ЗАДАНИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНОГО ТУРА ПРЕДМЕТНОЙ ОЛИМПИАДЫ. МАТЕМАТИКА. 9 КЛАСС.

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ШКОЛЬНОГО ТУРА ПРЕДМЕТНОЙ ОЛИМПИАДЫ. МАТЕМАТИКА. 9 КЛАСС. Время выполнения работы – 2,5 часа. Максимальное количество баллов – 30. 1. Магазин купил у фирмы 22 холодильника по одинаковой цене. Сколько холодильников смог бы купить магазин у этой фирмы на эту же сумму денег, если бы она снизила цену на холодильники на 12 %? 5 баллов 2. Известно, что доля  блондинов  среди голубоглазых  больше, чем доля блондинов   среди   всех   людей.   Что   больше   –   доля   голубоглазых   среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?  5 баллов 3. Построить график уравнения:  2х2 + 4х +2у2 – 4у – 5(х + 1)(у – 1) + 4 = 0. 7 баллов 4. Доказать,   что   уравнение   (х – а) (х – b)  +  (х – b) (х – с)  +  (х – с) ∙ ∙ (х – а)  = 0 имеет действительные корни при любых действительных числах а, b, с.  6 баллов 5. Катеты треугольника равны 3 см и 4 см. Через середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность, причем гипотенуза касается окружности. Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в эту окружность.  7 баллов 1.   Пусть  х  –   цена   1­го   холодильника,  у  –   затраченная   сумма   на   всю Ответы и указания покупку,   тогда   сможет купить  y x y 88,0 22  x .   0,88х  стоит   холодильник   после   уценки,   то   магазин 22 88,0 25   холодильников.  2. Пусть А – число блондинов, В – число голубоглазых людей, М – число A N голубоглазых   блондинов,  N  –   число   всех   людей.   По   условию,   M  B . B Умножим обе части неравенства на  A , то  M  A B N . О т в е т: доля голубоглазых среди блондинов больше, чем их доля среди всего населения. 3. Преобразовать уравнение к виду 2у2 – (5х + 9)у + 2х2 + 9х + 9 = 0.  Решить уравнение относительно у.   x y 3 2 . О т в е т: график уравнения состоит из двух прямых у = 2х +3 и  4. Доказать, что D  0 при любых а, b, с.  D = 4 ∙ (a + b +c)2 – 12 ∙ (ab + bc + ac) =  = 2 ∙ (2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ac) = = 2 ∙ [(a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc +c2) + (a2 – 2ac + c2)] =  = 2 ∙ [(a – b)2 + (b – c)2 + (a – c)2]  0.  при любых а, b, с.  5. Е А В F С D Е М О К Р D Известно, что АС = 4, ВС = 3. 1) Доказать, что EFD = 90. 2) Доказать, что ED – диаметр окружности. ED  AC 3) Доказать, что EBD  CBA, тогда   PE  60 sin  ED EM PE  OE  OE  5 3 1 2 4)  BE CB 10ED 3 ,  .  3 2 5 2 ;  ;   5 3 . 25 О т в е т:  12 3  см2.