Задания для школьной олимпиады 9 класс

Задания для школьной олимпиады в 9 классе.  1. Найти число  2а3+3а 11а−18 , если а3+7а – 9 = 0.       Решение:  (¿¿3+7а−9)−а3+4а−9 (а3+7а−9)+а3−4а+9 а ¿ −(¿¿3−4а+9) а3−4а+9 а ¿  =   = ­1. Ответ:  ­1. 2 . Решить уравнение  ( х 2 + 6 х ­ 4)( х 2 + 6 х ­ 3) = 12  Решение.   Раскрывать   скобки   не   имеет   смысла,   так   как   получится уравнение   четвертой   степени.   В   таких   случаях   применяется   метод подстановки, ведь в скобках присутствует одинаковый блок х 2 + 6 х .   Обозначая х 2 + 6 х = у , получим уравнение ( у ­ 4)( у ­ 3) = 12, отсюда у ( у ­ 7) = 0, у 1 = 0, у 2 = 7. Делаем обратную замену х 2 + 6 х = у . Если х 2 + 6 х = 0, то х 1 = 0, х 2 = ­ 6. Если х 2 + 6 х = 7, то, решая квадратное уравнение х 2 + 6 х ­ 7 = 0, получим х 1 = 0, х 2 = ­ 6, х 3 = ­7, х 4 = 1 .  Ответ: х 1 = 0, х2 = ­ 6, х 3 = ­7, х 4 = 1  3. Найти все решения системы      4 x x 4  1  1 y y Решение. Из первого уравнения следует, что   и  1x 1y . Поскольку x 1 y то  0 x 1   и  0 y 1 . Если x и y одновременно больше нуля, то каждое из них строго   меньше   единицы.   Тогда   1 4  x   чего   не   может   быть.   В 4 y  1 y x оставшихся случаях получаем пары решений x=0, y=1;  x=1, y=0. Ответ:(0;1), (1;0) 4.Пусть АВС – остроугольный треугольник и D – середина BC. Выберем на отрезке AD произвольную точку E и обозначим через M ее проекцию на  BC. В свою очередь, точки  P  и  N  есть проекции  M  на   AC  и  AB. Доказать, что угол MPE равен углу MNE. Решение. Пусть B’  и C’ – точки пересечения со сторонами AC и AB прямой, проходящей через  E  и параллельной  BC. Так как    CEEB , а отрезок  EM перпендикулярен B’C’ и BC, то  треугольник B’C’M – равнобедренный. Кроме того, четырехугольники   MPB’E  и  MEC’N  вписаны в окружности (у них по паре   прямых   противоположных   углов).   Поэтому   имеет   место   цепочка равенств для углов:   MPE  EBN  Что и требовалось доказать. ECM  MNE . 5.  В классе 30 человек. В диктанте Саша Иванов сделал 13 ошибок, а остальные ­ меньше. Доказать, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 0 ошибок).  Доказательство.   Предположим   противное,   что   никакие   3   ученика   не сделали ошибок поровну. Тогда 0 ошибок сделало не более 2 учеников, 1 ошибку ­ тоже не более двух, и т.д., 12 ошибок ­ не более двух учеников и 13 ошибок сделал один Саша Иванов. Всего учеников будет не более 2 ∙ 13 + 1 = 27,   что   противоречит   условию.   Значит,   наше   предположение   неверно   и существуют   3   ученика,   сделавших   одинаковое   количество   ошибок. Утверждение доказано. 6. При каких значениях к число 0 находится между корнями уравнения  х2 + 3х + (к – 4)(1 – к) = 0? Решение:  х2 + 3х + (к – 4)(1 – к) = 0;  D ¿  0;   9 – 4(5к – 4 – к2)  ¿  0;                  9 – 20к + 16 + 4к2)  ¿  0;  (2к – 5)2  ¿  0; к – любое число; к  ≠ 2,5.                0 находится между корнями уравнения, если f(0)  ¿  0                ( ветви параболы направлены вверх) ; f(0) = (к – 4)(1 – к) = ­к2 + 5к ­4    ­к2 + 5к ­4 ¿  0;  к  ¿  1;  к  ¿  4. Ответ: к  ¿  1;  к  ¿  4.                                        Критерии оценивания заданий 1. Найден верный способ решения,  но допущена   вычислительная ошибка – 3 балла, Задача полностью решена – 5 баллов. 2. Выполнена замена, но допущена одна вычислительная ошибка – 3 балла. Задача полностью решена – 5 баллов. 3.   Дан   ответ   без   обоснования   –   1   балл.   В   обосновании   допущена   ошибка логического характера – 3 балла. Задача полностью решена – 5 баллов. 4.  Доказано, что треугольник B’C’M – равнобедренный ­  2 балла, доказано, что   четырехугольники   MPB’E  и  MEC’N  вписаны в окружности – 4 балла. Задача полностью решена – 5 баллов. 5.   Найден   верный   способ   решения   –   1   балл.   Доказательство   проведено частично – 3 балла. Задача полностью решена – 5 баллов. 6. Определены значения  к, при которых данное уравнение имеет корни – 3 балла. Задача полностью решена – 5 баллов.