Замечательные кривые

Министерство образования Республики Башкортостан Казенное учреждение «Управление образования» Городского округа город Кумертау Республики Башкортостан Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Гимназия №1 имени Героя Советского Союза Н.Т. Антошкина Городского округа город Кумертау Республики Башкортостан ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ  КРИВЫЕ y=ax2+bx+c y=x2 y=ax+b cx+d y=k x Автор работ: Сирбаев Руслан Учащийся 9г класса МБОУ  Гимназии №1 Руководитель: Галеева Танзиля  Гайнисламовна, Учитель математики МБОУ  Гимназии №1 2015 1 Содержание 1. 2. Введение………………………………………………………..……2 Теоретическая часть…………………………………………...…….3 2.1. Как возникло и развивалось понятие функции …………………….……3 2.2. Квадратичная функция и ее график…………….………………….…….6 2.3. Дробно-линейная функция и ее график ……………………………8 3. 4. 5. Практическая часть…………………………………………….……9 3.1.Квадратичная функция и ее график…………………………….…9 3.1.1. Преобразование графика функции у=aх2+bx+c…………….9 3.1.2. Интересные свойства параболы………………………….…10 3.2.Дробно­линейная функция и ее график……………………...…..15 3.21. Преобразование графика функции  у=k 3.22. Интересные свойства гиперболы……………………...……17 Выводы……………………………………………………..….……22 Список использованной литературы……………………………..23 x …………………....15  Введение Тема   моей   научно­практической   работы   «Замечательные   кривые» заключается   в   исследовании   свойств   параболы   и   гиперболы   и     их поверхностей. Интерес к построению графиков функций появился у меня при 2 изучении квадратичной функции. Сдвиги, перемещения, сжатия и растяжения при построении графиков оказались для меня как занимательная игра и меня заинтересовали     не   только   графики   квадратичной   функции   и   обратной пропорциональности, но и их поверхности. Предметом   исследования  является   различные   интересные   свойства параболы и гиперболы. Объектом   моего   исследования  графики   дробно­рациональных     и квадратичных функций. Гипотеза  исследованной   мной   тема   будет   способствовать   сохранению достаточно   высокого   общекультурного   уровня   при   изучении   предмета   и повышению интереса к изучению математики. Основные свойства параболы и гиперболы   применяют   не   только   в   физике,   экономике,   технике,   но   и   в повседневной жизни. Цель   исследования  выяснить,   какими   свойствами   обладают   дробно­ рациональные  и квадратичные функции, заданные графически.  Также я ставлю перед собой следующие задачи: ­ Выявить, условие при вращении параболы вокруг оси ее симметрии какая поверхность получится. ­ Выявить, условие при вращении гиперболы вокруг оси ее симметрии какая поверхность получится. ­ Выявить те свойства, которые применяются в других науках, в технике и в жизни.  Метод исследования: изучение печатных источников, изучение печатных источников   сети   интернет,   опыты,   наблюдения,   анализ   полученной информации и выводы. 2. Теоретическая часть 2.1. Как возникло и развивалось понятие функции Понятие функции уходит своими корнями в ту далекую эпоху, когда люди   впервые   поняли,   что   окружающие   их   явления   взаимосвязаны.   В   те времена приходилось редко сталкиваться с более сложными зависимостями.  3 Высокого   уровня   достигла   математика   в   Древнем   Вавилоне.   Чтобы облегчить   вычисления,   вавилоняне   составили   таблицы   обратных   значений чисел, таблицы квадратов и кубов. Говоря современным языком, это было табличное задание функций. В древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку,   занимались   строгим   логическим   выводом   одних   утверждений   из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Живший   в  XI  веке   хорезмиец   аль­Бируни   разработал   более   точный способ интерполяции, основанный на замене данной функции квадратичной. Он указал, что этот способ применим ко всем таблицам, т.е. о всевозможных зависимостях между величинами. Исследование   общих   зависимостей   началось   в   14­15   веках.   На протяжении 16и 17 веков в естествознании произошла революция, приведшая к глубочайшим изменениям не только в технике, но и в мировоззрении людей. после   того,   как   Коперник   создал   гелиоцентрическую   систему,   «остановив Солнце и двинув Землю». [ 1,с.5] Рене   Декарт  в   своем   главном математическом   труде   "Геометрия" (1637)   впервые   ввел   понятие переменной   величины,   создан   метод координат, значки   для переменных величин (x, y, z, ...). [11]   ввел   4 Одновременно   с   Декартом   к мысли   о   соответствии   между линиями   и   уравнениями   пришел другой   французский   математики Пьер Ферма (1601­1665)     изучались После работ Декарта и Ферма возникла аналитическая геометрия ­ новая ветвь математики, в которой линии не геометрическими   методами,   а путем   исследования   их   уравнений. Открытия Декарта и Ферма дали в руки   математиков   метод   для получения и изучения новых кривых –   надо   было   написать   уравнение кривой и делать выводы, исследуя это уравнение. [15] Слово "функция" (от  латинского functio — совершение,  выполнение) впервые  употребил в  1673 г. немецкий математик  Лейбниц. [13]   «Функция   переменного количества   есть   аналитическое выражение,  cоставленное   каким­ либо образом из этого количества и чисел   или   постоянных   количеств» такое   функции написал   в   1748   г.   немецкий   и российский   математик     Леонард Эйлер…[12]   определение 5 Современное определение функции «у есть функция переменной х   (   на   отрезке   а   ≤   х   ≤  b  )   ,   если каждому   значению   х   на   этом отрезке   соответствует   совершенно определенное   значение   у,   причем безразлично образом установлено   это   соответствие   – аналитической формулой, графиком, таблицей   либо   даже   просто словами»  принадлежит…Дирихле. [14]   каким   Сейчас мы в школе, функцией называют такую зависимость переменной y от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом.  Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной  х образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная у образуют область значений функции. Иначе говоря, что у ­ есть функция величины х, если: 1. Задана область определения, т.е. указано, какие значения может принимать х. 2. Дано   правило,   по   которому   каждому   допустимому   значению   х можно поставить в соответствие единственное значение у. Какие могут быть правила: 1. Функция может быть задана формулой, т.е. аналитически. 2. 3. Функция может быть задана словесно. Функция может быть задана с помощью графика. Хотелось бы подробно рассмотреть третье правило. Как   при   помощи   графиков   некоторых   функций   получаются   поистине замечательными   кривыми,   населяющими   удивительный   мир   геометрии, которые встречаются в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе, имеют практическое приложение в жизни человека. Для этого   я   ознакомился   с   материалом   о   замечательных   кривых   и   их поверхностях,   в частности параболоида и гиперболоида, изучая, различных пособия и энциклопедия по математике.  2.2. Квадратичная функция и ее график 6 Чудесная парабола (загадка) Люблю я петь и веселиться,  В весёлом танце покружиться. Когда вокруг оси вращаюсь, Фигурой важной обращаюсь. А кавалеры подбегают, К автомобилю провожают. И каждый хочет пригласить –  На крыше дома погостить. Графиком   функции  называется   множество   точек   у   которых   абсцисса   а   ордината   – является   допустимыми   значениями   аргумент   х, соответствующими значениями функции у. Мы знаем, что графиком функции у=х² является кривая, лежащая в I и  II четвертях, симметричная относительно оси Оу и проходящая через начало координат, называемая  параболой. Графики  квадратных  трехчленов вида:  y=x²+px+q.  По  форме  графики ничем не отличаются от параболы  y=x², а занимают лишь другое положение относительно   координатных   осей.   Т.е,   график   функции    y=x²+px+q  ­ −р представляет   собой   параболу   у=х²,  сдвинутую   на   2     по   оси   Ох   и   на q−р2 4  по оси Оу.  Вершина этой параболы точка М имеет абсциссу Хм =  −р 2    и ординату Yм =  q−р2 4 . А графики функции   у=ах²+bх+с получаются из параболы у=ах² сдвигом по оси абсцисс на  −b 2a    и по оси ординат на  c− b2 4a . [4] 7 2.3. Дробно ­ линейная функция и ее график В меня поэты влюблены, Буквально все восхищены. Литературный я приём И график функции притом.  8 (загадка) Как   нам   уже   известно   графиком   функции   у=k/х   является   гипербола, которая имеет две асимптоты, прямую у=0 и прямую х=0. Асимптотой кривой называется прямая, к которой приближаются как угодно близко точки кривой по мере их удаления в бесконечность. Дробно­ линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида  y=ax+b cx+d Где х­ переменная,  a,b,c,d­ произвольные числа причем с не равно нулю и ad­bc тоже не равно нулю. Если   с=0,   то   получим   линейную   функцию,   а   при  ad­bc=0 сократимую дробь. Значение, которой равно   b d  – это уже постоянная. [4] 3. Практическая часть 1. Квадратичная функция и ее график 9 1. Преобразование   графика   функции у=ах2+bx+c Пример 1. Построить график функции  y=(х+2)2+4   График данной функции ничем не отличается от параболы y=x², поэтому нужно  нам найти вершину параболы точку М с абсциссой Хм = ­2 и ординатой yM = 4 .  График данной функции выглядит следующим образом, y y O x O x Пример 2. Чтобы построить график функции  y=2х2−4х+4  нужно нам −−4 2∙2 =1  и ординатой yM найти вершину параболы точку М с абсциссой Хм = =  4− 42 4∙2=2 . По форме график   ничем не отличаются от параболы  y=x², а занимают лишь   другое   положение   относительно   координатных   осей.   Т.е,   график функции   y=2х2−4х+4 ­ представляет собой параболу у=х², сдвинутую на 1 единицу масштаба  вправо по оси Ох и на 2 единицы вверх  по оси Оу [4,5] 2. Интересные свойства параболы 10 Из   школьного   курса   алгебры   известно,   что   парабола   –   это   график квадратичной   функции  y=ax2+bx+c,   где   а0.   Но   исторически   раньше появилось её геометрическое определение, которое в школьной программе не отражено. Вот оно: парабола – это геометрическое место точек плоскости, находящихся   на   одинаковом   расстоянии   от   данной   точки  F  и   от   данной прямой d.  Точку F называют фокусом параболы, прямую x= – d называют директрисой параболы. Например, для параболы  y=x2  фокусом является точка (0; 0,25), директрисой – прямая x= – 0,25.[9] Используя   это   геометрическое определение   параболы,   нетрудно смастерить устройство, с помощью которого можно чертить параболу. Для этого к вершине острого угла чертёжного   треугольника   нужно укрепить   нить   длиной,   равной катету.   Второй   конец   нити   с помощью   кнопки   укрепить   на бумаге.  Ещё понадобиться линейка и Зафиксировав положение   линейки,   заставим другой катет скользить по линейке. Карандаш,   прижатый   к   первому катету так, чтобы нить оставалась в рисовать натяжении, карандаш.       будет   11 параболу. фотографии.   Это   отражено   на Как   и   другие   конические   сечения,   парабола   обладает   оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это   свойство   параболы   используется   при   изготовлении   прожекторов, автомобильных   фар,   карманных   фонариков,   зеркала   которых   имеют   вид параболоидов вращения. [9] Если вращать параболу вокруг оси ее симметрии, то получится очень интересная   поверхность,   которая   называется  параболоидом   вращения.      Поверхность   жидкости   во вращающемся   сосуде   имеет   форму параболоида   вращения.   Вы   можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете   ложечкой   в   неполном стакане чая, а потом вынете ложечку. Например, параболу  y=x2   вокруг оси Оу. 12 Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе Если   пересечь   поверхность   конуса   плоскостью,   параллельной   какой   – либо одной его образующей, то в сечении получиться парабола. У   прожекторов   зеркало   обычно   делается   в   форме   параболоида.   Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок  Согласно легенде, Архимед из Сиракуз сжёг флот римлян, обороняя свой город с помощью параболических зеркал. Свойства таких зеркал применяют при конструировании солнечных печей, телескопов и др. 13 В зеркальных телескопах тоже применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокусе. В   парках   культуры   устраивают   иногда   забавные   аттракционы «параболоид чудес». Каждому из стоящих внутри вращающегося параболоида кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким­то чудом держатся на стенах.[1. C.178] Для приема сигналов вещательных телевизионных программ используют телевизионные   антенны.   Антенны   бывают   индивидуальные   (наружные   или   14 комнатные)   и   коллективные   (всегда   в   наружном   исполнении).   Примером коллективной   антенны   является   параболическая.   Параболическую   антенну называют зеркальной, т.к. она состоит из основного параболического зеркала и   облучателя.   Электромагнитная   энергия   подводится   к   облучателю, устанавливаемому у вершины параболоида, и излучается на малое зеркало, после отражения от которого направляется на основное зеркало. Применение вспомогательного зеркала облегчает получение оптимального распределения электромагнитного   поля   в   раскрыв   основного   зеркала,   что   обеспечивает максимальный коэффициент направленного действия и позволяет уменьшить длину линии, подводящей энергию к облучателю. Таким образом, улучшается качество изображения и происходит расширение диапазона.[10] 15 2. Дробно ­ линейная функция и ее 3.2.1.Преобразование графика функции график y=ax+b cx+d 16 1.   Чтобы   построить   график   функции   y=2x+4 выделить целую часть представив в виде дроби  n+ k . x−m x−1   нужно   нам x−1 =2+ 6 2x+4 х−1 . Т.е. График функции   y=2x+4 x−1    можно получить из графика функции с помощью   двух   параллельных   переносов:   сдвиг   гиперболы   у= 6 х   на   одну 6 единицу вправо вдоль оси х и сдвиг полученного графика у=   х−1   на 2 единицы вверх по оси у, т.е. опять перемещая точку пересечения осей в точку 6 М(1;2) построить на этой вспомогательной оси график функции у= х .[7, c. 25] 2. Для построения графика какой – нибудь дробно­линейной функции не обязательно преобразовывать дробь, задающую эту функцию. Поскольку мы знаем,   что   график   есть   гипербола,   достаточно   найти   прямые,   которые являются асимптотой и еще несколько точек. Например, чтобы построить график функции  у=3х+5 2х+2 Находим асимптоты этой гиперболы. а)   функция   не   определена,   если   2х+2=0,т.е.   при   х=­1,   стало   быть вертикальной асимптотой служит прямая х=­1. б)   чтобы   найти   горизонтальную   асимптоту,   посмотрим   к   чему приближается значение функции, когда аргумент возрастает по абсолютной величине. Для больших значений х    у=3х+5 2х+2 =3х 2х=3 2 Стало быть горизонтальная асимптоты прямая у= 3 2 . Определим точки пересечения нашей гиперболы с осями координат. При х=0, у=5/2 и при у=0, х=­5/3. Эти точки (0;5/2) и (­5/3;0). График будет выглядеть [7, c.26] 3.2.2.Интересные свойства гиперболы Гипербола   есть   геометрическое   место   точек   М,   разность   расстояний которых   до   двух   заданных   точек  F1   и  F2,   называемых   фокусами,   по абсолютной величине равна заданному числу.[6, c.38.] Гипербола   –   графическая   иллюстрация   обратной   пропорциональности. Она   показывает   зависимость   силы   тока   от   сопротивления;   времени   от скорости и т.д.  Свойства гиперболоида использовали при строительстве радиостанции в Москве, Эйфелевой башни в Париже.  Гиперболы используют для определения расстояния до источника звука.  При скорости больше 11,1 км/с тело будет двигаться по гиперболе и навсегда уйдёт от Земли.[10]           Комета   или   метеорит,   залетевшие   из   далека   в   солнечную   систему, движутся по ветви гиперболы. В фокусе находится Солнце. Одна асимптота дает   направление,   в   котором   комета   прилетает,   вторая   –   направление,   в котором она покидает солнечную систему.[1, c. 45] При бомбардировке атомного ядра α­частица, пролетающая мимо ядра, движется по гиперболе. Если вращать гиперболу вокруг ее оси симметрии, не пересекающей ее ветвей,  однополостным гиперболоидом.  Эта   поверхность   обладает   удивительным   свойством:   она «соткана»   из   прямых   линий.   Ажурная   мачта   московского   телецентра   то   получится   поверхность,   называемый составлена из «кусков» таких гиперболоидов, целиком сделанных из прямых стальных стержней. [1, c. 40]  Если   вращать   гиперболу   вокруг   другой   оси   симметрии,   то   полу­ чается   поверхность,   состоящая   из   двух   «кусков»   ­  двуполостный гиперболоид.  Именно   его   имел   в   виду   А.   Толстой   в   своем   романе «Гиперболоид   инженера   Гарина».   Впрочем,   нужным   инженеру   Гарину свойством – собирать лучи в параллельный пучок – обладает на самом деле не гиперболоид,   а   параболоид.   Так   что   правильней   было   бы   назвать   книгу «Параболоид инженера Гарина»[2, c.155] Если подходящим образом пересечь бесконечный конус плоскостью, то в сечении   получится   гипербола.   с круглым абажуром, вы можете в этом убедиться. Лампа освещает часть стены, ограниченную куском гиперболы.[2,c. 156]    Если   у   вас   есть   лампа Ещё пример – зона слышимости звука пролетающего самолёта. Если самолёт движется со сверхзвуковой скоростью, то в воздухе зона слышимости образует   конус   (рис).   Поверхность   Земли   может   приближённо   считаться плоскостью, рассекающей этот конус.[1,c. 36] 4.Вывод Работая над этой темой, я пришел к выводу, что:  ­ График функции у=f(x)+n можно получить из графика функции у=f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу на n единиц вверх, если n>0, или на ­ n единиц вниз, если n<0. График функции у=f(x­m) можно получить из графика функции у=f(x)   с помощью сдвига вдоль оси Ох на  m  единиц вправо, если m>0  и на –m единиц влево, если m<0. ­ Умение построить графики этих функций дает мне возможность решать уравнения, неравенства и их системы графическим способом. ­ В результате  экспериментов и опытов получил параболоиды вращения  ­ Используя геометрическое определение параболы, без труда смастерить устройство, с помощью которого можно чертить параболу ­ Получили   наглядный   и   интересный   пример   связи   двух   таких фундаментальных наук, как физика и математика. ­ Графики параболы и гиперболы обладают интереснейшими свойствами не   только   на   уроках   математики,   но   и   в   быту,   которые   мне   необходимо изучать и исследовать в дальнейшем. 5.Список использованной литературы 1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. Кн. Для внеклассного  чтения IX­X кл. – 2­е изд., испр.­ М.: Просвещение, 1985. – 192 с. 2. Виленкин Н.Я., Депман И.Я, «За страницами учебника математики»,  1989. 3. Глейзер. Г.И.  История математики в школе. Пособие для учителей. 1983  4. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч1. Учебник для учащихся  общеобразовательных учреждений /а.Г. Мордкович, П. В.Семенов. –  11­е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 224 с.  5. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч1. Учебник для учащихся  общеобразовательных учреждений /а.Г. Мордкович, П. В.Семенов. –  11­е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 224 с.    Просвещение,1993  Энциклопедический   словарь   юного   математика.­М.:   6. 7. Шарыгин   И.Ф.,   Голубев   В.И.  Факультативный   курс  по   математике. Решение задач. М.: Просвещение, 1992.­384 с. 8. Л.Ф. Пичурин   За страницами учебника алгебры. – М.: Просвещение, 1990.­ 224 с. 9. Журнал «Квант», №2, 1971 г.; 10. Пидоу Д., Геометрия и искусство, «Мир», М., 1979 г.;  Интернет ресурсы 11. https://ru.wikipedia.org/wiki/ (Рене Декарт) 12. http://images.yandex.ru/yandsearch?text(Леонард Эйлер) 13. https://www.google.ru/search?q=%D0%BB%D0%BE %D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA %D0%B8%D0%B9&ie=utf­8&oe=utf­ 8&aq=t&rls=org.mozilla:ru:official&client=firefox­a&source=hp&channel=np  (Лейбниц) 14. http://ru.wikipedia.org/wiki/% (Дирихле) 15.https://ru.wikipedia.org/wiki/ Пьер Ферма