Задачи в обучении математике (9 класс, элективный курс)

Процесс решения задачи – деятельность, которая состоит из отдельных действий, этапов. Решение задачи является не одномоментным действием, а сложной многоплановой работой учащегося. Поэтому считаю, что учащимся необходимо не только знать методы решения основных типов текстовых задач, но и учить учащихся решать более сложные задачи, учить их наблюдать, попытаться самим найти метод решения, пользоваться аналогией, сравнениями, решить задачу несколькими способами, делать соответствующие выводы, выбрать наиболее рациональный способ.

«Задачи в обучении математике»

Элективный курс по алгебре для 10 – 11 классов

Пояснительная записка

Решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, одним из основных средств их математического развития. От эффективности использования задач в обучении математике зависит не только качество обучения, воспитания и развития учащихся, но и степень их подготовленности к последующей деятельности.

Программа общеобразовательной школы предусматривает решение основных типов задач, но они рассматриваются при прохождении одной определенной темы. Методы их решения подсказаны одной темой, поэтому самостоятельный поиск метода решения учеником минимален. Как правило, в отведенное программой время ребята не успевают усвоить даже предложенный метод, так как решение любой задачи требует немало времени для понимания ее смысла, записи решения.

Поэтому считаю, что учащимся необходимо не только знать методы решения основных типов текстовых задач, но и учить учащихся решать более сложные задачи, учить их наблюдать (попытаться самим найти метод решения), пользоваться аналогией, сравнениями (решить задачу несколькими способами), делать соответствующие выводы (выбрать наиболее рациональный способ). Необходимо также при решении задач прививать им навыки логического мышления, вкус и навыки к выполнению работы исследовательского характера. Эти задачи и ставит данная программа, рассчитанная на учащихся 10-11 классов средней общеобразовательной школы.

Цели:

1. Развитие познавательной активности, логического и творческого

мышления учащихся.

2. Способствовать приобретению навыков самостоятельной работы,

работы в команде.

3. Достичь понимания необходимости приобретения знаний для

применения их в дальнейшей жизни.

Задачи:

1. Рассмотреть структуру процесса решения задач.

2. Повторить основные методы решения задач на движение, работу,

смеси и сплавы, прогрессии, задач с целочисленными

неизвестными.

3. Научить применять основные методы при решении более сложных

задач рассматриваемого типа, а также рассмотреть различные

способы решения задач на смеси и сплавы.

4. Научить применять новые технологии при оформлении домашних

заданий.

Учебно - тематический план

№

Тема

Элементы содержания

образования

Вид

занятия

Кол.

часов

Знакомство уч-ся

с основными задачами про-

граммы.

Структура

процесса

решения задач

Решение задач является важнейшим

средством математического разви-

тия школьников. От эффективности

использования задач в обучении ма-

тематике зависит не только качество обучения, но и степень их подготов-

лености к дальнейшей деятельности.

8 этапов процесса решения задач

Вводная

беседа

0,5

Задачи на

движение

В задачах в качестве неизвестного обычно удобно выбрать расстояние

или скорости объектов. Уравнивать

величины надо используя формулу

s = v·t

Практикум

2,5

Задачи на

движение

по реке

Скорость движения тела по реке

равна сумме собственной скорости

и скорости течения реки. Скорость

плота это скорость течения реки

Практикум

Задачи на

работу

Объем всей работы удобно принять

за 1.Затем найти производитель-

ность труда (скорость) каждого, а

затем производительность труда при

совместной работе

Практикум

Задачи на

работу

Проверка знаний

Самостоя-

тельная

работа

Задачи на

смеси и сплавы

(алгебраический

метод)

Составление уравнения основано на

том, что количество одного и того же вещества в растворах (кусках) и

в полученной смеси (сплаве)

не изменяется

Практикум

Задачи на

смеси и сплавы

(старинный

метод )

Используется соотношение о том,

что отношение масс смешивающих-

ся веществ x (p%) и y(q%) равно

q – r / r – p , где r % - содержание

данного вещества в смеси (сплаве)

Практикум

Задачи на

смеси и сплавы

Сравнительная характеристика

двух рассмотренных методов

Групповая

работа

(создание

буклета)

№

Тема

Элементы содержания

образования

Вид

занятия

Кол.

часов

Задача на

смешивание

трех веществ

Сколько решений имеет задача на

смешивание трех веществ?

Исследовательская работа

Творческая работа

учащихся

Дом.

работа

Задачи на

прогрессии

Использование формул арифмети-

ческой и геометрической прогрес-

сий n- ого члена и суммы n первых

членов, а также характеристических

свойств этих прогрессий

Практикум

Задачи на

прогрессии

Применение рассматриваемых

задач в жизни: установка железо-

бетонного кольца, подсчет процен-

тов по вкладу в банке и др.

Практикум

Задачи с целочисленными

неизвестными

Использование записи числа в

десятичной позиционной системе

счисления

Практикум

Задачи на

смеси и сплавы,

прогрессии, с

целочисленными

неизвестными

Проверка знаний

Самостоя-

тельная

работа

Подведение

итогов

Рейтинговое подведение итогов.

Анкетирование.

Вручение благодарностей.

Зачетный

урок

Всего 17 часов

Рейтинговая оценка знаний (в скобках - максимальное количество баллов за каждый этап)

№	Фамилия, имя	Ответы у доски (10)	С.р. №1 (5)	С.р №2 (5)	Исслед. работа (10)	Буклет (10)	Итог (в баллах)	Итог (в %)	Ранг (место)	Оцен- ка (отл. хор, удовл.неуд)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Максимальное количество баллов - 40

Анкета

Сумеете ли Вы применить рассмотренные методы для решения

задач?

а) да; б) нет; в) частично.

2. Какой этап работы Вам понравился больше?

а) решение задач у доски;

б) самостоятельное решение;

в) творческая работа в группе.

3. Пригодятся ли полученные знания на уроках других дисциплин,

а также в дальнейшей жизни?

а) на уроках химии, экономики;

б) в технике, в быту;

в) при дальнейшем обучении.

4. Что по Вашему мнению было самым важным в процессе

обучения?

а) повторение основных методов решения задач для

подготовки к ЕГЭ;

б) применение новых технологий;

в) получение информации, которая поможет выбрать

направление дальнейшей жизни.

Структура процесса решения задач

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-ый этап – анализ задачи;

2-ой этап - схематическая запись задачи;

3-ий этап - поиск способа решения задачи;

4-ый этап - осуществление решения задачи;

5-ый этап – проверка решения задачи;

6-ой этап - исследование задачи;

7-ой этап - формулирование ответа задачи;

8-ой этап - анализ решения задачи

Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе. Мы не будем применять ее к каждой задаче, но в той или иной задаче будем применять отдельные ее этапы.

1. Задачи на движение (3 часа)

В задачах на движение в качестве неизвестных обычно бывает удобно выбирать расстояние (если оно не задано) и скорости движущихся объектов, которые встречаются в условии задачи.

При равномерном движении по прямой путь s, пройденный телом, движущимся со скоростью v, за время t, определяется по формуле:

s=v·t.

Если тело движется по течению реки, то скорость движения тела складывается из собственной скорости тела (его скорости в стоячей воде) и скорости течения реки. Если же тело движется против течения реки, то скорость движения тела равна разности собственной скорости и скорости течения реки. Если в задаче рассматривается движение плота, то его скорость движения – скорость течения реки.

Задачи для решения

1. Скорость пассажирского поезда в два раза больше скорости товарного, поэтому расстояние в 270 км он проходит на 2ч 30 мин быстрее, чем товарный. Найти скорость пассажирского поезда (в км/ч).

Ответ: 108.

2.Велосипедист каждую минуту проезжал на 1000 метров меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь в 66 км он затратил времени на 10 часов больше, чем мотоциклист. Сколько км в час проезжал велосипедист?

Ответ: 6

3.Из пункта А в пункт В выезжает грузовой автомобиль, и через 35 мин прибывает в пункт В. Одновременно с ним, по той же дороге, из пункта В в пункт А выезжает легковой автомобиль, который прибывает в пункт А через 4 минуты после того, как мимо него проехал грузовой автомобиль. Полагая, что оба автомобиля двигались с постоянной скоростью, определите длину дороги между пунктом А и В, измеренную в километрах, если известно, что до встречи с грузовым автомобилем легковой автомобиль проехал 15 км.

Ответ: 21

4.Из пункта А в пункт В выезжает велосипедист и прибывает в пункт В через 45 минут. Одновременно с ним по той же самой дороге, из пункта В в пункт А выходит пешеход. Пешеход прибывает в пункт А через 1 час после встречи с велосипедистом. Считая, что велосипедист и пешеход двигались с постоянной скоростью, определите, сколько минут прошло от начала движения велосипедиста и пешехода до момента их встречи.

Ответ: 30

5.Катер прошел 52 км по течению и 66 км против течения, затратив на путь по течению на 1 час меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2км/ч.

Ответ: 24

6.Катер прошел 5 км против течения реки и 21 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч.

Ответ: 24

7.Каждая из двух пристаней находится от поселка на расстоянии 36 км (по реке). От одной из них в сторону поселка отправился плот. Спустя 8 часов от другой пристани навстречу плоту вышла лодка, собственная скорость которой 12 км/ч. Найдите скорость плота, если в поселок лодка и плот прибыли одновременно.

Ответ: 3

9.Катер прошел по течению реки расстояние от А до В за 3 часа, а от В до А - за 5 часов. За какое время проплывет от А до В плот?

Ответ: 15

10.Если пароход и катер плывут по течению, то расстояние от А до В пароход покрывает в полтора раза быстрее, чем катер, при этом катер каждый час отстает от парохода на 8 км. Если же они плывут против течения, то пароход проходит от В до А в два раза быстрее катера.

Найти скорость парохода в стоячей воде (в км/ч).

Ответ: 20.

2.Задачи на работу и производительность труда (5 часов)

В задачах на работу объем всей работы удобнее принять за 1,

или затем найти производительность труда (скорость выполнения работы, работу, произведенную в единицу времени) каждого из работающих и затем производительность труда работающих, если они работают одновременно.

К задачам на работу относят задачи на перекачивание жидкости.

Задачи для решения

1.В бассейн вместимостью 800 литров проведены две трубы, которые наполняют его при отдельном действии первая – за 16 ч, вторая – за 24 ч. За сколько часов наполняется бассейн при одновременном действии обеих труб?

Ответ: 9,6

2. Двум операторам поручили набрать на компьютере текст книги объемом 315 страниц. Один оператор, отдав второму 171 страницу книги, взял остальные страницы себе. Первый выполнил свою работу за 12 дней, а второй свою – за 19. Сколько страниц книги должен был сразу взять себе первый оператор (отдав остальные второму), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое число дней?

Ответ: 180

3. Одна машинистка печатает текст за 7 минут, а другая печатает тот же текст за 3 минуты. За какое время ( в минутах), работая одновременно, напечатают в два раза больший текст ?

Ответ: 4,2

4 Два каменщика могут выложить стену за 6 часов. Через три часа после начала работы второй каменщик получил травму и ушел, после чего первый закончил работу за 4 часа. Сколько часов потребовалось бы для того, чтобы выложить стену второму каменщику, если бы он не получил травму и работал один? Ответ: 12

5. Каменщик строил стену в течение 5 дней один, потом к нему присоединился второй и вместе они закончили работу за 4 дня. За сколько дней первый выполнил бы всю работу, если известно, что ему потребовалось бы на 5 дней больше, чем второму?

Ответ: 15

6. Двум рабочим было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как первый проработал 7 часов, а второй 4 часа, оказалось, что они выполнили 5/9 всей работы. Проработав вместе еще 4 часа, они установили, что остается выполнить еще 1/18 всей работы. За сколько часов первый из них, работая отдельно, мог бы выполнить всю работу?

Ответ: 18

7.Два преподавателя, работая вместе с одинаковой скоростью принимают экзамен в группе студентов за 3,5 часа. За сколько времени преподаватели примут экзамен, работая вместе, если один из них увеличит производительность на 80% ?

Ответ: 2,5

8. Для наполнения плавательного бассейна водой имеются три насоса. Первому насосу для наполнения бассейна требуется времени в три раза меньше, чем второму, и на 2 часа больше, чем третьему. Три насоса, работая вместе, наполнили бы бассейн за 3 ч, но по условиям эксплуатации одновременно могут работать только два насоса. Определите минимальную стоимость (в рублях) наполнения бассейна, если 1ч работы любого из насосов стоит 140 руб.

Ответ: 960

9. Три трубы заполняют вместе бассейн за 5 часов. Производительность труда труб относятся как 3:4:5. За сколько часов заполнится бассейн если сначала работала 1-я труба, через час стали работать 2-я и 3-я , а еще через час 1-я труба сломалась?

Ответ: 7

10.Два маляра, работая вместе, могут за 1 час покрасить стену площадью 40 кв.м. Первый маляр, работая отдельно, может покрасить 50 кв.м стены на 4 часа быстрее, чем второй покрасит 90 кв.м такой же стены. За сколько часов первый маляр сможет покрасить 100 кв.м стены?

Ответ: 4

11.Токарь и его ученик, работая одновременно, обычно выполняют задание за 4 часа. При этом производительность труда токаря в 1,5 раза выше производительности труда ученика. Получив такое же задание и работая по очереди, они справились с заданием за 9 часов работы. Какую часть задания выполнил ученик токаря?

Ответ: 0,7

12.Отец с сыном должны вскопать огород. Производительность труда у отца в полтора раза больше, чем у сына. Работая вместе, они могут вскопать огород за 4 часа. Однако вместе они проработали только полчаса, потом некоторое время работал один сын, а заканчивал работу уже один отец. Сколько часов в общей сложности работал отец, если вся работа на огороде была выполнена за 6,5 часов?

Ответ: 6

Самостоятельная работа №1.

Задача. За период времени рабочие должны были собрать 90 автомобилей. Первые 4 часа рабочие работали по графику. Потом они стали собирать на 1 автомобиль в час больше. И за 1 час до конца периода они собрали 94 автомобиля. Сколько автомобилей в час по графику должны были собирать рабочие?

Ответ: 6 автомобилей

3. Задачи с целочисленными неизвестными (2 часа)

Рассмотрим задачи, где используется запись числа в десятичной позиционной системе счисления. При решении таких задач надо знать, что любое натуральное число N можно представить в виде

N=,

где - число единиц, - число десятков и т. д.

Если число N не делится нацело на р, то N= к·р +r, где r- остаток, а к - неполное частное.

Например, 23 = 2·10 + 3 145 = 1· 100 + 4· 10 + 5 148 = 29·5 + 3

Задачи для решения

1.Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Ответ: 32

2. Сумма цифр трехзначного числа равна 16, а произведение цифры сотен на цифру десятков равно 48. Если из этого числа вычесть 594, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное трехзначное число.

Ответ: 862

3. Двузначное число при делении на сумму своих цифр дает в частном 7,а в остатке 6. При делении на произведение своих цифр число дает в частном 5, а в остатке – цифру единиц. Найдите исходное число.

Ответ: 62

4. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет больше первого в 77 раз. Найдите это число.

Ответ: 15

5. Первая цифра четырехзначного числа 7. Если эту цифру переставить на последнее место, то получится число меньше первоначального на 864. Найдите первоначальное число.

Ответ: 7681

6. Если из двузначного числа вычесть число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим квадрат четного числа. Найдите наименьшее из всех возможных чисел.

Ответ: 51

4. Задачи на смеси и сплавы (4 часа)

Задачи на смеси и сплавы можно решать различными способами. Мы рассмотрим два способа: алгебраический (с помощью уравнения) и старинный способ. При решении задач обычно прослеживают содержание какого-либо одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются) и либо составляют уравнение, либо решают старинным способом. Старинный способ во многих случаях бывает рациональнее, т.к. экономит время при решении. Рассмотрим решение задачи в общем виде.

Задача. Пусть смешиваются два раствора ( куска) массой х и у. В первом процентное содержание одного из веществ p%, а во втором- q%. В каком отношении нужно взять эти растворы ( куски), чтобы получить сплав с r % содержанием этого вещества?

Решение.

Для определенности возьмем р<q, тогда р<r<q.

0,01х – составляет 1% первого раствора, 0,01хр – составляет р % , т.е. столько рассматриваемого вещества в первом растворе,

0,01у – составляет 1% второго раствора, 0,01хq – составляет q %, т.е.

столько рассматриваемого вещества во втором растворе.

0,01(х+у) - составляет 1% cмеси, 0,01(х+у)r – составляет r %, т.е.

столько рассматриваемого вещества в смеси.

Т.к. количество вещества в смеси равно сумме его в первом и втором растворах, составим уравнение

0,01хр + 0,01уq = 0,01(х+у)

хр + уq = (х+у)r

xp – xr = yr – yq

x(p – r) = y(r –q), откуда имеем .

Это отношение удобно находить, используя следующую схему:

х р % q – r

r %

y q % r – p

Эта схема используется при решении задач старинным способом.

Задачи для решения

1. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 40% меди?

Ответ:1,5 кг

2. Имеется два сплава, первый содержит 5% никеля, а второй 40% никеля. Сколько надо взять того и другого сплава, чтобы получить 140 т с содержанием никеля 30%?

Ответ: 40 т , 100 т

3. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?

Ответ: 13,5 кг

4. Смешали 30% раствор соляной кислоты с 10%-ным раствором и получили 600г 15%-ого раствора. Сколько г каждого раствора было взято?

Ответ:150 г – 30% и 450 г – 10%

5. Сплав меди и цинка содержал 82% меди. После добавления в сплав 18 кг цинка процентное содержание меди в сплаве понизилось до 70%. Сколько меди и сколько цинка было в сплаве первоначально?

Ответ:86,1 кг; 18,9 кг

6. Сплав олова и меди, масса которого 11 кг, содержит 55% олова. Сколько кг олова нужно добавить в сплав, чтобы повысить содержание олова в сплаве до 60%?

Ответ:3 кг

7. Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней стало 4%?

Ответ:20 кг

8. Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Ответ:200 кг

9. Свежие грибы содержат 90% воды по массе, а сухие – 12%. Сколько кг сухих грибов получится из 22 кг свежих?

Ответ:2,5 кг

10. Собрали 100 кг грибов, влажность которых 99%.Когда грибы подсушили, их влажность снизилась до 98%. Какова стала масса грибов?

Ответ:50 кг

Самостоятельная работа №2.

Задача 1. Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число. Ответ: 24

Задача 2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 9 кг, содержащий 40 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы сплав содержал 30% меди?

Ответ: 3 кг

5. Задачи на прогрессии (3 часа)

При решении задач кроме определений арифметической и геометрической прогрессий необходимо знать формулы n-го члена и суммы n первых членов, а также характеристические свойства прогрессий:

() – арифметическая прогрессия, тогда

() – геометрическая прогрессия, тогда

, q1

Задачи для решения

1.Девятый член арифметической прогрессии равен - 43, а сумма первых пятнадцати членов равна - 570. Найдите сумму седьмого, одиннадцатого и семнадцатого членов этой прогрессии.

Ответ: - 169

2.Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 115,а сумма последних пяти равна 515; первый член равен 13. Найдите число членов этой прогрессии.

Ответ: 21

3.Сумма первых семи членов арифметической прогрессии равна восьмому члену этой прогрессии, а третий член равен 2. Найдите число членов прогрессии, модуль которых не превосходит 13.

Ответ: 4

4.Произведение третьего и восьмого членов геометрической прогрессии равно 3. Найдите произведение первых десяти членов.

Ответ: 243

5.Бесконечную десятичную периодическую дробь 1, 1666… переведите в обыкновенную

и в ответе запишите произведение полученной обыкновенной дроби на 18.

Ответ: 21

6.За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 2600 рублей, а за каждое следующее платили на 200 рублей меньше, чем за предыдущее. Кроме того по окончании работы было заплачено еще 4000 рублей. Средняя стоимость установки одного кольца оказалась равной 2244 4/9 рубля. Сколько колец было установлено?

Ответ: 9

7.Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м, а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м ?

Ответ: 8

8.Банк выплачивает вкладчикам (добавляет к сумме вклада) 10% годовых (от суммы, лежащей на счете в момент начисления 10%). Через какое минимальное число лет вклад увеличится не меньше, чем в 1,5 раза?

Ответ: 5

9.Дан квадрат со стороной 128 см. Середины его сторон являются вершинами второго квадрата. Середины сторон второго квадрата являются вершинами третьего квадрата и т. д. Найдите длину стороны седьмого квадрата.

Ответ: 16

10.В правильный треугольник, сторона которого 6, вписана окружность, а в нее вписан правильный треугольник; в этот треугольник опять вписана окружность и т.д. Найдите сумму периметров треугольников.

Ответ: 36.

Указания, решения и ответы

1. х км/ч- скорость товарного поезда

2х км/ч- скорость товарного

х=54 Ответ: 108 км/ч

2.. х км/ч- скорость велосипедиста

(х+60) км/ч- скорость мотоциклиста

х=6 Ответ: 6 км/ч

3. х км

А (х-15)км С 15км В

4 мин на СА 35 мин на АВ

ск. легкового авто

мин - время легкового автомобиля на ВС

скорость грузового автомобиля

время грузового автомобиля на АС

Время автомобилей до встречи одинаково.

х = 21 Ответ: 21 км

4. у км 45 минут = ¾ часа

у : ¾ =км/ч – ск. вел. А х час вел. С х час пеш. В х = (час) км – ВС

Ответ: 30 минут

5. х км/ч- собственная скорость катера

х=24 Ответ: 24 км/ч

6. . х км/ч- собственная скорость катера

х=24 Ответ: 24 км/ч

7. х км/ч- скорость плота (скорость течения реки)

х=3 Ответ: 3 км/ч

8. х км/ч – скорость реки (плота)

у км/ч – собственная скорость катер

(х+у) км/ч – скорость катера по течению

(у-х) км/ч - скорость катера против течения

Расстояние АВ равно расстоянию ВА.

3(х+у) = 5(у-х), у = 4х

Ответ: 15 часов

9. х км/ч – скорость парохода в стоячей воде

(х – 8) км/ч – скорость катера в стоячей воде

у км/ч – скорость течения реки

Если время в несколько раз больше, значит скорость во столько же раз

меньше. Получим систему

(х-8+у)·1,5 = х+у

(х-5-у) ·2 = х-у х=20 Ответ: 20 км/ч

1. 800:16= 50(л) – в час заполняет 1 труба

800:24= (л) – в час заполняет 2 труба, (50+)· t = 800, t= 9,6

Ответ: 9,6 часов

2. 171 страницу получил второй оператор

315-171=144(стр.) – получил первый оператор

144:12= 12(стр.) – в день набирал первый оператор

171:19=9(стр.) - в день набирал второй оператор

Пусть первому оператору надо было взять х страниц.

х : 12 = (315 – х) : 9, х=180 Ответ: 180 страниц

3. t= 4,2 Ответ: 4,2 часа

4. х час. – надо первому каменщику, чтобы выполнить всю работу

у час. - надо второму каменщику, чтобы выполнить всю работу

, , , х=8, у=24

Второму каменщику за половину работы потребуется 12 часов.

Ответ: 12 часов

5. х час. – надо первому каменщику, чтобы выполнить всю работу

у час. - надо второму каменщику, чтобы выполнить всю работу

х=15 Ответ: 15 часов

6. х ч. - надо первому рабочему, чтобы выполнить всю работу

у ч. - надо первому рабочему, чтобы выполнить всю работу

х=18 Ответ: 18 часов

7. х ч. – надо 1 или 2 преподавателю, чтобы принять экзамен

х=7 - производительность труда каждого

= - стала производительность первого

t =2,5 Ответ: 2,5 часа

8. х ч. – надо 1 насосу для наполнения бассейна

у ч. - надо 2 насосу для наполнения бассейна

z ч. - надо 3 насосу для наполнения бассейна

х=6, у=18, z=8 , t=

140 руб.· = 960 руб.

Ответ: 960 рублей

9. . х ч. – надо 1 трубе, чтобы наполнить весь бассейн

у ч. - надо 2 трубе, чтобы наполнить весь бассейн

z ч. - надо 3 трубе, чтобы наполнить весь бассейн

х = 20, у = 15, z = 12

t = 7

Ответ: 7 часов

10. х ч. – надо 1 маляру, чтобы покрасить 40 кв. м

у ч. - надо 2 маляру, чтобы покрасить 40 кв. м

1,3 ч. --- 40 кв. м

z ч. --- 100 кв. м

z = 4 Ответ: 4 часа

11. х час. – надо токарю, чтобы выполнить всю работу

у час. - надо ученику, чтобы выполнить всю работу

х =, у=10

у = 1,5х 0,1часть работы выполняет ученик в час

1:20/3=0,15 часть выполняет токарь в час

Пусть tчасов работал токарь, tчасов работал ученик

0,15 t+0,1 t=1 t=2, t=7 0,1· 7=0,7(часть) – сделал ученик

t+ t=9

Ответ: 0,7

12. х час. – надо отцу, чтобы выполнить всю работу

1,5х час. – надо сыну, чтобы выполнить всю работу

х =, час. – надо отцу, 10 час. - сыну

Пусть tчасов работал один отец, tчасов работал один сын

t= 5,5 t = 0,5

t + t+0,5 = 6,5 Отец работал 0,5+5,5=6 часов.

1. d=-5, ,

Ответ: -169

2. d =5

Ответ: 21

-10; -4; 2; 8; 14;… - 4 члена не превосходит 13

Ответ: 4

4. - геометрическая прогрессия

Ответ: 243

5. 1,166666… = 1,1+0,06 +0,006 +0,0006 +…

0,06 +0,006 +0,0006 +… - бесконечно убывающая геом. прогрессия,

где первый член равен 0,06, q = 0,1.

1,166666… = 1,1+0,06 +0,006 +0,0006 +…= 1,1+

Ответ: 21

6. 2600; 2400; …; 2600-200(п-1) –арифметическая прогрессия

n = 9

Ответ: 9 колец

7. 800; 775; …; 800-25(n-1) - арифметическая прогрессия

n = 57 – не удовлетворяет условию задачи

n = 8

Ответ: через 8 часов

8. х – вклад в банк

х+0,1х = 1,1х - вклад в банк через 1 год

1,1х + 0,11х= 1,21х - вклад в банк через 2 года

1,21х+ 0,121х= 1,331х - вклад в банк через 3 года

1,331х+ 0,1331х= 1, 4641х - вклад в банк через 4 года

1,4641х + 0, 14641х = 1, 61051х - вклад в банк через 5 лет, т.е.1,5х

или

1,1х; 1,21х; 1,331х;… - геометрическая прогрессия, q = 1,1

n 5

Ответ: через 5 лет

9. - длины сторон квадрата

q =

Ответ: 16

10.

, и т. д.

18; 9; … - бесконечно убывающая геом. прогрессия, q = ½

Ответ: 36

Литература

1. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры // Книга для учителя. М.: Просвещение, 1991.

2. Шарыгин И.Ф. Математика // Для поступающих в ВУЗы. М.: Издательский дом «Дрофа», 1997.

3. Кипнис И.М. Задачи на составление уравнений и неравенств. М.: Просвещение, 1990.

4. Варианты ЕГЭ - 2003-2007гг.

5. Контрольно- измерительные материалы для подготовки к

ЕГЭ – 2002 – 2008 гг.

6. Агаков В.Г. Элементарная математика и начала анализа.

Чебоксары: Изд-во ЧГУ, 1991.

7. Олехник С.Н. и др. Старинные занимательные задачи //М.: Наука,

1998.

8. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи //

Книга для учащихся.М.: Просвещение, 1984.

Задачи в обучении математике»

Учебно - тематический план №

Тема Элементы содержания образования

Рейтинговая оценка знаний (в скобках - максимальное количество баллов за каждый этап) №

Анкета Сумеете ли Вы применить рассмотренные методы для решения задач? а) да; б) нет; в) частично

Задачи для решения 1. Скорость пассажирского поезда в два раза больше скорости товарного, поэтому расстояние в он проходит на 2ч 30 мин быстрее, чем товарный

Задачи для решения 1.В бассейн вместимостью проведены две трубы, которые наполняют его при отдельном действии первая – за 16 ч, вторая – за 24 ч

Самостоятельная работа №1 .

Решение. Для определенности возьмем р< q , тогда р< r < q

Самостоятельная работа №2. Задача 1

Указания, решения и ответы 1

Если время в несколько раз больше, значит скорость во столько же раз меньше

Ответ: 7 часов 10. х ч. – надо 1 маляру, чтобы покрасить у ч

Ответ: 4 4. - геометрическая прогрессия

Ответ: 16 10. , и т

Литература 1

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

25.03.2017