MATEMATIKA

ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARI

GEOMETRIYA

II QISM

Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 11-sinflari va o‘rta maxsus, kasb-hunar ta’limi muassasalari uchun darslik

O‘zbekiston Respublikasi Xalq ta’limi vazirligi tomonidan tasdiqlangan

1-nashri

TOSHKENT

2018

UO‘K: 51(075.32)

KBK: 22.1ya72

M  54

Algebra va analiz asoslari bo‘limining mualliflari:

M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismailov, A.Q. Amanov Geometriya bo‘limining muallifi:

B.Q. Xaydarov

Taqrizchilar:

R.B. Beshimov – Mirzo Ulug‘bek nomidagi O‘zbekiston Milliy Universiteti “Geometriya va topologiya” kafedrasi mudiri, fizika-matematika fanlari doktori;

Q.S. Jumaniyozov – Nizomiy nomidagi TDPU fizika-

matematika fakulteti “Matematika o‘qitish metodikasi” kafedrasi dotsenti, pedagogika fanlari nomzodi;

R.O. Ro‘zimov – Sergeli tumani 237- umumta’lim maktabi matematika fani o‘qituvchisi;

S.B. Jumaniyozova – RTM metodisti;

S.R. Sumberdiyeva – Sergeli tumani 6- ixtisoslashtirilgan maktab matematika fani o‘qituvchisi.

Darslikning “Algebra va analiz asoslari” bo‘limida ishlatilgan belgilar va ularning talqini:

r –   masalani yechish (isbotlash) ▲        – masalani yechish boshlandi          (isbotlash) tugadi

–       nazorat ishlari va test (sinov)            ? – savol va topshiriqlar mashqlari

–       asosiy ma’lumot         * – murakkabroq mashqlar

© “ZAMIN NASHR” MCHJ,  2018

       ISBN: 978-9943-5127-3-3                          © Barcha huquqlar himoyalangan

Algebra va analiz asoslari

II BOB.   INTEGRAL VA UNING TATBIQLARI

Yuzlarni integrallar  yordamida hisoblash

Masala. Rasmdagi ABCD shakl yuzi S hisoblansin (7-rasm).

r  Ravshanki, bu shaklning S yuzi  aBCb  va aADb egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining ayirmasiga teng:

           b                                   b                                  b

S = ∫ f₂( )x dx − ∫ f x dx₁( ) = ∫( f₂( )x − f x₁( ))dx. (1)

a                                                                                                                                                                    a                  a                    

b                                                                                                                                                                   7-rasm.

Javob:S = ∫( f₂( )x − f x₁( ))dx. ▲ a         

(1) formula f₂ ( )x ≥ f x₁( ) shartni qanoatlantiradigan uzluksiz funksiyalar uchun to‘g‘ridir.

1-misol. y=x to‘g‘ri chiziq va y=x²+2x–2 parabola bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblang.

r 1) y=x va y=x²+2x–2 chiziqlarning kesishish nuqtalarini topamiz:

                  2) x²+2x–2=x tenglamadan x₁=–2, x₂=1.

Demak chiziqlar (1; 1), (–2; –2) nuqtalarda kesishadi. Ravshanki, (–2; 1) oraliqda y=x funksiya grafigi y=x²+2x–2 funksiya grafigidan yuqorida yotadi (8-rasm). 

U holda (1) formulada a=–2, b=1, f₂(x)=x, f₁(x)=x²+2x–2 desak, izlanayotgan yuz (1) ga ko‘ra

8-rasm.

S = −_∫¹2(x x− + −( ² 2x 2))dx= − − +−_∫¹2( x² x 2)dx= − − +( ^x₃³

Javob: S=4,5 (kv.birlik). ▲

2-misol. y = x va y = x² chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini hisoblang.

r  x∈[0;1]  kesmada  x² ≤ x (9-rasm). 

        (1)     formulada     a=0,     b=1,      f x₁( ) = x²,

f2( )x =  deymiz.                                                                       9-rasm.

                                     1                                        3

      U holda S =∫( x x dx− ²) = (²3 x² − ¹3 x³) 10 = − =²3        ¹3  ¹3(kv.birlik) .

0

Javob: S  kv.birlik.▲

Aylanish jismlarining hajmini hisoblash

Egri chiziqli trapetsiyani Ox o‘qi atrofida aylantirish natijasida hosil bo‘ladigan jismning

b

hajmi               V =π⋅∫ f ²( )x dx                                (2)

a

formula bilan hisoblanishini isbotlash mumkin. _10-rasm. Bu formuladan f(x) ni tanlash hisobiga kesik konus, konus, silindr, shar, shar segmenti hajmlarini osonlikcha topsa bo‘ladi.

        Konusning     hajmi.     Bu     holda     AB=R,

OB=H deb olamiz (11-rasm). OA tog‘ri chiziq

R

tenglamasi y =   x ekanligi ravshan. U holda

                                     H   

(2) formulaga muvofiq

11-rasm.

                               ^H R                    ²H                        R^{2                  3}                       1     ²

     V_konus = π⋅ ^∫0 (H x dx) = π⋅          0 = π⋅ 3H2 ⋅(H − 0) = 3πR H.

                                             1     ²

        Demak, V_konus =  πR H.

                                        3

Kesik konusning hajmi. AB kesmani Ox o‘qi atrofida aylantirishdan kesik konus hosil bo‘ladi. AO=r, BD=R, OD=H deylik (12- rasm).

R r−

АB to‘g‘ri chiziqning tenglamasi y = x r+

H

ekani ravshan.

R−r Demak,  a=0,  b=H,  f x( ) =           x+r.

H

12-rasm. U holda (2) formulaga muvofiq

               ^H R r−         ²              π    H        R r−        ³ H     π    H          ^{3         3}         π          ^{2                       2}

V_{k konus.} = π⋅ ^∫0 ( H x r dx+ )        = 3 ⋅ R r−      ⋅( H x r+ )           0 = 3 ⋅ R r− ⋅(R − r ) = 3 ⋅ H R⋅(          + Rr r+  ).

Shunday qilib, kesik konusning hajmi: V       (R    Rr r )H. Bundan

AO=r=0 bo‘lsa, konus hajmi formulasini olamiz.

Sharning hajmi.Radiusi R, markazi (R; O) nuqtada bo‘lgan doiraning cho-

 rak qismini Ox o‘qi atrofida aylantirishdan (13-rasm) hosil qilinadigan shakl

sharning yarmidir. Bizning holda mos aylana tenglamasi (x − R)² + y² = R²

 

bo‘ladi, bundan y = 2Rx − x², x∈[0;R].  (2) formulaga ko‘ra

1                                R  2                      2                     x3 R      2          3                     4          3

V_shar = π⋅∫(2Rx − x dx)  = π⋅(Rx −      )     =   πR , demak, V_shar = πpR .

2                                ₀  3          0          3          3

                       13-rasm.                                                                 14-rasm.

Shar segmentining hajmi. 14-rasmda OA=R, O₁A=H (segmentning balandligi) bo‘lsin. Doira segmentini uning balandligi atrofida aylanishidan shar segmenti hosil bo‘ladi (14-rasm.) Shar segmentining hajmini hisoblash shar hajmini topish kabi bo‘ladi, bu holda integrallash [0; H] kesma  bo‘yicha bajariladi:

                                 H                            2                                              2 x3 H                    2        1    3

        V_segment = π⋅ ^∫0 (2Rx x dx−                              )     = π⋅(Rx − 3 ) 0 = π⋅(RH − 3 H ).

        Demak, V_segment H    R         H

Silindrning hajmi. Ox o‘qqa  parallel AB kesmani Ox o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladigan shakl silindr bo‘ladi.

AB=OC=H, OA=BC=R bo‘lsin (15-rasm).

AB to‘g‘ri chiziq tenglamasi y=R ekani ravshan,

15-rasm.

x∈[0; H]. U holda (2) formulaga ko‘ra,

                       H       2                              ₂H           ₂                                             2                                                                              2

V_silindr =π⋅ R dx =πR x=πR ⋅(H −0) =πR H. Demak, V_silindr =πR ⋅H. 0

Nega aylanish Ox o‘qi atrofida bo‘lishi kerak? Aylanish Oy atrofida bo‘lsachi? Bunday savolni qo‘yish tabiiy.

Yuqoridan uzluksiz y=f(x) funksiya grafigi, pastdan Ox o‘qi, chap va o‘ngdan, mos ravishda, x=a va x=b vertikal chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘ladigan

b

jismning hajmi         V = 2π⋅∫ xf x dx( )                                                                (3)

a

formula bilan hisoblanishini isbotlash mumkin.

1-misol. Konus hajmini  toping (16-rasm).

r OA=H, OB=R deylik.  AB  to‘g‘ri chiziq

H

tenglamasi y = − x + H ekani ravshan. U holda

R

H

(3) formulada a=0, b=R, f x( ) = − x + H desak,

                                                                                 R                                         16-rasm.

AB kesmani Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘ladigan konus hajmi

                                                                       R H R ₂                                                         R           

                        V_konus = 2π⋅^∫0 x⋅ −(    x H dx+                   ) = 2π − R ^∫0 x dx H xdx+ ^∫0                     =

 H x³  RH R³ R² ₂ 2 1 ₂ = 2π⋅ −_ ⋅ _ + H ⋅ = −2π⋅ ⋅ + 2π⋅ H ⋅  = πR H ⋅ −( +1) = πR H.

                                       R 3  0R 3                                           2                        3            3

                                     1      ²

Demak, V_konus = 3πpR H^. ▲

2-misol. Radiusi R bo‘lgan shar hajmini toping.

r OA=OB=R, O – aylana markazi deylik. Bu aylana tenglamasi, ravshanki, x² + y² = R² , bundan y = R² − x², 0 ≤ ≤x R. Bunga mos doiraning chorak

qismini (17-rasm) Oy o‘q atrofid a aylantirishda _17-rasm. sharning yarmi hosil bo‘ladi. Avval shu yarim shar hajmini topamiz. (3) formulada a=0, b=R, f x( ) = R² − x² deylik. U holda

R

V = 2π⋅∫ x R² − x dx²                     .

0

      ^{2            2}                                                                   du

R − x = u desak, xdx                 ,

                                                                                                                                           (            )         .

Bu yerda C=0 deb olish mumkin.

                                      2π ^{2                      2}R       2      ³                           V_shar = πR³ . ▲

Demak, V = –              (R – x )= πR , yoki

                                                  30               3

Kuchning bajargan ishini hisoblash. Vintsimon prujinaning bir uchi mustahkamlangan, ikkinchi uchiga esa F=F(x) kuch ta’sir etib, prujinani siqadi, deylik (18-rasm). Guk qonuniga ko‘ra prujinaning siqilishi unga ta’sir etayotgan F(x) kuchga proporsionaldir. Prujinani l birlikka ^18-rasm. siqish uchun F(x) kuchning bajargan ishini toping.

r  Ma’lumki, o‘zgaruvchi F(x) kuchning [a; b] oraliqdagi bajargan ishi

b

                                    A = ∫ F x dx( )                                                       (4)

                                                                   a                                                                                  

formula yordamida hisoblanadi. Agar F(x) kuch ta’sirida prujinaning siqilish kattaligini x orqali belgilasak, u holda Guk qonuniga ko‘ra F(x)=k·x bo‘ladi, bu yerda k – o‘zgarmas son. (4) formulaga muvofiq bajarilgan ish l             x2 l kl2

A =kxdx = k ⋅           =       . ▲

                                    2 0      2

 

Xususan, prujinani 0,01 m siqish uchun 10 N kuch kerak bo‘lsa,

F

F =10N k x=                               ⋅ tenglikdan k =    =1000. Demak, F x( ) = kx =1000⋅ x.  x

Prujinani 0,09 m siqish uchun ketadigan F kuch bajargan ish bu holda

                 0.09                                                         x2 0,09

                      A =1000xdx =1000⋅= 500 0,0081⋅          = 4,05(J).

                                                            2     0

Mashqlar

51. y=–x²+4x parabola, (4;0) va (0;4) nuqtalar orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq bilan chegaralangan shakl yuzini toping.

52. f(x)=2x – 2 funksiya grafigi va uning F(0)=1 shartni qanoatlantiruvchi boshlang‘ich funksiyasi bilan chegaralangan shakl yuzini toping.

Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini toping. Mos rasm chizing (53–54):

53. 1) y = x2, y = −1  x2;		1 2) y = , y = 0, x =1, x = 4; x
3) y = x2 −2x, y = 4− x2;		1 4) y =     , y = 0, x =1, x a a=                         (           >1). x

        54. 1) y 4         ;                                  2) y = x², y = 2x² y = 2;

                                   ²                    x2                                                                                        1            ²                   x2

                 3) y = x , y =           y 2 x;                  4) y =  , y = x , y = .

                                                                                                                x                       2

55. y = sin ,x x[0; p], funksiya grafigining Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism hajmini hisoblang.

56. y= x, x =1, x = 4 chiziqlar bilan chegaralangan shaklning Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘ladigan jism hajmini toping.

57. Qiyalik bo‘yicha pastga tushayotgan poyezdning tezligi v(t)=15+0,2(m/s) qonunga ko‘ra o‘zgaradi. Agar poyezd qiyalikni 20 s davomida o‘tgan bo‘lsa, qiyalikning uzunligini toping.

58. Vaqtning t=0 paytida 20 m/s tezlik bilan yer sirtidan otilgan jism s(t)=20t –5t² (m) qonun bilan harakatlanadi. Jismning tezligi 5 m/s bo‘lganda, u yerdan qanday balandlikda bo‘ladi?

59. Avtomobilning tormozlanish tezligi v(t)=19–1,2·t (m/s) qonunga ko‘ra o‘zgaradi. Agar avtomobil tormoz olgan vaqtidan 10 s  o‘tgach to‘xtagan bo‘lsa, uning tormozlanish yo‘li uzunligini toping.

60. Nuqtaning tezligi v t( ) = +3tt (m/s) qonun bo‘yicha o‘zgaradi.

        

Shu nuqtaning t=0 dan t=4 gacha vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan yo‘lini toping.

61. Yuqoridan y=e^x chiziq bilan, pastdan Ox o‘qi bilan, chapdan x=0, o‘ngdan x=1 chiziq bilan chegaralangan sohaning Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism hajmini toping.

Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini toping. Mos rasm chizing (62–63):

62. 1) y= 2 x, y = 6, x = 0;            2) y = x², y= 2 2x;

           3) y = x², y= ³ x;                          4) y= x, y= −4     3x, y = 0.

63. 1) y = sin6 ,x x = 0, x=p, Ox o‘qi;

2)       y = sin2 ,x x = 0, x = Ox o‘qi;

3)       y= cos ,x y = +1  x,  ;

4)       y = −x², y = 2e^x, x = 0, x =1.

64*. y=2x²–8x, parabola va shu parabolaga uning uchida o‘tkazilgan urinma va Oy o‘qi bilan chegaralangan shakl yuzini toping.

65*. y=x²+10 parabola va shu parabolaga (0; 1) nuqtadan o‘tkazilgan urinmalar bilan chegaralangan shakl yuzini toping.

66. Agar 2N kuch prujinani 1 sm qissa, prujinani 3 sm qisish uchun sarflanadigan ishni hisoblang.

67. To‘g‘ri chiziqli harakat qilayotgan nuqtaning vaqtning [t₁; t₂] oralig‘idagi tezligi v(t)>0 bo‘lsin. Vaqtning t=t₁ paytidan t=t₂ paytigacha bo‘lgan oralig‘ida nuqta bosib o‘tgan yo‘lni toping.

68*. y=–x²+1, 0≤x≤1 va Oy o‘qi bilan chegaralangan shakln Oy o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘ladigan jism hajmini hisoblang.

69. y=–x²+4, 0≤x≤2, x=0 (Oy o‘qi) chiziqlar bilan chegaralangan shaklning Ox o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmini hisoblang.

b

      ∫ f x dx( )  integraldagi f (x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topa

a olsak, uni Nyuton Leybnis formulasidan foydalanib aniq hisoblay olamiz.

b

            Agar  boshlang‘ich funksiya topilmasa, u holda ∫ f x dx( )     integralni

a

taqribiy hisoblash masalasi qo‘yiladi. Aniq integralni taqribiy hisoblashning bir nechta usuli bor. Shulardan ba'zilarini keltiramiz.

To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi. [a; b] kesmada y=f(x) uzluksiz funksiya aniqlangan bo‘lsin. [a; b] kesmani x₀, x₁, x₂, ..., x_n–1, x_n nuqtalar yordamida b − a

n ta o‘zaro teng kesmalarga ajratamiz. Har bir kesmaning uzunligi ∆ =x  n ga teng bo‘ladi. a=x₀, b=x_n deylik. Bo‘linish nuqtalari x₀, x₁, ..., x_n–1, x_n orqali y=f(x) funksiya grafigi bilan kesishguncha vertikal to‘g‘ri chiziqlar (Ox ga perpendikularlar) o‘tkazamiz. Natijada egri chiziqli trapetsiya n ta  kichik egri chiziqli trapetsiyalarga bo‘linadi.

Har bir kichik egri chiziqli trapetsiyani asosi ∆x, balandligi esa y= f(x) funksiyaning [x_k; x_k+1] kesmaning, masalan,  chap uchi x_k dagi qiymati f(x_k) ga  teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak bilan almashtiramiz, bunda k=0,1, ..., n–1.

Hosil bo‘lgan bu to‘g‘ri to‘rtburchaklar yuzlarining yig‘indisi taqriban egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng bo‘ladi (19-rasm). Shunday qilib ushbu formulaga kelamiz:

b

b − a

Bu formula aniq integralni taqribiy hisoblashning to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi deyiladi.

To‘g‘ri to‘rtburchakning balandligi sifatida f (x) funksiyaning [x_k; x_k+1]

x^k + x^k+1 kesmaning o‘ng  uchidagi f (x_k+1 ) yoki shu kesma o‘rtasi  = x_k/2  dagi

2  f (x_k/2 ) qiymatini ham olish mumkin edi.   

Agar to‘g‘ri to‘rtburchakning balandligi qilib f(x_k+1) yoki f(x_k/2) olinsa, u holda, mos ravishda, shunday formulalarni hosil qilamiz (20 a, b -rasmlar):

b

b − a

O‘tkazilgan vertikal chiziqlarning y=f(x) funksiya grafigi bilan kesishish nuqtalarini ketma-ket tutashtirish natijasida har bir kichik egri chiziqli

b a− trapetsiyani asoslari f(x_k) va f(x_k+1) hamda balandligi ∆ =x petsiya bilan almashtiramiz, bunda k=0,1, ..., n –1.

Hosil qilingan bunday trapetsiyalar yuzlarining yig‘indisi taqriban egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng bo‘ladi (20d - rasm).

Shunday qilib ushbu formulani hosil qilamiz:

b                                                                                                                                      

                        b − a  f a( ) + f b( )                                                                    (2)

∫a f x dx( )    ≈    n        ⋅                               2     + f x( ₁) + f x( ₂) +...+ f x( _n−1) .

Bu formula aniq integralni taqribiy hisoblashning trapetsiyalar formu lasi deyiladi.

x2

1-misol. A        e     dx integralni taqribiy hisoblang.

r Ma'lumki, f x( ) = e^−x2 funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini bevosita topishning iloji yo‘q. Avval berilgan integralni to‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi yordamida hisoblab ko‘ ra miz. [0;1] kesmani, masalan, 5 ta teng

                                                       b − a    1− 0

qismga ajratamiz ∆ =x           =                = 0,2; demak, x₀=0;  x₁=0,2;  x₂=0,4;

                                                            n          5

x₃=0,6;  x₄=0,8;  x₅=1.

−x²

      f x( ) = e    funksiyaning shu nuqtalardagi taqribiy qiymatlarini yozamiz:

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
e–x2	1	0,96079	0,85214	0,69768	0,52729	0,36788

U holda (1) formulaga ko‘ra

A.

(2) formulaga ko‘ra

A.

Aytish joizki, trapetsiyalar formulasi aniqroq natijani beradi. ▲ 1

dx

2-misol.  B = ^∫0 _{1+ x}2 integralni (1b) formulaga ko‘ra hisoblang.

r  [0; 1] kesmani 10 ta teng qismga ajratamiz.

=0,1.

x nuqta [x_k; x_k+1] kesmaning o‘rtasi, x, k=0,1, ..., 9.

Ravshanki, x₁ = 0,05;  x₃ = 0,15;  x₅ = 0,25;

                                      2                      2                     2

x    = 0,35;  x  = 0,45;  x₁₁ = 0,55;  x₁₃ = 0,65; x₁₅ = 0,75;  x₁₇ = 0,85;  x₁₉ = 0,95;

                                                   2                       2                        2                       2                       2

 funksiyaning x₁ ,  x₃ ,  ...,  x₁₉ nuqtalardagi mos qiymatlari

                                                                          2      2               2

1                       3 ),  ...,  f x( 19 ) larni hisoblaymiz.

2                       2   2

3                       1  16

            Masalan, f x() = f (0,75) = f ( ) =                  =      = 0,64.

                                                                 4          3 ²       25

¹+ 

 4 Natijada ushbu jadvalni hosil qilamiz:

x	0,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65	0,75	0,85	0,95
f (x)	0,9975	0,9780	0,9412	0,8909	0,8316	0,7679	0,7029	0,6400	0,5806	0,5256

f x(     ) + f x(  ) +...+ f x( ₁₉ ) = 0,9975+ 0,9780 +...+ 0,5256 = 7,8561.

 

π

                                                                      =arctg1− arctg0 = .

4

 ni taqribiy hisoblash  ni taqribiy hisoblashga  ekanini hisobga olsak, xatolik taqriban 0,7856 –

– 0,7854 = 0,0002 ni tashkil etadi. ▲ Mashqlar

[0; 1] kesmani 10 ta teng qismga ajrating va  integralni:

70.              (1) formula – to‘g‘ri to‘rtburChaklar formulasi yordamida hisoblang.

71.              (1a) formula yordamida hisoblang.

72.              Trapetsiyalar formulasi yordamida hisoblang va natijani 70, 71– mashqlardagi natijalar hamda  bilan taqqoslang.

73*.   integralni (1), (1b) va (2) formulalar bo‘yicha hisoblashga doir komputer dasturlarini tuzing.

Berilgan tezlik bo‘yicha s(t) yo‘lni topish masalasini ko‘raylik.

Masalan, v(t)=5–3t (m/s) bo‘lsa, s(t) yo‘lni topish uchun s'(t)=v(t) tenglamani yechish kerak. Bu tenglamada topilishi kerak bo‘lgan noma’lum s(t) funksiyaning hosilasi qatnashgan.

Ta’rif. Noma’lum funksiyaning hosilasi qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi.

Demak, berilgan tezlik bo‘yicha yo‘lni topish, masalasi sʹ(t) = v (t) differensial tenglamani yechishga keltiriladi.

Boshlang‘ich funksiya ta'rifiga ko‘ra y'(x)=f(x) ko‘rinishidagi differensial tenglama yechimi y(x)=F(x)+C ko‘rinishda bo‘ladi, bu yerda F(x) - boshlang‘ich funksiya, C - ixtiyoriy son.

1-masala. s'=5–3t differensial tenglamani yeching.

r Bu masalada hosilasi 5–3t ga teng bo‘lgan s(t) funksiyani topish so‘ralyapti. Berilgan hosilasi bo‘yicha funksiyaning o‘zini topish esa uning boshlang‘ich funksiyasini topish demakdir. 5–3t funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi esa 5t − t² + C ga teng ekani ravshan, bu yerda

C – ixtiyoriy o‘zgarmas son. Javob: s t( ) = 5t − t² + C. ▲

2-masala. y'=3x²–1 differensial tenglamani yeching.

r     Bu masalada hosilasi 3x²–1 ga teng bo‘lgan y(x) funksiyani topish so‘ralyapti. Berilgan hosilasi bo‘yicha funksiyaning o‘zini topish esa uning boshlang‘ich funksiyasini topish demakdir. 3x²–1 funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi esa x³–x+C ekani ravshan, bu yerda C – ixtiyoriy o‘zgarmas son. Shunday qilib, masalaning javobi y=x³–x+C. ▲

Demak, bu differensial tenglamaning yechimi cheksiz ko‘p, u bir qiymatli topilmadi. O‘zgarmas son C ni topish uchun differensial tenglamaga qo‘shimcha shartlar qo‘yish kerak.

 π

       3-masala. y'=sinx+cosx differensial tenglamaning y _ = 5 shartni qano-

atlantiruvchi y(x) yechimini toping.                                 ^{ 2 }

r     Berilgan         tenglamaning            barcha            yechimlari,    ravshanki,

 π       π          π y(x)=–cosx+sinx+C  bo‘ladi.  y_{ }=−cos + sin +C=5, bundan C=4.

                                                                           2            2         2

Javob: y=–cosx+sinx+4. ▲

4-masala. y'=1+2x+3x²–4x³ differensial tenglamaning y(2)=9 shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.

r     Integrallar jadvalidan foydalanamiz. Unga ko‘ra x+x²+x³–x⁴+C. x=2 bo‘lganada y=9 bo‘lgani uchun 2+4+8–16+C=9, bundan C=11.

Javob: y=x+x²+x³–x⁴+11. ▲

5-masala. y miqdorning vaqtning har bir t momentidagi o‘zgarish tezligi shu miqdorning ayni t momentdagi qiymatiga proporsional bo‘lsin. Agar t=0 bo‘lganda bu miqdorning qiymati y₀ bo‘lsa, y ning vaqtning t momentidagi qiymatini toping.

r     Masala shartiga va hosilaning ma'nosiga ko‘ra y(t) ga nisbatan

y'=ky                                                   (1)

differensial tenglamani hosil qilamiz, bu yerda k- proportsionallik koeffitsiyenti.

dy    dy y'(t) hosilani          "kasr" shaklda ifodalaymiz va (1) ni  = ky kabi yozamiz, dt          dt

             dy                                                                                     dy

bundan  = kdt tenglikni hosil qilamiz. Bundan bevosita ^∫ _y ⁼∫kdt tenglik _y kelib chiqadi. Integrallaymiz: lny=kt+lnC (o‘zgarmas son C o‘rniga lnC ni olish qulay, C > 0). Demak y=Ce^kt. Shartga ko‘ra, y₀=C·e^k·0, ya’ni C=y₀ va

                                                          y=y₀·e^kt                                                      (2)

Javob: y = y₀·e^kt. ▲

5-masala fizika, biologiya, kimyo fanlarida uchraydigan ko‘plab jarayonlarning matematik modelini beradi (I qism, 29–32 mavzularga qarang).

6-masala. y(t) miqdorning o‘zgarish tezligi shu miqdor bilan o‘zgarmas son a ning ayirmasiga proporsional bo‘lsin. Agar t=0 bo‘lganda y(t) miqdorning qiymati y₀ bo‘lsa, y(t) ning t vaqtdagi qiymatini toping.

r                                     y'=k(y–a)                                                    (3) differensial tenglamani yoza olamiz.

(3)                    tenglamani yechish uchun z=y–a belgilash kiritamiz.

z'=(y–a)'=y'–a'=y'–0=y' bo‘lgani uchun (3) tenglamani z'=kz ko‘rinishida yozib olish mumkin. Bu tenglamaning yechimi z=z₀·e^kt ekani ravshan. y=z+a, z=y₀–a ekanidan

y=a+(y₀–a)e^kt                                                  (4)

ni hosil qilamiz, bu yerda y₀ son y(t) ning t=0 dagi qiymati. Javob: y=a+(y₀–a)e^kt. ▲

(4)                    tenglama ham ko‘pgina jarayonlarning matematik modelidir (I qism, 29–32 mavzularga qarang).

Differensial tenglamaga olib keladigan bitta geometrik masala ko‘raylik.

7-masala. Egri chiziq M(a; b), a>0, b>0 nuqtadan o‘tadi. Bu chiziqning ixtiyoriy nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning koordinatalar o‘qlari orasidagi kesmasi urinish nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi. Shu egri chiziq tenglamasini yozing.

r        Izlanayotgan egri     chiziq tenglamasi y=f(x) bo‘lsin. Bu egri chiziqqa M(x; y) nuqtada koordinata o‘qlarini A va B nuqta-

^21-rasm.          larda   kesib   o‘tuvchi         urinma            o‘tkazilgan (21-rasm). rAOB – to‘g‘ri burchakli, M nuqta – AB gipotenuzaning o‘rtasi, OM kesma – gipotenuzaga o‘tkazilgan mediana. OM=  AB bo‘lgani uchun, rMOA– teng yonli, demak, ∠MOA=∠MAO. Bundan

MC a=∠MOA=180°–∠MAx=180°–b va tga=–tgb . Ammo tg =α      , tgb esa M

OC

nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentiga teng, ya’ni tgb=y'. y

Bundan y' = − differensial tenglamaga kelamiz. Bu tenglamadan izlanayox

tgan egri chiziqning y=f(x) ko‘rinishidagi tenglamasini topa olamiz. y' hosilady     dy        y

ni  "kasr" shaklida ifodalaymiz va tenglamani          = −     kabi yozib olamiz, dx         dx        x

                    dy        dx                                                              dy         dx

bundan           = −      tenglikni hosil qilamiz. U holda ^∫ _y = −^∫ _x tenglik kelib _{y  x} chiqadi. Bu tenglikdagi integrallarni topib lny=–lnx+lnC tenglikka kelamiz.

Bundan esa y=e^–lnx.e^lnC ₌ ^C ,    y ₌ ^C .   Boshlang‘ich y(a)=b shartdan C=ab

                                                              x              x

ekanini topamiz.

ab

        Javob: y' = . ▲

x

8-masala*. Sig‘imi 50 litr bo‘lgan idishdagi moddaning 70 foizi azot va 30 foizi kisloroddan iborat. Idishga har bir sekundda 0,2 litr azot quyiladi va aralashmaning shuncha miqdori idishdan oqib chiqib ketadi. Qancha vaqtdan so‘ng idishda 99% azot bo‘ladi?

r Jarayon boshlanganidan t sekund o‘tgandan so‘ng idishda y(t) litr azot y bo‘lgan deylik. U holda azot jami eritmaning  qismini tashkil qiladi. 50

∆t vaqt oralig‘ida idishga 0,2∙∆t litr azot quyiladi va eritmaning 0,2∙∆t litri chiqib ketadi. Vaqtning  [t; t+∆t] oralig‘ida idishdagi azot konsentratsiyasi

y           y o‘zgarmaydi, deb faraz qilamiz. U holda shu  hajmda     ∙0,2∙∆t litr azot 50

bo‘ladi. Azot miqdorining o‘sishi       y              t                   t kabi ifodalanadi.

                    ∆y              0,2y     ∆y

Bundan  ≈ 0,2 − ( nisbat – y(t) funksiya orttirmasining argument

                    ∆t                50      ∆t

t orttirmasiga nisbati ekaniga e’tibor bering). ∆t nolga intilganda (∆t → 0) bu taqribiy tenglikdan

 y                                             y' = 0,2⋅_1− _                                        (5)

                                                                                              50 

tenglikni olamiz.

Demak, masalada aytilgan jarayon (5) differensial tenglama bilan ifodalanadi. (5) tenglama ko‘rilgan jarayonlarning matematik modelidir. (5) tenglamani yechamiz. Uni y'=–0,004(y–50) ko‘rinishga keltirib olamiz. (3) va (4) tenglamalarga ko‘ra, (5) ning yechimi y=50+(y₀–50)∙ ∙e^{– 0,004t} bo‘ladi, bu yerda y₀ son y(t) ning t=0 vaqtdagi qiymatidir. Masala shartiga ko‘ra, boshlang‘ich vaqtda (t=0 da) 50 litrli idishda 70% azot, ya’ni 35 litr azot bo‘lgan. Demak, y₀=35 litr. Azotning aralashmadagi konsentratsiyasi 99% bo‘lgan vaqtda idishda 50·0,99=49,5 litr azot bo‘ladi. Bu holat qancha vaqtdan so‘ng ro‘y berishini bilish uchun 49,5 = 50–15·e^{– 0,004t} ko‘rsatkichli tenglamani yechish kerak: 15·e^{– 0,004t}=0,5.

e ,  –0,004t=–ln30. Hisoblash vositasi yordamida ln30 ni to-

pamiz. U holda  t 852,8 (s) 14,2 (min).

Javob: 14,2 min. ▲

Savol va topshiriqlar

1.  Differensial tenglama deb nimaga aytiladi?

2.  y'=ky tenglamaga olib keluvchi misollar keltiring.

2y

3.  x=1 da y=2 bo‘lsa, y' =          tenglamani yeching. x

Mashqlar

Berilgan funksiya berilgan differensial tenglamaning yechimi ekanini isbotlang (74–76):

74. y=x²+x, xy'=y+x²;

75*. y=xe^x, y''+3y'–4y=5∙e^x. Bu yerda y''=(y')'– y(x) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi. Berilgan tenglama ikkinchi tartibli differensial tenglamadir.

76.                   y=C₁ sinkx+C₂coskx, y''+k²∙y=0.

77.                   Xonadagi havo temperaturasi 20°C ga teng. Xonada qaynoq suv 20 minut davomida 100°C dan 60°C gacha sovidi. Suvning sovish tezligi suv va xonadagi havo temperaturasi ayirmasiga proporsional deb hisoblab, suvning temperaturasi qancha vaqtda 30° bo‘lishini toping.

78*. Davriy            takrorlanadigan        jarayonlarning (22-rasm) (masalan, prujina, mayatnik) matematik mode li bo‘lib, y"+ɷ²y=0 differensial tenglama xizmat qiladi. Bu tenglama garmonik tebranishlarning differensial tenglamasi deb ata-

22-rasm.

ladi. y(x)=C₁∙sin(ɷx+C₂) funksiya y"+ɷ²y=0 tenglam ani qanoatlantirishini ko‘rsating, bunda ɷ - berilgan musb at son.

79. Biror radioaktiv moddaning yarim parchalanish (yemirilish) davri 1000 yilga teng, deylik. Dastlab modda miqdori m₀ bo‘lsa: 1) 100 yildan; 2) 500 yildan; 3) 2000 yildan so‘ng bu moddaning qanchasi qoladi?

Garmonik tebranishning differensial tenglamasini yozing va fizik ma'nosini tu shuntiring (80-81):

80*.  ).  81.

82. Differentsial tenglamaning berilgan shartni qanoatlantiradigan yechimini toping: 1) y'=7cosx, y( ) =1; 2) y'=e^–x, y(1)=2.

83. Idishda 10 litr suv bor. Idishga har minutda 2 litrdan, har bir litrining tarkibida 0,3 kg tuz bo‘lgan, eritma (30% li eritma) quyilib turadi. Bu eritma bilan idishdagi suyuqlik aralashtirilib, o‘sha tezlikda (har minutda 2 litrdan) idishdan oqib chiqadi. Idishdagi tuz miqdorining o‘zgarish qonunini toping.

II bobga doir mashqlar

Aniqmas integrallarni hisoblash

F(x) funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladimi (84 – 85):

86. f₁(x),  f₂(x),  f₃(x) funksiyaning qaysi biri uchun F(x) boshlang‘ich funksiya bo‘ladi:

1)    2), F(x)=2x³–6x²+9;

2)    f₁(x) = –4sinxcosx, f₂(x) = 4sinxcosx,  f₃(x) = –sin2x, F(x)=–cos2x;

3)    f x₁( ) = 3x² − 2x f,  ₂( )x = −3x⋅_^{ 4} − x^_,  ( )f₃ x = 3x² − 4x F x,  ( ) = x³ − 2x² + 3;?

                                                                          3     

6x −9 87. Integralni hisoblang: A = ^∫ _x2 _{− 4x + 5}dx .

r Integralni shunday yozib olamiz:

                 3 (2⋅ x − 4) + 3              2x − 4                   dx

    A = ∫ x2 − 4x + 5 dx = 3∫ x2 − 4x + 5 + 3∫ (x − 2)2 +1 .

(x² – 4x+5)' = 2x–4 bo‘lgani uchun 1-integral

3^∫ d x(x22−−44xx++55) = 3ln  x2 − 4x + 5 + C ga teng: x2–4x+5=t

dt

almashtirish kiritilsa, 1-integral 3^∫ _t = 3ln t + C₁ bo‘ladi.

2-integral esa aniqmas integrallar jadvaliga ko‘ra 3arc tg(x–2)+C₂ ga teng. Javob: A = 3ln  x² − 4x + 5 + 33·arc tg(x − 2) + C, C=C₁+C₂. ▲

88 - mashqning 1), 5) va 89 - mashqning 3), 4), 6) lari shu kabi mos almashtirish kiritib yechiladi. Boshlang‘ich funksiyani toping (88 – 89):

e dxx 88.  1) ∫ ex +1 ;	2) ∫cos(3x − 2)dx;		dx 3) ∫ x2 + 4x + 5 ;
4) ∫5ax dx4 ;   dx 89.  1) ∫ ex + e−x ;	sin xdx 5) ∫ cos2 x . x2−1 2) ∫lne     dx ;		1 ex 3) ∫ x2 dx;
sin6x   4) ∫1+ cos6x dx ;	5) ∫e3ln xdx ;		3x2 + 2 6) ∫ x3 + 2x dx.

90. Integralni hisoblang: I = ∫sin⁴ xcos³ xdx.

r sin x = t almashtirish kiritamiz, dt = cosxdx. U holda cos²x = 1–t² bo‘ladi.

Shunday qilib, I = ∫t⁴ ⋅ (1−t²)dt = ∫(t⁴ −t⁶)dt. Integrallar jadvaliga muvofiq oxirgi integral t t C ga teng.

Demak, javob: I x   x   C . ▲

91. Integralni hisoblang: ∫sin² xcos² xdx.

r sin xcosx = ^sin2x ayniyatlardan foydalanamiz. U holda

2

∫sin2 xcos2 xdx = 14∫sin 22 xdx = 1 14 ∫ − cos42         x dx =

 .

Javob: x        x C ▲

                                                                                                                 2   

92. f x( ) = 3cosx + 3x − 2 funksiyaning grafigi A_ ;0_ nuqtadan o‘tuvchi

                                                                                                                 3   

boshlang‘ich funksiyasi F(x) ni toping.

r Aniqmas integrallar jadvali va integralni hisoblash qoidalariga muvofiq

F x( ) = ∫ f x dx( ) = 3∫cosxdx + ∫ 3x − 2dx = 3sin x + 3           + C =

                          2                 ₃                                                                                2                  

    = 3sin x +     ⋅ (3x − 2) + C.

9

                                         2                                2                                  2

Shartga ko‘ra F                              _ = 0 , u holda .

 3 

Javob: F x( ) = 3sin x + 2   (3x + 2)³ −3⋅sin ² . ▲

                                                        9                               3

93. f(x) funksiyaning grafigi koordinatalari berilgan A nuqtadan o‘tuvchi boshlang‘ich funksiyasi F(x) ni toping:

                                              π   

1) f x( ) = sin2 ,  x A_ ;2 ;_                         2) f x( ) =   x A,  (4;6 ;)

                                              4   

3) f x( ) = e^−3x,  A^_ln2; ^{5 }_;               4) f x( ) = sin x − cos ,  x A^_ ^π;1 ;^_

                                                 24                                                                   2   

   3    Integrallarni hisoblang (94–96):

sin 32 x      12     

5) f x( ) = 2x² −3 x + 4,  A^_1;² _^;         6) f x( ) =      ¹ ,  A^_ ^π ; 1 .− ^_

4) ∫xe dx;

5) ∫3 ⋅2    dx;

6) ∫ x       dx .

                                                             x² + 5x −1                                       1 ²

94. 1) ∫dx;                                              2) ∫dx; 3) ∫_ dx ;



                            x²                                                                     x      2x

                                                                           2arcsin x                      1− cosx

x + 2x + 2	x + x
96*. 1) sin2 x cos2 x dx ;  2) cos3 x dx ;	sin3 x 3)	;

95*. 1) ∫cosx sin xdx ;  2) ∫ 1− x             dx ;  3) ^∫ _{x −sin x} dx;

2x + 3

      4) ∫ 2 dx;      5) ∫ (2x −1)4 ;             6)  .

                     ∫    2         2             ∫ sin4 x                       ∫dx

(1−sin )cosx x      4) ∫ sin x                     dx;

1+ tg x 5) ∫1− tg x dx ;

6) ∫cos5 cosx xdx.

Aniq integrallarni hisoblang (97–103):

                                                                 1     x

                    xe dx^x ;        2) ^∫0 _e^{e dx}_{x +1} ;         3) e        ^xdx .

                     xe ^xdx;                2)              dx;        3) .

0 x + 2x + 2

                 xdx                                  x                               e4 ln x

99*. 1) ∫ 2 _x ;        2)        e     dx ;           3) ^∫1 _x dx.  

                  4                                                                    34 2

dxxdx

100*. 1) ^∫1 _x2 _{+ 2x} ;                 2)                     ;  3) ^∫0 _x2 _{+ 4} .

a

101*. ¹⁾ ∫(2x −3)dx = 0       ∫

 bo‘lsa, a ni toping.

                                                                    2x + 3                   3

e

                                      ;              2)      x         x        x              dx; 6) .

e

                                                                       dx                                                

                        x        dx ;        2) ^∫1 _0,5x ;                   3) ₀       _{ 3}    x dx_   .

104. y=x²–2x+4 parabolaning uchi M(x₀; y₀) nuqtada bo‘lsa, shtrixlangan soha yuzini toping (23-rasm).

r  Parabola uchining koordinatalarini topamiz: y=x²–2x+4 =(x–1)²+3. Bundan x₀=1, y₀=3.

Shunday qilib, integrallash chegarasi a=0 dan b=1 gacha bo‘ladi.

                                                                         S         x               dx       x        dx       dx

23-rasm.

                                                                                         (x −1)³ 11                     1              1

                                                                               =+ 3⋅ x= 0 +            + 3 3= + .

                                                                                      3            00                     3              3

Javob:  kvadrat birlik. ▲

105*.  f(x) parabola Ox o‘qini O(0; 0) va A(x₀; 0) nuqtalarda kesib o‘tadi. Bu parabola va Ox o‘q

32 bilan chegaralangan soha yuzi      kv. birlikka

                24-rasm.                                                                             3

teng bo‘lsa, x₀ va parabola tenglamasini toping (24-rasm).

r x=0 da f(0)=0, x=x₀ da ham f(x₀)=0.

Bundan –xb. U holda f(x) parabolaning tenglamasi: f (x)=–x²+x₀∙x bo‘ladi.

Demak,

                                                                                                      x0x0                                                                    2 x0

                                                                                       2                                 1 3                      x

                                                                 S = ∫ (−x + x₀ ⋅ x dx)   = −3 x ₀ + x₀ ⋅ 2 ₀ =          x

.

25-rasm.

Shartga ko‘ra, bu yuz 32 ga teng, ya’ni x03 = 32 , bundan x0=4.

                                                         3                              6       3

Javob: x₀ = 4;   f(x) = –x²+4x. ▲

106. Shtrixlangan soha yuzini toping (25-rasm).

r y = x³ kubik parabola bilan to‘g‘ri chiziqning kesis hish nuqtasi koordinatalari A(1; 1) ekani ravshan. (0; 3) va (1; 1) nuqtalar orqali o‘tuvchi to‘g‘ri

 3      chiziq tenglamasi:  y = –2x+3. Bu chiziq Ox o‘qini _    ^;0 nuqtada kesib

                                                                                                                                2   

o‘tadi. Shtrixlangan soha yuzini hisoblashning ikkita usulini beramiz.

                               1                          ^{3                     2                  x}4 1                          1      3

1-usul. S = ∫( 2− x + 3− x dx) = −( x + 3x − 4 ) ₀ = − +1 3− 4 =14 .

0

2-usul. Uchlari O(0; 0), (0; 3), (1; 1) va (1; 0) nuqtalarda bo‘lgan trapetsiya yuzidan y=x³, x=1, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzini ayiramiz. Trapetsiyaning yuzi:  (kv. birlik). 2-yuz esa

                                          1 3                 x4 ¹ 1

x dx ga teng. ∫^{x dx=} ₄ 0 ⁼₄ (kv. birlik). Demak, qidirilayotgan yuz

0

  (kv. birlik) bo‘lar ekan. 

Javob:  kvadrat birlik. ▲

107. Shtrixlangan soha yuzini toping (26rasm).

r y = cosx va y = sinx funksiyalar grafiklarining kesishish nuqtasining koordinata-

26-rasm.

 π      2                                                                                    π

lari ^_ ₄; ₂ ^_ ekani ravshan. Egri chiziqli uchburchakni x = ₄ to‘g‘ri chiziq

π

4 teng ikkiga bo‘ladi. U holda izlanayotgan yuz S = 2⋅ sin xdx = −2⋅cosx=

0

 . Javob: 2 − 2 kv. birlik. ▲

108.                    27-rasmda f(x)=–x²–4x funksiya grafigining bir qismi chizilgan. Shtrixlangan soha yuzini toping.

                         2                                          2                                x          2

rS = −∫01(−x − 4 )x dx +∫10 (0 − −( x − 4 ))x dx = −     33 − 2x  0₋₁ +  x33 + 2x2  1₀ =

, Demak, S = 4 (kv. birlik).

Javob: 4 kvadrat birlik. ▲

109.                    y=x³ va y²=32x chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzini toping.

Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzini toping. Mos rasm chizing (110 – 113):

110.                    1) y=3x², x=2, y=0; 2) y=–x²+4, y=0 (Ox o‘qi).

27-rasm.	111. 1) y=x2+4x+4, Ox o‘qi va Oy o‘qi;
	2) y3=x, x=1, x=27 va Ox o‘qi.
112. 1) y = x2,  y = 3 x2 +8;  1                           2              2	2) y=lnx, x=e3 va Ox o‘qi.
113. 1) y=–x2+x va Ox o‘qi;	2) y =     x , Ox o‘qi, y=2–x.

114. Ox o‘qi, y=–x²+4x parabola va uning A(1; 3) nuqtasida o‘tkazilgan urinma bilan chegaralangan soha yuzini toping (28-rasm).

r y=f(x) egri chiziqqa uning A(x₀; y₀) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasi y–y₀= f'(x₀)·(x–x₀) bo‘ladi. x₀=1, y₀=3 va f '(1)=2 ekanidan berilgan parabolaga uning

A(1; 3) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tengla-

                    28-rasm.                        masi y–3 = 2·(x–1), y=2x+1 bo‘ladi.

Urinma Ox o‘qini x = − nuqtada kesib o‘tadi. Bo‘yalgan soha yuzi, ravshanki, katetlari 3 va  bo‘lgan uchburchak yuzidan egri chiziqli uchburchak yuzining ayirmasiga teng. Bu yuzlarning har birini hisoblay-

miz. S (kv. birlik). Egri chiziqli uchburchakning yuzi esa

         ^{1         2}                           ^{3              1          1            2}

S = −∫0( x +4 )x dx= − ^x3 +2x² ₀ =− + =3 2 13 ga teng. U holda izlanayotgan yuz  kv. birlik bo‘ladi.

Javob:  kv. birlik. ▲

115.   Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzini hisoblang.

Mos rasmni chizing:

1) y =  x2  va  y = ;                  2                    1+ x2		2) x=9  va  y2=x;
3) y=5x–8  va  y=–x2+3x;		4) y=ex,  y=0,  x=0,  x=2.

                    1                        ¹

116.   Boshlang‘ich v₀ (m/s) tezlik bilan tepaga vertikal otilgan jism (havo qarshiligi hisobga olinmaganda) v(t)=v₀–gt tezlikka ega, bu yerda g – erkin tushish tezlanishi, t – vaqt. Jism qanday eng katta balandlikka ko‘tariladi?

117.   To‘g‘ri chiziqli harakat qilayotgan jismning tezligi v t( ) = 2t + 3 (m/s). Harakat boshlanganidan dastlabki 3 sekundda jism qancha yo‘lni bosib o‘tgan?

118.   Nuqta v(t)=2t²+3t tezlik bilan to‘g‘ri chiziqli harakat qiladi. (v – m/s larda, t – sekundlarda). Nuqtaning t₁=1 dan t₂=4 gacha vaqt oralig‘ida bosib o‘tgan yo‘lini toping.

119*. Balandligi h, asosi a bo‘lgan uchburchak shaklidagi plastinka suvga vertikal ravishda botirildi, bunda uning uchi suv sirtida bo‘ldi. Suvning shu plastinkaga bosim kuchini aniqlang.

r Paskal qonuniga muvofiq r chuqurlikka botirilgan va yuzi S bo‘lgan sohaga suyuqlikning bosim kuchi P=ρgrS formulaga ko‘ra hisoblanadi, bu gr

yerda ρ – suyuqlikning zichligi (suv uchun ρ=1   ₃ deb qabul qilamiz), g cm

– erkin tushish tezlanishi. x chuqurlikda bo‘lgan va eni Δx ga teng bo‘lgan gorizontal “tasma”ni qaraymiz (29-rasm). Bu tasmani to‘g‘ri to‘rtburchak deb faraz qilib, uning EF asosini topamiz.

rABC ~ rAEF ekanidan, EF =

U holda tasmaning yuzi ΔS tartib an ax   ax

    ⋅∆x ga teng bo‘ladi: ∆S ≈     ⋅∆x. Pash h

kal qonuniga ko‘ra ΔS yuzga bo‘ladigan

ax   ρga ^{2    29-rasm.} bosim kuchi ∆P ≈ ρgx⋅     ∆ =x   x ⋅∆x.

                                                 h             h

ABC uchburchak yuzi tasmalarning ΔS yuzlarining yig‘indisidan iborat

∆P ρga ² bo‘ladi. U holda     ≈         x . Тasmalarning eni (kengligi) Δx yetarlicha

                                      ∆x       h

∆P kichik bo‘lsa, ya’ni Δx nolga intilsa,         nisbat Р' (Р ning hosilasiga) ga in∆x

ρga ² tenglik o‘rinli bo‘ladi. Demak, suyuqlikning rABC tiladi, ya’ni, P' = x h

yuziga bosim kuchi P shunday hisoblanadi:

ρgah².  Javob: P = ¹ρgah². ▲

3

120. Asosining radiusi R, balandligi H bo‘lgan doiraviy silindr vertikal (tikka) turibdi va u suv bilan to‘la. Suvni tortib chiqarish uchun zarur bo‘lgan A ishni hisoblang (30-rasm).

r Ko‘rsatma. Asos tekisligidan x va x+Δx masofalarda bo‘lgan “elemen-

                       30-^rasm.                          tar” (kichik) silindrning hajmi πR²Δx ga,

og‘irligi esa πR²gΔx ga teng. Bu og‘irlikni x balandlikka ko‘tarish uchun

         ²gΔx·x  ish bajariladi, bundan ∆A ≈ πR gx² va ushbu A'=pR²gx differen-

ΔA ≈ πR

∆x

                                                                                                H                                        2 H             2     2

2             ₂ x        πR H g sial tenglamaga kelamiz. Uning yechimi: A =  πR gxdx = πR g ⋅         =         .

                                                                                                                                          2 ₀                       2

 Javob: A R H J. ▲

Yozma nazorat ishi namunasi

I variant

1.            f x( ) = 2sin5x +         x +  funksiyaning shunday F(x) boshlang‘ich funksiyasini topingki, bunda f(x) va F(x) funksiyalarning grafiklari Oy o‘qida kesishsin.

(Ko‘rsatma: f(x) va F(x) funksiyalarning grafiklari Oy o‘qida kesishsin degan shart x=0 da f(0)=F(0) tenglik bajarilishini bildiradi).

2.            y=–x³, y =   x va y=8 funksiyalarning grafiklari bilan chegaralangan

(yopiq) shakl yuzini toping. Mos rasm chizing.

3.            To‘g‘ri chiziqli harakat qilayotgan nuqtaning tezligi v(t) = 2t²+3t (t— sekundlarda, v—m/s larda o‘lchanadi). t₁=1 dan t₂=6 gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida u qanday masofani o‘tadi? Nuqtaning t=3 paytidagi tezl anishi nimaga teng bo‘ladi?

4.            Prujinani 1 cm ga cho‘zishga 1N  kuch ishlatiladi. Prujinani 5 cm ga cho‘zishga qancha kuch ishlatiladi? (Guk qonuniga ko‘ra kuch prujinaning cho‘zilishiga proporsional).

5.            y=C₁cos5x+C₂sin5x funksiya C₁ va C₂ ning istalgan qiymatlarida y''+25y=0 differensial tenglamaning yechimi ekanini isbotlang.

II variant

1

1.            f x( ) = 3cos4x + funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini toping.

2.            y=x, y =  x² funksiyalarning grafiklari bilan chegaralangan (yopiq) shakl yuzini toping. Mos rasm chizing.

3.            To‘g‘ri chiziqli harakat qilayotgan nuqtaning tezligi v(t) = 4t²–5t (t – sekundlarda, v – m/s larda o‘lchanadi). t₁=2 dan t₂=3 gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida u qanday masofani o‘tadi? Nuqtaning t=3 paytidagi tezl anishi nimaga teng bo‘ladi?

4.            Prujinani 3 cm ga cho‘zishga 2N  kuch ishlatiladi. Prujinani 6 cm ga cho‘zishga qancha kuch ishlatiladi? (Guk qonuniga ko‘ra kuch prujinaning cho‘zilishiga proporsional).

5.            y=C₁cos7x+C₂sin7x funksiya C₁ va C₂ ning istalgan qiymatlarida y''+49y=0 differensial tenglamaning yechimi ekanini isbotlang.

III BOB.   MA’LUMOTLAR TAHLILI. EHTIMOLLIK.

Variantlarni qarab chiqishga oid kombinatorika masalalari

Kombinatorikaning asosiy savoli−“qancha?”, asosiy masalasi esa berilgan chekli sondagi obyektlarning u yoki bu shartga boʻysunuvchi har xil kombinatsiyalarini sanashdir.

Variantlarni birma-bir qarab chiqishda quyidagi ikkita qoidaga amal qilish maqsadga muvofiq:

1.      Kombinatsiyalarni harflar yoki raqamlar ketma-ketligi bilan belgilaymiz, bunda  belgilash bir qiymatli boʻlishi kerak.

2.      Kombinatsiyalarni alifbo tartibida (agar belgilashda harflar ishlatilsa) yoki sonlarni oʻsish tartibida yozib chiqish.

Bunday holatda birorta ham variant qolib ketmaydi va ayrim variantlarning takrorlanishiga yoʻl qoʻyilmaydi. 

1-masala. Madina olma, nok va mandarinni yemoqchi. Buni u necha usul bilan bajarishi mumkin?

r Mevalarni harflar bilan belgilaymiz: O−olma, N−nok, M−mandarin. Bu holda, masalan, NMO−bu dastlab nok, soʻng mandarin, va oxirida olma yeyilishiga mos variant.

Variantlarni yozib chiqamiz: MNO, MON, NMO, NOM, OMN, ONM.

Jami 6 ta usul hosil boʻldi. ▲

2-masala. Raqamlari yigʻindisi 4 dan kichik boʻlgan toʻrt xonali sonlar nechta?

r Raqamlari yigʻindisi 1, 2 va 3 boʻlgan toʻrt xonali sonlarni oʻsish tartibida yozamiz: 1000; 1001; 1002; 1010; 1011; 1020; 1100; 1101; 1110; 1200; 2000; 2001; 2010; 2100; 3000. Jami 15 ta son  hosil boʻldi. ▲

3-masala. Birinchi raqami 2 boʻlgan va 1, 2, 3, 4 va 5 raqamlardan tashkil topgan uch xonali sonlar nechta?

r Oxirgi ikkita raqam bo‘yicha barcha variantlarni qarab chiqamiz:

	1	2	3	4	5
1	211	212	213	214	215
2	221	222	223	224	225
3	231	232	233	234	235
4	241	242	243	244	245
5	251	252	253	254	255

Javob. Jami 25 ta son. ▲

4-masala. Maktabda beshta 11-sinf mavjud. Shu sinflardan ikki nafar navbatchini tanlashimiz kerak, bunda har qanday juftlikda turli sinf oʻquvchilari boʻlishi kerak. Buni nechta usulda amalga oshirsa boʻladi?

r Sinflarni 1, 2, 3, 4, 5 raqamlar bilan belgilaymiz va variantlarni yozib chiqamiz: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5).

Javob. Jami 10 ta usul. ▲

Qoʻshish va koʻpaytirish qoidalari

Qoʻshish va koʻpaytirish qoidalari kombinatorika masalalarini yechishda eng koʻp qoʻllaniladigan va samarali usullar hisoblanadi.

5-masala. Savatda 5 ta olma va 3 ta nok bor. Savatdan 1 ta meva tanlashni necha usulda amalga oshirish mumkin?

r Olmani 5 ta usulda, nokni esa 3 ta usulda tanlash mumkin.

Demak, savatdan mevani tanlash 5+3=8 usulda amalga oshirilishi mumkin. ▲

6-masala. a) Toqqa 7 ta yoʻl olib boradi. Sayyoh toqqa chiqib, soʻng pastga tushmoqchi. Bu ishni necha usulda amalga oshirish mumkin?

b) Agar yuqoriga chiqish va pastga tushish har xil yoʻllar bilan amalga

oshirilsa, javob qanday oʻzgaradi?

r a) Sayyoh toqqa 7 usulda chiqishi mumkin, har bir chiqishda 7 ta usulda pastga tushishi mumkin. Jami 7+7+7+7+7+7+7=7⋅7=49 ta usul.

b) Sayyoh toqqa 7 usulda chiqishi mumkin, har bir chiqishda 6 usulda

pastga tushishi mumkin. Jami 7⋅6=42 ta usul. ▲

7-masala. Do‘konda 5 ta turli piyola, 3 ta turli likopcha va 4 ta turli choy qoshigʻi bor.

a)      Piyola va likopcha juftligi necha usulda xarid qilinishi mumkin?

b)     Piyola, likopcha va choy qoshigʻi uchligi necha usulda xarid qilinishi mumkin?

c)      Turli nomdagi ikkita idishning juftligi necha usulda xarid qilinishi mumkin?

r a) Dastlab piyolani tanlaymiz. Unga juft qilib uchta likopchadan ihtiyoriysini olishimiz mumkin. Jami beshta piyola boʻlgani sababli turli juftliklar soni 15 (15 = 5⋅3) ga teng.

b)     Oldingi masaladagi 15 juftliklardan ihtiyoriysini tanlaymiz. Uni choy qoshigʻi bilan “uchlik” kacha 4 ta usulda toʻldirish mumkin. Shuning uchun barcha uchliklar soni 60 (60 =15⋅4 =5⋅3⋅4) ga teng.

c)      Uchta holat boʻlishi mumkin: birinchisi piyola va likopcha juftligi sotib olinadi, ikkinchisi – piyola va qoshiq, uchinchisi– likopcha va qoshiq. Har bir holat uchun juftliklar soni oson topiladi (birinchisida – 15 ta, ikkinchisida – 20 ta, uchinchisida – 12 ta). Hammasini qoʻshib chiqsak, barcha variantlar sonini topamiz: 47 ta. ▲

8-masala. Barcha raqamlari juft boʻlgan besh xonali sonlar nechta?

r Besh xonali sonning raqamlari uchun 5 ta oʻrinni belqilamiz. Birinchi oʻringa 4 ta raqam qoʻysa boʻladi: 2, 4, 6 yoki 8. Ikkinchi oʻringa beshta raqam qoʻysa boʻladi: 0, 2, 4, 6 yoki 8. Uchinchi, toʻrtinchi va beshinchi oʻrinlarga ham shu beshta raqamni qoʻysa boʻladi: 0, 2, 4, 6 yoki 8. Demak, jami oʻrinlarni toʻldirishning 4⋅5⋅5⋅5⋅5=2500 usuli mavjud. Barcha raqamlari juft boʻlgan besh xonali sonlar ham 2500 ta. ▲

Bu masalalarni hal qilishda quyidagi qoidalardan foydalandik.

Qoʻshish qoidasi. Agar A obyekt m ta usul bilan,  B obyekt esa boshqa n  ta usul bilan tanlanishi mumkin boʻlsa, u holda (A yoki B)  m + n  ta usul bilan tanlanishi mumkin.

Koʻpaytirish qoidasi. Agar A obyekt m ta usul bilan tanlansa va shunday tanlashdan soʻng B obyekt n  ta usul bilan tanlanishi mumkin boʻlsa, u holda (A va B)  mn  ta usul bilan tanlanishi mumkin.

Takrorli va takrorsiz o‘rinlashtirishlar

9-masala. Xonada beshta chiroq bor. Ularning har biri yo yonishi, yo yonmasligi mumkin. Xonani nechta usulda yoritish mumkin?

r Har bir chiroq uchun ikkita variant mavjud – yo yonish, yo yonmaslik. Jami boʻlib 2⋅2⋅2⋅2⋅2=2⁵=32 ta usul. ▲

Yuqoridagi masalani umumlashtiramiz:  n ta elem entdan tashkil topgan toʻplamning barcha qism toʻplamlari sonini topaylik.

Toʻplamning n elementlaridan har biri uchun ikkita imkoniyat bor−u yo qism toʻplamga tegishli, yo tegishli emas. Oldingi masalaga oʻxshab 2ⁿ  ta variant hosil boʻladi.

10-masala. 3 ta tovuq, 4 ta oʻrdak va 2 ta gʻoz bor. Bir nechta qush tanlanmoqda, bunda tanlangan qushlar ichida ham tovuq, ham oʻrdak, ham gʻoz boʻlishi shart. Bunday variantlar soni nechta?

r Ihtiyoriy tovuq tanlanganlar ichida yo bor, yo yoʻq. Shuning uchun tovuqni 2³ ta usul bilan tanlab olishimiz mumkin. Shartga koʻra tovuq albatta boʻlishi uchun 2³− 1=7 ta imkoniyat bor. Xuddi shunday, oʻrdakni 2⁴−1=15 ta, gʻozni esa 2² − 1=3 ta usulda tanlasa boʻladi. Jami 7⋅15⋅3=315 ta usul. ▲

11-masala. Futbol jamoasida 11 nafar oʻyinchi bor.

a) Jamoa sardori va uning yordamchisi; b) jamoa sardori, uning birinchi yordamchisi, uning ikkinchi yordamchisi necha usulda tayinlanishi mumkin?

r a) Sardor etib jamoaning 11 nafar oʻyinchisidan ixtiyoriysini tayinlash mumkin. Sardorning yordamchisi etib qolgan 10 nafar oʻyinchidan ihtiyoriysini tayinlash mumkin. Shuning uchun jamoa sardori va uning yordamchisi 11⋅10=110 usulda tayinlanishi mumkin.

b) Jamoa sardori va uning birinchi yordamchisini 11⋅10=110 usulda tayinladik. Ikkinchi yordamchi etib qolgan 9 nafar oʻyinchidan ixtiyoriysini tayinlash mumkin. Shuning uchun jamoa sardori, uning birinchi yordamchisi, uning ikkinchi yordamchisi 11⋅10⋅9=990 usulda tayinlanishi mumkin. ▲

Bu masalada biz 11−elementli toʻplamda tartiblangan juftliklar va tartiblangan uchliklar sonini topdik. Endi bu masalani umumiy holda yechaylik.

Ta’rif. n ta elementli {a₁,a₂,a₃,...,a_n} to‘plam berilgan bo‘lsin. Shu to‘plamning ixtiyoriy k ta turli elementidan hosil qilingan tartiblangan (a_i1 ,a_i2 ,...,a_ik ) ketma-ketlik n ta elementdan k tadan takrorsiz o‘rinlashtirish deb ataladi.

Bunday oʻrinlashtirishlar soni A_n^k deb belgilanadi. Bu sonni topish uchun xuddi oldingi masaladek ish tutamiz.

Birinchi elementni tanlash uchun n ta usul, ikkinchi elementni tanlash uchun n−1 ta usul, uchinchi elementni tanlash uchun (n−2) ta usul va h.k., oxirgi, k−chi elementni tanlash uchun (n−k+1) ta usul mavjud. Demak, A_n^k = n n⋅( −1) ... (⋅ ⋅ n k− +1).

12-masala. Barcha raqamlari turlicha boʻlgan yetti raqamli telefon nomerlari nechta? 

r Birinchi raqamni tanlash uchun 10 ta usul (0 ham kiradi deb faraz qilamiz), ikkinchi raqamni tanlash uchun 9 ta usul, uchinchi raqamni tanlash uchun 8 ta usul va h.k., oxirgi raqamni tanlash uchun 4 ta usul mavjud. Demak, 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4 ta telefon nomer. ▲

13-misol. A alifbo n ta belgidan tashkil topgan bo‘lsin. Uzunligi k ga teng bo‘lgan hamda turli belgilardan tashkil topgan so‘zlar (ya’ni uzunligi k ga teng bo‘lgan ketma-ketliklar) soni A_n^k =n n( −1)(n− 2)....(n k− +1) bo‘ladi.

Bu natija yuqoridagi mulohazalardan kelib chiqadi.

Izoh.   Agarda           har      bir       so‘zni tashkil            etgan belgilar          orasida takrorlanadiganlari bor bo‘lsa, bunday so‘zlar soni n ta elementdan r

tadan takrorli o‘rinlashtirishlar soni deb ataladi va A_n^k kabi belgilanadi.

Ko‘paytirish qoidasiga ko‘ra bu miqdor A_n^k = n^k formula yordamida topiladi.

14-masala. Natural sonning oʻnli yozuvida faqat toq raqamlar boʻlsa, bunday sonni “chiroyli” deymiz. Jami nechta toʻrt xonali “chiroyli” son bor?

r Bir xonali chiroyli sonlar 5 taligi ravshan. Bir xonali har bir “chiroyli” sonning oxiriga ikkinchi toq raqamni 5 ta usulda yozishimiz mumkin.  Demak, ikki xonali “chiroyli” sonlar A 25 ta boʻladi.

Xuddi shunday, uch xonali “chiroyli” sonlar A     125 ta, toʻrt

xonalilari esa A 625 ta. ▲

15-masala. Qizil, qora, koʻk va yashil sharlarni bir qatorga necha usulda joylashtirish mumkin?

r Birinchi oʻringa toʻrtta shardan ixtiyoriysini qoʻyish mumkin. Ikkinchi oʻringa esa qolgan uchta shardan ixtiyoriysini,  uchinchi oʻringa qolgan ikkita sharlardan  ixtiyoriysini, va nihoyat, oxirgi oʻringa eng oxirgi sharni qoʻyish mumkin.  Javob. 4⋅3⋅2⋅1. ▲

Izoh. 1 dan n gacha barcha natural sonlar koʻpaytmasi n! deb belgilanadi va “en faktorial” deb oʻqiladi. 

Aslida n! berilgan n elementli toʻplam elementlarining oʻrin almashtirishlari soniga teng. 

16-masala. 1, 2, 3 raqamlaridan ularni takrorlamasdan tuzilgan jami uch xonali sonlar nechta?

r Birinchi oʻringa uchta raqamdan ixtiyoriysini qoʻyish mumkin. Ikkinchi oʻringa qolgan ikkita raqamdan ixtiyoriysini va uchinchi oʻringa eng oxirgi raqamni qoʻyish mumkin. Demak, jami  3⋅2⋅1=3! ta son. ▲

17-masala. 7 nafar oʻquvchi navbatga necha usul bilan turishi mumkin?

r Birinchi oʻrinda 7 nafar oʻquvchidan ixtiyoriysi turishi mumkin. Ikkinchi oʻrinda qolgan 6 nafar (birinchi oʻrinda turgan oʻquvchidan qolganlari), 3- oʻrinda qolgan 5 nafar oʻquvchidan ixtiyoriysi, ..., oxirgi oʻrinda faqat bir nafari turishi mumkin. Jami 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=5 040 ta usul. ▲

Mashqlar

Masalalarni, variantlarni sanab, yeching (1–4):

1.      Voris, Doniyor, Olim, Kamola va Anora sinfda matematikani eng yaxshi biladigan oʻquvchilardir. Bir nafar oʻgʻil bola va bir nafar qiz bolani “Bilimlar bellashuvi”ga qatnashish uchun tanlash kerak. Buni nechta usulda amalga oshirsa boʻladi?

2.      Oshxonada birinchi taom sifatida karam shoʻrvani, qaynatma shoʻrvani, noʻhat shoʻrvani, ikkinchi taom sifatida garnirli goʻsht, baliq, tovuqni, uchinchisiga esa  choy va sharbatni buyurish mumkin. Birinchi, ikkinchi va uchinchi taomdan iborat tushlikni nechta usulda buyurish mumkin?

3.      Gullola, Sanobar, Karim, Olim, Madina va Voris  a’lo baholarga oʻqiydi. Maktab ma’muriyati a’lochilar uchun sovgʻa tarzida konsertga 4 ta chipta olib keldi. Shu chiptalalar a’lochilar oʻrtasida necha usulda taqsimlanishi mumkin?

4.      3 ta oq, 2 ta qizil va 4 ta sariq atirgul bor. Uchta guldan iborat guldastani necha usulda tuzish mumkin?

Qoʻshish va koʻpaytirish qoidalaridan foydalanib, masalalarni yeching (5–10):

5.      Kitob javonida matematikadan 9 ta, chet tilidan 4 ta va ona tilidan 6 ta kitob turibdi. Javondan bitta kitobni necha usulda tanlash mumkin?

6.      Sehrli mamlakatda uchta shahar bor: A, B va C. A shahardan B shaharga 6 ta yoʻl boradi, B shahardan C shaharga esa – 4 ta yoʻl. A shahardan C shaharga necha usulda borsa boʻladi?

7.      Do‘konda 7 ta tur pidjak, 5 ta tur shim va 4 ta tur galstuk sotilmoqda. Pidjak, shim va galstukdan iborat uchlikni (to‘plamni) necha usul bilan sotib olsa boʻladi?

8.      Sehrli mamlakatda toʻrtta shahar bor: A, B, C va D. A shahardan B shaharga 6 ta yoʻl boradi, B shahardan C shaharga  esa – 4 ta yoʻl.

A shahardan D shaharga 2 ta yoʻl, D shahardan B shaharga ham 2 ta yoʻl boradi. A shahardan C shaharga necha usulda borsa boʻladi?

9.      Agar oltita turli rangli mato bor boʻlsa, bir xil kenglikdagi gorizontal yo‘lli uchta rangli bayroqni necha usul bilan tiksa boʻladi?

10.  “Matbuot tarqatuvchi” do‘konida 5 ta tur konvert va  4 ta tur marka sotilmoqda. Konvert bilan markani necha usulda sotib olishimiz mumkin?

Guruhlashlar

1-masala. Sinfda 30 nafar oʻquvchi bor. Olimpiadada qatnashish uchun 2 nafar oʻquvchini tanlab olishimiz kerak. Buni necha usulda amalga oshirish mumkin?

r Birinchi oʻquvchini 30 ta usulda, ikkinchi oʻquvchini esa qolgan 29 nafar oʻquvchidan 29 ta usulda tanlasak boʻladi. Bunda har bir juftlik ikki marta sanalgani bois jami 435 ta usulni hosil qilamiz.  

Javob. 435. ▲

Izoh. Umumiy holda n elementli toʻplamning elementlari yordamida

hosil boʻlgan juftliklar soni  ^{n n( −1)} ga teng.

2

2-masala. Tekislikda n ta nuqta berilgan. Uchlari bu nuqtalarda boʻlgan nechta kesma oʻtkazsa boʻladi? n n( −1)

Javob.   .

                    2

3-masala. Qavariq n- burchakda nechta diagonal bor?

r Birinchi usul. Uchlari n ta nuqtada boʻlgan ^{n n( −1)} ta kesma oʻtkazsa

2

boʻladi. Shulardan n tasi diagonal boʻlmaydi (ular tomonlar boʻladi).

                                                    n n( −1)         n n( −3)

Demak, diagonallar soni         − n =              ga teng.

                                                           2                    2

Ikkinchi usul. Har bir uchdan (n–3) ta diagonal oʻtkazsa boʻladi. Demak, jami  n n( −3)ta diagonal. Ammo har diagonalni ikki martadan sanaganmiz. n n( −3) Shuning uchun  diagonallar soni  ga teng. n n( −3) ²

Javob:   . ▲

2

4-masala. Sinfda 30 nafar oʻquvchisi bor. Fan olimpiadasida qatnashish uchun 3 nafar oʻquvchidan iborat jamoani tanlab olishimiz kerak. Buni necha usulda amalga oshirish mumkin?

r Birinchi oʻquvchini 30 ta usulda, ikkinchi oʻquvchini qolgan 29

nafar oʻquvchidan 29 ta usulda, uchinchi oʻquvchini esa 28 usulda tanlasak boʻladi. Demak, 30⋅29⋅28 ta usul (variant) paydo boʻldi. Ammo bunday sanashda biror jamoa bir necha marta sanaldi: bitta uchlik turli usulda tanlanishi mumkin, masalan, dastlab A, soʻng B, undan keyin C yoki dastlab C, soʻng A, undan keyin B, va h.k.      

Uchta elementdan oʻrin almashtirishlar soni 3! ga teng boʻlgani bois, har bir jamoa 6 marta sanaldi. Jami  ta usulni hosil qilamiz. ▲

Izoh. Masalani umumlashtiramiz.

Sinfda n nafar oʻquvchi bo‘lsin. Jamoa esa k nafar oʻquvchidan iborat. Jamoani tanlab olish usullari soni n elementdan k tadan olingan  guruhlashlar soni deyiladi.

Ya’ni, n elementli toʻplamdan olingan k ta elementli qism toʻplamlar sonini hisoblaymiz. k ta elementni navbatma-navbat tanlab olamiz − dastlab birinchisini, keyin ikkinchisini va h.k. Natijada

n!

n n( −1)(n− 2)...(n k− + =1)   sonini hosil qilamiz. Ammo har bir qism

(n k− )!

 

toʻplamni k! marta sanadik. Shuning uchun natijani k! ga boʻlish lozim: ^k     n!

C_n = . Hosil boʻlgan son binomial koeffitsiyent deb ham ataladi:

k n k!( − )!

 

5-masala. Qurilish tashkilotining duradgorlar bo‘limida 15 nafar ishchi bor. Ko‘p qavatli uyning eshiklarini o‘rnatish uchun 3 nafar duradgorni tanlash zarur. Agar bo‘limdagi har bir duradgor bu topshiriqni bajarishga layoqatli bo‘lsa, bunday tanlash imkoniyatlari (variantlari) qancha?

r Guruhlashlar sonini topish formulasidan foydalanish mumkin. Bu yerda n=15, m=3 va C. Demak, 15 nafar duradgorlar orasidan 3 nafarini tanlash imkoniyatlari soni 455 ta ekan. ▲

6-masala. 5 ta kitobdan 3 ta kitobni necha usulda tanlashimiz mumkin?

r Binomial koeffitsiyentlar ta’rifiga koʻra C₅³ usulda tanlash mumkin. ▲

7-masala. 30 ta turli munchoqlardan iborat taqinchoqni 8 ta munchoqli qismlarga nechta usulda ajratsa bo‘ladi?

r Bu masalaning javobi 30 elementli to‘plamdan 8 ta elementli qism to‘plamlarini ajratib olishlar soni C₃₀⁸ ga teng.

Javob.  ^C₃₀⁸ . ▲

8-masala.  7 nafar kishidan 3 nafarini (ishchi guruhni) necha usulda tanlasa boʻladi? Guruh rahbari ishchi guruh a’zolaridan tanlab olinsa-chi?

r Uch nafar  (ishchi guruh)ni C₇³ ta usulda, har bir guruh rahbarini esa 3 ta usulda tanlasa boʻladi.

Javob. 3C₇³. ▲

Nyuton binomi

Quyidagi qisqa ko‘paytirish formulalarini eslaylik:

(a+b)² = a²+2ab+b² – ikki son yig‘indisining kvadrati;

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab²+b³ – ikki son yig‘indining kubi.

Yig‘indining navbatdagi ikkita, ya’ni 4- va 5- darajalarini hisoblaymiz: (a+b)⁴=(a+b)(a+b)³=(a+b)(a³+3a²b+3ab²+b³)=a⁴+4a³b+6a²b²+4a³b+b⁴; (a+b)⁵ =(a +b)(a+b)⁴ =a⁵+5a⁴b +10a³b² +10a²b³+5ab⁴+b⁵.

Umumiy holda, haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun

(a + b)n = an + Cn1an−1b + Cn2an−2b2 +...+ Cnn−1abb n−1 + bn

formula o‘rinlidir.

Bu formula Nyuton binomi formulasi deb ataladi.

Binomial koeffitsiyentlarning xossalari. Binomial koeffitsiyentlarning ba’zi xossalarini keltiramiz.

1-xossa. Ixtiyoriy natural n son uchun barcha C_n^m  binomial koeffitsiyentlar yig‘indisi 2ⁿ ga teng, ya’ni

Cn0 + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn−1 + Cnn = 2n .

Bu tenglik Nyuton binomi formulasida a = b = 1 deb olinganda hosil bo‘ladi.

Bu xossadan n-elementli to‘plamning barcha qism to‘plamlari soni 2ⁿ ga tengligi kelib chiqadi.

2-xossa. Toq o‘rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig‘indisi juft o‘rinlarda turgan binomial koeffitsiyentlar yig‘indisiga teng, ya’ni

Cn0 + Cn2 +... = Cn1 + Cn3 +...

Chindan ham, Nyuton binomi formulasida a=1 va b=–1 deb olinsa

0 = Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 +...+ (−1)n Cnn

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan tasdiqning to‘g‘riligi kelib

chiqadi.

1- va 2-xossalar asosida quyidagi xossani hosil qilamiz.

3-xossa. n natural sondan oshmaydigan eng katta toq m son uchun C_n¹ + C_n³ +...+ C_n^m = 2ⁿ⁻¹ tenglik hamda n sondan oshmaydigan eng katta juft m son uchun C_n⁰ + C_n² +...+ C_n^m = 2ⁿ⁻¹ tenglik o‘rinlidir.

Mashqlar

11. Shaxmat musobaqasida har bir ishtirokchi boshqa ishtirokchilarning har biri bilan bittadan oʻyin oʻynaydi. Jami 18 ta ishtirokchi boʻlsa, nechta oʻyin oʻynaladi?

12. Tekislikda n ta toʻgʻri chiziq shunday chizilganki, bunda hech qanday ikkita to‘g‘ri chiziq parallel emas, hech qanday uchtasi esa bitta nuqtadan oʻtmaydi. To‘g‘ri chiziqlarning kesishishidan hosil boʻlgan uchburchaklar nechta?

13. 7 ta turli rangli boʻyoqdan 4 tasini necha usulda tanlashimiz mumkin?

14. Bir toʻgʻri chiziqda 10 ta nuqta, unga parallel boʻlgan boshqa toʻgʻri chiziqda esa 11 ta nuqta belgilangan. Uchlari bu nuqtalarda boʻlgan nechta a) uchburchak; b) toʻrtburchaklar mavjud?

15. Ikkita parallel a va b toʻgʻri chiziqlarda, mos ravishda,  A A₁, ₂,..., A_m va B B₁, ₂,...,B_n nuqtalar belgilangan. Barcha AB_{i      j} kesmalar shunday oʻtkazilganki, ulardan hech qanday uchtasi bitta nuqtadan oʻtmaydi. Kesishish nuqtalar soni nechta?

16. n ta toʻgʻri chiziq eng koʻpi bilan nechta nuqtada kesishishi mumkin?

17. 100 elementli to‘plamning 40 elementli qism to‘plamlari soni bilan shu to‘plamning 60 elementli qism to‘plamlari sonini solishtiring.

n



18*.  binom yoyilmasida 5- had koeffitsiyenti 3- had



koeffitsiyentiga nisbati 7:2 ga teng. x ning darajasi 1 bo‘lgan hadni toping.

n

                               1 

        19*.  x                  x − ₄  binom yoyilmasida 3- had koeffitsiyenti 2- had

                               x 

koeffitsiyentidan 44 ga katta. Ozod hadni toping.

20

                              1 

20*. _  binom yoyilmasining barcha ratsional hadlarini

toping. ^

21.                   x(2 −3 )x ⁵ + x³(1+ 2x^{2 7}) − x⁴(3+ 2x^{3 9}) ko‘phadning x⁵ oldidagi koeffitsiyentini toping.

22.                   (a − 2)⁶ binom yoyilmasini yozing.

STATISTIK MA’LUMOTLAR. 

61–64                                 STATISTIK MA’LUMOTLARNING TURLI KO‘RINISHLARI

1-misol.  Firma ishlab chiqargan mahsulotni  biror sifat yoki miqdor belgisiga ko‘ra tahlil qilish talab etiladi. Bu vazifa qanday bajariladi?

Masalan, go‘sht mahsuloti solingan konserva idishlari ichida nuqsonli konservalar ulushini aniqlash  uchun har bir konserva idishini tekshirishimiz shartmi?

Go‘sht mahsuloti solingan konserva idishining o‘rtacha massasini aniqlash uchun har bir konserva idishning massasini o‘lchab, ular yig‘indisini barcha idishlar soniga bo‘lishimiz kerak. Biz bu holda matematik nuqtayi nazardan to‘g‘ri ish tutgan bo‘lamiz, ammo iqtisodiyot nuqtayi nazaridan emas.

Ammo mahsulotlar soni juda katta bo‘lsa, u holda yalpi tekshirishni o‘tkazish maqsadga muvofiq kelmaydi; sababi, bunday tekshirish qo‘shimcha ish kuchini, vaqtni va boshqa resurslarni jalb qilishni talab qiladi. Ayrim hollarda (masalan, tez buziladigan o‘simlik yoki go‘sht mahsulotlari solingan konserva idishining o‘rtacha massasini o‘lchash, elektr uskunaning buzilmasdan xizmat qilish vaqtini aniqlash va boshqalar) bunday tekshirishda mahsulot yaroqsiz holga kelishi tabiiy.

Shunga o‘xshash hollarda yalpi tekshirishdan voz kechib, mahsulotlar to‘plamidan chekli sondagi mahsulotlar tasodifiy ravishda, tavakkaliga olinadi va ular o‘rganiladi. Bunday usul tanlanma kuzatish deb nomlanadi.

Bizning misolimizda barcha konservalardan bir nechtasi, aytaylik, 200 tasi olinib, shu 200 ta konservaning massalaridan tashkil topgan ( x x₁ , ₂ ,...,x₂₀₀ )

                                                                        x1 + + +x2 ... x200

qator aniqlanadi va uning  x=                              o‘rta qiymati hisoblanadi.

200

Shu o‘rta qiymat barcha konservalarning o‘rta qiymatiga taqriban teng degan xulosaga kelinadi. 

Tanlanma kuzatish usuli mamlakatning ijtimoiy-iqtisodiy holati, asosiy demografik tavsiflar, aholi bandligi, uning turmush darajasi, yashash sharoitlari, ta’lim, sog‘liqni saqlash, madaniyat sohalaridagi ko‘rsatkichlarini aniq- lashda, tovar va xizmatlar iste’mol bozori, transport va aloqa xizmatlari haqida ma’lumotlarni  tahlil qilishda qo‘llaniladi.

O‘rganilishi kerak bo‘lgan barcha obyektlar to‘plami bosh to‘plam deyiladi. Tanlanma to‘plam (ba’zan tanlanma) deb bosh to‘plamdan ajratib olingan obyektlar to‘plamiga aytiladi.

Shu to‘plamlarning har bir elementini xarakterlovchi sifat yoki miqdor ko‘rsatkichlari majmuasi statistik^[1] ma’lumotlar deyiladi.

Statistik ma’lumotlar qatorining tabiati sonli bo‘lishi shart emas. Masalan, foylanishda bo‘lgan avtomashinalar rusumlari, ranglari o‘rganilganda, ularga mos statistik ma’lumotlarning tabiati sonli emasligi ravshan.

Tabiati sonli bo‘lmagan statistik ma’lumotlar kvalitativ (ing.quality – sifat),  miqdoriy statistik ma’lumotlar esa kvantitativ (ing.quantum – miqdor) deyiladi.

Odatda, kvantitativ statistik ma’lumotlar sonlar ketma-ketligini (qatorini) tashkil qiladi.

Bosh to‘plamning barcha elementlarini xarakterlovchi sifat yoki miqdor belgisi parametr deyiladi. Tanlanma to‘plamning funksiyasi esa statistika deyiladi. Statistika miqdoriy xarakterga ega bo‘lsa, uni statistik kattalik ham deyishadi. 

Agar yuqoridagi 1-misolda  har bir konserva idishining o‘rtacha massasini μ deb belgilasak, u holda μ – parametrga,  tanlanmadagi  har bir konserva idishining x o‘rtacha massasi esa statistikaga misol bo‘lishi mumkin. Bunda muay’an holatlarda statistikaga qarab, parametrning qiymatini baholash mum kin.

Keng ma’noda statistika deb statistik ma’lumotlarni to‘plash, ularni tizimga solish, ishlov berish hamda ulardan ilmiy va amaliy xulosalar chiqarish usullarini o‘rganadigan fanga aytiladi.  

Savol va topshiriqlar

1.                  Bosh to‘plam, tanlanma to‘plam deganda nimani tushunasiz?

2.                  Parametr, statistika deganda nimani tushunasiz? Misollar keltiring.

3.                  Qaysi ko‘rsatkichni o‘rganganimizda tanlanma kuzatish usulidan foydalanish qulayroq:

a)    bog‘dagi olma daraxtlarining o‘rtacha hosildorligi;

b)    O‘zbekistondagi avtomashinalarning rusumi va rangi;

c)    mahallangizdagi avtomashinalarning rusumi va rangi;

d)    O‘zbekistondagi o‘quvchilarning matematika fanidan o‘rtacha bahosi;

e)    maktabdagi o‘quvchilarning matematika fanidan o‘rtacha bahosi;

f)     do‘stlaringizning matematika fanidan o‘rtacha bahosi;

g)    teatr tomoshabinlaridan har ikkinchisining jinsi;

h)    maktabingizda tibbiy ko‘rikdan o‘tayotgan o‘quvchilarning o‘rtacha

vazni?

4.  Ikkita turli sifatga ega bo‘lgan bosh to‘plamga misol keltiring.

5.  Quyidagi statistik ma’lumotlar qatori kvantitativmi kvalitativmi:

a)   bu yili kasalxonaga tushgan birinchi 40 nafar kasalning jinsi;

b)  tasodifiy ravishda olingan 20 nafar o‘quvchining sochlari rangi;

c)   tasodifiy ravishda olingan 20 nafar o‘quvchining yoshi;

d)  bu oyda ishlab chiqarilgan 20 ta avtomashinaning yoqilgi sarflash ko‘r-

satkichi;

e)   tasodifiy ravishda olingan 100 nafar saylovchining siyosiy partiyalarga

mansubligi?

6. Tadbirkor supermarketga bir kunda kirgan insonlarning o‘rtacha sarflagan mablag‘lari 57000 ekanligini aniqladi.

a)   U qanday bosh to‘plamni o‘rgandi?

b)  U qanday parametrni o‘rgandi?

c)   Tanlanma kuzatuvni amalga oshirsak, uning statistikasi qanday ma’noga

ega? U nechaga teng bo‘lishi mumkin?

7. Tibbiyot sohasidagi tadqiqotchi oxirgi yillarda tug‘ilgan chaqaloqlarning o‘rtacha vaznini baholamoqchi. U 235 nafar chaqaloqning o‘rtacha massasini hisoblaganda, 3 kg 270 g qiymatni hosil qildi.

a)   U qanday bosh to‘plamni o‘rgandi?

b)  U qanday parametrni o‘rgandi?

c)   Tanlanma qanday statistikaga ega? U nechaga teng?

d)  Parametr nechaga teng bo‘lishini aniq bila olamizmi?

8. Sotsiolog hududdagi yosh qizlar orasida sport bilan shug‘ullanayotgan qizlarning ulushini baholamoqchi. Tasodifan olingan 1 320 nafar qizdan 145 nafari (ya’ni tahminan 11 foizi) sport bilan shug‘ullanganligi aniqlandi.

a)   Sotsiolog qanday bosh to‘plamni o‘rgandi?

b)  U qanday parametrni o‘rgandi?

c)   Tanlanma qanday statistikaga ega? U nechaga teng?

d)  Parametr nechaga teng bo‘lishini aniq bila olamizmi?

Biz bundan buyon faqat kvantitativ statistik ma’lumotlar qatorini qaraymiz. Bu holda tanlanmaga oid statistik ma’lumotlar qatori chekli sonli to‘plamni tashkil qilishi ravshan.

Tanlanma hajmi  yoki bosh to‘plam hajmi deb, shu to‘plamlardagi obyektlar soniga aytiladi.

Masalan, 1-misolda 10000 ta konserva sifatini tekshirish uchun 200 ta konserva tanlab olingan bo‘lsa, bosh to‘plam hajmi N=10000 va  tanlanmaning hajmi n=200 ga teng bo‘ladi.

Tanlanmaning har bir elementi varianta,  tartiblangan tanlanma variatsion qator deb ataladi. Bosh to‘plamdan tanlanma to‘plam olingan va unda x1 qiymat n1 marta, x2 qiymat n2 marta, . . . , xk qiymat nk marta kuzatilgan bo‘lsin. ni kattalik ni xi variantaning chastotasi,     kattalik esa nisbiy chastotasi deb ataladi. n Ravshanki, tanlanmaning hajmi n n= 1 + n2 +...+ nk ga teng.

Statistik ma’lumotlarga quyidagicha dastlabki ishlov berilishi mumkin:

1)  variatsion qator tuziladi;

2)  ma’lumotlar chastotalar bo‘yicha jadval ko‘rinishida yoziladi;3) chastotatalar poligoni chiziladi; 4) gistogramma chiziladi.

2-Misol. Iqtisodchi firma ishchilarining malaka toifalarini o‘rganish uchun 20 nafarining hujjatlari asosida quyidagi statistik ma’lumotlar qatorini hosil qildi: 4; 4; 3; 2; 5; 2; 3; 5; 4; 3; 3; 2; 5; 4; 5; 4; 6; 3; 4; 5.

Bu ma’lumotlarni o‘sish tartibida yozib variatsion qatorni hosil qildi:

2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6.

Variatsion qatorda x₁ = 2; x₂ = 3; x₃ = 4; x₅ = 5; x₆ = 6 — variantalar; x₁ variantaning chastotasi 3 ga; x₂ niki 5 ga; x₃ niki 6 ga; x₄ niki 5 ga; x₅ niki esa 1 ga teng. Bundan tashqari x₁ variantaning nisbiy chastotasi  = 15%; x₂ variantaning nisbiy chastotasi esa  = 25% ga teng.

So‘ng iqtisodchi chastotalar bo‘yicha jadvalni tuzdi:

Malaka toifasi xi	2	3	4	5	6
Ishchilar soni pi	3	5	6	5	1

Dekart koordinatalar sistemasida (2, 3), (3, 5), (4, 6), (5, 5) va (6, 1) nuqtalarni siniq chiziq bilan tutashtirdi. Bu bilan iqtisodchi chastotalar poligonini yasadi:

Umumiy holda chastotalar poligoni deb (x1;n1), (x2;n2), K, (xk ,nk ) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Nisbiy chastotalar poligoni deb ( x1 ,ω ω1 ),( x2 , 2 ),. ...,( xk ,ωk ) n            n nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi, bunda ω1= 1 , ω2= 2 , ..., nk       n          n ωk=  – nisbiy chastotalar. n

So‘ng abssissa o‘qida asoslari [2; 3], [3; 4], [4; 5], [5; 6], [6; 7] kesmalar hamda balandliklari, mos ravishda, 3; 5; 6; 5; 1 chastotalarga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklarni yasadi. Bunday shakl gistogramma deb nomlanadi. 

Agar ma’lumotlar qatori katta bo‘lib, unda takrorlanadigan qiymatlar kam uchrasa, chastotalar jadvalini tuzishda noqulayliklarga duch kelamiz. Bunday hollarda ma’lumotlarni tahlil qilish uchun ularni o‘z ichiga olgan

bir nechta bir hil uzunlikdagi oraliqlar qaraladi. Har bir oraliqqa tegishli variantalar soni (uni ham chastota deb nomalaymiz) hisoblanadi va tegishli jadval tuziladi.

3-misol. Ishlab chiqarilayotgan elektr asboblarning xizmat qilish muddatini o‘rganish uchun 50 ta mahsulot tanlab olindi. Natijada quyidagi jadval tuzildi:

Xizmat qilish muddati, kun	Chastota
200 gacha	1
200 – 400	3
400 – 600	5
600 – 800	9
800 – 1000	16
1000 – 1200	9
1200 – 1400	5
1400 – 1600	2

Asoslari abssissa o‘qidagi mos oraliqlar bo‘lgan hamda balandlikl ari, mos ravishda, chastotalarga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklardan tashkil topgan gistogramma yasaladi: 

4-misol. Odil “Yo‘l harakati havfsizligi oyi” davomida maktab darvozasi yonida soat 7.45 dan 8.00 gacha nechta avtomashina o‘tishini sanadi va quyidagi jadvalni tuzdi:

Avtomashinalar soni	Sanash	Chastota	Nisbiy chastota
0 – 9	|	1	0,033
10 – 19	||||	5	0,167
20 – 29	|||| ||||	10	0,333
30 – 39	|||| ||||	9	0,3
40 – 49	||||	4	0,133
50 – 59	|	1	0,033
Jami			30

Ma’lumotlarni ustunli diagramma va poligon ko‘rinishda ifodalang.

Kuzatilgan vaqt oralig‘ida eng ko‘pi bilan nechta avtomashina o‘tdi?

r Asoslari jadvaldagi kesmalar bo‘lgan va balandliklari chastotalarga teng to‘g‘ri to‘rtburchaklar (ustunlar) chizib, ustunli diagrammani hosil qilamiz va har bir ustunning yuqori qismining o‘rtalarini tutashtiramiz. Natijada poligon hosil bo‘ladi:

 ▲ Mashqlar

Mashqlarda berilgan ma’lumotlarni jadval, ustunli diagramma, poligon va gistogramma ko‘rinishida ifodalang. Qaysi varianta eng ko‘p uchradi? Bundan qanday xulosaga kelsa bo‘ladi? (23–25):

23. Maktab futbol jamoasining har o‘yinda kiritgan gollari quyidagicha:

2	0	1	4	0	1	2	1	1	0	3	1
3	0	1	1	6	2	1	3	1	2	0	2

24. Jadvalda oxirgi haftada 40 nafar o‘quvchining nechta a’lo baho olgani yozilgan:

0	2	1	5	0	1	4	2	3	1
4	3	0	2	9	2	1	5	0	3
6	4	2	1	5	1	0	2	1	4
3	1	2	0	4	3	2	1	2	3

25. 10 ta savoldan iborat test nazoratida o‘quvchilar to‘g‘ri yechgan testlar soni quyidagicha bo‘lgan: 

5	7	6	4	6	5	6	7	5	8
7	6	9	8	7	6	6	9	6	7
6	4	7	5	8	7	6	8	7	8
5	6	9	7

26. Marketolog tasodifiy ravishda tanlangan insonlardan “Siz shu haftada necha marta do‘konga kirdingiz?” degan savol bilan murojaat qildi va so‘rovnoma natijalarini quyidagicha tasvirladi: 

a)       So‘rovnomada nechta kishi ishtirok etdi?

b)      Qaysi varianta eng ko‘p uchradi? Qanday xulosaga kelsa bo‘ladi?

c)       Necha kishi bu hafta do‘konga kirmagan?

d)      Do‘konga 3 martadan ko‘proq kirgan kishilar necha foiz?

e)       Chastotalar jadvalini tuzing.

27. Samandar maktabga avtobusda qatnaydi. 30 kun mobaynida u o‘zi chiqqan avtobusdagi yo‘lovchilar sonini sanadi va quyidagi ma’lumotlarni hosil qildi:

17	25	32	19	54	30	22	15	38	8
21	29	37	25	42	35	19	31	26	7
22	11	27	44	24	22	32	18	40	29

a)   0–9, 10–19,..., 40–49 oraliqlarga mos chastotalar jadvalini tuzing.

b)  Necha kunda avtobusga 10 nafardan kamroq yo‘lovchi chiqqan?

c)   30 nafardan ko‘proq yo‘lovchi chiqqan kunlar necha foiz?

d)  Ustunli diagramma, poligonni chizing.

f) Qaysi oraliqda eng ko‘p yo‘lovchi chiqqan?

28. Adabiyot darsligidan sizga yoqqan she’rni tanlab oling va undagi unli harflar sonini sanab chiqing. Mos jadvalni, ustunli diagrammani, poligonni va gistogrammani yasang. Qaysi harf ko‘proq uchradi? Natijangizni boshqa sinfdoshlaringiz bilan solishtiring.

Jami unli harflar	A	E	I	O	U	O‘
Sanash natijasi

O‘RTA QIYMAT, MODA VA MEDIANA.

^65–67              CHETLASHISH, STANDART CHETLASHISH

O‘rta qiymat, moda va mediana

Mamlakatning ijtimoiy-iqtisodiy holati, asosiy demografik tavsiflar, aholi bandligi, uning turmush darajasi, yashash sharoitlari, ta’lim, sog‘liqni saqlash, madaniyat sohalari ko‘rsatkichlarini aniqlashda, tovar va xizmatlar iste’mol bozori, transport va aloqa xizmatlari haqidagi statistik ma’lumotlar qatorlariga ishlov berish statistik kattaliklar yoki xarakteristikalar  asosida yuritiladi.

Quyidagi statistik xarakteristikalar ma’lumotlar qatorining turli ma’nodagi markazlarini (ba'zi adabiyotlarda markaziy tendensiya deb yuritiladi) ifodalaydi: oʻrta qiymat, moda va mediana.

1-misol. 11-sinf o‘quvchilaridan 12 nafari tanlab olinib, ularning bo‘ylari o‘lchandi:

168,  159,  181,  172,  161,  163,  164,  170,  169,  154,  168,  175.

O‘quvchilarning o‘rtacha bo‘yi necha santimetr?

O‘quvchilardan nechtasining bo‘yi o‘rtacha bo‘ydan baland?

r O‘lchash natijalarini qo‘shib, o‘quvchilar soniga bo‘lamiz:

(168+159+181+172+161+163+164+170+169+154+168+175):12=167.

Demak, o‘quvchilarning o‘rtacha bo‘yi 167 cm ekan. O‘quvchilardan 7 nafarining bo‘ylari o‘rtacha bo‘ydan baland. ▲

Oʻzgarish kengligi deb, berilgan statistik ma’lumotlar qatoridagi eng katta varianta  bilan eng kichik varianta ayirmasiga aytiladi.

Masalan, o‘quvchilar bo‘ylari to‘g‘risidagi ma’lumotlar qatorining o‘zgarish kengligi 181–154=27 cm ekan.  

2-misol. O‘quvchining chorak davomida matematika fanidan olgan baholari 5, 3, 4, 2, 5, 5, 4, 3, 3, 5, deylik.

Uning o‘rtacha bahosi   = 3,9 bo‘lgani uchun bu son yahlitlanib chorakka 4 baho chiqarildi. To‘plangan 10 ta baho ichida oltitasi o‘rtacha bahodan yuqori ekanligi ko‘rinib turibdi.

Shu bilan birga eng ko‘p uchragan baho 5 ekanligini aytish joiz.

O‘rta qiymat ma’lumotlar qatorining markazini ifodalaydigan sondir. Bu qiymat qatorga tegishli bo‘lishi shart emas.

Masalan, maktabda test sinovlarining o‘rtacha natijasi 75% bo‘lsa, ayrim o‘quvchilar natijasi 75% dan yuqori, ayrimlariniki esa 75% dan past bo‘lishi mumkin.  Bunda 75% natijaga erishgan o‘quvchi bo‘lmasligi

n

∑x_i

ham mumkin. x₁, x₂, ..., x_n tanlanmaning x o‘rta qiymati x = ⁱ⁼¹              formula

n

n

yordamida hisoblanadi, bu yerda n – tanlanma hajmi, ∑x_i =x₁+x₂+ ... +x_n.

i=1

Ma’lumotlar qatorida eng ko‘p uchraydigan varianta ma’lumotlar qatorining modasi deyiladi. Masalan, 2-misol uchun moda 5 ga teng.

Topshiriq. Kundalik daftaringizda o‘tgan chorakda matematika fanidan olgan baholaringiz qatorini yozing. O‘rtacha bahoingizni va baholar qatorining modasini toping. Qanday hulosaga keldingiz?  

Ma’lumotlar qatorida variantalar soni toq son boʻlsa, u holda qatorning medianasi deb variatsion qatorning oʻrtasida turgan songa aytiladi.

Ma’lumotlar qatorida variantalar soni juft boʻlsa, u holda qatorning medianasi deb variatsion qatorning oʻrtasida turgan ikki variantaning oʻrta arifmetigiga aytiladi.

x₁, x₂, ..., x_n tanlanmaning medinasini topish uchun dastlab  x₁, x₂, ..., x_n sonlar o‘sish tartibida joylashtiriladi, ya’ni variatsion qator hosil qilinadi.

So‘ng ⁿ⁺¹ qiymat topiladi.

2

Agar  ⁿ⁺¹ son butun bo‘lsa, ya’ni n – toq bo‘lsa, u holda mediana

2

variatsion qatorning ⁿ⁺¹- hadiga,  ⁿ⁺¹ son butun bo‘lmasa, yani n –

                                                       2                           2

n   n+2 juft bo‘lsa, u holda mediana variatsion qatorning            -chi va            -

                                                                                                                                       2                      2

hadlarining o‘rta arifmetigiga teng bo‘ladi.

                                                                 n +1    13+1

Masalan, n=13 bo‘lsa,   =         = 7 bo‘ladi. Bu holda mediana 7variantaga teng.           ^{2          2}

                                                         n +1    14 +1

         Agar n=14 bo‘lsa,             =                   = 7,5 va bu holda mediana 7- va 8-

                                                            2           2

variantalarning  o‘rta arifmetigiga teng.

Mediana variatsion qatorni teng ikki qismga bo‘ladi. Shulardan bir qismi qiymati medianadan katta bo‘lmagan variantalardan, ikkinchi qismi esa qiymati medianadan kichik bo‘lmagan variantalardan tashkil topgan.

Masalan, maktabda test sinovlari natijalari medianasi 75 % bo‘lsa, natijalari 75 % dan katta bo‘lmagan o‘quvchilar soni barcha o‘quvchilar sonining teng yarmini tashkil qiladi.

3-misol. Statistik ma’lumotlar qatorining o‘rta qiymatini, modasini va medianasini toping:

a) 3, 6, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 7;             b) 13, 12, 15, 13, 18, 14, 16, 15, 15, 17.

r a) O‘rta qiymat:

Bu qator ikkita modaga ega: 5 va 6 (ular uch martadan takrorlanadi).

n +1

n=9,             = 5  bo‘lgani uchun variatsion qatorning o‘rta hadini

2

topamiz: 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7.

Demak, mediana 5 ga teng ekan.

b) O‘rta qiymat: x = = =14,8.

Bu qator modasi 15 ga teng (bu son eng ko‘p marta takrorlanadi). n=10, n +1

 = 5,5 bo‘lgani uchun, variatsion qatorni tuzib, variatsion qatorning

2

ikkita o‘rta hadini topamiz: 12, 13, 13, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18.

Demak, mediana 15 ga teng ekan.

Mashqlar

29. Ma’lumotlar qatorlarining modasini, medianasini va o‘rta qiymatini toping.  

a)   2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9;

b)  10, 12, 12, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 20, 21;

c)   22,4,  24,6,  21,8,  26,4,  24,9,  25,0,  23,5,  26,1,  25,3,  29,5,  23,5.

30.  Ma’lumotlar qatorlari berilgan bo‘lsin: A: 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10; B: 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 15.

a)   Ularning o‘rta qiymatlarini toping.

b)  Ularning medianalarini toping.

d) Nega A qatorning o‘rta qiymati B qatorning o‘rta qiymatidan kichik?

c) Nega A qatorning medianasi B qatorning medianasiga teng?

31.                   Ikki nafar sportchi musobaqada quyidagi natijalarni ko‘rsatdi:

160, 175, 142, 137, 151, 144, 169, 182, 175, 155;

157, 181, 164, 142, 195, 188, 150, 147, 168, 148.

Ularning qaysi biri o‘rtacha hisobda yuqoriroq natijaga erishdi?

32.                   Olim 15 kun davomida har kuni necha dona olma yeganini yozib bordi:  2, 3, 1, 1, 0, 0, 4, 3, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 4. Shu qatorning:

a) moda; b) o‘rta qiymat;  c) medianasini toping.

33. Maktab basketbol jamoasi 4 ta o‘yinda savatga 43, 55, 41 va 37 ta ochkoli to‘p tushirdi (ochkoga ega bo‘ldi).

a)                  Shu to‘rt o‘yinda savatga o‘rtacha necha ochkoli to‘p tushirildi?

b)                  O‘rtacha ochkolar soni saqlanishi uchun keyingi, beshinchi o‘yinda

savatga necha ochkoli to‘p tushirilishi kerak?

c)                  Beshinchi o‘yinda savatga 25 ochkoli to‘p tushirilgan bo‘lsa, besh

o‘yinda o‘rtacha ochkolar soni nechaga teng bo‘ladi?

d)                  Jamoa 6 – o‘yinda savatga 41 ochkoli to‘p tushirdi.  O‘rtacha ochkolar soni qanday o‘zgaradi? 6 ta o‘yinda o‘rtacha ochkolar soni nechaga teng bo‘ladi?

Savollar va topshiriqlar

1)  Qanday statistik xarakteristikalarni bilasiz?

2)  Moda nimani anglatadi?

3)  Berilgan sonlarning medianasi qanday topiladi?

Agar x₁, x₂, ...., x_k tanlanmaning qiymatlari, mos ravishda, n₁, n₂, ...., n_k chastotalarga ega, shu bilan birga n₁+n₂+....+n_k =n bo‘lsa, u holda tanlanmaning o‘rta qiymati

  n x^{1 1} + n x^{2 2} +...+ n x^{k k}                                   x =                                        (2) n

       yoki                                                   _k

1

                                           x= ⁿ∑i=1nx_{i i}    formula bo‘yicha topiladi.

4-misol. Stastistik  qator quyidagicha berilgan bo‘lsin:

Qiymat (xi)	Chastota (ni)
3 4 5 6 7 8 9	1 1 3 7 15 8 5
Jami	∑ni = 40

Uning o‘rta qiymatini topish uchun jadvalga yana bir ustunni qo‘shib, unga n_i∙x_i ko‘paytmalarni yozamiz va tegishli hisob-kitoblarni amalga oshiramiz:

Qiymat (xi)	Chastota ( ni)	Ko‘paytma ( nixi)
3 4 5 6 7 8 9	1 1 3 7 15 8 5	1 ∙ 3=3 1 ∙ 4=4 3 ∙ 5=15 7 ∙ 6=42 15 ∙ 7=105 8 ∙ 8=64 5 ∙ 9=45
Jami	∑ni = 40	∑ni =278

Demak, o‘rta qiymat  bo‘ladi.

Endi medianani topamiz.  Tanlanma hajmi 40 ga teng bo‘lgani bois n

 =          = 20,5 bo‘ladi. Demak, mediana 20- va 21- variantalarning

o‘rta arifmetigiga teng.

Uning qiymatini topish uchun quyidagi jadvalni tuzamiz:

Qiymat	Chastota	Yig‘ma chastota	Izoh
3	1	1	1 ta had 3 ga teng
4	1	1+1=2	2 ta had 4 dan kichik yoki teng
5	3	2+3=5	5 ta had 6 dan kichik yoki teng
6	7	5+7=12	12 ta had 6 dan kichik yoki teng
7	15	12+15=27	27 ta had 7 dan kichik yoki teng
8	8	27+8=35	35 ta had 8 dan kichik yoki teng
9	5	35+5=40	Barcha 40 ta had  9 dan kichik yoki teng
Jami

Jadvaldan ko‘rinib turibdiki, 20- va 21- variantalar ikkalasi ham 7 ga teng.

Demak, mediana  = 7 bo‘lar ekan. 

5-misol. Xalqaro tennis musobaqasida O‘zbekiston vakili o‘yinining setlarida jadvalda ko‘rsatilgandek bir nechta eys qayd etildi:

Eyslar soni	1	2	3	4	5	6
Chastota	4	11	18	13	7	2

a)   Shu setlarda qayd etilgan eyslarning o‘rtacha sonini aniqlang.

b)  Shu setlarda qayd etilgan eyslarning medianasini aniqlang.

c)   Modani toping.

r Quyidagi jadvalni tuzamiz:

Eyslar soni (xi)	Chastota ( ni)	Ko‘paytma (nixi)	Yig‘ma chastota
1 2 3 4 5 6	4 11 18 13 7 2	4 22 54 52 35 12	4 15 33 46 53 55
Jami	∑ni =55	∑ni =179

a)     x=∑nxi i = 179 ≈ 3,25.

                                                                                ∑n_i         55

Shu setlarda qayd etilgan eyslar o‘rtacha soni taxminan 3,25 ga teng. n +1

b)     Tanlanma hajmi n=5 bo‘lgani uchun  = 28. Demak mediana 28- had bilan ustma-ust tushadi. ²

Jadvaldan ko‘rinib turibdiki, 16- haddan boshlab 33- hadgacha barcha hadlar qiymati 3 ga teng, demak mediana ham 3 ga teng.   

c)     Eng katta chastota 18 ga teng bo‘lgani uchun, unga mos eyslar soni 3 ga teng.

Mashqlar

34. 3 ta tanga birgalikda 30 marta tashlanganda jadvalda ko‘rsatilgan natija qayd etildi.

Gerblar soni	Necha marta kuzatildi
0 1 2 3	4 12 11 3
Jami	30

Shu ma’lumotlarga ko‘ra: a) modani;

b)    medianani;

c)    o‘rta qiymatni toping.

d)    O‘zingiz ham 3 ta tanga olib shunday tajribani amalga oshirib ko‘-

ring-chi? Qanday natijalarga erishdingiz? 

35. Quyidagi jadvalda maktab direktoriga har kuni qilingan murojaatlar soni ko‘rsatilgan. Bunga ko‘ra:

Kunlik murojaatlar soni	0	1	2	3	4	5	6	7	8	11
Chastota	5	8	13	8	6	3	3	2	1	1

a)     Modani, medianani va o‘rta qiymatni toping;

b)    Mos ustunli diagrammani yasang va moda, mediana va o‘rta qiymat

qayerda ekanligini ko‘rsating.

c)     Nega o‘rta qiymat medianadan katta?

d)    Ma’lumotlar qatorining markazi sifatida qanday statistik kattalikni

tanlar edingiz? Javobingizni asoslang.

36. Amaldagi texnik qoidalarga ko‘ra gugurt chiqaradigan firma gugurt qutisiga 50 dona gugurt cho‘pini solishi kerak. Sifat komissiyasi 30 ta gugurt qutisini tanlab, ulardagi gugurt cho‘plarini sanadi va natijalarni quyidagi jadval ko‘rinishda yozdi:

Qutidagi gugurtlar soni	Chastota
47 48 49 50 51 52	5 4 11 6 3 1
Jami	30

a)   Modani, medianani va o‘rta qiymatni toping.

b)  Firma texnik qoidalarga rioya qilmoqdami? Nega?

Oiladagi bolalar soni	Chastota
1 2 3 4 5 6	5 28 15 8 2 1
Jami	59

37. Samandar mahallasida istiqomat qiladigan 59 ta oilada bolalar sonini aniqlab, quyidagi jadvalni tuzdi: 

Samandarga modani, medianani va o‘rta qiymatni topishga yordam bering.

Statistik ma’lumotlar oraliqlar bo‘yicha guruhlanganda o‘rta qiymat aniq topilmasligi mumkin. O‘rta qiymatni taqriban topish uchun har bir oraliqning o‘rtasi bilan ish ko‘riladi. Bu usulning mohiyatini     tushunish       uchun misol ko‘raylik. 

6-misol. Firma ishchilari yoshi bo‘yicha quyidagicha taqsimlangan:

Yoshi	21 – 25	26 – 30	31 – 35	36 – 40	41 – 45	46 – 50	51 – 55
Chastota	11	14	32	27	29	17	7

Firma ishchilarining o‘rtacha yoshining taqribiy qiymatini topish uchun ushbu jadvalni tuzamiz:

Yoshi (yillar)	Chastota ( ni)	oraliq o‘rtasi (xi)	ni xi
21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55	11 14 32 27 29 17 7	23 28 33 38 43 48 53	253 392 1056 1026 1247 816 371
Jami	∑ni =137		∑nxi i =5161

        Bundan                           x=∑nxi i = 5161 ≈ 37,7 .

                                                                            ∑n_i         137

Firma ishchilarining o‘rtacha yoshi taqriban 37,7 ga teng ekan.

Mashqlar

38.                   Jadvalda o‘quvchilardan olingan test natijalari qayd etilgan:

Ballar	0 – 9	10 – 19	20 – 29	30 – 39	40 – 49
Chastota	2	5	7	27	9

O‘rtacha natijani taqriban aniqlang.

39.                   Jadvalda yoqilg‘i shahobchalarida sotilgan kunlik benzin hajmi haqida ma’lumotlar keltirilgan:

Hajm (litr)	Chastota
2000 – 2999 3000 – 3999 4000 – 4999 5000 – 5999 6000 – 6999 7000 – 7999	4 4 9 14 23 16

a)   Nechta shahobcha o‘rganilgan?

b)  Bir kunda jami qancha benzin sotiladi?

c)   Bir kunda o‘rta hisobda qancha benzin sotiladi?

40. Basketbolchining o‘yinlarda keltirgan ochkolari soni quyidagicha:

15	8	6	10	0	9	2	16	11	14	13	17	16	12
3	13	5	18	14	19	4	15	15	19	19	14	6	11
9	7	15	19	12	17	14	13	12	10	6	8	9	3

a)       O‘rta hisobda bir o‘yinda qancha ochko  olingan?

b)      Ma’lumotlarni quyidagi oraliqlarga guruhlab, o‘rtacha ochkolar

sonini taqriban toping va asl o‘rta qiymat bilan solishtiring:

I)     0 – 4, 5 – 9, 10 – 14, 15 – 19;

II)  0 – 3, 4 – 7, 8 – 11, 12 – 15,  16 – 19.

41. Test sinovlarida o‘quvchilar tomonidan olingan natijalar quyidagi gistogrammada tasvirlangan:

ballar

a)   Test sinovlarda qancha o‘quvchi qatnashgan?

b)   O‘rtacha ballar soni nechaga tengligini baholang.

c)   100 balldan yuqori natijaga erishgan o‘quvchilar ulushini toping.

d)   Agar 20% o‘quvchi rag‘batlantirilishi ko‘zda tutilgan bo‘lsa, rag‘bat

olish uchun eng quyi ball nechaga teng bo‘ladi? 

Chetlanish, standart chetlanish. Statistik ma’lumotlar qatorining modasi, medianasi va o‘rta qiymati o‘rganilayotgan qatorning qaysi qiymati eng xarakterli ekanligini ko‘rsatadi, lekin bular qatorni tavsiflash uchun hali yetarli emas. Chunki statistik ma’lumotlar orasidagi har xillik, ya’ni o‘zgaruvchanlikning mavjudligi ma’lumotlar to‘plamining asosiy xususiyati hisoblanadi.

Agar o‘zgaruvchanlik bo‘lmaganda edi, statistik qator haqida ma’lumotni qatorning bitta elementiga qarab olish mumkin bo‘lar edi. O‘zgaruvchanlik mavjud bo‘lganda esa bu ma’lumot o‘zgaruvchanlikning xarakteri va darajasini hisobga olgan bo‘lishi kerak.

Yuqoridagi misollarda ma’lumotlar qatori elementlarining qatorning o‘rta arifmetik qiymatidan ozmi-ko‘pmi chetlanganini ko‘rdik. Bu chetlanish belgining qanchalik o‘zgaruvchanligini ko‘rsatadi.

Tanlanma to‘plam belgisining kuzatilgan qiymatlari uning o‘rtacha qiymati atrofida tarqoqligini xarakterlash uchun standart chetlanishdan foydalaniladi.

x₁, x₂, ...., x_n tanlanmaning o‘rta qiymati x bo‘lsin. Uning standart

chetlanishi deb

s_n =        yoki  ^s_n =  songa aytiladi.

Bunda (x_i–x)² ifoda x_i belgi x o‘rta qiymatdan qanchalik chetlanishini,

n

n               

∑(x₁ − x)² ifoda barcha chetlanishlar yig‘indisini,  ifoda esa

i=1                                                                                                                                  n

o‘rtacha chetlanishni bildiradi. Ildiz belgisi esa o‘rtacha chetlanishning o‘lchov birligi ma’lumotlar o‘lchov birliga mosligini ta’minlash uchun qo‘yiladi.  

7-misol. 2, 5, 4, 6, 7, 5, 6  qatorning standart chetlanishini hisoblang.

x =  = 5 o‘rta qiymatni hisoblab, quyidagi jadvalni tuzamiz:

Ochko (xi)	xi–x	(xi–x)2
2 4 5 5 6 6 7	–3 –1 0 0 1 1 2	9 1 0 0 1 1 4
35		16

So‘ng standart chetlanishni hisoblaymiz:

s_n =≈1,51.

Agar n  hajmli tanlanmada x₁, x₂, ...., x_k qiymatlar, mos ravishda,  n₁, n₂, ..., n_k chastotalarga ega bo‘lsa, u holda standart chetlanish

8-misol. Tanlanma to‘plam quyidagi jadval bilan berilgan:

xi	1	2	3	4
ni	20	15	10	5

Standart chetlanishni toping.

r   .

Endi jadvalni to‘ldiramiz:

(xi)	(ni)	xi–x	(xi–x)2	ni (xi–x)2
1	20	–1	1	20
2	15	0	0	0
3	10	1	1	10
4	5	2	4	20
Jami:	50			50

                                      20+ + +0  10      20

Demak, s_n ==1.

                                      20+ + +15 10     5

Mashqlar

42. Tashkilotning avtomashinalari bir haftada sarflagan yoqilg‘i miqdori haqidagi ma’lumotlar quyidagicha bo‘lsin:

62, 40, 52, 48, 64, 55, 44, 75, 40, 68, 60, 42, 70, 49, 56 Bu qatorning standart chetlanishini hisoblang.

43. Fermer olmazordan tasodifiy ravishda tanlangan bir nechta olmalar-ning vaznini o‘lchab,

87, 75, 68, 69, 81, 89, 73, 66, 91, 77, 84, 83, 77, 84, 80, 76, 67 tanlanmani hosil qildi.

Tanlanmaning o‘rta qiymatini va standart chetlanishni hisoblang.

Olmazordagi jami olmalarning o‘rtacha vazni va standart chetlanishi haqida nima deya olasiz?

44. Valijon mahallasida istiqomat qiladigan oilalarda bolalar sonini aniq-lab, quyidagi jadvalni tuzdi: 

Oiladagi bolalar soni, (x)	0	1	2	3	4	5	6	7
Chastota, ( ni)	14	18	13	5	3	2	2	1

Ma’lumotlar qatorining o‘rta qiymatini va standart chetlanishni toping.

45. Musobaqada qatnashgan ishtirokchilarning yoshi haqidagi statistik ma’lumotlar quyidagi jadvalda berilgan:

Yoshi	11	12	13	14	15	16	17	18
Chastota	2	1	4	5	6	4	2	1

Musobaqada qatnashgan ishtirokchilarning o‘rtacha yoshini va standart chetlanishni toping.

46. Tuman sog‘lomlashtirish maskani yil mobaynida har haftada muro-jaat qilgan fuqarolar sonini hisoblab, quyidagi jadvalni to‘ldirdi:

Mijozlar soni	Chastota
36 39 44 45 46 48 50 52	2 5 9 11 15 5 4 1
Jami	52

Haftada murojaat qilgan fuqarolarning o‘rtacha sonini va standart chetlanishni toping.

IKKITA TUR MA’LUMOTLAR O‘RTASIDAGI

^68–70                       BOG‘LIQLIKNI TADQIQ QILISH

Sochilish diagrammasi. Kundalik faoliyatimizdagi ko‘pgina amaliy masalalarda, tajribalarda o‘rganilayotgan ikkita ma’lumotlar qatorlari o‘rtasida bog‘liqlikni aniqlash talab etiladi.

Bunda sochilish diagrammasi deb nomlangan diagramma yordam beradi. 1-misol. Inson bo‘yi va vazni orasida bog‘lanish bormi?

r Bu savolga javob topish uchun 15 nafar yigit tanlanib, ularning bo‘ylari va vaznlari o‘lchandi. Natijada quyidagi jadval hosil bo‘ldi:

Bo‘yi, sm	167	169	179	178	177	175	171	181	174	175	180	174	172	178	171
Vazni, kg	62	67	70	72	70	69	63	80	73	66	75	70	67	74	66

Dekart koordinatalar sistemasida abssissalari bo‘ylar, ordinatalari esa vaznlar bo‘lgan (167; 62) ..., (171; 66) nuqtalarni tasvirlaymiz:

                              vazni    

bo‘yi

Hosil bo‘lgan diagramma sochilish diagrammasi deyiladi.

Ko‘rinib turibdiki, taxminan bir xil vaznga ega bo‘lgan insonlar turli bo‘ylarga ega bo‘lishi mumkin va, aksincha, taxminan bir xil bo‘yga ega bo‘lgan insonlar turli vaznlarga ega bo‘lishi mumkin. Bundan, shu miqdorlar (bo‘y va vazn) orasidagi qat’iy bog‘lanish yo‘q, degan hulosaga kelamiz. Ammo, umuman aytganda, insonning bo‘yi kattalashsa, uning vazni ham katta bo‘laveradi. ▲

Sochilish diagrammasi ikki tur ma’lumotlar qatorlari orasidagi bog‘lanishning taxminiy xarakterini ko‘rsatadi.

2-misol. Quyidagi jadvalda “Formula-1” poygasi qatnashchilarining bir mavsumda  erishgan natijalari ko‘rsatilgan:

Poygachi	Yutgan etaplar soni	Ochkolar soni	O‘rin
M.Shumaxer	6	93	1
K.Raykonen	1	91	2
X.P.Montoyya	2	82	3
R.Barikello	2	65	3
R.Shumaxer	2	58	5
F.Allonso	1	55	6
D.Kultxart	1	51	7
D.Fizikella	1	12	12

G‘alaba qozongan etaplar soni bilan barcha etaplarda to‘plangan ochkolar orasida bog‘lanish bormi?  

r Sochilish diagrammasini yasaymiz:

Diagrammadan ko‘rinib turibdiki, faqat bitta bosqichda g‘alaba qozongan poygachilar ham ko‘p ochkolarni to‘plashi mumkin ekan. Masalan, Raykonen deyarli barcha bosqichlarda ikkinchi bo‘lib kelib, jami 91 ochko to‘plagan. Ikkita bosqichda g‘alaba qozonganlarning o‘rtacha ochkolari soni (taxminan 68 ochko) bitta bosqichda g‘alaba qozonganlarning o‘rtacha ochkolaridan (taxminan 52 ochko) ko‘proq. 

G‘alaba qozongan etaplar soni bilan barcha etaplarda to‘plangan ochkolar orasida bog‘lanish bor bo‘lishi mumkin, ammo ko‘rsatilgan jadval asosida bunday qat’iy hulosaga kelib bo‘lmaydi. ▲ 

3-misol. Insonning salomatligi ko‘pincha uning tanasi temperaturasi hamda arterial qon bosimiga bog‘liq. Kasalxonada 25 nafar bemorning shu ko‘rsatkichlari aniqlanib, mos sochilish diagrammasi qurildi:

 temperaturasi

Bu diagrammada inson tanasi temperaturasi hamda arterial qon bosimi orasida hech qanday bog‘lanish yo‘qligi ko‘rinmoqda. Chindan ham, gripp bilan kasallangan inson  tanasi temperaturasi yuqori bo‘lib, bunda  arterial qon bosimi normal bo‘lishi mumkin. Shu bilan birga, arterial qon bosimi yuqori bo‘lgan insonlarning (gipertoniklar) hamda arterial qon bosimi past bo‘lgan insonlarning (gipotoniklar) tana temperaturasi normal bo‘lishi mumkinligi ma’lum.

4-misol. Maktab musobaqasida bolalar granatani uzoqqa uloqtirishda bellashdilar. Quyida ularning natijalari ko‘rsatilgan:

Sportchi	A	B	C	D	E	F	G	H	I	G	K	L
Yoshi	12	16	16	18	13	19	11	10	20	17	15	13
Uzoqlik, m	20	35	23	38	27	47	18	15	50	33	22	20

Sportchilar ko‘rsatgan natijalar ularning yoshlariga bog‘liqmi?

Agar sportchining yoshi kattaroq bo‘lsa, uning natijasi yuqoriroq bo‘ladimi?

Uzoqlik, m

Yoshi

Sochilish diagrammasini yasaymiz:

Ikkita 13 yashar hamda ikkita 16 yashar sportchilar turli natijalarni ko‘rsatmoqda. 16 yashar bitta sporchi esa 13 yashar bitta sportchidan yomonroq natija ko‘rsatdi.  

Shunga qaramasdan, umuman aytganda, sportchilar ko‘rsatgan natijalari ularning yoshlariga bog‘liq ekan. Shu bilan birga, sportchining yoshi kattaroq bo‘lsa, uning natijasi yuqoriroq bo‘lishi kuzatilmoqda. 

Mashqlar

47. (1; 2), (2; 2), (3; 2), (3; 4), (4; 5), (5; 6), (4; 3), (4; 4), (6; 6)

nuqtalar bo‘yicha sochilish diagrammasini yasang. Birinchi koordinata o‘sganda, ikkinchi koordinata ham o‘sadi, degan umumiy xulosaga kela olamizmi?

48. (1; 2), (2; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 2), (4; 3), (4; 4), (5; 2), (6; 3)

nuqtalar bo‘yicha sochilish diagrammasini yasang. Birinchi koordinata o‘sganda, ikkinchi koordinata kamayadi, degan umumiy xulosaga kela olamizmi?

49. 12 nafar bola tanlanib, ularning bo‘ylari va vaznlari o‘lchandi. Natijada quyidagi jadval hosil bo‘ldi:

Bo‘yi, sm	165	177	161	162	170	176	177	164	166	161	169	159
Vazni, kg	53	67	45	53	60	62	58	60	62	55	55	49

Sochilish diagrammasini yasang. Inson bo‘yi va vazni orasida bog‘lanish bormi?

50. Konkida figurali uchishda sportchilarga ikkita baho qo‘yiladi: o‘yin texnikasi va artistik mahorat uchun.

Quyida bir hakamning bir nechta sportchiga qo‘ygan ballari jadvali keltirilgan:

Texnika	165	177	161	162	170	176	177	164	166	161	169	159
Mahorat	4,5	4,2	4,6	4,5	5,1	62	5,2	5,6	5,1	5,6	5,9	5,8

Sochilish diagrammasini yasang. Texnika va artistik mahorat orasida qandaydir bog‘lanish bormi?

51. O‘g‘il bolalar musobaqasida ishtirokchilar uzunlikka sakrash hamda 60 m masofaga yugurishda bellashdilar. Quyida ularning natijalari ko‘rsatilgan:

Sakrash, cm	180	194	190	215	210	170	175	202	205	195	205	200	190	186
Yugurish,  s	10,8	10,2	10,6	9,5	10,2	11,0	11,6	10,4	10,0	11,0	9,8	10,6	10,8	10,7

Sochilish diagrammasini yasang. Uzunlikka sakrash hamda 60 m masofaga yugurish orasida qandaydir bog‘lanish bormi?

Sochilish diagrammalarining ba’zi xossalarini aytib o‘tamiz.

1) Bog‘lanishning yo‘nalishi Bunda uch hol kuzatilishi mumkin:

Sochilish diagrammasining ko‘rinishi	Izoh
	Bu holda bog‘lanish mavjud bo‘lib, unga musbat bog‘lanish deyiladi. Bunday holatlarda birinchi ma’lumotlar qatoridagi belgi o‘ssa, ikkinchi  ma’lumotlar qatoridagi belgi ham o‘sadi.
	Bu holda bog‘lanish mavjud bo‘lib, unga manfiy bog‘lanish deyiladi. Bunday holatlarda birinchi ma’lumotlar qatoridagi belgi o‘ssa, ikkinchi ma’lumotlar qatoridagi belgi kamayadi.
	Bu holda bog‘lanish mavjud emas.

2) Bog‘lanishning chiziqliligi

Bu xossa mos nuqtalarning qandaydir to‘g‘ri chiziq yaqinida joylashish darajasini ifodalaydi.

      Chiziqli bog‘langan                               Chiziqli bog‘lanmagan

3) Chiziqli bog‘lanishning turg‘unligi

Bu hossa birinchi ma’lumotlar qatoriga qarab, ikkinchi ma’lumotlar qatoridagi belgining o‘zgarishi haqida hulosa chiqarishimiz (prognoz qilishimiz)ga imkon beradi.

Mashqlar

52. Quyidagi sochilish diagrammalariga qarab, xossalarini aniqlang.

Ikkita tur ma’lumotlar o‘rtasidagi bog‘liqlik haqida hulosa chiqaring.

53. Quyida ikki nafar hakamning bir nechta sportchiga qo‘ygan ballari keltirilgan:

Sportchi	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y
1-hakam	5	6.5	8	9	4	2.5	7	5	6	3
2-hakam	6	7	8,5	9	5	4	7.5	5	7	4.5

Sochilish diagrammasini yasang. Hakamlar qo‘ygan ballar o‘rtasida bog‘liqlik bormi? Agar bir bo‘lsa, uni tadqiq qiling .

54. Quyida o‘quvchilarning ona tili va matematika fanlaridan bajargan test natijalari keltirilgan:

O‘quvchi	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
Ona tili	64	67	69	70	73	74	77	82	84	85
Matematika	85	82	80	82	72	71	70	71	62	66

Sochilish diagrammasini yasang. O‘quvchi matematikani yaxshi bilsa, ona tilini ham yaxshi biladimi?

55. Quyidagi diagrammada o‘quvchilar matematikadan bajargan test natijalari va shu testga tayyorlanish vaqtlari ko‘rsatilgan. O‘quvchi testga qancha ko‘p vaqt tayyorlansa, uning natijasi yaxshiroq bo‘ladimi?

 vaqt

Chiziqli bog‘lanish darajasini aniqlash. x₁, x₂, ..., x_n va y₁, y₂, ..., y_n ma’lumotlar qatorlari orasidagi chiziqli bog‘lanishning darajasini aniqlashda korrelatsiya koeffitsiyenti (ing. correlation – bog‘lanish) tushunchasidan foydalaniladi.

Bu koeffitsiyent quyidagicha aniqlanadi: r  . Bu

yerda x , y – berilgan ma’lumotlar qatorlarining o‘rta qiymatlari, ∑ – yig‘indi belgisi.

Korrelatsiya koeffitsiyentining xossalarini keltiramiz:

1)     r koeffitsiyentning qiymatlari [–1; 1] kesmaga tegishli.

2)     r koeffitsiyent ishorasi bog‘lanishning yo‘nalishini belgilaydi, ya’ni

•      agar r musbat bo‘lsa, u holda berilgan ma’lumotlar qatorlari musbat bog‘lanishda bo‘ladi;

•      agar r manfiy bo‘lsa, u holda ma’lumotlar qatorlari manfiy bog‘lanishda bo‘ladi;

3) r koeffitsiyent qiymati bog‘lanishning turg‘unligini belgilaydi, bunda

•      agar r=±1 bo‘lsa, u holda berilgan ma’lumotlar qatorlari chiziqli bog‘langan bo‘ladi.

•      agar r=0 bo‘lsa, u holda ma’lumotlar qatorlari chiziqli bog‘lanmagan bo‘ladi; Quyidagi jadvalda r koeffitsiyent qiymatlariga qarab bog‘lanish turlari keltirilgan:

Ko‘rinib turibdiki, r koeffitsiyent sochilish diagrammasidagi (x₁; y₁), (x₂; y₂), ..., (x_n; y_n) nuqtalar qandaydir to‘g‘ri chiziqqa naqadar yaqin ekanligini belgilaydi.

Korrelatisiya koeffitsiyentni hisoblash uchun ma’lumotlar asosida jadval tuzish maqsadga muvofiq.

Misol. Fermer yetishtiriladigan paxta g‘o‘zasi o‘sish tezligini solingan o‘g‘it miqdori bilan bog‘liqligini o‘rganmoqchi. U daladan to‘rtta  A, B, C, D g‘o‘za ajratib, har biriga har xil miqdorda o‘g‘it soldi, va paxta g‘o‘zasining kunlik o‘sishini yozib oldi (jadvalga qarang): 

G‘o‘za	O‘g‘it miqdori (g)	Kunlik o‘sish (mm)
A B C D	1 2 4 5	3 3 6 8

Olingan ikki tur ma’lumotlar orasidagi bog‘lanishni tadqiq qiling.

r     Jadvalni to‘ldiramiz:

x	y	x – x	y – y	(x – x)(y – y)	(x – x)2	(y – y)2
1 2 4 5	3 3 6 8	–2 –1 1 2	–2 –2 1 3	4 2 1 6	4 1 1 4	4 4 1 9
12	20			13	10	18

Jami:

                            ∑x      12            ∑ y      20

Bu yerda x ,  y .

Jadvaldan foydalanib, korrelatsiya koeffitsiyentini hisoblaymiz:

r .

Demak, g‘o‘zaning o‘sish tezligi solingan o‘g‘it miqdori bilan juda kuchli musbat bog‘lanishda ekan. ▲

Eslatma  Ma’lumotlar qatorning hajmi katta bo‘lganida  korrelatsiya koeffitsiyentini topish hisoblash vositalari yordamida amalga oshiriladi.

Misol Bir guruh sportchilarning vaznlari va yugurishdagi maksimal (eng katta) tezliklari o‘lchandi:

Vazn, x (kg)	85	60	78	100	83	67	79	62	88	68
Maksimal tezlik, y (km/h)	26	29	24	17	22	30	25	24	19	27

Olingan ikki tur ma’lumotlar orasidagi bog‘lanishni tadqiq qiling.

r     Berilgan  ma’lumotlarni  Microsoft Excel jadvaliga kiritib, korellyatsiya koeffitsiyentini hisoblash uchun bo‘sh katakka КОРРЕЛ(A2:A11; B2:B11) funksiyasini kiritamiz. Natijada quyidagiga ega bo‘lamiz:

r ≈ –0,813 hamda –0,87 < r ≤ –0,5 bo‘lgani uchun sportchilar vaznlari va ularning yugurishdagi maksimal tezliklari o‘rtacha manfiy bog‘lanishda ekan.

Mashqlar

56. Keltirilgan sochilish diagrammalariga korrelatsiya koeffitsiyentining qaysi qiymatlari mos keladi?

 formuladan foydalanib, sochilish diagram-

malari uchun korrelatsiya koeffitsiyentini toping:

58*. Jadvalda mahalladagi bolalarning sog‘lig‘ini tekshirish maqsadida shifokorlar tashrifi haqidagi ma’lumotlar keltirilgan:

Yoshi	2	5	7	5	8
Shifokor tashriflari soni	10	6	5	4	3

a)      Sochilish diagrammasini yasang.

b)      Korrelatsiya koeffitsiyentini hisoblang. Natijani Microsoft Excel

jadvali yordamida tekshiring.

c)      Bolalar yoshi bilan shifokorlar tashriflari qanday bog‘lanishda?

Tadqiqot uchun masala. Fermer no‘xot yetishtirish uchun yangi o‘g‘itni ishlatmoqchi va uning samaradorligini aniqlamoqchi. Buning uchun u ikkita kichik maydonga bir xil nav no‘xotni ekib, birinchisiga an’anaviy o‘g‘itni, ikkinchisiga esa yangi o‘g‘itni soldi.

Hosil yetilgandan so‘ng u ikki daladan tasodifiy ravishda 150 tadan dukkakni tanlab, har biridagi no‘xot donlarini sanab chiqdi va natijalarni yozdi:

An’anaviy o‘g‘it solingan dala:

4	6	5	6	5	6	4	6	4	9	5	3	6	8	5	4	6	8	6	5	6	7	4	6	5	2	8	6	5	6	5	5	5	4	4	4	6	7	5	6
7	5	5	6	4	8	5	3	7	5	3	6	4	7	5	6	5	7	5	7	6	7	5	4	7	5	5	5	6	6	5	6	7	5	8	6	8	6	7	6
6	3	7	6	8	3	3	4	4	7	6	5	6	4	5	7	3	7	7	6	7	7	4	6	6	5	6	7	6	3	4	6	6	3	7	6	7	6	8	6
6	6	6	4	7	6	6	5	3	8	6	7	6	8	6	7	6	6	6	8	4	4	8	6	6	2	6	5	7	3

Yangi o‘g‘it solingan dala:

6	7	7	4	9	5	5	5	8	9	8	9	7	7	5	8	7	6	6	7	9	7	7	7	8	9	3	7	4	8	5	10	8	6	7	6	7	5	6	8
7	9	4	4	9	6	8	5	8	7	7	4	7	8	10	6	10	7	7	7	9	7	7	8	6	8	6	8	7	4	8	6	8	7	3	8	7	6	9	7
6	9	7	6	8	3	9	5	7	6	8	7	9	7	8	4	8	7	7	7	6	6	8	6	3	8	5	8	7	6	7	4	9	6	6	6	8	4	7	8
9	7	7	4	7	5	7	4	7	6	4	6	7	7	6	7	8	7	6	6	7	8	6	7	10	5	13	4	7	11

Har bir dala uchun:

1)                  chastotalar bo‘yicha ma’lumotlarni guruhlang;

2)                  chiziqli diagrammalarni yasang;

3)                  modani, medianani va o‘rtacha qiymatlarni toping va ma’nosini tushuntiring;

4)                  ikkala dala uchun olingan xulosalarni taqqoslang.

Yozma nazorat ishi namunasi

5 ta firmada xodimlarning oylik maoshi (X) va bir yil mobaynida ishdan bo‘shaganlar soni (Y) quyidagi jadvalda keltirilgan:

X (ming so‘m)	1000	1500	2000	2500	3000
Y (nafar)	60	35	20	20	15

1)     Bir yil davomida ishdan bo‘shagan xodimlarning o‘rtacha maoshi qancha bo‘lgan?

2)     X va Y ma’lumotlar qatorlari orasidagi bog‘lanishni tahlil qiling. Xulosa chiqaring.

TASODIFIY HODISALAR VA ULARNING

71–73

EHTIMOLLIGI HAQIDA TUSHUNCHA

Radiodan yoki televizordan “ob-havo ma’lumoti” berilganda, ba’zan, “... ertaga qisqa muddatli yomg‘ir yog‘ishi mumkin”, “ertaga ... viloyatda momaqaldiroq bo‘lib, yomg‘ir yog‘ish ehtimoli bor”, degan so‘zlarni eshitib qolamiz. Ob-havo ma’lumotida ertaga yomg‘ir albatta yog‘adi (ertaga yomg‘ir yog‘ish hodisasi albatta ro‘y beradi) deyilmayapti, balki uning yog‘ishi mumkinligi (demak, yog‘masligi ham mumkinligi) aytilyapti, xolos. Yomg‘ir yog‘ish hodisasining ro‘y berishi son jihatdan, miqdoran, 30% mi? 50% mi? 95% mi? Ertaga yomg‘ir yog‘ishiga bizning ishonchimizni son bilan o‘lchash mumkinmi? degan savolni qo‘yish tabiiy.

Shu bilan birga, “tavakkaliga 10 ta lotereya chiptasi olgandim, bir emas, ikkitasiga yutuq chiqdi-ya!”, “to‘satdan shu voqea sodir bo‘lib qoldi”, “tajriba uchun 100 ta urug‘ qadagandim, shundan 96 tasi unib chiqipdi” kabi gaplarni eshitgansiz, albatta. Ehtimoliklar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri – tajriba. Biz “tajriba” (eksperiment, sinov)ni juda keng ma’noda tushunamiz.

1)     Futbol o‘yinida hakam 11 metrli jarima to‘pini belgiladi. Hamma hayajonda. “Xo‘sh, to‘pni tepishga shaylanib turgan o‘yinchi uni darvozaga kirita oladimi yoki yo‘qmi? Shu imkoniyat amalga oshadimi, ro‘yobga chiqadimi yoki boy beriladimi? Qaysi bir hodisa ro‘y beradi? Buni biz muqarrar ravishda, oldindan ayta olmaymiz. O‘yin chi to‘pni darvozaga kirita olishi ham mumkin, kirita olmasligi ham mumkin. Ammo, ma’lum bir ishonch, katta ehtimollik bilan “to‘p darvozaga kiritiladi” deyishimiz mumkin, chunki shunga o‘xshash hollarning ko‘pida to‘p darvozaga kiritilgan.

Futbol o‘yini ham – tajriba. Bu tajribada “qaysi komanda yutishi”, “o‘yin qanday natija bilan tugashi” kabi hodisalarni kuzatamiz, ammo tajriba – o‘yin natijasini avvaldan 100% ishonch bilan aytib bera olmaymiz. Bu tajribada biz “o‘yin yoki biror tarafning g‘alabasi bilan yoki durang natija bilan tugashi muqarrar” deya olamiz, xolos.

2)     Idishda (xaltada) radiuslari o‘zaro teng, massalari ham o‘zaro teng va bir xil materialdan yasalgan 10 ta shar bor. Ularning 5 tasi yashil, 5 tasi oq rangda. Idishdan, uning ichiga qaramasdan, sharlarni aralashtirib, bir dona shar olamiz. Olingan shar qanday rangd a bo‘ladi? Idishdan shar olish ham – tajriba. Bu tajribada biz “olingan sharlarning rangi qahday”ligi hodisasini kuzatamiz. Ammo tajr iba natijasini avvaldan ayta olmaymiz. Olingan shar oq rangli ham, yashil rangli ham bo‘lis hi mumkin. Idishda oq va yashil rangli sharlar soni o‘zaro teng bo‘lgani uchun olingan sharning oq rangda yoki yashil rangda bo‘lish hodisasining imkoniyatlari barobar, bir xil. Bunday hodisalarni teng imkoniyatli hodisalar deymiz.

3)     Yoqlariga 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlari yozilgan (yoki yoqlarida 1 ta, 2 ta, 3 ta, 4 ta, 5 ta, 6 ta “holi” bor) kubni tashlashni ko‘raylik. Bu ham – tajriba. Tabiiyki, kub bir jinsli materialdan yasalgan bo‘lishi (yarmi metall, yarmi yog‘och emas!), tashlanganda havoda “yaxshi aylanishi” va tekis joyga tushishi kerak. Bu tajribada tashlangan kubning yuqori yog‘ida “qanday raqam paydo bo‘lishi” hodisasini kuzatamiz. Bunda 1, 2, 3, 4, 5, 6 raqamlarining har biridan paydo bo‘lishi imkoniyatlari bir xil, o‘zaro teng.

4)     Futbol o‘yinida hakam o‘yin boshlanishidan avval “tanga tashlab”, o‘yinni qaysi taraf boshlashini aniqlaydi. “Tanga tashlash” tajribasida “raqam yozilgan tomon”, “gerbli tomon”ning paydo bo‘lis hi, ro‘y berishi, chiqishi hodisalarini kuzatamiz. Bunda “raqamli” va “gerbli” tomonlarning chiqishi – teng imkoniyatli.

Tajribani, uning shartlarini o‘zgartirmay, ko‘p marta takrorlash mumkin, deb faraz qilamiz. Xususan, tanga yoki kubni ko‘p marta tashlash mumkin. Natijasi tasodifiy hodisa bo‘lgan tajribalarni o‘quvchining o‘zi ham ko‘plab topa oladi. Shunday qilib:

1)      “tajriba” tushunchasi nihoyatda keng qamrovli; har birimizning har kungi faoliyatimizning o‘zi ham tajriba;

2)      tajriba ma’lum shartlarda o‘tkaziladi (sharlarning radiuslari o‘zaro teng, massalari bir xilligi, idishdan aralashtirib olinishi; tan ga, kubning bir jinsli materialdan yasalganligi, tashlanganda havod a yaxshi aylanishi va hokazolar);

3)      tajriba shart-sharoitlarini o‘zgartirmagan holda uni ko‘p mart a, istalgancha takrorlash mumkin.

1-ta’rif. Tajriba natijasida ro‘y berishi ham, ro‘y bermasligi ham mumkin bo‘lgan hodisa tasodifiy hodisa deyiladi.

Kubni otganda 5 raqamining chiqishi, tanga tashlanganda gerbli tomon chiqishi, idishdan olingan sharning oq rangda ekanligi – bularning hammasi tasodifiy hodisalardir. Tasodifiy hodisalar, odatda, A, B, C, ... harflari bilan belgilanadi.

2-ta’rif. Tajriba natijasida har gal albatta ro‘y beradigan hodisa muqarrar hodisa deyiladi.

Kubni tashlaganda 1 dan 6 gacha qandaydir raqamning paydo bo‘lishi muqarrar hodisa. Muqarrar hodisani U harfi bilan belgilaymiz.

3-ta’rif. Tajriba natijasida sira ham ro‘y bermaydigan hodisa ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisa deyiladi.

Kubni tashlaganda 7 raqamining yoki 0 raqamining paydo bo‘lis hi ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisadir. Ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisani V harfi bilan belgilaymiz.

Tasodifiy hodisalar orasidagi bog‘lanishni o‘rganish, tasodifiylik olamini tadqiq qilish, uning qonuniyatlarini kashf qilish, bu qonunlarni, xulosalarni amaliyot masalalarini yechishga qo‘llash bilan ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani shug‘ullanadi. Aziz Vatanimiz O‘zbekistonning buyuk olimlari Vsevolod Romanovskiy, Toshmuhammad Sarimsoqov, Sa’di Sirojiddinov va ular yaratgan ilmiy maktabning chuqur tadqiqotlari jahonga mashhur.

Mashqlar

59. Savolarga javob bering:

1)       “Tajriba” deganda nimani tushunasiz? Misollar keltiring.

2)       Tasodifiy hodisa deb nimaga aytiladi?

3)       Muqarrar hodisa ta’rifini ayting. Misollar keltiring.

4)       Ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisa deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring.

60. Tasodifiy, muqarrar, ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisalarga 4 tadan misol keltiring.

61. Quyidagi hodisalardan qaysi biri: tasodifiy, muqarrar, ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisa:

1)       sotib olgan lotereyangiz yutuqli;

2)       siz grossmeyster bilan shaxmat o‘ynab, uni yutasiz;

3)       quyosh Sharqdan chiqadi;

4)       quyosh Janubga botadi;

5)       dushanbadan so‘ng chorshanba keladi;

6)       berilgan sharoitlarda piyolani to‘nkarsangiz undagi suv to‘kilmaydi;

7)       sportloto o‘yinida 8, 12, 17, 22, 29, 38 sonlari yutuqli bo‘ladi;

8)       payshanbadan so‘ng juma keladi;

9)       20-iyul kuni Toshkentda yomg‘ir yog‘adi;

10)  10-mart kuni Farg‘onada yomg‘ir yog‘adi;

11)  1 dan 6 gacha raqamlangan o‘yin kubi tashlaganda 9; 0; 14 sonlari chiqadi.

62. Ikkita tanga baravar tashlandi. Bunda ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlarni (hodisalarni) yozib chiqing.

63. Ma’mura basketbol to‘riga (savatiga) 30 marta otgan to‘pidan 20 tasini, Manzura esa 28 marta otgan to‘pidan 18 tasini tushirdi. Kim merganroq?

64*. Ikkita kub baravar tashlandi. Kublarning yuqori yoqlarida paydo bo‘lishi mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlarni – sonlar juftligini yozib chiqing.

65*. Tanga 3 marta tashlandi. Bunda qanday imkoniyatlar bo‘lishi mumkin?

Ularni yozib chiqing.

66. A va B tasodifiy hodisalarning ro‘y berish imkonini chamalang. Bunda “ehtimolligi (imkoniyati) ko‘proq”, “ehtimolligi kamroq”, “teng ehtimollik” so‘zlarini ishlating:

1)     A: kub tashlanganda 5 raqamining chiqishi; B: kub tashlanganda 5 raqamining chiqmasligi;

2)     A: “Bunyodkor” futbol bo‘yicha O‘zbekiston chempioni bo‘ladi;

      B: “Bunyodkor” futbol bo‘yicha jahon chempioni bo‘ladi;

3)     A: ertaga payshanba; B: ertaga payshanba emas;

4)     A: kub tashlanganda juft raqam chiqadi; B: kub tashlanganda toq raqam chiqadi;

5)     A: 30-dekabr kuni qor yog‘adi; B: 10-iyul kuni Termizda havo temperaturasi 12° C bo‘ladi;

6)     A: tanga tashlanganda raqam tomoni chiqadi; B: tanga tashlanganda raqam tomoni chiqmaydi.

67*. 3, 6, 7, 9 raqamlaridan ularni takrorlamasdan mumkin bo‘lgan barcha 4 xonali sonlarni tuzing. Bu sonlar ichida nechtasi: 1) 4 ga bo‘linadi; 2) 6 raqami bilan boshlanadi; 3) 7 raqami bilan tugaydi; 4) nechta holda toq raqamlar yonma-yon turadi ? 5) 3 ga bo‘linadigan raqamlar yonmayon turgan hollar nechta ?

68. Ikkita kub baravar tashlandi. Ularning yuqori yoqlaridagi raqamlari yig‘indisi qanday sonlar bo‘lishi mumkin? 3 ta kub tashlangada-chi?

69.“49 tadan 6 ta” sportloto chiptasida Muyassar 10, 11, 12, 13, 14, 15 sonlarini, Ma’mura 7, 13, 19, 26, 31, 48 sonlarini belgiladi. Kimning yutish imkoniyati (ehtimolligi) ko‘proq deb o‘ylaysiz ? Nima uchun?

70. 2, 3, 4 raqamlaridan, ularni takrorlamasdan mumkin bo‘lgan barc ha uch -xonali sonlarni tuzing. Nechta holda juft raqamlar yonma-yon joylashgan?

71. 1, 2, 3, 4 raqamlaridan, ularni takrorlamasdan mumkin bo‘lgan barc ha to‘rt  xonali sonlarni tuzing. Nechta holda toq raqamlar yonma-yon joylashgan?

Tasodifiy hodisaning ehtimolligi. Ikkita misol ko‘raylik.

1-misol. Idishda 10 ta shar bo‘lib, uning 1 tasi qora, 9 tasi oq rangda. Tasodifiy ravishda (tavakkaliga) bitta shar olamiz. Uning oq rangda bo‘lish imkoniyati ko‘p mi, qora rangda bo‘lish imkoniyati ko‘pmi? Oq rangda bo‘lish imkoniyati katta, albatta, chunki idishda ular ko‘p. Idishdagi sharlarning ixtiyoriy bittasi olinishi mumkin. Bu tajribada ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlar soni 10 ta, ulardan 9 tasi olinadigan sharning “oq rangda bo‘lishi” hodisasiga qo‘l keladi, qulaylik tug‘diradi. Idishdan olinadigan sharning oq rangda bo‘lishiga ishonchimizni  son bilan o‘lchash tabiiy. 2-misol. Kubni tashlash tajribasida barcha imkoniyatlar soni 6 ta. Har bir raqamning paydo bo‘lishiga faqat 1 ta imkoniyat bor. Masalan, 5 raqamining paydo bo‘lishiga faqat 1 ta imkoniyat qulaylik tug‘diradi.

Keltirilgan misollar tajriba natijasida kuzatilayotgan tasodifiy hodisaning ro‘y berishini son bilan o‘lchashga, ifodalashga yo‘l ko‘rsatadi.

Biz tajriba natijasida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan hodisalar teng imkoniyatli bo‘lgan holni qaraymiz, xolos. Tajriba natijasida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha imkoniyatlar soni n ta bo‘lib, shundan k tasi tajribada kuzatilayotgan A hodisaga qulaylik tug‘diruvchi imkoniyatlar bo‘lsin. k

       Ta’rif.  kasr son A tasodifiy hodisaning ro‘y berish ehtimolligi deyiladi.

n

Bu ehtimollik P(A) bilan belgilanadi (P - ing. probability - ehtimollik so‘zining bosh harfi). Shunday qilib, ta’rifga ko‘ra: 

                                                    k        qulaylik tug diruvchi imkoniyatlar soni       ‘                         

                                P(A) =       =                                                                    .

                                                    n                   barcha imkoniyatlar soni        

Bu formula ehtimollikning klassik ta’rifi deyiladi. Muqarrar hodisa uchun k =n va P(U) = ⁿ = 1. Ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisa uchun

n

0          k k = 0 va P(V) =      = 0. Bu ikkala hol istisno qilinsa,  – to‘g‘ri kasrdan n           n

iborat bo‘ladi.

Misollar

1)     Tanga tashlanganda uning “gerbli tomoni chiqishi” hodisasining ehtimolligini toping. Bu hodisani G desak, P(G)=  , chunki barcha imkoniyatlar soni n = 2, gerb chiqishiga qulaylik tug‘diruvchi imkoniyatlar soni k=1.

2)     Idishda 10 ta oq, 20 ta ko‘k rangli sharlar bor. Tasodifiy ravishda olingan sharning oq rangda; ko‘k rangda ekanligining ehtimolligini toping. Bu misolda n=10 +20=30.

P (oq rangli shar chiqishi)=

P (ko‘k rangli shar chiqishi) .

Savol va topshiriqlar

1)   Teng imkoniyatli hodisalar deganda nimani tushunasiz?

2)   “Qulaylik tug‘diruvchi imkoniyat” nima?

3)   Ehtimollikning klassik ta’rifi nima?

Mashqlar

72. 1000 ta mahsulotdan 20 tasi yaroqsiz. Sotib olingan mahsulotning yaroqsiz ekanligi ehtimolligini toping va uni protsentlarda ifodalang.

73. Maktabda 800 ta bola o‘qiydi. Shulardan 80 tasi a’lochi. Tasodifiy ravishda bir o‘quvchi tanlandi. Uning a’lochi ekanligining ehtimollig ini toping va uni protsentlarda ifodalang.

74. Savatda 30 ta qizil olma va 20 ta nashvati nok bor. Savatdan tavakkaliga bir dona meva olindi. Uning: 1) nok; 2) olma; 3) yong‘oq; 4) nok yoki olma ekanligining ehtimolligini toping.

75. Idishda 15 ta shar bor, ularga 1, 2, 3, ... , 14, 15 sonlari yozilgan. Tasodifiy ravishda idishdan bitta shar olindi. Unda yozilgan sonning 7 ga; 10 ga; 5 ga; 3 ga; 2 ga bo‘linish ehtimolligini toping.

76. Tanga 2 marta tashlandi. Bunda ro‘y berishi mumkin bo‘lgan ho- disalarning ehtimolliklarini toping va shunga mos jadval tuzing.

77*. Tanga 3 marta tashlandi. Bunda ro‘y berishi mumkin bo‘lgan hodi- salarning ehtimolliklarini toping va mos jadval tuzing.

78*. Ikkita kub tashlandi. Ularning yuqori yoqlaridagi raqamlar yig‘indisining: 2 ga, 3 ga, ... , 12 ga teng bo‘lish ehtimolligini toping va jadvalni to‘ldiring:

Raqamlar yig‘indisi	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Paydo bo‘lish ehtimolligi

Ko‘rsatma: 2=1+1;  3=1+2=2+1;  4=1+3=3+1=2+2.

79*. Idishda o‘lchamlari bir xil 10 ta ko‘k, 25 ta yashil, 15 ta qora rangli qalamlar bor. Ko‘k rangli qalam albatta chiqishi uchun eng kam deganda idish dan bir yo‘la nechta qalam olish kerak?

80. Kubning yoqlari oq yoki yashil rangga bo‘yalgan. Kubni tashlaganda oq rangli yoq chiqish ehtimolligi  ga, yashil rangli yoq chiqish ehtimolligi esa  ga teng. Kubning nechta yog‘i oq, nechta yog‘i yashil rangga

bo‘yalgan?

81. Idishda o‘lchamlari bir xil 18 ta ko‘k, 15 ta qora, 17 ta qizil qalam bor. Idishdan tavakkaliga bir dona qalam olindi. Uning: 1) ko‘k; 2) qizil; 3) qora rangda ekanligining ehtimolligini toping. Bu ehtimolliklarni qo‘shing. Nima uchun yig‘indi 1 ga teng chiqishini tushuntiring.

82. Idishdagi sharlarning 40% i oq,  qismi qora, qolganlari qizil rangda. Idishdan tavakkaliga bitta shar olindi. Olingan sharning qaysi rangda bo‘lish ehtimolligi ko‘proq? Kamroq?

83. 1) 6, 7, 8 raqamlaridan, ularni takrorlamasdan, 3 xonali sonlar tuzilgan. Juft raqamlarning yonma-yon joylashishi ehtimolligini toping. 2) 3, 4, 5 raqamlaridan, ularni takrorlamasdan, 3 xonali sonlar tuzilgan. Toq raqamlarning yonma-yon joylashishi ehtimolligini toping.

84. 5 ta idishda sharlarning quyidagicha taqsimlanganligi ma’lum:

birinchisida: 20 ta yashil, 60 ta oq;     ikkinchisida: 30 ta yashil, 90 ta oq;

 uchinchisida: 18 ta yashil, 32 ta oq;   to‘rtinchisida: 25 ta yashil, 75 ta oq;  beshinchisida: oq, yashil, qora rangli sharlar teng miqdorda.

      Idishdan tavakkaliga olingan shar yashil bo‘lsa, Sizni yutuq kutadi.

      Shar olish uchun qaysi idishni tanlagan bo‘lardingiz?

85. Hamidulla matematikadan 50 ta yozma ish variantlaridan 5 tasini yechishni bilmaydi. Yozma ishda unga bitta variant berildi. Hamidullaning shu variantni bilishi ehtimolligini toping va uni protsentlarda ifodalang.

86. 100 000 ta lotoreya chiptasi o‘yinga qo‘yildi. Shuning 25 000 tasi yutuqli. Tavakkaliga olingan chiptaning: yutuqli bo‘lishi; yutuqli emasligi ehtimolligini toping va uni protsentlarda ifodalang.

Ehtimollikning statistik ta’rifi. Tanga tashlanganda gerbli tomoni tushishi ehtimolligi P(G)=  ekanini ko‘rdik. Bu tenglikni qanday tushunish kerak? Bu ikkita teng imkoniyatli hodisa bo‘lsa, tajribalarda ular galmagal chiqaveradi, tanga 100 ta tashlansa, shuning 50 tasida gerbli, 50 tasida raqamli tomoni chiqadi, degani emas.

Agar tanga tashlash tajribasini ko‘p marta takrorlasak, ularning taqriban yarmida tanganing gerbli tomoni chiqadi.

Tanganing gerbli tomoni tushgan tajribalar sonining umumiy tajribalar 1

soniga nisbati ≈ ga teng bo‘ladi – gerb chiqishi hodisasining ehtimolligi  

2

ga tengligini shunday tushunamiz. Chindan ham, “tanga tashlash” tajribasida olingan natijalar bu fikrni tasdiqlaydi. Tajriba natijalarini keltiraylik:

Tajriba o‘tkazuvchilar	Tanga tashlashlar soni, n	“Gerb chiqishi” soni, µ	“Gerb” chiqish µ chastotasi, n
Fransuz olimi J.L.Byuffon	4040	2048	≈ 0,5069
Maktab o‘quvchilari	6000	2953	≈ 0,4922
Ingliz olimi K.Pirson	12000	6019	≈ 0,5016
Ingliz olimi K.Pirson	24000	12012	≈ 0,5005

1                                               µ

       Ehtimollikning klassik ta’rifiga ko‘ra, P (G)=     . Jadvaldan

2                                               n

nisbatning   ga taqriban tengligini ko‘ramiz:

                                                                             µ       1

 ≈ . n    2

Biror hodisasining ro‘y berish ehtimolligini tajriba yo‘li bilan topish uchun quyidagicha ish tutiladi:

1)     tajribani bir xil shart-sharoitlarda, aytaylik, n marta o‘tkazishadi. Kuzatilayotgan hodisaning mohiyatiga qarab, masalan, n = 10; 20; 50; 100; 1000; 10 000; 50 000, ... bo‘lishi mumkin;

2)     bizni qiziqtirayotgan A hodisasining ro‘y berganini (yoki ro‘y bermaganini) har tajribada kuzatib, yozib, sanab borishadi. Odatda, quyidagi belgilashdan foydalaniladi (jadvalga qarang):

Kuzatilayotgan A hodisa sining ro‘y berish soni	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Shu songa mos belgi

Ro‘y berishlar soni 10 tadan ortiq bo‘lsa, bu belgilash takrorlanadi. Sanash uchun bundan boshqa belgilar ham ishlatilishi mumkin.

3)     o‘tkazilgan n ta tajribada A hodisasining ro‘y berishlari soni sanab chiqiladi. Bu sonni µ (m'yu – yunon harfi) deb belgilaylik. µ

4)      nisbat tuziladi, bu nisbat A hodisasining n ta tajribada ro‘y berish n

chastotasi deyiladi.

µ

Tajribalar ko‘p marta o‘tkazilgan bo‘lsa, ya’ni n katta son bo‘lsa,  nisbat

                                                                                                                       µ                      n

biror p son atrofida “tebrana” boshlaydi. Bu p son         ga nihoyatda yaqin n bo‘ladi:

µ

≈p.

n

Ana shu p son A hodisasining ehtimolligi deb olinadi. Bunday usulda aniqlangan ehtimollikni statistik ehtimollik deyiladi.

µ n	Klassik ta’rifga ko‘ra p=P(G)=0,5	Farqi,	µ −p n		Farqi, % larda
0,5069	0,5	0,0069			1,38
0,4922	0,5	0,0078			1,56
0,5016	0,5	0,0016			0,32
0,5005	0,5	0,0005			0,1

µ

Tajribalar soni orta borgan sari            nisbat bilan p=0,5 orasidagi farq kaman

yib borayotganini ko‘ramiz. Shunday qilib, tanga tashlanganda G (gerbli tomon) chiqishining ehtimolligini tajriba yo‘li bilan aniqladik. Tajribamiz soni n xulosa chiqarish uchun yetarli. Tanga tashlaganda gerb chiqishlari soni m.

µ  1 ning tajribalarning umumiy soni n ga nisbati  chastota          atrofida “tebrana-

                                                                                                        n                 2

yapti”. Demak, tanga tashlaganda uning gerbli tomoni chiqishi ehtimolligini  deb olish tabiiy.

Savol va topshiriqlar

1.   “Kub tashlaganda 4 raqamining chiqish ehtimolligi  ga teng”, degan jumlani qanday tushunasiz?

2.   Tajribada kuzatilayotgan hodisaning ro‘y berish chastotasi nima?

3.   Ehtimollikning statistik ta’rifi nima?

Mashqlar

87. “Har 150 ta lotereya chiptasiga bitta yutuq to‘g‘ri kelarkan” degan xabarni eshitib, Akmal 150 ta bilet sotib oldi va “Men o‘yinda albatta yutaman”, deb yuripti. Uning fikri to‘g‘rimi? Nima uchun ?

88. Po‘lat “49 tadan 6 ta” sportloto o‘yini chiptasida 9, 17, 23, 31, 39, 43 sonlarini belgilagan edi, unga yutuq chiqdi. “Keyingi o‘yinlarda ham men faqat shu sonlarni belgilayman, bu sonlar yutuq keltirarkan”, – dedi u. Uning fikri to‘g‘rimi? Nima uchun?

89*. Idishda 1 dan 50 gacha (1 dan 1000 gacha) natural sonlar yozilgan 50 ta (1000 ta) bir xil qog‘ozchalar bor. Ularni aralashtirib, yozuviga qaramasdan – tavakkaliga bitta qog‘ozcha olindi. Undagi sonning oxirgi raqami: 0; 5; 6; 7; 9 bo‘lishining ehtimolligini toping. Xulosa chiqaring.

90. Idishda 21 dan 100 gacha (100 ham kiradi) natural sonlar yozilgan bir xil qog‘ozchalar bor. Tavakkaliga bitta qog‘ozcha olindi. Undagi sonning: 30 ga, 40 ga, 7 ga, 11 ga, 9 ga bo‘linish ehtimolligini toping.

91*. Yog‘ochdan yasalib, ko‘k rangga bo‘yalgan kubning qirrasi uzunligi 40 cm ga teng. Kubning qirralari teng 20 bo‘lakka bo‘lindi va mos bo‘linish nuqtalari kesmalar bilan birlashtirildi. Kub shu kesmalar bo‘yicha arralandi va mayda kubchalarga ajratildi. Ular idishga solinib, yaxshilab aralashtirildi.

  Quyidagi hodisalarning ehtimolligini toping. Tavakkaliga olingan kubning:

 1) uchta yog‘i bo‘yalgan; 2) ikkita yog‘i bo‘yalgan; 3) bitta yog‘i bo‘yalgan; 4) hech bir yog‘i bo‘yalmagan.

92. Idishda 251 dan 1000 gacha natural sonlar yozilgan bir xil qog‘ozc halar bor. Tavakkaliga bitta qog‘ozcha olindi. Undagi sonning: 500 ga; 300 ga; 200 ga; 75 ga; 25 ga; 10 ga; 9 ga; 3 ga; 2 ga; 80 ga bo‘linish ehtimolligini toping.

93. Kartondan 4 ta muntazam uchburchak qirqib oling. Ularni bir-biriga tomonlari bo‘ylab yopishtirib, rasmdagidek shaklni yasang. Bu shakl muntazam to‘rtyoqlik – tetraedr deyilishini bilasiz. Uning yoqlariga 1, 2, 3, 4 raqamlarini yozing. Tetraedrni 100 marta (ko‘proq bo‘lsa, yana yaxshi) tashlang, bunda asosdagi paydo bo‘lgan raqamning takrorlanishini hisoblab boring. Jadvalni to‘ldiring.

Raqamlar	Asosdagi raqamlar takrorlanishini sanash	Takrorlanishlar soni	Paydo bo‘lish chastotasi
1
2
3
4

 Tadqiqot uchun. O‘zbek yozuvchisining biror badiiy asarini olib, undagi bir bo‘g‘inli, ikki bo‘g‘inli, uch bo‘g‘inli, ... so‘zlarning uchrash chastotasini toping. Buning uchun asardagi, masalan, 30 betdagi (ko‘proq bo‘lsa, yana-da yaxshi!) barcha so‘zlarni sanang – ular n ta deylik. Endi shu betlardagi barcha 1, 2, 3, ... bo‘g‘inli so‘zlarni sanang. Ular, mos ravishda, k₁, k₂, k₃, ... ta deylik. So‘ngra ^k_n¹, ^k_n², ^k_n³, ... nisbatlarni tuzing.

 Ular asarning tajriba uchun olingan betlaridagi 1, 2, 3, ... bo‘g‘inli so‘zlarning uchrash chastotasi bo‘ladi. Bu chastotalarga mos ustunli va doiraviy diagrammalar tuzing. Chastotalarni verguldan keyin 3 xona aniqligida o‘nli kasrlarda va foizlarda ifodalang.

 Amaliy ish. Gugurt qutisi tashlanganda rasmda ko‘rsatilgan har bir holatning ro‘y berish ehtimolligini baholang, ya’ni ro‘y berish chastotasini toping. Buning uchun gugurt qutisini 100 marta (ko‘p bo‘lsa, yana yaxshi) tashlang va jadvalni to‘ldiring.

Holatlar	Holatlar takrorlanishini sanash	Takrorlanishlar soni	Ro‘y berish chastotasi
1
2
3

QARAMA-QARSHI HODISA. HODISALAR 74–77  USTIDA AMALLAR VA ULARNI EYLER

VENN DIAGRAMMALARDA TASVIRLASH

Tasodifiy hodisalarga oid bir nechta tushunchalar kiritamiz.

1)       Agar A hodisa ro‘y berganda B hodisa ham ro‘y bersa, A hodisa B hodisani ergashtiradi deymiz va buni A  B (yoki B  A) kabi yozamiz. 1-misol. A= {kub tashlaganda 2 sonining chiqishi},         B= {kub tashlanganda juft sonlarning chiqishi}.

Ravshanki, A  B.

2-misol.  A= {yomg‘ir sharros yog‘yapti},   B = {Osmonni bulut qoplagan}.

              Bu hodisalar uchun A  B bo‘lishi ayon.

2)       Agar A hodisa B hodisani va B hodisa A hodisani ergartirsa, ya’ni A  B va B  A  bo‘lsa, A va B hodisalar tengkuchliri deymiz va  A = B  deb yozamiz.

3-misol. A={kub tashlanganda 3 yoki 6 sonlaridan birining paydo bo‘lishi},         B={kub tashlanganda 3 ga bo‘linadagin sonning paydo bo‘lishi}. Bu hodisalar uchun A = B ekani ravshan.

3)       A va B hodisalarning ikkalasining bir vaqtda ro‘y berish hodisasi A va B hodisalarining ko‘paytmasi deyiladi va AB (yoki A ⋂ B)  kabi belgilanadi.

4-misol.     A = {kub tashlanganda 2, 4 sonlaridan birining chiqishi},                  B = {kub tashlanganda juft sonlarning paydo bo‘lishi}.

Bu holda  AB = {kub tashlanganda 2 va 4 sonlaridan birining chiqishi}.

4)       A va B hodisalardan hech bo‘lmaganda bittasining ro‘y berishidan iborat hodisani A va B hodisalarning yig‘indisi deymiz va A+B (yoki A ∪ B) kabi belgilaymiz.

5-misol.       A = {kub tashlanganda 1, 3 sonlaridan birining chiqishi},                  B = {kub tashlanganda 1, 2, 6 sonlaridan birining chiqishi}.

Bu holda A+B = {1, 2, 3, 6}.

5)       A hodisa ro‘y bersa-yu, ammo B hodisasi ro‘y bermasa, bunday hodisani A va B hodisalarning ayirmasi deymiz va A–B kabi belgilaymiz.

6-misol. A = {kub tashlanganda 1, 4, 6 sonlaridan birining chiqishi},              B = {kub tashlanganda 3, 5 sonlaridan birining chiqishi}.

Kub tashlanganda 6 soni chiqdi, ya’ni A hodisa ro‘y berdi deylik, ammo B hodisa ro‘y bermadi. Bu holda A–B hodisa ro‘y bergan bo‘ladi.

Agar A+A=U,  AA =V shartlar bajarilsa, A va A  hodisalar qaramaq-qarshi hodisalar deyiladi.

7-misol. A= {kub tashlanganda juft sonning chiqishi}. A = {kub tashlanganda toq sonning chiqishi}. {Kub tashlanganda juft yoki toq sonning

chiqish} hodisasi A+A=U bo‘ladi. A va A hodisalarning umumiy qismi yo‘q,

ya’ni A· A = V  – ro‘y berishi mumkin bo‘lmagan hodisa. Demak, A va A qarama-qarshi hodisa.

6)       Agar AB = V  bo‘lsa, A va B hodisalar birgalikda emas deyiladi, ularning bir vaqtda ro‘y berishi mumkin emas.

8-misol. A= {kub tashlanganda 2 ning chiqishi},              B= {kub tashlanganda 3 ning chiqishi}.

Ravshanki, bitta kub tashlanganda 2 va 3 sonlari birgalikda paydo bo‘lmaydi (birgalikda ro‘y bermaydi). Demak, bu misolda A va B hodisalar birgalikda emas.

7)       Agar A=B₁+B₂+...+B_n  va B_i·B_j=V (i≠j) bo‘lsa, A hodisa B₁, B₂, ..., B_n hususiy hollarga (hodisalarga) ajraladi deymiz. Agar A hodisa hususiy hollarga ajralmasa, uni elementar hodisa deymiz.

9-misol. Kub tashlanganda 1 sonining chiqish hodisasi B₁,  2 sonining chiqish hodisasi B₂, 3 sonining chiqish hodisasi B₃ bo‘lsa, u holda kub tashlanganda 1, 2, 3 sonlardan birining chiqish hodisasini A desak, A=B₁+B₂+B₃. Shu bilan birga B₁B₂=B₁B₃=B₂B₃=V. Bu misolda B₁, B₂, B₃ – elementlar hodisalar.

8)       Agar B₁+B₂+...+B_n=U  va  B_i·B_j=V,  i≠j, bo‘lsa, B₁, B₂, ..., B_n hodisalar o‘zaro birgalikda bo‘lmagan hodisalarning to‘liq gruppasini tashkil etadi deymiz.

Masalan, kubni bir marta tashlanganda 1, 2, 3, 4, 5, 6 sonlarining paydo bo‘lishi hodisasi, mos ravishda, B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ bo‘lsa, ravshanki,

B₁ + B₂ + B₃ + B₄ + B₅ + B₆ = U.

Odatda, elementar hodisalar w₁, w₂, ..., w_n harflar bilan, elementar hodisalar fazosi esa U (yoki W) harfi bilan belgilanadi. Biror tajriba natijasida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalar elementar hodisalar fazosini tashkil qiladi deyishadi.

Masalan: tanga tashlash tajribasida ikkita elementar hodisa bor:

G = {tanganing gerb tomoni  bilan tushushi},

R = {tanganing raqam tomoni  bilan tushushi}. Bu yerda U = {G, R}.

Kubni tashlash tajribasida jami 6 ta elementar hodisa bor:

w₁ = {1 raqamining tushishi}, ..., w₆ = {6 raqamining tushishi}.

Bu yerda U = {w₁, w₂, w₃, w₄, w₅, w₆}.

Agar U= {w₁, w₂, ..., w_n} bo‘lsa, uning barcha qism to‘plamlari soni nechta degan savolga kombinatorika masalalari mavzusida javob berilgan:

Cn0 + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn = 2n,

bu yerda C_n^k son n elementli to‘plamdan olingan k elementli barcha qism to‘plamlar soni.

Elementar hodisalar w₁, w₂, ..., w_n  teng imkoniyatli bo‘lishi shart emas: P(w₁)=p₁, ..., P(w_n)=p_n,  p₁+....+ p_n=1, ya’ni har bir elementar hodisa  w_k  ga manfiy bo‘lmagan  p_k  son mos qo‘yiladi. Elementar hodisalar teng imko-

1

niyatli bo‘lgan holda  p₁ = p₂ = ... = p_n =  bo‘ladi. n

Har bir tasodifiy hodisa A bir nechta elementar hodisalar yig‘indisidan iborat. Masalan, A = {w_i1, w_i2, ..., w_ik} ya’ni A=w_i1+w_i2+...+w_ik  bo‘lsa, u holda

P(A)=p(w_i1)+...+ p(w_ik)= p_i1+...+ p_ik.

Umuman, A hodisaning ehtimolligi P(A) ushbu shartlarni qanoatlantiradi:

1) P(A) ≥ 0;   2) P(U)=1;   3) Agar AB=V bo‘lsa, P(A+B)=P(A)+P(B).

Agar A ⋂ B ≠ V bo‘lsa, ravshanki, P(A+B)=P(A)+P(B) – P(A ⋂ B).

 A+A=U va A ⋂ A=V  bo‘lgani uchun P(A+A)= P(U)=1 va bu holda

P(A+A)=P(A)+P(A). Bundan P(A)=1– P(A).

Hodisalar ustida amallarni Eyler–Venn diagrammasida tasvirlash qulay.

Bunga rasmlarni tahlil qilib, ishonch hosil qilamiz:

                                    A+B                                                            A – B

Mashqlar

94. Vertolyot har uchishda 6 nafar odamni manzilga yetkazadi. 30 nafar sayyoh shu vertolyotda toqqa bormoqchi. Ularning vertolyotga o‘tirish tartibi tasodifiydir. Alisher Imomovning birinchi reysda uchishi ehtimolligini toping.

95. 10, 11, ..., 199 sonlaridan tavakkaliga bitta sonni tanlasak, uning 3 ga karrali bo‘lishi hodisasining ehtimolligini toping.

96. Xalqaro musiqa musobaqasida 20 nafar musiqachi qatnashmoqda:

8 nafar O‘zbekistondan, 7 nafar AQSHdan, qolgani esa Xitoy Xalq Respublikasidan.

Sahnaga birinchi bo‘lib xitoylik musiqachi chiqishi hodisasining ehtimolligini toping.

97. 1000 ta suv nasosidan 5 tasi nosoz. Tavakkaliga olingan nasos soz bo‘lishi hodisasining ehtimolligini toping.

98. Tanga uch marta tashlanganda raqam tomoni tushmaslik hodisasining ehtimolligini toping.

99. Tanga uch marta tashlanganda raqam tomoni aynan bir marta tushish hodisasining ehtimolligini toping.

100.                     Tanga uch marta tashlanganda raqam tomoni kamida bir marta tushish hodisasining ehtimolligini toping.

101.                     Ikkita signalizator (avariya ro‘y berganda xabar beruvchi qurilma) mus taqil (bog‘liqsiz) holda ishlamoqda. Agar birinchi signalizatorning avariya ro‘y berganda ishlash ehtimolligi 0,9 va 2- signalizatorning avariya ro‘y berganda ishlash ehtimolligi 0,95 bo‘lsa, u holda quyidagi hodisalarning ehtimolligini toping. Avariya ro‘y berganda quyidagi hodisalarning ro‘y berish ehtimolliklarini toping:

1)  ikkala signalizatorning bir vaqtda xabar berish hodisasi;

2)  bitta signalizatorning xabar berish hodisasi;

3)  faqat birinchi signalizatorning xabar berish hodisasi;4) faqat ikkinchi signalizatorning xabar berish hodisasi; 5) ikkala signalizatorning xabar bermaslik hodisasi.

EHTIMOLLIKLARNI QO‘SHISH VA 78–80 KO‘PAYTIRISH. HODISALARNING

EHTIMOLLIGINI HISOBLASH USULLARI

Ehtimolliklarni qo‘shish. Avval ko‘rdikki, ixtiyoriy A va B hodisalar uchun P(A ∪ B)=P(A)+P(B)–P(A ⋂ B).

Bu tenglik ehtimolliklarni qo‘shish qoidasini ifodalaydi.

1-misol. P(A)=0,6, P(A ∪ B)=0,7, P(A ⋂ B)=0,3 bo‘lsa, P(B) ni toping. r 1-usul. Tegishli Eyler –Venn diagrammasini chizamiz:

U

Bundan       a+0,3=0,6; a=0,3.          a+b+0,3=0,7;  0,3+b=0,4;  b=0,1.

Demak, P(B)=0,4.

2-usul. Ehtimolliklarni qo‘shish qoidasiga ko‘ra

P(A ∪ B) = P(A)+P(B)–P(A ⋂ B);   0,7 = 0,6+P(B)–0,3;    P(B) = 0,4.

Ma’lumki, birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun P(A ∪ B) = P(A)+P(B) tenglik o‘rinli bo‘ladi.

2-misol. 31 nafar fuqarodan 7 nafari Samarqand shahrida (S), 5 nafari esa  Samarqand viloyatida (W) doimiy ro‘yxatdan o‘tgan.

a)      S va W hodisalar birgalikda bo‘ladimi?

b)     Ihtiyoriy ravishda tanlangan fuqaroning:

I)            Samarqandda;

II)         Samarqand viloyatida;

III)      Yo Samarqandda, yo Samarqand viloyatida; doimiy ro‘yxatdan o‘tganligining ehtimoligini toping.

r a)  Fuqaro doimiy ro‘yxatdan faqat bir joyda o‘tishi mumkin.

Demak, S va W hodisalar birgalikda bo‘lmaydi.

b) I) P S( ) = ;          II) P W( ) = .

Birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun

      III) P S( UW) = P S( ) + P W( ) = + =          . ▲

3-masala. Gulzorda 20 ta qizil, 30 ta binafsha rang va 40 ta oq rangli gul ochilgan. Agar  bitta gul uzilgan bo‘lsa, uning qizil yoki binafsha rangli bo‘lish ehtimolligini toping.

r P (A+B)= P (A) +P (B) – P (AB)=  . ▲

Mashqlar

102.               P (A)=0,4, P(A ∪ B)=0,9, P(A ⋂ B)=0,1 bo‘lsa, P (B) ni toping.

103.               P (A)=0,6, P(B)=0,5, P(A ∪ B)=0,9 bo‘lsa, P (AB) ni toping.

104.               A va B hodisalar birgalikda bo‘lmasin.  P(A)=0,45, P(A ∪ B)=0,8 bo‘lsa, P (B) ni toping.

105.               1, 2, ..., 15 sonlar bilan nomerlangan chiptalardan ixtiyoriy biri tanlab olinmoqda. Chiptadagi nomer 11 dan katta bo‘lishi hodisasini A harfi bilan, 8 dan kichik bo‘lishi hodisasini B harfi bilan belgilaymiz. 

a)     A va B hodisalar birgalikda bo‘ladimi?

b)     I) P(A);  II) P(B);  III) P(A ∪ B) larni toping.

106. Sinfda 25 o‘quvchi bor. Ulardan

11  nafari 16 yoshda (F);

12  nafari 17 yoshda (S);

8 nafarining uyida qo‘y boqiladi (D);

7 nafarining uyida qoramol boqiladi (C);

4 nafarining uyida hech qanday hayvonni boqilmaydi (N).

Ixtiyoriy ravishda o‘quvchi tanlanmoqda. Quyidagilarni toping va ma’nosini tushuntiring:

a) P(F);b) P(S);c) P(D);d) P(C); f) P(F ∪ S);g) P(F ∪ D);h) P(C ∪ N);i) P(F ∪ D);

e) P(N); j) P(D ∪ N).

ehtimoliklarni toping

Ehtimollarni ko‘paytirish

A va  B hodisalar berilgan bo‘lsin. A/B yozuv  B hodisaning ro‘y berganligi aniq bo‘lganida A hodisaning ro‘y berishini bildirsin.

4-misol. 25 o‘quvchisidan 14 nafari palovni, 16 nafari esa mantini yoqtiradi. Bir nafar o‘quvchi palov va mantidan  boshqa taomni, 6 nafar o‘quvchi esa ikkala taomni ham yoqtiradi. Ixtiyoriy ravishda tanlangan o‘quvchi:

a)      palovni (P) yoqtirishining;

b)      mantini (M) yoqtirganligi aniq bo‘lganda palovni yoqtirishining ehtimolligini toping.

r Eyler–Venn diagrammasini chizamiz:

25 nafar o‘quvchidan 14 nafari palovni yoqtirganligi sababli

                                                                     P palov( )= .

16 nafar mantini yoqtirganlar ichida 6 nafari palovni ham yoqtirganligi uchun                          P( palov manti| ) = = .

Umumiy holda ham B hodisa ro‘y berganligi aniq bo‘lganda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi

                                                 P A B(           | ) = P A( I B)

P B( )

formula yordamida topiladi, bundan  P (A∩B)=P(A) · P(A/B). Bu formula

ehtimollikni ko‘paytirish formulasi deyiladi.

P (A/B) ehtimollik shartli ehtimollik deb ataladi.

P(A/B)=P(A) bo‘lsa, A hodisa B hodisaga bog‘liq emas deyiladi. A hodisa B hodisaga bog‘liq bo‘lmasa, u holda B hodisa ham A hodisaga bog‘liq bo‘lmaydi, ya’ni P(B/A)=P(B).

Agar A va B hodisalar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, ularning birgalikda ro‘y berish ehtimolligi bu hodisalarning har birining ro‘y berish ehtimolliklarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni P(AB)=P(A)·P(B) tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Tadqiqot uchun. Agar A va B hodisalar bog‘liq bo‘lmasa: 1) A va B; 2) A

va B; 3) A va B hodisalar ham o‘zaro bog‘liq bo‘lmaydi.

5-misol. 40 nafar o‘quvchidan 34 nafari banan (B), 22 nafari olma (O) va 2 nafari ikkala mevani yoqtiradi. Ixtiyoriy tanlangan o‘quvchining: 

a)       ikkala mevani yoqtirishining;

b)      eng ko‘pi bilan bitta mevani yoqtirishi;

c)       olmani yoqtirishi sharti bilan bananni yoqtirishining;

d)      bananni yoqtirishi sharti bilan olmani yoqtirmasligining (O)

ehtimolligini toping.

r

Diagrammadan ravshanki: a+b=34;   b+c=22;   a+b+c=38.

Bundan,   c=38–34=4;   b=18;   a=16. 

Demak,

a)    P ikkala meva(             ) = = = 0,45;

b)   

P eng ko pi bilanbitta meva(      '           ) = = =0,95;

c)    P B P(   |O) = = ;  d) P P B(O'|            ) = = . ▲

6-misol. p bo‘lsin.

Agar  A va B  hodisalar:

a) birgalikda bo‘lmasa;    b) bog‘liq bo‘lmasa, p ni toping.

r  a) A va B hodisalar birgalikda bo‘lmasa, A BI =∅, ya’ni P(A ⋂ B)=0.

Ammo P A( U B) = P A( ) + P B( ) − P A( I B), bundan

1                   1          5 p =   +         − 0 =  .

2                   3          6

b) A va B hodisalar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, u holda

                                                      P A( I B) P A P B( ) ( )                 ,

 

                           P A( U B) = P A( ) + P B( ) − P A( I B) = +    −    =    . ▲

 

                                                                                  2                     1

7-misol. Agar P                    P A( )      ,   (P B A| ) = bo‘lsa, quyidagilarni

                                                                                  5                     3

toping:  a) P(B); b) P(A ⋂ B).

r  P B A( | ) = P B( I ^A) , bundan  P B( I A) = P B A P A( | ) ( ) = ^{1 2}3 5⋅ = 15² . P A( )

Xuddi shuningdek, PB A PB AP A( I ) =            (     |       )     (     ) =     ⋅        =       .

Eyler–Venn diagrammasidan

a)     P B( ) =    +            =         ;

b)    P A B( I ) =P A P A B( ) − ( I ) = − = .

Hodisalarning ehtimolliklarini hisoblash

1-misol. Korxonada bir necha dastgoh ishlaydi. Ish vaqti davomida bitta dastgohni ta’mirlash talab etilishi ehtimolligi 0,2 ga teng, ikkita dastgohni ta’mirlash talab etilishi ehtimolligi 0,13 ga teng. Ish vaqti davomida ikkitadan ortiq dastgohni ta’mirlash talab etilishi ehtimolligi esa 0,07 ga teng. Ish vaqti davomida hech bo‘lmaganda bitta dastgohni ta’mirlash talab etilishi ehtimollgiini toping.

r  Quyidagi hodisalarni qaraymiz:

A={ish vaqti davomida bitta dastgohni ta’mirlash talab etiladi};

B={ish vaqti davomida ikkita dastgohni ta’mirlash talab etiladi};

C={ish vaqti davomida ikkitadan ortiq dastgohni ta’mirlash talab etiladi}.

A, B va C hodisalar o‘zaro birgalikda emas. Bizni qiziqtiradigan hodisa:

A B C+ + ₌ {ish vaqti davomida hech bo‘lmaganda bitta dastgohni ta’mirlashning zarur bo‘lishi}, shu hodisaning ehtimoligini topamiz:

        P A( + B + C) = P B( ) + P B( ) + P C( ) = 0,2 + 0,13+ 0,07 = 0,4.

Javob: 0,4. ▲

2-misol. Idishda 10 ta qizil va 6 ta ko‘k rangli shar bor. Tavakkaliga 2 ta shar olinadi. Olingan ikkala sharning bir xil rangli bo‘lish ehtimoligini toping.

r A olingan ikkala shar qizil bo‘lishi, B esa olingan ikkala sharnng ko‘k rangda bo‘lishi hodisasi deylik. Ko‘rinib turibdiki, A va B hodisalar birgalikda bo‘lmagan hodisalardir. Demak,

                                                             P A( + B) = P A( ) + P B( ).

A   hodisaning ro‘y berishiga C₁₀² ta elementar hodisa qulaylik tug‘diradi.

²

B   hodisaning ro‘y berishiga esa C₆ ta elementar hodisa qulaylik tug‘diradi. Ro‘y berishi mumkin bo‘lgan jami elementar hodisalar soni esa C₁₆² ga teng.

U holda                                                       _{2            2}

                                                                                     C C¹⁰ + ⁶       1

                                                        P A B( + =)           ₂ = . ▲

                                                                                             C16              2

3-misol. Ikki ovchi bo‘riga qarata bittadan o‘q uzishdi. Birinchi ovchining o‘qni bo‘riga tekkizish ehtimolligi 0,7 ga, ikkinchisiniki esa 0,8 ga teng. Hech bo‘lmaganda bitta o‘qning bo‘riga tegishi ehtimolligini toping.

r A – birinchi ovchining o‘qni bo‘riga tekkizishi hodisasi, B – ikkinchi ovchining o‘qni bo‘riga tekkizishi hodisasi bo‘lsin. Ravshanki, A va B hodisalar birgalikda bo‘lgan, ammo bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan hodisalardir.

U holda

        P A( + B) = P A( ) + P B( ) − P AB( ) = 00,7+0,8–0,56=0,94. ▲

4-misol. Tanga va kub bir vaqtda tashlangan. “Gerb“ tushishi va “3” soni tushishi hodisalarining birgalikda ro‘y berishi ehtimolligini toping.

r     A – tanganing “gerb” tomoni tushishi hodisasi, B – kubik tashlanganda “3” sonining tushishi hodisasi bo‘lsin. A va B hodisalar bog‘liq bo‘lmagan hodisalar. Demak,

                                                  P AB P A P B           . ▲

5-misol. Firmada 7 ta erkak va 3 ta ayol ishchi ishlaydi. Tavakkaliga 3 kishi ajratildi. Ajratib olingan ishchilarning barchasi erkaklar bo‘lishi ehtimolligini toping.

r     Hodisalarni quyidagicha belgilaymiz:

A –  birinchi ajratilgan ishchining erkak kishi bo‘lishi hodisasi; B – ikkinchi ajratilgan ishchining erkak kishi bo‘lishi hodisasi;

C – uchinchi ajratilgan ishchining erkak kishi bo‘lishi hodisasi.

Birinchi ajratilgan ishchining erkak kishi bo‘lishi hodisasining ehtimolligi:

P A( ) = 0,7.

Birinchi ajratilgan ishchining erkak kishi bo‘lishi shartida ikkinchi ishchining ham erkak kishi bo‘lishi ehtimolligi, ya’ni B hodisaning shartli ehtimolligi:

                                                                                                                                       

                                                                         P B( / A) =    =    .

Oldin ajratib olinganlarning ikkalasi erkak kishi bo‘lishi sharti ostida uchinc hi ajratilgan ishchining ham erkak kishi bo‘lishi ehtimoligi, ya’ni C  hodisaning shartli ehtimoligi: P C( / AB)  . Ajratib olingan ishchilarning hammasi erkak kishilar bo‘lishi ehtimoliP ABC( ) = P A( )⋅P B A( ( )⋅P C AB( / ) = . ▲

6-misol. Biror obyekt yakson bo‘lishi uchun bitta bombaning kelib tushishi kifoya, deylik. Agar obyektga tushishi ehtimolliklari, mos ravishda, 0,3; 0,4; 0,6; 0,7 ga teng bo‘lgan 4 ta bomba tashlangan bo‘lsa, u holda obyektning yakson bo‘lish ehtimolligini toping.

rAgar A₁, A₂, ..., A_n hodisalar o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, ularga qaramaqarshi bo‘lgan Ā₁, Ā₂, ..., Ā_n hodisalar ham o‘zaro bog‘liq emas. Bundan

P (Ā₁Ā₂ ... Ā_n) = P(Ā₁) · P(Ā₂) · ... · P(Ā_n) =

= (1–P(A₁)) (1–P(A₂)) ... · (1–P(A_n)).                        (1)

Shu bilan birga, A₁+A₂+... +A_n va  Ā₁·Ā₂·...·Ā_n hodisalar qaramaqarshi hodisalardir. Shuning uchun (1) ga ko‘ra P(A₁+A₂+...+A_n)=

=1–P(Ā₁·Ā₂·...·Ā_n)=1–(1–P(A₁))(1–P(A₂)) ... (1–P(A_n)).                                   (2)

Bu formula, agar P(A₁),..., P(A_n) ehtimolliklar ma’lum bo‘lsa, A₁, A₂, ..., A_n hodisalarning kamida bittasining ro‘y berishi ehtimolligini hisoblash imkonini beradi. Masalan, avvalgi P (A₁)=(P(A₂)=...=P(A_n)=p bo‘lsa, (2) formula P(A₁+...+A_n)=1–(1–p)ⁿ ko‘rinishni oladi. Demak, 4 bombadan kamida bitta bombaning ko‘prikka tushishi ehtimolligi

P(A₁+A₂+A₃+A₄)=1–(1–0,3) (1–0,4) (1–0,6) (1–0,7)= =1–0,7· 0,6 · 0,4 · 0,3=1–0,0504=0,9496. ▲

Mashqlar

107. P(R)=0,4, P(S)=0,5 va P(R ∪ S)=0,7 bo‘lsa, R, S lar o‘zaro bog‘liq bo‘ladimi?

 bo‘lsin.

a) P(A ⋂ B);                    b) P(B|A);                  c) P(A|B) ni toping. A, B lar o‘zaro bog‘liq bo‘ladimi?

109.                    P(X)=0,5, P(Y )=0,7 va X, Y o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, quyidagi hodisalarning ehtimolliklarini toping:

a)     X, Y hodisalarning ikkalasi ham ro‘y berdi;

b)     Yo X, yo Y hodisasi ro‘y berdi;

c)     Na X, na Y hodisasi ro‘y bermadi;

d)     X ro‘y berdi, ammo Y ro‘y bermadi;

e)     X ning ro‘y berishi sharti bilan Y hodisasi ro‘y berdi.

110.                    Oltita bir xil qog‘ozchaning har biriga quyidagi harflardan biri yozilgan: a, t, m, r, s, o. Qog‘ozchalar  yaxshilab  aralashtirilgan.  Bittalab olingan va “bir qator qilib” terilgan to‘rtta qog‘ozchada: 1) satr; 2) rost; 3) taom so‘zlarini o‘qish mumkinligi hodisasining ehtimolligini toping.

111.                    Tanga 5 marta tashlandi.  Tanganing gerbli tomoni bilan ikki marta tushishi hodisasining ehtimolligini toping.

112.                    21 ta standart va 10 ta nostandart buyum solingan idishni tashish vaqtida bitta buyum yo‘qolgan, biroq qanday buyum yo‘qolgani ma’lum emas. Yashikdan (tashishdan keyin) tavakkaliga olingan buyum standart buyum bo‘lib chiqdi. Nostandart buyumning yo‘qolgan bo‘lishi hodisasining ehtimolligini toping.

113.                    Abonent telefon nomerini terayotib, nomerning oxirgi uchta raqamini eslay olmadi va bu raqamlar turli ekanligini bilgan holda ularni tavakkaliga terdi. Kerakli raqamlar terilgan bo`lishi hodisasining ehtimolligini toping.

BINOMIAL VA NORMAL TAQSIMOT 

81–85

HAQIDA TUSHUNCHA

Bernulli sxemasi. n ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan sinashlar (tajribalar) ketma-ketligi o‘tkazilgan. Har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p, ro‘y bermaslik ehtimolligi esa q = 1– p bo‘lsin (p va q har bir sinash uchun bir hil, sinashning nomeriga bog‘liq emas), deylik.

Mazkur sinashlar ketma-ketligi Bernulli sxemasi deyiladi. 

3 ta sinashdan iborat Bernulli sxemasini qaraylik. Agar A hodisa ro‘y bersa, 1 raqamini, ro‘y bermasa, 0 raqamini yozamiz. 3 ta sinashda ro‘y berishi mumkin bo‘lgan 8 ta elementar hodisaga mos kodlar shunday bo‘ladi: 111, 110, 101, 100, 011, 010, 001 va 000

Sinashlar o‘zaro bog‘liq  bo‘lmaganligi sababli, har bir elementar hodisaning ehtimolligini ehtimoliklarni ko‘paytirish formulasiga muvofiq topsak bo‘ladi.

Masalan, 110 ga mos hodisa ppq=p²q ehtimollikka ega. Hisoblashlar natijalarini jadval ko‘rinishda yozaylik:

Elementar hodisa	111	110	101	100	011	010	001	000
Ehtimolligi	p3	p2q	p2q	pq2	p2q	pq2	pq2	q3

Bog‘liq bo‘lmagan n =4, 5, ... sinashlardan iborat Bernulli sxemalarini ham xuddi shunday qarasa bo‘ladi.

Bunda 3 ta sinashda 8 = 2³ ta elementar hodisa,  4 ta sinashda 16 = 2⁴ ta elementar hodisa,  5 ta sinashda 32 = 2⁵ ta elementar hodisa va h.k., n ta sinashda esa 2ⁿ ta elementar hodisa ro‘y beradi.

1-misol. Tanga uch marta ketma-ket tashlangan. A hodisasi har bir tashlashda tanganing gerbli tomoni bilan tushishi hodisasi bo‘lsin. 

Har bir sinashda A hodisasining ro‘y berish yoki bermasligining ehtimolliklari p=q=  bo‘ladi. Bu holda jadvaldagi har bir hodisaning ehtimolligi  ekani ravshan.  Masalan, “ikki marta gerb, bir marta raqam

2

tushish (bunga mos kod 110) hodisasining ehtimolligi p q² = ^_ ^{1 }_ ⋅ ¹ = ¹

bo‘ladi.           ²     ^{2          8} Boshqa hollarni ham shunday qarash mumkin. 

2-misol. Qutida 3 ta qizil va 5 ta ko‘k qalam bor. Bir sinashda tavakkal qilib bitta qalam olindi. Har gal olingan qalamni joyiga qaytarib, sinashlarni 4 marta takrorlaymiz. Natijada 4 ta o‘zaro bog‘liq  bo‘lmagan sinashlarning Bernulli sxemasini hosil qilamiz. A hodisa olingan qalam rangining qizil bo‘lishi hodisasi deylik. Ravshanki, bu holda har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p=  , ro‘y bermaslik ehtimolligi esa q= ga teng.

Savol qo‘yamiz: birinchi, uchinchi va to‘rtinchi sinashda qizil, ikkinchi sinashda esa ko‘k rangli qalamni olish hodisasining ehtimoligi qanday bo‘ladi?

Yuqoridagi kabi mulohazalar yuritib, bu hodisaga 0 va 1 larning 1011 ketma-ketligi mos kelishini, kuzatilayotgan hodisasining ehtimolligi esa

3

3            3   5      135

p q =    _ ⋅    =          ≈ 0,033 ekanini topamiz. 

              8    8     4096

n ta sinashdan iborat Bernulli sxemasida kuzatilayotgan A hodisasining

roppa-rosa m  marta ro‘y berish ehtimolligini topaylik.

Kombinatorikaga oid mavzularda uzunligi n ga teng va tarkibida aynan  m ta a harfi va n − m ta b harfi bo‘lgan so‘zlar soni C_n^m ga tengligi isbotlangan edi.

Demak, Bernulli sxemasida A hodisasining roppa-rosa m marta ro‘y berishiga qulaylik tug‘diruvchi elementar hodisalar soni C_n^m ga teng. Har bir bunday elementar hodisaning ehtimolligi esa p q^{m n m−} ga teng bo‘lgani uchun quyidagi tasdiqqa kelamiz:

Teorema.  n ta o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan sinashdan iborat Bernulli sxemasida A hodisasining roppa-rosa m marta ro‘y berish ehtimolligi

P n m( , ) = C p q_n^{m m n m−} bo‘ladi.

3-misol. 3 ta sinashdan iborat Bernulli sxemasida har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimoligi p =0,2 bo‘lsin. Bu holda q = −1 0,2 = 0,8.

3 ta sinashda A hodisasining: ro‘y bermaslik (0 marta ro‘y berishlik), 1 marta, 2 marta, 3 marta ro‘y berishi ehtimolliklari, mos ravishda, quyidagilarga teng:

     P(3,0) = C p q₃^{0 0 3} =1 1 0,8⋅ ⋅ ³ = 0,512;

P(3,1) = C p q₃^{1 1 2} = 3 0⋅ ,2 0,⋅ 8² = 0,384 ;

P(3,2) = C p q₃^{2 2 1} = 3 0⋅ ,2² ⋅0,8 = 0,096; P(3, 3) = C p q₃^{3 3 0} =1 0⋅ ,2³ ⋅ =1      0,008.

Natijalarni binomial taqsimot jadvali deb nomlangan jadval ko‘rinishda ifodalaymiz:

m	0	1	2	3
P(3, m)	0,512	0,384	0,096	0,008

Bu jadvalning ikkinchi qatoridagi ehtimolliklar yig‘indisi 1 ga teng ekanlig i ga ishonch hosil qiling. Shu bilan birga,

                                           n                                       n

                                       ∑P n m( , ) =∑C p q_n^{m                             m                       n m−} = +(p q)ⁿ =1.

                                         m=0                                 m=0

4-misol. Statistik ma’lumotlarga ko‘ra o‘g‘il bola tug‘ilishining ehtimolligi p=0,515 bo‘ladi. Tavakkal  qilib tanlangan 10 ta chaqaloqdan 6 tasi o‘g‘il bola bo‘lishining ehtimolliligi taqriban

                                          P C        .

5-misol. 16 ta sinashdan iborat Bernulli sxemasida har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi p =0,5 bo‘lsin. Bu holda binomial taqsimot jadvali quyidagicha bo‘lar ekan (verguldan so‘ng 3 xona aniqligida olindi):

m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
P(16, m)	0	0	0,002	0,009	0,028	0,067	0,122	0,175	0,196	0,175
m	10	11	12	13	14	15	16
P(16, m)	0,122	0,067	0,028	0,009	0,002	0	0

Bu ma’lumotlarga mos ustunli diagrammani yasaymiz:

Ko‘rinib turibdiki, ehtimolliklar 0,196 qiymatga nisbatan simmetrik joylashgan. A hodisaning roppa-rosa 8 marta ro‘y berish ehtimolligi eng kattadir. 

6-misol. Mahsulotning nosoz bo‘lishining ehtimolligi 0,01 ga teng.

Tavakkaliga tanlangan 100 mahsulotdan 3 ta dan kam nosoz mahsulot chiqishining  ehtimolligi P(100,0)+ P(100,1)+ P(100,2) = C₁₀₀⁰ (0,01) (0,99)^{0 100} +

 bo‘ladi.

Tasodifiy miqdor. Tajriba natijasida yoki bu qiymatni qabul qiladigan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.   

Tasodifiy miqdorlarga bir nechta misol keltiraylik.

1.                  O‘yin kubi tashlanganda tushgan ochkolar soni.

2.                  Ixtiyoriy tanlangan insonning santimetrlarda ifodalangan bo‘yi. 

3.                  Taksi to‘xtash joyiga bir soat davomida kelib to‘xtaydigan taksilar soni.

4.                  Televizorning buzilmasdan xizmat qilish davri.

5.                  Tavakkaliga tanlangan 100 ta mahsulotdan sifatsizlari soni.

6.                  11-sinf o‘quvchining vazni yoki bo‘yi.

7.                  Yer sirtining ma’lum maydoniga berilgan vaqt oralig‘ida kelib tushuvchi kosmik zarralar soni.

8.                  Ma’lum nav paxtadan berilgan ingichkalikda tayyorlangan ipning pishiqligini tekshirishdagi uzilishlar soni.

Tadqiqot uchun. 1) Yuqorida  keltirilgan 1–8- misollardagi tasodifiy miqdorlarni muhokama qiling.  Bu miqdorlar qanday qiymatlarni qabul qilishi mumkin?

2) Boshqa turdagi tasodifiy miqdorlarga misollar keltiring.

2-misoldagi tasodifiy miqdorni fransuz olimi Muavr tadqiq qilgan. U tasodifiy ravishda tanlangan 1375 nafar ayolning bo‘yini o‘lchab, olingan statistik ma’lumotlarni ustunli diagramma shaklida tasvirlagan:

Shu diagrammada tasvirlangan “qalpoqsimon” egri chiziq taqriban

(x a− )² f x( ) =.

  

funksiya grafigiga yaqinligi aniqlangan, bu yerda a, σ - parametrlar.

Ko‘rinib turibdiki, a parametr tasodifiy miqdor qabul qilgan qiymatlar to‘plamining o‘rtasini, σ esa standart chetlashishni bildiradi.

Tabiatdagi tasodifiy jarayonlarda shunday ko‘rinishda taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ko‘p uchraganligi sababli, Muavr ularni normal taqsimlangan deb nomlagan. 

Agar biror miqdor yetarlicha ko‘p bo‘lgan va bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan kichik tasodifiy omillar yig‘indisi ta’sirida bo‘lsa, u holda ushbu miqdorni normal taqsimlangan deb faraz qilish mumkin.

Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlarga misollar keltiraylik.

1.       O‘q otishda nishondan chetlanish miqdori (soni).

2.       O‘lchashlardagi xatoliklar.

3.       Populatsiyalardagi tirik organizmlarning ba’zi xarakteristikalari.

Tadqiqot uchun. Yuqorida keltirilgan misollardagi tasodifiy miqdorlar normal taqsimlanganmi? Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorlarga misollar keltiring.

Sinashlar (tajribalar) soni  n  yetarlicha katta bo‘lganida binomial taqsimot normal taqsimotga yaqinlashadi.

Yozma nazorat ishi namunasi

1.     Idishda 25 ta olma bor, shulardan 8 tasi qizil, qolgani esa yashil rangda. Tasodifiy ravishda (tavakkaliga) olingan olma qizil rangda bo‘lishi hodisasi ehtimolligini toping.

2.     Biologiya fanidan savollar to‘plamida 25 ta savol bor. Shu savollar ichida 2 tasi genetikaga oid ekan. Tavakkaliga tanlangan savol genetika haqida emasligining ehtimolligini toping.

3.     O‘quvchi tavakkaliga 100 dan katta bo‘lmagan natural sonni aytdi. Shu son 5 ga karrali bo‘linishini ehtimolligini toping.

4.     Tanga 3 marta tashlanganda 2 marta gerb va bir marta raqam tomoni tushishining ehtimolligini toping.

5.     Merganning nishonga tegish ehtimolligi 0,9 ga teng. U nishonga 3 marta o‘q uzganda barcha o‘qlari nishonga tegishining ehtimolligini toping. Biror marta ham nishonga tegmasli hodisaning ehtimolligi bilan solishtiring.

Mashqlar

114.                    Merganning bir o‘q bilan nishonga tegish ehtimolligi 0,8 ga teng. U 6 marta o‘q uzganda 4 marta nishonga tegish ehtimolligini toping.

115.                    4 ta mergan bir-biriga bog‘liq bo‘lmagan holda bir martadan o‘q uzishmoqda. Har birining nishonga tegish ehtimolligi 0,25 ga teng. Nishonga

a)   1 ta o‘qning nishonga tegishi;

b)  2 ta o‘qning nishonga tegishi;

c)   3 ta o‘qning nishonga tegishi;

d)  4 ta o‘qning nishonga tegishi;

e)   birorta ham o‘qning nishonga tegmasligi hodisalarining ehtimolliklarini

toping.

116*. Uskuna 10 ta qismdan iborat. Har bir qismning ishdan chiqishi ehtimolligi q ga teng. Qismlar o‘zaro bog‘liqsiz holda ishdan chiqishi mumkin. Quyidagi hodisalarning ehtimolliklarini toping:

a)   ikkita qismning ishdan chiqishi;

b)   kamida ikkita qismning ishdan chiqishi;

c)   kamida bitta qismning ishdan chiqishi.

IV BOB.   ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARINI TAKRORLASH.

1) 3(0,75x + ) − 2x = x + 2,5 ;           2) 7 (2,5x − x) 1_ x + 3_ = 0 ;   

                              5              4                                                   3        

3)    (x +1)(x −1)(x − 2) − (x² + 7 )(x       x − 4) − 2 = 2x;

         x² − 4                    x² −5x + 4                                     8            1−3x        4

4)    x − 2 = 4;     5)            x −1          = x +1;       6*) x₂ − 6x +8 + _{2 − x} = _{x − 4} ;

7*) x³ −3x² − 4x +12 = 0;                           8*) 24x⁴ +16x³ −3x − 2 = 0;

9*) 2x⁴ −5x³ −18x² + 45x = 0;                    10) x⁶ − x⁴ −9x² + 9 = 0;

11*) (x +1)(x² + 2) + (x + 2)(x² +1) = 2 .

2.     a ning qanday qiymatida (5− a x) = a −5 tenglamaning ildizlar soni cheksiz ko‘p bo‘ladi?

3.     Birinchi son ikkinchisidan 15% katta. Agar kichik songa 16 ni qo‘shib, katta sondan 32 ni ayirsak sonlar teng bo‘ladi. Shu sonlarni toping.

4.     Yangi o‘zgaruvchi kiritib tenglamani yeching:

1) (x² −3 )x ² − 2(x² −3 )x = 8;            2) (x² + 2 )x ² + (x +1)² = 57 ;

3) (x² −5x + 7)² − (x −3)(x − 2) =1;   4) ₂ 21 = x² − 4x + 6; x − 4x +10

3x + 7     5x −1                       x² − x       x² − x + 2                 3x²             5x

5) 5 −1 + = 5,2 ; 6*) ₂ − ₂ =1^{; 7)} 2 − x −1 = 2. x 3x + 7 x − x +1 x − x − 2 (x −1)

5. Tenglamalar sistemasini o‘rniga qo‘yish usuli bilan yeching:

                                                     x + 3y +1   y −3x + 3                   x − y =1,

x − 6y = −2,                                −                 = 2,

1) 2x + 3y =11;          2)   y            2(x − 2)              3) x₃ − y₃ = 7.

                                    y − x =1;

6. Tenglamalar sistemasini qo‘shish usuli bilan yeching:

3x       y

^ 4 + 2 = 2,                _2x + y² = 3,                                  x² + y² = 20,

1)   y − x + y       2) 3x + y4 = 4;                            3) __{xy = 8.}

_{= −1;}

5       2

7. Tenglamalar sistemasini yangi o‘zgaruvchni kiritish usuli bilan yeching:

                                                                     1         10                                        x

     xy = 5,                            x + y − x − y =1,           3xy −11 y = 4,

1) xx +− yy + xx +− yy = 136 ;     2) x +1 y         x −2 y            53      3) 2xy −3 xy = 20.

                                                                           +          = −   ;

8. Tenglamalar sistemasini yeching:

    x + y = 3,                        x + xy + y =11,                  x² + 2y +1= 0,

 1) x3 + x y2 =12;             2) x − xy + y =1;             3) y2 + 2x +1= 0;

         x³ − xy² =10,                (x + y)³ + (x − y)² = 27

4*)   _{3             2}                        5*)    _{3              2} y − x y = 5;         (x − y) (x + y) = 9.

2x + 5y =12,

9.       Agar  (x; y)             tenglamalar sistemasining yechimi bo‘lsa,

3x − 4y = −5

x²+y² ni toping.

3x² + y² =19,

10.  Tenglamalar sistemasi nechta yechimga ega:  y − 2x = 6?

11.  Tenglamalar sistemasining yechimlari sonini toping:

x² + y² + x + y =18,

                                                                      2         2

x − y + x − y = 6.

                                                                                                                                        x    x − 2

12.  Tengsizlikning eng kichik butun yechimini toping:      −         >1.

                                                                                                                                        2       6

13.  Tengsizlikning butun yechimlari sonini  toping: x² ≤ 2.

14.  Tengsizlikni yeching: 1) x −1 ≥ 2;             2) x² − 7x +10 < 0;

3) 1 > 3;            4*) x3 −3x2 − x + 3 > 0 ;           5) x2 − 6x + 9 ≤ 0 ;        

        2x                                                                                       x −1

6) x2 −9 ≤ 0;         7*) (x − 4)(x −5)2 ;           8*) x4 + 2x3 − x − 2 ≥ 0. < 0

        x2 + 3x                                 x − 7                                             3x2

−2x² + 5x −3 ≥ 0,

15. Tengsizliklar sistemasini yeching: 1) 

5x − 6 < 0;

        ^ x²                                   (x −1)² −1    x     2(x −1)²      x −1

     x −1 ≥ 0,                    5        + 2 <      10      +    2   + 3,

2) x2 −3            3) 1− x > 0,5(x −1) −1 − 2(x −1) + 4,5.

 ≤ 0;

     3x + 5                                     2                       3

16. Qo‘sh tengsizlikni yeching:

1) ;                   2) ;

3) ;                 4) 5x − 20 ≤ x² ≤ 8x.

17. Tekislikda A (8; 7) va B (–5; 4) nuqtalardan teng uzoqlikda joylashgan  C (x; 0) nuqtani toping. 

18. Tekislikda A (12; 9) va B (–9; 7) nuqtalardan teng uzoqlikda joylashgan C (; y) nuqtani toping. 

19. Tenglamani yeching: 1) 4^13x+5 = 4^23−x ;            2) 7^14x−3 = 7^{85 5+ x} ;

3) 6^x+7 = 36^3x ;           4) 8^x+5 =128^{2 5− x} ;                       5) 3^x+2 −3^x =108;         

6) 2^x+2 + 2^x = 5;         7) 11 16⋅ ^x + 9 12⋅ ^x − 20 9⋅ ^x = 0 ;  8)  9^x2−4x = 243^2(x2−15) ;

9) 9^x − 6 3⋅ ^x − 27 = 0; 10) 6 25⋅ ^x + 7 15⋅ ^x −13 9⋅ ^x = 0; 11) 3^x+2 + 3^x−1 + 3^x = 39 .

20. Savdogar 100 000 000 so‘mni bankka yillik 14% foyda bilan ma’lum muddatga qo‘ydi. Muddat oxirida u 148 154 400 so‘m oldi. Pul necha yilga qo‘yilgan edi?

21. Tadbirkor 100 000 000 so‘mni bankka yillik 16% foyda bilan ma’lum muddatga qo‘ydi. Muddat oxirida u 181 063 936 so‘m oldi. Pul necha yilga qo‘yilgan edi?

22. Aholi soni yiliga 2% ga ortsa, necha yildan so‘ng, aholi soni 2 barobar ortadi?

23. Aholi soni yiliga 1% kamaysa, necha yildan so‘ng, aholi soni 10% kamayadi? 

24. Tengsizlikni yeching:       1) 3x −13 >15;     2)   2x + 23 > –17;

3)     2x + 25 ≥ –27;                 4*)    x² + 5x +14 > x −18;  

5*)     x² −3x + 22 > x + 23;      6*)    x² −5x + 26 ≤ x − 23;  

7*)      x² −13x + 44 ≤ x −36;    8*)    x² − 25x + 34 ≥   x² −3x + 23 .

25. 1) Tekislikda A (12; 4), B (–23; 5), C (x; y) nuqtalar berilgan. AC>BC  shartni qanoatlantiruvchi to‘g‘ri chiziqni toping;

 2) Tekislikda A (24; 34), B (–25; 37), C (x; y) nuqtalar berilgan. AC>BC  shartni qanoatlantiruvchi to‘g‘ri chiziqni toping.

26. Tengsizlikni yeching:  1) 4x ≥ 64;    2) 3x ≤ 81;     3) (0,5)x <  ;

x

      1       1              6−x        3x−2                  9x x− 3                             x2− −x 20

4)     <       ;   5) 3      > 3       ;    6) 2          >1;    7) 0,4             >1.

      9      27

1 2+ log₁ 3

27.  Hisoblang: 1) log 4₂ ;   2) log_0,5 0,25;   3) 6^{log 506}    ;   4) ^_ ^{1 }_         ⁷ ;

 7  5) 4log 5 log 54 − 4 ;  6) 160,5log410 ;  7) (1+ 9log 8 log3 ) 65 5 ; 

log 0,5 log− ₂₇ 2

        8) 273     3                            ;            9) 5log 5 4+log5 3 ;           10*) 3log log2   416 + log0,5 2.

28.  Taqqoslang: 1) log 7₆               yoki  log 6₇  ;  2*) log_0,4 0,5 yoki log₂ sin.

29.  Funksiyaning aniqlanish sohasini toping:

x2 + 4x

1) y = log (4₃ −5 )x ;  2) y = log_0,1(x2 −3x − 4);  3) y = lg 2 . x −3x − 4

30*. b ni a va c orqali ifodalang:

1)   b = log 6,  ₅       a = log 3,   ₂    c = log 10₂       ;

2)   b = log₃₀ 8,  a = log₃₀ 3,   c = log₃₀ 5.

       31. Tenglamani yeching: 1) log₃ x = log 1,5₃ + log 8₃ ;

2) log_0,3 x = 2log_0,3 6 − log_0,312 ;      3) log (₂ x² + 4x + 3) = 3;

      4) log (₅ x +1) + log (2₅ x + 3) =1;      5) lg² x =1 ;                           6) x^{log2 x} = 8;

                      ²                                 ;                     8*)       1      +     5      =1;        

7) log₅ x + log_0,2 x = 2

                                                                                                 lg x − 6   lg x + 2

        9*) log (9₂ ^x−1 + 7) = 2 + log (3₂ ^x−1 +1) .

       32. Tengsizlikni yeching: 1) log (12₃ − 2x − x²) > 2; 

2) log (4 x +1) + log4 x < log 24          ;	3) log (5 x −3) < 2 ;
4) log0,5(2x − 4) > –1;	5) log0,5 x2 > log0,5 3x ;
3x−1 log 6) 3    2      x     <1;	7*) (5x − 2)log0,(3) x < 0.

33*.Tenglamalar sistemasini yeching:

      ^2log (3₂ x−4) = 8,

                  2         2                                                

_log (₉ x − y ) − log (₉ x + y) = 0,5.

34*. Tengsizliklar sistemasini yeching:

(x −1)lg2 + lg(2^x+1 +1) < lg(7 2⋅ ^x +12),



_log (_x x + 2) > 2.

35.              O‘sish tartibida yozing:  1) sin30 ;  cos30 ;  cos180 ;  sin90 ;° ° ° °  2) sin45 ;  cos( 90 );  sin210 ;  cos(–45 )° − ° ° ° .

36.              Soddalashtiring: 1) (sinα − cosα)² + (cosα + sinα)² − 2 ;            

       2*)  + tg4α .

37.              Berilgan shartga ko‘ra hisoblang:

3sin² α +12sinαcosα + cos² α

1)                     ,  ctgα =   ;   2) _{2         2}        ,   tgα = 2.

sin α + sinαcosα − 2cos α

38. Berilganlarga ko‘ra qolgan trigonometrik funksiyalar qiymatlarini toping:  1) sina         =         –0,6,   270° < a       <       360°;         2) tga=2,   180° < a    < 270°.

39. Ko‘paytma ko‘rinishiga keltiring: 1) sin2a+sina; 2) cosx − cos3x; 3) tg3x − tgx ; 4) cos2x − cos4x − cos8x.

                                                                                          1                          x

40. Tenglamani yeching: 1) sin3x = − ;          2) sin   =1,5;

2

                      1                                      x                                    x         

3) cos2x =    ;                     4) cos =1,5;               5) tg_ −30° =_ 0; 

                       2                                     2                                    2         

                                                                                                                                x         

6) tg 3( x + 60° =) 3 ;             7) tg4x = 3;                  8) ctg_ – 30° =_          0; 

                                                                                                                                2         

9) sin² x − 2sin x −3 = 0 ;        10) cos2x = 7sin x; 

11) cos² x + 4sin² x = 2sin2x ; 12) 7tg²x − 2tg x =15;

13*) sin² x − cos 2² x + sin 3² x =1,5;                        14*) sin⁴ x + cos⁴ x =  .

41. Tenglamalar sistemasini yeching:



cos(x + y) = 0,               cos cosx y =      ,              sin sinx y = 3,

1)                         2*)                                     3*)                     4

  ^{cos(x − y) =} 2 ^;            sin sinx y = 4 ;               tg  tg x y = 3.

42. Tengsizlikni yeching:  

1) sin x >  ;                  2) sin x < ;        3) ;        4) 2cosx >1;

5)  ;                 6) cos2x ≤ −1;      7) 2cos2x ≥1;

tg^{2            1} tg      ³ 0;                            9) tg^{2 }_ x + ^π_ ≤ 3;.

                                                                                                           3 

43. 2, 5, 8... arifmetik progressiyaning 15 – hadini va dastlabki 15 ta hadi yig‘indisini toping.

44. Agar a₃=25, a₁₀=–3 bo‘lsa arifmetik progressiyaning 1-hadini va ayirmasini toping.

45. 2 xonali 3 ga karrali sonlarning yig‘indisini toping.

46. –4, 16, –64... geometrik progressiyaning 7– hadini va dastlabki 7 ta hadi yig‘indisini toping.

47. Agar b₃=8, b₇=128 bo‘lsa geometrik progressiyaning 1-hadini va maxrajini toping.

48. Yig‘indini toping:

              1     1

1) 1+    +                                                                      +...;       2) +...;       3*) −....

              2    4

49.  y=x² funksiya uchun ∆x va ∆y ni toping:

1) x=2,5  va  x₀=2;                        2) x=3,9  va  x₀=3,75;

3) x= –1,2  va  x₀= –1;                  4) x=–2,7  va  x₀= –2,5.

50.  Hosilani toping: 

1) y = 4x³ − 2x² + x −5;                     2) y = −x³ + 9x² + x −1;

3) y = 0,25x⁴ + 0,(3)x³ + 0,5x² −1;     4) y=(x³ −1)(x² + +x 1); 

2

5) y = x +1 ;       6) y = (x³ −1)⁶ ;      7) y = ^{1−sin x} ;     8) y = ^{1+ cosx} ;

9) y = cosx₂ −x1³;      10) y = cos 12 ;      11) y = tg(21+ sinx₂ x+1)_{;              cosx −1} x

12) y = lg(5x² +1);                          13*) y = ln (² x² −1);  ex +1

14) y = 2 5⋅ x + 3ex ;                            15) y = _x         .

e −1

51. Berilgan funksiyaning kritik nuqtalari, o‘sish va kamayish oraliqlari, ekstremumlari hamda x = −2 abssissali nuqtadan o‘tuvchi urinma tenglamasini toping:  1) y = −x² − 2x; 2) y = x³ + 3x² ;  3) y = 0,5x⁴ .

52. Berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyalarini toping: 1) y = −7x + 4;            2) y = 3x² + 4 ;          3) y = 2x² + 3x −8;

                 1                                                                          ²

4) y =  2 − 4sin x ;      5) y = −1 cos3x ;        6) y x= + x ; x

                      2                                    3                                       x

7) y = ² ;           8) y = ² ;           9) y = 7sin 3 + cos 4x ; sin 3x    cos 5x

5

10) y =;      11) y =;         12) y =; 2x + 7

13) y = ;       14) y = e^2x−3 ;       15) y = 2^0,5x+1.

53. Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan soha yuzini toping:

1) y = x²,   y = 0,   x = 2;                 2) y = − x,   y = 0,   x =1;   x = 9;

2

3) y =  ,    y = 0,   x =1,   x = 3;        4) y = sin ,   x         y = 0,   0 ≤ x ≤ π;     x

1

5) y = ,   y = 0,   x =1,   x = 4.

xln2

54. Integralni hisoblang:

22

1) ∫ x dx³ ;                          2) xdx ;                3) ∫ 4x dx³    ;

4)                  x                            x dx;         5) _∫(x − 2 x dx)    ;         6)         x          dx;

1

2

7)        x           dx;           8) _∫(3x⁴ + 2x² −5)dx ;

92

 2x         1                                         xdx

9) ∫₄        dx;         10) ∫ 2 ;      11) ^∫ _{2 − 0,5x} .

_{                                                                −}4

Yozma nazorat ishi namunasi

1.                  Hosilani toping:  y = (x² −5x +8)⁶ .

2.                  Funksiyaning ekstremumlarini toping: y = 2x³ −9x² +12x −8.

3.                  y = 2x²–5x+4 funksiyaning  x = 3 nuqtasidan o‘tuvchi urinma tenglamasini  toping.

4.                  Berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyalarini toping:

y = 8(11–3x)⁵.

5. Berilgan chiziqlar bilan chegaralangan shakl yuzini toping:

y = x² − 7x +10,   y =10.

6.                        Integralni hisoblang:  .

7.                        Yoqlari 1 dan 6 gacha raqamlar bilan nomerlangan ikkita kub tashlanganida hosil bo‘ladigan ikki xonali sonning raqamlari yig‘indisi 4 ga bo‘linishining ehtimolligini toping.

JAVOBLAR

II BOB 

51. 5.    52. 2 .    53. 1)  ;  2) 1 ;  3) 9;  4)  (a²–1).

2 π

        54. 1) 9      ; 2) 7 3 −1; 3) 4       ; 4) 2 ln3 .     55. V =  (kub birlik).

2

56. 7,5p       (kub birlik).    57. 340 m.    58. 18,75 m.    59. 120 m.   

60. 32 m.    61. V=2p        (kub birlik).    62. 1) 18;  2)  ; 3) ; 4) .

 ; 2) 1; 3)  ; 4)  .    64. .    65. 18.    66. 0,009 J.

t₂

0,8099 ((1)- formula).

t₁

71. ≈ 0,7599 ((1a)- formula).    72. 0,7850 (trapetsiyalar formulasi).   

                                                                                 x −3                                C

        74. 1) y=tgx–ctgx+C; 2) y = ln           + C.    75. 2) y = .    77. C=2.

                                                                                 x + 3                                x

m⁰ ; 2) m⁰ ; 3) ^m0 .   

78. 60 minut.    80. 1)

                                                            10 2            2           4

83. y'=–0,2 ∙ (y–3); y=3+C ∙ e^–0,2t.    84. 1), 3) - bo‘ladi.

85. 1), 2) - bo‘ladi.    86. 1) f₃(x) uchun; 2) f₂(x) uchun; 3) f₂(x) uchun.

1

88.  2) ln(e^x+1)+C;   3) arctg(x+2)+C;   5) + C . cosx

89.  2)  x³ − x + C ;  4) −ln cos3x + C ;  6) ln x x( ² + 2) + C .

                                        2            2

       93. 2) F x( ) =    x   x +    ;  4) F x( ) = −cosx −sin x + 2.

                                        3            3

                                        x     sin2x                                1            1

       96. 1) F x( ) =    −          + C ;  2) F x( ) = sin x − 3sin₃ x + C ;

                                        4        8

                                             3         3         ^{3         2}

              3) F x( ) =            +    cosx cos x + C ;  4) F x( ) = ln sin x −sin x + C ;

                                         3 cosx     5

                                                                                                                1              1

             5) F x( ) = −ln cosx −sin x + C ;  6) F x( ) = sin6x +    sin4x + C .

                                                                                                                6              4

                                          π                                         1

        98. 3) arctg2 − 4 .  99. 1)   2 −1;  2) 1− e₂ .

100. 2) 1;  3) ln 10 .    101. 1) a=2;   2) a=4.  102. 1) 24;  2) 32;  3) 0,5. 103. 1) 1120,4;   3) 2;  43)  .  109. 6 .    110. 1) 8;  2) 10111.

1)    2 ;  2) 60.   112. 1) 21 ;  2) 2e³+1.    113. 1) ;  2) 1.  115.  ;

2)    36;  3) 36;  4) e²–1.

2 2              2 v^{0        πR H g}

116. 1)         metr.    118. 64,5 metr.    120. A ₌ J .

                    2g                                                                    2

III BOB 

1. 6.   2. 18.   3. 3.   4. 24.   5. 10+4+6=20.   6. 24=6⋅4.   7. 7⋅5⋅4=140.  

8. 24.    9. 6⋅5⋅4=120.    10.  20=5⋅4.    11. 18⋅17/2=153.     12. C_n³.

.   b) .

n n( −1)

15.                         . 19. –165;  21. 824;

23.

Gollar soni	Sanash	Chastota	Nisbiy chastota
0	||||	5	0.208
1	|||| ||||	9	0.375
2	||||	5	0,208
3	|||	3	0,125
4	|	1	0,042
5		0	0
6	|	1	0,042
	Jami:	24

24. a)

b) 1 va 2; c) musbat bog‘langan; d) 12,5%.

25.

4	||	2	0,059
5	||||	5	0,147
6	|||| ||||	10	0,294
7	|||| ||||	9	0,265
8	||||	5	0,147
9	|||	3	0,088

26.  a) 45;  b) 1;  c) 8;  d) 20%.

27.  a)

0 - 9	||	2	0,067
10 - 19	|||| |	6	0,200
20 - 29	|||| |||| |	11	0,367
30 - 39	|||| ||	7	0,233
40 - 49	||||	4	0,133

b)   2; 

c)   36,7%;

e)

29. a) I) 5,61; II) 6; III) 6.    b) I) 16,3; II) 17; III) 18.   c) I) 24,8; II) 24,9; III) 23,5.    30. a) A:6,46; B:6,85.  b) A:7; B:7. d) 7 – ikkita tanlanma o‘rtachasi.    31. Ikkinchi sportchi – 164.    32. a) 1; b) 1,8; c) 2.    33. a) 44; b) 44; c) 40,2; d) o‘sadi, 40,3.    38. 31,7.    39. a) 70; b) taxminan 411000 l;

c) taxminan 5870 l.    40. a) 11,5; b) I) 11,3; II) 11,4.     41. a)125; b) 119;

c) 12%; d) 137.    44. O‘rta qiymat – 1,72; Standart chetlanish – 1,67. 45. O‘rta qiymat – 14,5; Standart chetlanish – 1,75.     46. O‘rta qiymat – 45; Standart chetlanish – 3,28.    52. a) sust musbat bog‘langan, chiziqli; b) kuchli manfiy bog‘langan, chiziqli; c) bog‘lanish mavjud emas; d) kuchli manfiy bog‘langan, chiziqli emas; f) sust musbat bog‘langan, chiziqli emas.   

53.   

kuchli musbat bog‘langan, I hakam qo‘ygan ballari o‘sganda II hakam qoygan ballar ham o‘sadi.

54.  kuchli manfiy bog‘lanish.

55.  a) o‘rtacha musbat bog‘lanish.    56. a) b; b) a; c) d; d) c; e) e;  57. a) r=1; b) r=–1; c) r=0.   

58. a)

b) –0,892; c) kuchli manfiy bog‘lanish.  

64.

65. 8 ta imkoniyat: GGG; GGR; GRG; RGG; GRR; RGR; RRG; RRR.

IV BOB 

1. 4) ∅ ;    5) ∅ ;    7)  2;  3;  –2;     11)   –2.    2. 5.     4.  1) 1;  2;  –1;

4.          6) 0;  1.     5.  1) (4; 1);  3) (2; 1);  (1; –2).  6.  2) (1; 1); (1; –1);

 5 2     5        2 

 4;  2 ;    4;  − 2 ;  3) (4; 2);  (–4; –2); (4; –2);    (–4; 2); (2; 4); (–2;

–4); (2; –4); (–2; 4).   7.  1) (5; 1); (–5; –1).  8.  1) (2; 1); (–2; 5);  2) (5; 1); (1; 5).  9.  5. 10. 2 ta. 11. 4 ta. 12. 2.  13. 3 ta.   14. 3)  (0; )  ;

5) (–∞;1) ∪ {3}; 6) (–∞; –3) ∪ (0; 3] .   ; 4)  ; 6) 0; 7) 0; 9) 2.

          238       

24. 1) _ ;  +^∞ ;  2) ∅;   3) (–12,5; +∞). 26. 1) [3; +∞);    2) (–∞; 4];

           3          

3) (6; +∞);    5) (–∞; 2). 27. 1) 2;  3) 50; 6) 10;   7) 4. 28. 1) log₆7 > log₇6.

                                                                                                                            1+ a             3(1− a)

29. 1) (–∞; 0,8);   2) (–∞; –1) ∪ (4; +∞). 30. 1)              ;  2)    .

                                                                                                                             c −1               1+ c

31. 1) 12;    2) 3;   3) –5; 1;  5) 10; 0,1;   8) 100;  100000000. 32. 1) (–3; 1);  2) (0; 1); 3) (3; 28); 5) (0; 3). 33. (4; 1).  34. (1; 2). 35. 1) cos180°;

sin30°; cos30°; sin90°. 36. 1) 0.  37.  1) .

40. 1) (–1)ⁿ⁺¹15°+60°n,   n∈Z;  5) ∅;  6) 60°+360°n,   n∈Z;  9) 240°+360°n, n∈Z;    10)  –90°+360°n,   n∈Z. 42. 5) (7°30'+90°n; 37°30'+90°n),   n∈Z. 48. 1) 2. 50.  1) 12x²–4x+1;  3) x³+x²+x; 7) 18x²(x³–1)⁵.  51.  2) o‘sadi:  (–∞;–2)∪(0; +∞); kamayadi: (–2; 0); ekstremumlari: –2 va 0; urinma tenglamasi: y=–6x–8. 52. 2) x³+4x+c;  5) x C 3) –81;  4) 10; 7)  .

Foydalanilgan va tavsiya etiladigan adabiyotlar

1.       Ш.A. Алимов и др. Алгебра и начала математического анализа, учебник для 10–11 класса. Учебник для базового и профильного образования, Москва, “Просвещение”, 2016.

2.       Mal Coad and others. Mathematics for the international students. Mathematical Studies SL 2nd edition. Haese and Harris publications. 2010.

3.       А.Н. Колмогоров и др. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 10–11 классов. Москва, “Просвещение”, 2018.

4.       Э. Сайдаматов и др. Алгебра и основы математического анализа. часть 2, учебное пособие, Ташкент, “Ilm ziyo”, 2016.

5.       A.U. Abduhamidov va boshqalar. Algebra va matematik analiz asoslari, 1- qism, Toshkent, “O‘qituvchi”, 2012.

6.       Н.П. Филичева. Уравнения и системы уравнений: Учебно-методическое пособие.  “Рязань”. 2009.

7.       М.И. Исроилов. Ҳисоблаш методлари. Тошкент, “Ўқитувчи”, 1988.

8.       Г.К. Муравин и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса. Москва, “Дрофа”, 2006.

9.       Алгебра. Учебное пособие для 9–10 классов. Под ред. Н.Я. Виленкина. Москва, “Просвещение”, 2004.

10.  Г.П. Бевз и др., Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса. Киев, 2011.

11.  “Математика в школе” jurnali.

12.  Fizika, matematika va informatika. Ilmiy-uslubiy jurnal (2001- yildan boshlab chiqa boshlagan).

13.  M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismailov. Matematikadan qiziqarli va olimpiada masalalari. I qism, Toshkent, “Turon-Iqbol”, 2016.

14.  Matematikadan qo‘llanma, I va II qismlar. O‘qituvchilar uchun qo‘llanma. Prof. T.A. Azlarov tahriri ostida. Toshkent, “O‘qituvchi”, 1979.

15.  M.A. Mirzaahmedov, D.A. Sotiboldiyev. O‘quvchilarni matematik olimpiadalarga tayyorlash. Toshkent, “O‘qituvchi”, 1993.

16.  M.A. Mirzaahmedov, Sh.N. Ismailov. 10-sinf uchun “Algebra va analiz asoslari”dan testlar, G‘.G‘ulom NMIU, Toshkent, 2018.

17.  В.М. Говоров и др., Сборник конкурсных задач по математике, Наука,

М., 1984.

18.  T.A. Azlarov, X. Mansurov. Matematik analiz asoslari. 3-nashr, “Universitet”, Toshkent, 2005.

19.  Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, Наука, М., 1990.

20.  Материалы ЕГЭ по математике, М., 2016.

21.  Е.П. Кузнецова, Г.А. Муравьева, Сборник задач по алгебре, 11-класс, “Мнемозина”, 2016.

22.  А.Г. Мордкович, Сборник задач по алгебре, 10-11 классы, “Мнемозина”, 2016.

23.  М.И. Шкиль, З.И. Слепкань, Алгебра, учебник для 11 класса, Киев, 2016.

24.  Е.П. Нелина, О.Е. Долгова, Алгебра, учебник для 11 класса, Киев, 2015.

25.  Ю. Н. Тюрин и др. Теория вероятностей и статистика.М.: МЦНМО ОАО "Московские учебники", 2008г.

26.  М . В .Ткачева, Н . Е. Федорова    Элементы статистики  и  теории вероятность Учеб.  Пособие   для  7–9  кл.  общеобразоват.  учреждений, М.В.Ткачева , Н.Е.Федорова. –  М.  Просвещение, 2004.

27.  Е.А. Бунимович,  В.А. Булычев    Основы  статистики   и   вероятности.  5–11  кл.:  учебное   пособие  – М.:  Дрофа, 2008.

28.  Ю.Н. Макарычев,  Н.Г. Миндюк. Алгебра: элементы   статистики и теории вероятностей: учеб.  Пособие  для  учащихся  7–9 кл.

общеобразоват .  учреждений. 3- е  изд . –  М.:  Просвещение , 2005.

29.  В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс "Алгебры и начал анализа". 4-е издание. Москва, "ОНИКС", 2008.

30.  Г. В. Дорофеев и др. Математика 5–9. Учебное  пособие.  Просвещение. – 2009.

31.  http://www.edu.uz – Xalq ta’limi vazirligining axborot ta’lim portali.

32.  http://www.eduportal.uz – Multimedia markazi axborot ta’lim portali.

33.  http://www.problems.ru – Matematikadan masalalar izlash tizimi (rus tilida).

34.  http://matholymp.zn.uz – O‘zbekistonda va dunyoda matematik olimpiadalar.

35.  http://www.ams.org/mathweb/ – Internetda matematika (ingliz tilida).

MUNDARIJA

      II bob. INTEGRAL VA UNING TATBIQLARI

47-50. Aniq integralning tatbiqlari .............................................................. 3

        51. Taqribiy integrallash ........................................................................10

52-56. Masalalar yechish ............................................................................13

III   bob. MA’LUMOTLAR TAHLILI. EHTIMOLLIK

57-58. Kombinatorika masalalari   ..............................................................27

59-60. Nyuton binomi .................................................................................33

61-64. Statistik ma’lumotlar. Statistik ma’lumotlarning turli

               ko‘rinishlari .....................................................................................37

65-67. O‘rta qiymat, moda va mediana. Chetlashish, standart

            chetlashish  ......................................................................................45

68-70. Ikkita tur ma’lumotlar o‘rtasida bog‘liqlikni tadqiq qilish ..............57

71-73. Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimolligi haqida tushuncha ........68

74-77. Qarama-qarshi hodisa. Hodisalar ustida amallar va ularni

            Eyler-Venn diagrammalarida tasvirlash ..........................................78

78-80. Ehtimolliklarni qo‘shish va ko‘paytirish. Hodisalarning

            ehtimolligini hisoblash usullari .......................................................83 81-85. Binomial va normal taqsimot haqida tushuncha ..............................91

IV    bob. ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARINI TAKRORLASH

86-93. Algebra va analiz asoslarini takrorlashga oid mashqlar .................. 97

         JAVOBLAR ........................................................................................104

         Foydalanilgan va tavsiya etiladigan adabiyotlar .................................110