2 – адические числа

Абстракт      Цель работы: Раскрытие свойств и применений р – адических чисел при р=2 для решения задач повышенной трудности.     Гипотеза: С помощью 2 – адических чисел вводится понятие 2 –  адического расстояния между рациональными числами и выводится ряд  интересных свойств рациональных чисел.     Этапы и процедура исследования:  этап дата процедура исследования I II III изучение теоретических источников, определением научного аппарата исследования исследование практической части работы проведение анализа, обобщение всего материала   Методика эксперимента: 1) Изучение теоретических источников; 2) Поиск решений задач по теме исследования; 3) Изучение трудов ученых­исследователей; 4) Обобщение и систематизирование собранного материала.     Научная новизна работы заключается в применения 2 – адических чисел  при р=2 для решения задач повышенной трудности.     Результаты работы и выводы: Основной смысл работы заключается в  раскрытии свойств и применений 2 – адических чисел. Результаты этой  работы могут быть полезны в естественно­научном направлении. 3 Abstract     Purpose of the work: Disclosure of the properties and applications of p­ adic numbers with p = 2 for solving the problems of increased difficulty.      Hypothesis: By means of 2 – adic numbers there are entered concepts of 2 – adic distance between rational numbers and a number of interesting properties of rational numbers is removed.     The procedure and the stages of the study:  ­ First stage (March – May 2013) related with the study of theoretical sources, the  definition of scientific research. ­ Second stage (June ­ August 2013) study the practical part of the work. ­ Third stage (September ­ October 2013) carrying out analysis, generalization of  all material.      The experimental procedure: 1) The study of the theoretical sources; 2) Looking for solutions for problems;      3) Studying of works of scientists­researchers;      4) Generalization and systematization of a collected material.     The scientific novelty of this work is concluded to use 2 ­ adic numbers with  p = 2 for solving the problems of increased difficulty.     The results and conclusions: The main purpose of the work is to uncover the  properties and applications of 2 ­ adic numbers. Results of this work can be useful  in science direction. 4 Введение     Если бы вас спросили, что можно назвать «расстоянием», то вы, вероятно, дали   бы   такой   ответ:   «расстоянием   между   двумя   числами   можно   назвать модуль их разности». Это вполне  разумно, этот ответ  удовлетворяет  всем аксиомам расстояния.      Также расстояние между двумя рациональными числами можно назвать и по­другому. Это сделал немецкий математик К. Гензель ­ он придумал даже целый класс таких расстояний. В нашей работе мы расскажем об одном из них.      Мы затронем не только 2­адическое расстояние, но и сами 2­адические числа, также попытаемся решить некоторые задачи на эту тему. В начале же нашей работы мы немного скажем о p­адических или, как их называют, о не архимедовых числах.     Актуальность  данного   исследования   заключается   в   том,   что   математическая теория р – адических чисел основана на свойстве делимости целых   чисел   на   заданное   простое   число  р  и   является   расширением   поля рациональных чисел.       Цель   исследования  заключается   в   том,   чтобы   раскрыть   свойства  p  – адических   чисел   и   применить   их   при   р=2  для   решения   задач   повышенной трудности.    Задачи по достижению цели: ­ изучить теоретические источники по теме исследования;  ­ дать понятие р – адическим числам и их значениям; ­ провести практическое исследование; ­ собрать и обобщить весь материал.    Объектом исследования являются труды Б. Беккера, Ю. Ионина, С.  Востокова, Али Чавдара, И. Боревича и Р. Шафаревича.    Предметом исследования являются 2 – адические числа. 5 Структура работы: Работа состоит из введения, теоретической и  практической частей, заключения, списка использованных источников и  приложения.      Данная   работа   имеет  теоретическую   и   практическую   значимость,   которая может быть полезна в естественно­научном направлении. Примеры метрических пространств Математики часто рассматривают множества, между элементами  ("точками") которых определено расстояние (метрика). Такие множества  называют метрическими пространствами, если выполнены следующие  аксиомы: расстояние d(x,y) между любыми точками x и y неотрицательно,  причём d(x;y)=0 тогда и только тогда, когда x=y; метрика симметрична, то  есть d(x,y)=d(y,x); наконец, d(x,y) d(x,z)+d(z,y) для любых трёх точек x, y,z  (неравенство треугольника).  Существует много разных способов определить расстояние в разных  множествах. Можно измерять расстояние между кривыми, множествами,  функциями. Например, расстоянием между двумя определенными на отрезке  [0;1] непрерывными функциями можно назвать максимум модуля разности  этих функций (впрочем, иногда удобнее рассматривать другие определения  расстояния). В теории кодов рассматривают метрику на множестве слов и  применяют её для автоматического исправления ошибок при передаче  информации.  Многие метрические пространства разительно отличаются от привычной  евклидовской плоскости. Например, для любых точек x, y,z может  выполняться неравенство d(x,y) ≤max(d(x,z),d(z,y)). Такие пространства  называют неархимедовыми. В них все треугольники равнобедренные, а любая  внутренняя точка круга является его центром.  Пример неархимедовой метрики ­ p­адическая метрика d(x,y)=pk, где p­    и простое число, x  y­ рациональные числа, k­ такое целое число, что x­y=pk целые числа m и n не делятся на p. Числа тем ближе друг в смысле p­ адической метрики, чем на большую степень числа p делится их разность.  Подобно тому как снабжённое обычной архимедовой метрикой множество  рациональных чисел   можно пополнить до множества вещественных чисел,  его ( ) можно пополнить и по p­адической метрике, получив поле p­адических чисел, которое широко применяют в арифметике и алгебре. 6 2­адическое расстояние   Пусть а и b – рациональные числа. Если а ≠ b, то представим число а – b в виде    а – b = 2k•  m/n,  где  m  и  n  – нечетные числа, а  k  –  целое  число (положительное, отрицательное или нуль). 2 – адическим расстоянием между числами а и b, а ≠ b, называется число р(а, b) = ½ k. Если а = b, то положим р(а, b) = 0. Напомним аксиомы расстояния:                             А1. р(а, b)>0, если а ≠ b, и р(а, b) = 0, если а = b.                         А2. р(а, b) = р(b, а).                         А3. р(а, с) ≤ р(а, b) + р(а, с).        Свойства А1 и А2 для 2 – адического расстояния, а также свойство А3 в случае, если среди чисел а, b, с есть равные, очевидны.        Докажем свойство А3 для различных рациональных чисел а, b, с.    Пусть а – b = 2k 3 m3/n3  , где все m1, n1  – нечетные числа. Так как а – с = (а – b) + b – с), то k3 не меньше меньшего из  чисел  k1   и k2  .  Но тогда ½2k   не превосходит   большего из чисел ½ k 3     и  тем более 2 m2/n2, а – с = 2k 1 m/n1, b – с = 2k 1    и   ½ k     1 k 2 2  1 k 2 1 1 k 2 3                                      Итак, мы видим, что все аксиомы выполняются, так что р действительно можно назвать расстоянием.             Что же измеряет это расстояние? Оказывается, оно измеряет степень делимости рационального числа на 2. Чем лучше делится число на 2, тем оно ближе к нулю. Например, 8 ближе к нулю, чем ½;  16  ближе к нулю, чем 8; 480  ближе к нулю, чем 16;  384 ближе к нулю, чем 480. 7 В  действительности,  мы  доказали, что 2 –  адическое  расстояние ΄ обладает свойством А3 , более сильным, чем свойство А3. А3 .           Расстояние р(а,с) не превосходит большего из расстояний р(а, b) и р(b, с). ΄                     Упражнение 1.    Докажите,  что  если   р(а, b) ≠  р(b, с),  то  р(а, с)                                 равно большему из чисел р(а, b) , р(b, с), а если                                 р(а, b) = р(b, с)≠0, то р(а, с)< р(а, b). ΄ Свойство А3  приводит к любопытным следствиям. Назовем 2 –  адическим кругом радиуса r  с центром а (а – рациональное число, r –  положительное вещественное число) множество рациональных чисел x, для  которых р(а, x)< r. Упражнение 2. Докажите, что если два 2 – адических круга имеют                              непустое пересечение, то один из этих кругов                              содержится в другом. Упражнение 3. Докажите, что 2 – адический круг радиуса r содержит                             бесконечно много попарно непересекающихся                             2 –адических кругов радиуса r. ║ ║           По аналогии с обычным модулем числа мы определим 2 – адический  модуль  а  рационального числа а как 2 – адическое расстояние от этого  числа до нуля: если а=2km/n, где m и n – нечетные числа, то  а =р(0, а)         =  ( ½ )k. Легко установить следующие свойства 2 – адического модуля: ║ ║                ║ ║ М1.  а >0, если а≠0, и  0 =0         ║ ║ ║ М2. Если  а >  ║ ║ ║  b = а , если а = ║ ║ ║b , то   а+ ║ то  а+║  b < а  . ║ ║ ║ М3.  а║  b  =  а ∙ b . ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║b ≠0,                             ║ 8 Упражнение 4.  Выведите из свойств   М1. ­ М3. следующие свойства                                  2 – адического модуля: ║ ║ ║   ║ ,   б) если  а ≠                                а)  ­а = а         ║ b  =     а+  ║ , то   а ­  ║ ║ ║b  ║ ║ b║. Упражнение 5.  Докажите что если   1­║ x <1 и  1­ ║ ║ y <1 то  1­ ║ xy <1.║ ║ Задача в квадрате На рисунке 1 изображён квадрат, разбитый на конгруентные  треугольники. Квадраты на рисунке 2 разбиты на треугольники равной  площади. В каждом из этих примеров число треугольников чётное. ЗАДАЧА.    Доказать, что квадрат нельзя разбить на нечетное  число треугольников равной площади.            Выберем на плоскости систему координат таким образом, чтобы  вершины O, A, B, и C данного квадрата имели координаты O(0;0), A(1;0),  B(1;1), C(0;1). Предположим, что квадрат разбит на n треугольников равной  площади. Тогда площадь каждого из треугольников разбиения равна 1\n. Если  n нечётно, то  1\п =1, если же  n чётно, то  1\п ≥2. По этому четность числа  n будет доказана, если мы установим, что  1\п ≥2. ║ ║ ║ ║ ║ ║           Разберём частный случай, пусть вершины треугольника разбиения –  точки с рациональными координатами. В этом случае каждую вершину (x;y)  можно окрасить в зелёный, красный или синий цвет по следующему правилу:  если ║x <1 и  ║x ≥║ ║y║ и  ║ ║ х ≥1, то точка окрашивается в красный цвет, если  х < у  и  у ≥1, то  ║y <1, то точка окрашивается в зелёный цвет, если  ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ 9 точка окрашивается в синий цвет (см. рис. 3). Будем считать, что раскрашены  не только вершины, а все рациональные точки плоскости.  Упражнение 6.  а) Докажите, что если Р – зеленая точка, то при                                 параллельном переносе РО(О – начало координат)                                 каждая окрашенная точка сохраняет свой цвет .                                б) Докажите, что ни на одной прямой не встречаются точки                                 всех трёх цветов. Предположим, что у одного из треугольников разбиения все вершины  разных цветов (в приложении доказано, что такой треугольник обязательно  найдется). Пусть К – зеленая вершина этого треугольника. При параллельном переносе КО мы снова получим, в силу упражнения  6а), треугольник с вершинами всех трех цветов. Обозначим L1(x1;y1) красную  вершину полученного треугольника. А через L2(x2;y2) – его синюю вершину  (зелёная вершина треугольника точка О). Так как треугольник OL1L2 получен  переносом треугольника разбиения, то его площадь равна 1/n. С другой  стороны площадь треугольника OL1L2 равна ½ х│ 1у2­ х2у1 самостоятельно.) │ . (Докажите, это  Таким  образом, мы получили равенство 1/n=½ х│ 1у2­ х2у1 │ .  Теперь уже  не трудно установить неравенство  1/║ n ≥2. В сомом деле, так как  красная точка, а L2 – синяя точка, то  х║ 1 ≥ у║ ║ 2 ,  х║ ║ 2 < у║ ║ 1 .║ ║ L1 ­   Переумножая эти неравенства, мы получаем  х║ 1   у║ ║ 2 > х║ ║ 2   у║ ║ 1  и, ║ значит, по свойству  М3.  х║ 1 у2 > х║ ║ 2 у1 4б)  х║ 1 у2 ­ х2 у1 х║ 1  ≥ 2. ║ ║ 1 у2  =  х ║ . Кроме того,  х   у║ ║ 2 ║ ║ . В силу свойства  ║ 1 ≥ 1,   ║ n  ║ 2 ≥ 1, так что  1/  у М2. и упражнения   ║  = 2  ║ ║ Для того, чтобы решить задачу в общем случае, достаточно   доказать,     что   2 – адический   модуль имеет продолжение на множество всех  действительных чисел, т. е. существует функция х множестве всех действительных чисел, обладающая свойствами М1. ­ М3. и  совпадающая на множестве рациональных чисел с 2 – адическим модулем.  Такая функция действительно существует, но доказательство её  ║ ║ х , определенная на  10 существования требует привлечение гораздо более сложных средств, чем те,  которыми мы располагаем в этой статье.                    2 – адическое разложение Как известно, любое натуральное число можно представить в виде  суммы степеней числа 2. Например,  1000=23+25+26+27+28+29.  Используя 2 –  адическое расстояние, это разложение можно получить так. Сначала мы ищем  степень числа 2, которая находится на том же расстоянии от 0, что число  1000. Найдя эту степень (23), вычитем из числа 1000 и для получившегося  числа (992) снова ищем степень числа 2, находящуюся с ним на одинаковом  расстоянии от 0. Затем ищем степень числа 2, находящуюся на одинаковом  расстоянии от 0 с числом  960=992 – 25, и так далее.                     Используя   отрицательные   степени   числа   2,   можно   получить аналогичные   разложения   рациональных   чисел   вида   m k 2 ,   где     m,     k   – натуральные числа. Например,  11 102827262221   1477 256   82          Никакие другие рациональные числа нельзя представить в виде суммы степеней двойки, но, оказывается, такими суммами можно сколь угодно точно приблизить   любое   рациональное   число.   Действительно,   пусть   а   – 1 .  Положим а1 = а – 2k. Тогда, а1 ближе к нулю, k2 рациональное число и ||a|| =  чем а (см. упражнение 1).          Поэтому либо а1 =0, либо || a1 || =  1 , где k2 >k1. полагая а2 = а1 ­ 2k,  мы k2 снова получим, что либо а2 = 0, либо || a2 || =  1 , где k3 >k2, и так далее. Таким k2 образом, либо некоторое число а2  равно нулю, и тогда а является суммой степеней двойки: а = 2k1+2k2+ … +2k3, либо  все а2   отлично от нуля, и тогда суммами   вида  2k1+2k2+  … +2k3  число   а  приближается   сколь   угодно   точно. В этом случае удобно считать, что а  равно бесконечной сумме    а = 2k1+2k2+ … +2k3 + …            Определение. Пусть х1, х2, … , хn  ­ последовательность  рациональных чисел. Будем говорить,  что рациональное число а равно бесконечной  сумме х1 + х2 + …   +   хn  +   …   если   2­адическое   расстояние   между   числом   а   и   конечными суммами   Sn  =  x1  +   …   +  xn  стремится   к   нулю   при     n,   стремящемся   к бесконечности,  то есть  ,( Sap  0) . n lim  n Упражнение 7. Докажите, что если  || q || < 1, то бесконечная сумма                                   a+ aq + aq2 + … + aqn + …  определена и равна.  1 S а  q            Мы доказали, что всякое рациональное число можно представить либо в виде конечной суммы 2k1+2k2+ … +2kn + …    (k1   ­ целые числа, k1