1_Классическое опр.вероятности_Презентация

Повторить классическое определение вероятности

9.3.2.3 знать классическое определение вероятности и применять его для решения задач;

Знает классическое определение вероятности
Решает задачи на классическое определение вероятности

Введение
Случайные события
Классическое определение вероятности события

Введение.
Что изучает теория вероятностей?

Задачи, которые вы решаете на уроках физики и математики, обычно предусматривают однозначный результат действия. Например, если выпустить камень из рук, то он начинает падать с постоянным ускорением. Положение камня может быть вычислено в любой момент времени.

Если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной она ляжет вверх — гербом или цифрой. Здесь результат действия — броска монеты — не определен однозначно.

В теории вероятностей изучаются закономерности массовых случайных событий.

В геометрии изучаются свойства фигур: точек, прямых и т. п. В реальной жизни таких фигур нет. Поэтому мы имеем дело с моделями, полученными как результат моделирования, схематизирования, абстрагирования определенной стороны реальной жизни.

В физике рассматривается материальная точка, идеальный газ и т. п. Это тоже модельное представление определенных сторон реальной жизни — в природе материальных точек и идеального газа нет.

В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: делается опыт (испытание), в результате происходят случайные события (часто говорят просто — события).
Например, бросили монету и посмотрели, что выпало, — это опыт. В результате этого опыта может выпасть герб — это одно событие, а может выпасть цифра — это другое событие. Поскольку выпадение герба зависит от случая, то это случайное событие.

События принято обозначать большими буквами: Л, В, С и т. п. Например, в опыте с броском монеты событие «выпал герб» естественно обозначить буквой Г. При этом пишут: Г = «выпал герб». Аналогично событие «выпала цифра» обозначают буквой Ц.

Бросание игральной кости. Этот опыт состоит в следующем. Игральную кость (кубик, на сторонах которого указаны точки: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, соответствующие количеству очков) бросают на стол и смотрят (на верхней грани), сколько выпало очков.

Какие события могут произойти при броске игральной кости?

𝑄 1 𝑄𝑄 𝑄 1 1 𝑄 1 = «выпало 1 очко»
𝑄 2 𝑄𝑄 𝑄 2 2 𝑄 2 = «выпало 2 очка»
𝑄 3 𝑄𝑄 𝑄 3 3 𝑄 3 = «выпало 3 очка»
𝑄 4 𝑄𝑄 𝑄 4 4 𝑄 4 = «выпало 4 очка»
𝑄 5 𝑄𝑄 𝑄 5 5 𝑄 5 = «выпало 5 очков»
𝑄 6 𝑄𝑄 𝑄 6 6 𝑄 6 = «выпало 6 очков».

𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр = «число выпавших очков простое»
𝑄 3𝑘 𝑄𝑄 𝑄 3𝑘 3𝑘𝑘 𝑄 3𝑘 = «число выпавших очков делится на 3»
𝑄 ч 𝑄𝑄 𝑄 ч ч 𝑄 ч = «число выпавших очков четно»
𝑄 н 𝑄𝑄 𝑄 н н 𝑄 н = «число выпавших очков нечетно»

Что мы можем сказать о событиях 𝑄 2 𝑄𝑄 𝑄 2 2 𝑄 2 и 𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр ?

А о событиях 𝑄 ч 𝑄𝑄 𝑄 ч ч 𝑄 ч и 𝑄 н 𝑄𝑄 𝑄 н н 𝑄 н ?

Определение. Два события называются несовместными, если они в рассматриваемом опыте не могут произойти одновременно. События, которые в рассматриваемом опыте могут произойти одновременно, называются совместными.

Например, в опыте с броском игральной кости события 𝑄 ч 𝑄𝑄 𝑄 ч ч 𝑄 ч и 𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр совместны.
Аналогично события 𝑄 3 𝑄𝑄 𝑄 3 3 𝑄 3 и 𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр тоже совместны.
Однако между совместностью пары событий 𝑄 ч 𝑄𝑄 𝑄 ч ч 𝑄 ч и 𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр и пары событий 𝑄 3 𝑄𝑄 𝑄 3 3 𝑄 3 и 𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр наблюдается существенная разница.

Для пары событий 𝑄 3 𝑄𝑄 𝑄 3 3 𝑄 3 и 𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр из того, что произошло событие 𝑄 3 𝑄𝑄 𝑄 3 3 𝑄 3 автоматически следует, что произошло и событие 𝑄 пр 𝑄𝑄 𝑄 пр пр 𝑄 пр . Для второй же пары этого нет. Для второй пары из того, что произошло одно из совместных событий, еще не следует, что автоматически произошло и другое.

Определение. Событие 𝑨𝑨 благоприятствует событию 𝑩𝑩 (пишут 𝐴𝐴⊂𝐵𝐵), если из того, что произошло событие 𝐴𝐴, следует, что произошло событие 𝐵𝐵. Если же из того, что произошло событие 𝐴𝐴, еще не следует, что произошло событие 𝐵𝐵, то событие А не благоприятствует событию 𝑩𝑩 (пишут 𝐴𝐴⊄𝐵𝐵).

Назовите события, которые благоприятствуют другому событию, в опыте с броском игральной кости.

Заметим еще одно существенно важное обстоятельство. В опыте с броском игральной кости события 𝑄 1 𝑄𝑄 𝑄 1 1 𝑄 1 , 𝑄 2 𝑄𝑄 𝑄 2 2 𝑄 2 , …, 𝑄 6 𝑄𝑄 𝑄 6 6 𝑄 6 как бы играют особую роль для этого опыта. Сущность этой особой роли состоит в том, что в результате опыта одно из этих событий обязательно происходит, а любые два из них несовместны.

Определение. Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из них несовместны, называется множеством элементарных событий (или исходов) этого опыта, а каждое событие из этого множества называется элементарным событием рассматриваемого опыта или его исходом.

В опыте с броском игральной кости события 𝑄 1 𝑄𝑄 𝑄 1 1 𝑄 1 , 𝑄 2 𝑄𝑄 𝑄 2 2 𝑄 2 , …, 𝑄 6 𝑄𝑄 𝑄 6 6 𝑄 6 образуют множество исходов этого опыта.
Подчеркнем, что для одного и того же опыта можно рассматривать разные множества исходов.

Приведите другие примеры множества исходов в опыте с броском игральной кости .

Для опыта с броском игральной кости можно рассматривать множество из двух исходов — 𝑄 ч 𝑄𝑄 𝑄 ч ч 𝑄 ч и 𝑄 н 𝑄𝑄 𝑄 н н 𝑄 н .

От того, как выбрано множество элементарных событий опыта, зависит большая или меньшая сложность решения поставленной вероятностной задачи: при удачном выборе решение сильно упрощается, а при неудачном или усложняется, или вообще не может быть найдено.

«Вероятность математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях».

Колмогоров А. Н.

Определение. Пусть множество исходов опыта состоит из 𝑛𝑛 равновероятных исходов. Если 𝑚𝑚 из них благоприятствуют событию 𝐴𝐴, то вероятностью события 𝐴𝐴 называется число
𝑃 𝐴 = 𝑚 𝑛 .

Пример 1. Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет четное число очков?

Ответ: 1 2 1 1 2 2 1 2 .

Пример 2. Бросили две монеты. Какова вероятность того, что на каждой монете выпал герб?

Ответ: 1 4 1 1 4 4 1 4 .

- Что узнал, чему научился?
- Что осталось непонятным?
- Над чем необходимо работать?