1-2 функ монотондылығы, шектелуі

Ұзақ мерзімді жоспар бөлімі:

10.1A  Функциялар және олардың қасиеттері

(12 сағ.)

Мектеп:

Күні:

Мұғалімн  Мұғалімн   Мұғалімнің аты-жөні:

Сынып: 10

Қатысқандар саны:

Қатыспағандар саны:

Сабақтақырыбы

Функцияның аралықтағы монотондылығы.

Функцияның шектелуі.

Оқыту мақсаты

Оқушылар:

10.5.1.1  функцияның аралықтағы монотондылығы ұғымын біледі;

10.5.1.2 функцияның аралықтағы монотондылығын күрделі емес жағдайларда дәлелдейді;

10.5.1.3 шектелген функцияның анықтамасын біледі және сондай функцияларға мысалдар келтіреді.

Сабақ

мақсаттары

 Оқушылар:

- функциялардың қасиеттерін (шектелуі, монотондылығы, периодтылығы, жұп-тақтығы, үздіксіздігі) анықтайды;

- берілген функцияға кері функцияны таба біледі;

- күрделі функция түсінігін біледі.

Бағалау критерийі

Оқушы төмендегі критерийлерді орындаса, оқу мақсатына жетеді

- аралықтағы монотонды функциялар ұғымын   біледі;

-  функцияның аралықтағы  монотондылығының күрделі емес жағдайларын анықтама бойынша дәлелдейді.

- шектелген функцияның анықтамасын біледі.

Тілдікмақсаттар

Пәнге қатысты лексика мен терминология: кері функция;

- монотондылық;

- функциялардың шектелуі

Диалогқа/жазылымға қажетті тіркестер:

-функция шектелген болуы үшін …;

- функция монотонды болу үшін…

Құндылықтарды

дарыту

*Академиялық шыншылдық, толеранттылық

*Ж.А білу және түсіну: тұрақты даму,әлеуметтік әділеттілік және теңдік

*Ж.А құндылықтары:әлемдегі және қоршаған ортадағы жағдайларды жақсартуға белсенді қатысуға шешім қабылдау

*Ж.А.дағдылары: өзінің айналасындағыларға ашық, әділ қарым –қатынас және олардың құқықтарын құрметтеу

Пәнаралық

байланыстар

Физика

Негізгі дағдылары

АКТ қолдану дағдылары:

интерактивті тақта мүмкіндіктерін қолдану, Интернет ресурстар

Бастапқы білім

Сызықтық, квадраттық, бөлшек-рационал функциялардың және y =  функциясының графиктерін салу. Функциялардың қасиеттерін сипаттау. Алгебралық өрнектерді мәндес түрлендіру, дәрежелердің қасиеттерін түсіну және оларды қолдана алу.

Сабақ барысы

Сабақтың жоспарланған кезеңдері

Сабақтағы жоспарланған іс-әрекет

Ресурстар

Сабақтың басы

5 мин

І.Ұйымдастыру кезеңі

 Сабақ басында оқушылардың зейінін шоғырландыруға   көңіл бөлу. Топтарға бөлу.

Сабақтың мақсатын оқушылармен бірге анықтау

Слайд 1.

Сабақтың ортасы

20 мин.

10 мин.

5 мин

10 мин

10 мин

5 мин.

10 мин

5 мин

IІ. Білімді өзектендіру.

1.      Функцияның анықтамасын  беріңдер.

2.      Суретте кескінделген функцияның графигін  формуланың көмегімен беріңдер.

ІІІ. Жаңа материал.

1-суретте кескінделген қандай да бір у = f (х)функциясыныңанықталу облысы [–5; 4] аралығында.
 Х-тің мәні  –5-тен  1-ге дейін өскенде   У-тің мәні де өседі, ал Х-тің мәні  1 мен -4-тің аралығында өскенде, У-тің мәні кемиді. Олай болса,  у = f (х) функциясы  [–5; 1] аралығында өспелі, [1; 4]  аралығындакемімелідепатайды.

Анықтама.

•  y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келгенх₁ < х₂  сандары үшінf(х₁) < f(х₂)теңсіздігі орындалса, онда функция өспелі деп аталады.

басқаша(егер аргуметтің үлкен мәніне функцияның үлкен мәні,аргуметтің кіші мәніне функцияның кіші мәні сәйкес келсе, ондафункция өспелідеп аталады.

• y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келгенх₂ > х₁сандары үшінf(х₂) <   f(х₁)теңсіздігі орындалса, онда функция кемімелі деп аталады.

басқаша(егер аргуметтің үлкен мәніне функцияның кіші мәні, аргуметтің кіші мәніне функцияның үлкен мәні сәйкес келсе, онда функциякемімелідеп аталады.

• y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келген х₁ < х₂  сандары үшін f(х₁) ≤ f(х₂)теңсіздігі орындалса, онда кемімейтін функция деп аталады.
• y=f(х) функциясының анықталу облысындағы кез келгенх₂ > х₁сандары үшінf(х₂) ≥  f(х₁) теңсіздігі орындалса, онда өспейтінфункция деп аталады.

• Өспелі, кемімелі, өспейтін, кемімейтін функцияларды монотонды (бірсарынды) функциялар деп атайды.

Кейбір функциялардың монотондылығын дәлелдеп көрейік.

f(х) = –өспелі функция. Дәлелдеуі:

х > 0 мағынасы бар. Сондықтан D(f) = [0; +).  х₂ > х₁ > 0 болсын. f(х₂) – f(х₁) айырмасын қарастырайық  және оны түрлендірейік:

f(х₂) – f(х₁) =  – = ( –   ) (  + ) / (  + ) = .

Себебі х₂ > х₁ > 0,  > 0 және > 0. Демек, f(х₂) – f(х₁) > 0, яғни f(х₂) > f(х₁). Сондықтан f(х)  функциясы  өспелі.

IV. Жұппен жүмыс.(карточкаларзерттеу элементтерімен):

• f(х) = k x + b сызықтық функциясының  k > 0 және k < 0 болған жағдайдағы монотондылығын анықтау
• f(х) = хⁿдәрежелік  функциясының  nжұпболған жағдайдағы монотондылығын анықтау.
• f(х) = хⁿдәрежелік  функциясының  n  тақ болған жағдайдағы монотондылығын анықтау
• Кері пропорционалдық  f(х) =  функциясының k > 0 және k < 0 болған жағдайдағы монотондылығын анықтау.

Оқушылар жұппен жұмыс жасайды кейін қорытындылайды: 
f(х) = k x + b формуласымен берілген сызықтық функция k > 0 болғанда өспелі, алk < 0  болғанда кемімелі.

Егер  k > О,болса у = kx +m  бүкіл сан түзуінде өспелі.

Егер  k < 0,болса у = kx +m  бүкіл сан түзуінде кемімелі.

Мысал-1. y = 2 – 5x функциясын қарастырайық.

Шешуі.

1.Анықталу облысы: D(y)= (- ∞ ; + ∞).

2.Анықталу облысы D(y) – дан  кез келген аргументтің мәндерін,  x₁ < x₂ болатындай x₁ және  x₂    таңдап аламыз

3.Функцияның  мәндерін есептейміз:

f (x₁ )= 2 – 5 x₁және     f (x₂  )=  2 – 5 x₂ .

4. Сандықтеңсіздіктерқасиетібойынша: – x₁> – x₂ болғанда

          2 – 5 x₁>  2 – 5 x₂  .

5. Яғни, x₁ < x₂ болса,онда f (x₁ ) > f (x₂ ), демекберілгенфункцияанықталуоблысында D(y) –дакемиді.

·         n натурал көрсеткішті f(х) = хⁿ функциясы  n жұп болғанда [0; + ) аралығында өспелі және (– ; 0] аралығында кемімелі.

·         n тақ болғанда  f(х) = хⁿ функциясы барлық анықталу облысында өспелі, яғни (– ; +).

 функциясын монотондылыққа зерттеу.

у = х² функциясын[0, + ) сәулесінде қарастырайық. болса  f(x₁) < f(x₂) . Яғни , х₁ < х₂ болса,онда f(x₁) < f(x₂).

у = х² функциясын ( -;0] сәулесінде қарастырайық.

- х₁ > - х₂

- х₁ және - х₂   теріс емессандар,  (-х₁)² > (-х₂)²,  болса ,

 f(x₁)  > f(x₂) . Яғни , х₁ < х₂ болса,онда f(x₁) >f(x₂). Сондықтан    

у = х²  функциясы ( -;0] сәулесінде кемиді.

·         кері пропорционалдық,  яғниf(х) =  функциясы  (– ; 0) және (0; + )  аралықтарының әрқайсысында k > 0 болғанда кемімелі, ал k < 0 болғанда өспелі.

3.  функциясын мұғалімнің көмегімен оқушыларға өсу,кему аралығына зерттету .

Монотонды функциялардың  кейбір қасиеттерін қарастырайық.

• монотонды функция  өзінің әрбір мәнін аргументтің бір мәнінде ғана қабылдайды.
• Егер у = f (х) функциясы өспелі (кемімелі) болса,онда у = – f(х)  функциясы кемімелі(өспелі) болады.
• Екі өспелі функциялардың қосындысы өспелі, екі кемімелі функциялардың қосындысы кемімелі функция болады.
• Егер f және g функцияларының екеуі де өспелі немесе екеуі де кемімелі болса,  онда(х) = f(g(х)) – өспелі функция болады.
• Егер у = f(х) функциясы Х жиынында монотонды  және таңбасын сақтайтын  болса,  ондаg(х) =   функциясы Х  жиынында монотондылықтың  қарама қарсы қасиетіне ие болады.

V. Есептер шығару. Сыныппен жұмыс.

1. Берілген функцияның өсу, кему және тұрақтылық аралықтарын анықтаңдар. Берілген функция үздіксіз бе?

2. Функцияның  аралығында монотондылығы туралы не айтасыңдар?

Мысал 2. 

у = 9түзуіf(х) = +   + функциясының графигімен неше нүктеде қиылысады?

Шешуі :

 у = , у =  және   у = функциялары өспелі(4-қасиеті).өспелі функциялардың қосындысы– өспелі функция (3 қасиеті). Алөспелі функция өзінің мәнін аргументтің бір мәнінде ғана қабылдайды (1 қасиеті). Демек,  егер у = 9түзуіf(х) =  +   +   функциясымен ортақ нүктесі болса,  онда тек біреу ғана болады.
орына қою арқылы ,  х = 3 болғанда  f(х) = 9. Демек, у = 9түзуіf(х) =  +   +  функциясын М(3; 9)нүктесіндеқияды.

Мысал 3. 

Теңдеуді шешіңдер:

х³ – + = 0.

Шешуі:

х = 1 –теңдеудің шешімі екенін оңай көруге болады. Бұл теңдеудің басқа түбірлерінің жоқ екендігін көрсетейік.Шынында да,

у = х³ – + функцияларының анықталу облысы оң сандар жиыны.Бұларалықта функция өспелі, себебі у = х³,  

у = –  және у =  функцияларының әрқайсысы (0; +) аралығында өспелі.Демек, берілген теңдеудің х = 1түбірінен басқа түбірлері жоқ.

Жұппен жұмыс:

Монотондылыққа зерттеңдер

Жұппен жұмыс барысында бір-біріне монотонды функцияның қасиеттерін қалай қолданған ойларымен бөліседі. 
32.1-32.3  ( 68,71 суреттер,72,75 суреттер  76,78)

32.1.  68-71суреттерде графиктері  көрсетілген функциялар өспелі ме?

32.2.  72-75 суреттерде графиктері көрсетілген функциялар кемімелі ме?

32.3.  76-79 суреттерде графиктері көрсетілген функциялардың өсу, кему аралықтарын табыңыз.

Анықтама. Анықталу облысының кез келген нүктесіндегі f (x) функция мәндерінің абсолют шамасы белгілі бір b>0 санынан кіші немесе оған тең болса, яғни   ≤ b, xX онда ол осы жиында шектелген функция деп аталады.

Функция өзінің барлық мәндерінен қралған жиын қалай шектелген болуына қарай сәйкесінше шектелген жоғарыдан шектелген төменнен шектелген деп аталады. Мұның геометриялық мағынасы функцияның графигі сәйкесінше жолақта жоғарыдан шектелген жарты жазықтықта және төменнен шектелген жарты жазықтықта жатыр дегенді білдіреді.

1-мысал. Функция   y = x²   төменнен шектелген  және   жиынында жоғарыдан шектелмеген 

2- мысал. Функция   y = – x²   - жоғарыдан шектелген және  жиынындатөменнен шектелмеген 

3 мысал.y = x  функциясыжиынында жоғарыдан да төменнен  де шектелмеген 

4- мысал.    y = f(x) функциясы жиынында y = - жоғарыдан және төменнен y = түзулерімен шектелген функция.

Есептер шығару.

1 мысал.

функцияның шенелгендігіндәлелдеңдер.

Шешуі.  теріс емес болғандықтан, барлық  үшін  . Алынған теңсіздіктерді  оң санға көбейтсек,  болады. Демек,  шенелген.

 Көрсетілген аралықта функция шектелген бе және қай функция тек қана жоғарыдан, ал қай функция тек қана төменнен шектелген.

№255. 

№85.

VI. Үйге  тапсырма

1. g(х)  функциясының кемімелі  екенін дәлелдеңдер:

а) g(х) = ,мұндағы  х > – .
б) g (х) = .

2. f(х) функциясының өспелі екенін дәлелдеңдер:

а) f(х) = .
б) f(х) = (х – 2)²,мұндағы х > 2.

 3. теңдеуді шешіңдер:х² + –  = 15.

Рефлексия:

Слайд 2

Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков
«Алгебра 9»
с углубленным изучением математики

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Карточкалар

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Саралау –оқушыларға қалай көбірек қолдау көрсетуді жоспарлайсыз? Қабілеті жоғары оқушыларға қандай міндет қоюды жоспарлап отырсыз?

Бағалау оқушылардың

Материалды меңгеру деңгейін қалай тексеруді жоспарлайсыз?

Денсаулық және қауіпсіздік техникасының сақталуы

Сабақ бойынша рефлексия

Сабақ мақсаттары/оқу мақсаттары дұрыс қойылған ба? Оқушылардың барлығы ОМ қол жеткізді ме?

Жеткізбесе, неліктен?

Сабақт саралау дұрыс жүргізілді ме?

Сабақтың уақыттық

кезеңдері

сақталды ма?

Сабақ жоспарынан қандай ауытқулар болды, неліктен?