налили   7   литров   трёхпроцентной   жирности   и   3   литра молока шестипроцентной жирности. Какова жирность полученного молока?                                                                                                                Ответ. 3,9%. Задача 8.  В   бидон   налили   4  литра   молока   трёхпроцентной   жирности   и  6 литров   молока   шестипроцентной   жирности.   Какова   жирность   полученного молока в бидоне?                                                                                                               Ответ.  4,8 л. Задача   9.  Сплав   алюминия   и   магния   отличается   большой   прочностью   и пластичностью.   Взяли   два   таких   сплава,   сплавили   их   и   получили   сплав, содержащий 4% магния. Отношение масс первого и второго сплавов равно 3:2. Определите процент содержания магния во втором сплаве, если первый сплав содержит 6% магния?                                                                                                                                                                 Ответ. 1%. Задача 10. Смешали 160г раствора, содержащего 60% соли, и 240г раствора, содержащего 40% соли. Сколько процентов соли в получившемся растворе?                                                                                                                Ответ. 48%. Задача 11. Влажность сухой цементной смеси на складе составляет 18%. Во время перевозки из­за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезённой смеси, если со склада отправлено 400 кг.                                                                                                               Ответ.  410 кг. Задача 12.  Сколько кг воды надо добавить к 18% раствору соли массой 8кг, чтобы получить новый раствор с содержанием 16%?                                                                                                                     Ответ. 1кг. Задача 13. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составила 98%. После первоначального подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов после подсушивания?                                                                                                                  Ответ. 40 кг. Задача   14.  Сколько   литров   воды   надо   добавить   к   0,3л     70%   раствора уксусной эссенции, чтобы получился 3% уксусный раствор?                                                                                                                Ответ.  6,7 л. Задача 15. В сосуд ёмкостью 6л налито 4л  70% раствора серной кислоты. Во второй  сосуд  той  же  ёмкости  налито  3л   90%    раствора   серной  кислоты. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нём   получился   74%   раствор   серной   кислоты?   Найдите   все   допустимые значения   процентного   содержания   раствора   серной   кислоты   в   6   литрах раствора в первом сосуде.                                                      Ответ.  1 л;   76;70 2 3   21 Задача   16.  Если   смешать   8кг   и   2кг   растворов   серной   кислоты   разной концентрации,   то   получим   12%   раствор   кислоты.   При   смешивании   двух одинаковых   масс   тех   же   растворов   получим   15%     раствор.   Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.                                                                                                    Ответ. 10%  и  20%. Задача 17. Имеются два слитка золота и серебра. В первом отношении золота и серебра равно 1:2, во втором 2:3. Если сплавить 1/3 первого слитка и 5/6 второго, то в полученном слитке будет столько золота, сколько в первом было серебра.   Если   же   2/3   первого   слитка   сплавить   с   половиной   второго,   то   в получившемся   слитке   серебра   будет   на   1кг   больше,   чем   было   золота   во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?                                                                                                  Ответ. 1,2кг и 2,4кг.                                                                          22