Закон всемирного тяготения.

ОТКРЫТИЕ И ПРИМеНЕНИЕ ЗАКОНА ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения

Все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Где m1 и m2 - массы тел;
г - расстояние между телами;
G - гравитационная постоянная;

Исаак Ньютон (1643-1727)

Открытию закона всемирного тяготения во многом способствовали законы движения планет, сформулированные Кеплером, и другие достижения астрономии XVII в.

Знание расстояния до Луны позволило Исааку Ньютону доказать тождественность силы, удерживающей Луну при ее движении вокруг Земли, и силы, вызывающей падение тел на Землю.

Так как сила тяжести меняется обратно пропорционально квадрату расстояния, как это следует из закона всемирного тяготения, то Луна, находящаяся от Земли на расстоянии примерно 60 ее радиусов, должна испытывать ускорение в 3600 раз меньшее, чем ускорение силы тяжести на поверхности Земли, равное 9,8 м/с . Следовательно, ускорение Луны должно составлять 0,0027 м/с2.

В то же время Луна, как любое тело, равномерно движущееся по окружности, имеет ускорение

Если считать, что радиус Земли равен 6400 км, то радиус лунной орбиты будет составлять r= 60 • 6 400 000 м = 3.84 • 1 0 6 0 0 6 6 0 6 м.

где w - ее угловая скорость, г- радиус ее орбиты.

Исаак Ньютон (1643-1727)

Звездный период обращения Луны T= 27,32 суток, в секундах составляет 2,36 - 10 с.

Равенство этих двух величин ускорения доказывает, что сила, удерживающая Луну на орбите, есть сила земного притяжения, ослабленная в 3600 раз по сравнению с действующей на поверхности Земли.

𝛼𝛼=( 2𝜋 𝑇 ) 2 2𝜋 𝑇 2𝜋𝜋 2𝜋 𝑇 𝑇𝑇 2𝜋 𝑇 ) 2𝜋 𝑇 ) 2 2 2𝜋 𝑇 ) 2 ∙𝑟𝑟= 2∙3,14 2,36∙ 10 6 𝑐 2∙3,14 2∙3,14 2,36∙ 10 6 𝑐 2,36∙ 10 6 10 10 6 6 10 6 𝑐𝑐 2∙3,14 2,36∙ 10 6 𝑐 ∙3,84∙ 10 6 10 10 6 6 10 6 м=0,0027 м/ с 2 с с 2 2 с 2 .

Тогда ускорение орбитального движения Луны

При движении планет, в соответствии с третьим законом Кеплера, их ускорение и действующая на них сила притяжения Солнца обратно
пропорциональны квадрату расстояния, как это следует из закона всемирного тяготения.

Действительно, согласно третьему закону Кеплера отношение кубов больших полуосей орбит d и квадратов периодов обращения Т есть величина постоянная:

Итак сила взаимодействия планет и
Солнца удовлетворяет закону всемирного тяготения.

поэтому ускорение планеты равно

Из третьего закона Кеплера следует

Ускорение планеты равно

Исаак Ньютон (1643-1727)

ВОЗМУЩЕНИЯ В ДВИЖЕНИЯХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ

Движение планет Солнечной системы не в точности подчиняется законам Кеплера из-за их взаимодействия не только с Солнцем, но и между собой.
Отклонения тел от движения по эллипсам называют возмущениями.
Возмущения невелики, так как масса Солнца гораздо больше массы не только отдельной планеты, но и всех планет в целом.

Особенно заметны отклонения астероидов и комет при их прохождении вблизи Юпитера, масса которого в 300 раз превышает массу Земли.

Вильям Гершель в 1781 г. открыл планету Уран.
Даже при учете возмущений со стороны всех известных планет наблюдаемое движение Урана не согласовывалось с расчетным.
Вильям Гершель
На основе предположения о наличии еще одной «заурановой» планеты Джон Адамс в Англии и Урбен Леверье во Франции независимо друг от друга сделали вычисления ее орбиты и положения на небе.
На основе расчетов Леверье немецкий астроном Иоганн Галле 23 сентября 1846 г. обнаружил в созвездии Водолея неизвестную ранее планету - Нептун.
По возмущениям Урана и Нептуна была предсказана, а в 1930 году и обнаружена карликовая планета Плутон.

Открытие Нептуна стало триумфом гелиоцентрической системы, важнейшим подтверждением справедливости закона всемирного тяготения.

В XIX в. расчет возмущений позволил открыть планету Нептун.

Вильям Гершель

Джон Адамс

Урбен Леверье

Иоганн Гале

Уран.

Нептун.

Плутон.

МАССА И ПЛОТНОСТЬ ЗЕМЛИ

Закон всемирного тяготения позволил определить массу Земли.

В соответствии с законом всемирного тяготения ускорение свободного падения

Зная массу и объем земного шара, можно вычислить его среднюю плотность:

С глубиной за счет увеличения давления и содержания тяжелых элементов плотность возрастает

𝑔𝑔=9,8 м/ с 2 с с 2 2 с 2 ,

𝐺𝐺=6,67• 10 −11 10 10 −11 −11 10 −11 H• м 2 м м 2 2 м 2 / кг 2 кг кг 2 2 кг 2

М=6• 10 24 10 10 24 24 10 24 кг

5,5• 10 3 10 10 3 3 10 3 кг/ м 3 м м 3 3 м 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАССЫ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

Более точная формула третьего закона Кеплера, которая была получена Ньютоном, дает возможность определить массу небесного тела.

Пусть два взаимно притягивающихся тела обращаются по круговой орбите с периодом т вокруг общего центра масс. Расстояние между их центрами R =r1+r2

На основании закона всемирного тяготения ускорение каждого из этих теп равно:

Угловая скорость обращения вокруг центра масс:

Центростремительные ускорения теп:

Приравняв полученные для ускорений выражения, выразив из них г1 и г2 и сложив их почленно, получаем:

откуда

В правой части выражения находятся топько постоянные величины, поэтому оно справедливо для любой системы двух тел, взаимодействующих по закону тяготения и обращающихся вокруг общего центра масс, - Солнце и планета, планета и спутник.

𝛼𝛼1=𝐺𝐺 𝑚2 𝑅 2 𝑚𝑚2 𝑚2 𝑅 2 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 𝑚2 𝑅 2 ,𝛼𝛼2=G 𝑚1 𝑅 2 𝑚𝑚1 𝑚1 𝑅 2 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 𝑚1 𝑅 2 .

𝜔𝜔= 2 𝜋 2 𝑇 2 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 2 𝜋 2 𝑇 𝑇𝑇 2 𝜋 2 𝑇 .

𝛼𝛼1= 4 𝜋 2 𝑇 2 4 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 4 𝜋 2 𝑇 2 𝑇 2 𝑇𝑇 𝑇 2 2 𝑇 2 4 𝜋 2 𝑇 2 r1,𝛼𝛼2= 4 𝜋 2 𝑇 2 4 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 4 𝜋 2 𝑇 2 𝑇 2 𝑇𝑇 𝑇 2 2 𝑇 2 4 𝜋 2 𝑇 2 r2.

𝐺𝐺= (𝑚1+𝑚2) 𝑅 2 (𝑚𝑚1+𝑚𝑚2) (𝑚1+𝑚2) 𝑅 2 𝑅 2 𝑅𝑅 𝑅 2 2 𝑅 2 (𝑚1+𝑚2) 𝑅 2 = 4 𝜋 2 𝑇 4 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 4 𝜋 2 𝑇 𝑇𝑇 4 𝜋 2 𝑇 (r1+r1),

𝑇 2 (𝑚1+𝑚2) 𝑅 3 𝑇 2 𝑇𝑇 𝑇 2 2 𝑇 2 (𝑚𝑚1+𝑚𝑚2) 𝑇 2 (𝑚1+𝑚2) 𝑅 3 𝑅 3 𝑅𝑅 𝑅 3 3 𝑅 3 𝑇 2 (𝑚1+𝑚2) 𝑅 3 = 4 𝜋 2 𝐺 4 𝜋 2 𝜋𝜋 𝜋 2 2 𝜋 2 4 𝜋 2 𝐺 𝐺𝐺 4 𝜋 2 𝐺 .

𝑇1 2 (М+𝑚1) 𝛼 1 3 𝑇1 2 𝑇𝑇1 𝑇1 2 2 𝑇1 2 (М+𝑚𝑚1) 𝑇1 2 (М+𝑚1) 𝛼 1 3 𝛼𝛼 1 3 1 1 3 3 1 3 𝑇1 2 (М+𝑚1) 𝛼 1 3 = 𝑇2 2 (𝑚1+𝑚2) 𝛼2 3 𝑇2 2 𝑇𝑇2 𝑇2 2 2 𝑇2 2 (𝑚𝑚1+𝑚𝑚2) 𝑇2 2 (𝑚1+𝑚2) 𝛼2 3 𝛼2 3 𝛼𝛼2 𝛼2 3 3 𝛼2 3 𝑇2 2 (𝑚1+𝑚2) 𝛼2 3 .

𝑀 𝑚1 𝑀𝑀 𝑀 𝑚1 𝑚𝑚1 𝑀 𝑚1 = 𝛼1 3 𝑇2 2 𝛼2 3 𝑇1 2 𝛼1 3 𝛼𝛼1 𝛼1 3 3 𝛼1 3 𝑇2 2 𝑇𝑇2 𝑇2 2 2 𝑇2 2 𝛼1 3 𝑇2 2 𝛼2 3 𝑇1 2 𝛼2 3 𝛼𝛼2 𝛼2 3 3 𝛼2 3 𝑇1 2 𝑇𝑇1 𝑇1 2 2 𝑇1 2 𝛼1 3 𝑇2 2 𝛼2 3 𝑇1 2

Определим массу Солнца из выражения:

где М - масса Солнца; m1 и m2 - массы Земли и Луны; T и - период обращения Земли вокруг Солнца (год) и большая полуось ее орбиты; T2 и 𝛼𝛼2 - период обращения Луны вокруг Земли и большая полуось уравнения

Пренебрегая массой Земли, которая ничтожно мала массой Солнца, и массой Луны, которая в 81 раз меньше массы Земли, получим:

Подставив в формулу соответствующие значения и приняв массу Земли за единицу, получим, что Солнце по массе больше

Массы планет, не имеющих спутников, определяют по тем возмущениям, которые они оказывают на движение астероидов, комет или космических аппаратов, пролетающих в их окрестностях.

ПРИЛИВЫ

Под действием взаимного притяжения частиц тело стремится принять форму шара. Если эти тела вращаются, то они деформируются, сжимаются вдоль оси вращения.

Кроме того, изменение их формы происходит и под действием взаимного притяжения, которое вызывают явления, называемые приливами.

Тяготение Солнца также вызывает приливы, но из-за большей его удаленности они меньше, чем вызванные Луной.

Между огромными массами воды, участвующей в приливных явлениях, и дном океана возникает приливное трение.

Приливное трение тормозит вращение Земли и вызывает увеличение продолжительности суток, которые в прошлом были значительно короче (5-6 ч).

Тот же эффект ускоряет орбитальное движение Луны и приводит к её медленному удалению от Земли.

Приливы, вызываемые Землей на Луне, затормозили ее вращение, и она теперь обращена к Земле одной стороной.

сизигийный

квадратурный

Библиографический список

https://ru.wikipedia.org/wiki/Классическая_теория_тяготения_Ньютона
https://mks-onlain.ru/vozmushcheniye-dvizheniya-tel-solnechnoy-sistemy-doklad/
https://en.wikipedia.org/wiki/Perturbation_(astronomy)
https://ru.wikipedia.org/wiki/Открытие_Нептуна
https://ru.wikipedia.org/wiki/Земля
https://fb.ru/article/270373/plotnost-zemli-izuchenie-planetyi
https://mks-onlain.ru/opredeleniye-massy-nebesnykh-tel-vyvod-formuly/
https://en.wikipedia.org/wiki/Tide