3.25 Центральные углы

Центральные углы.

Повторяем теорию.

Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.

О   –   центр   окружности, ∠ АОВ –  центральный     угол, опирающийся на дугу АВ,

Стороны угла ОА и ОВ пересекают окружность в точках

А и В

Свойства

1.                 Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.

О – центр окружности, А и В лежат на окружности,

∠АОВ = ÈАВ

2.                 Если  центральный              угол   развернутый,   то   ему   соответствуют          две полуокружности.

3.                 Если центральный угол неразвернутый, то дуга, расположенная внутри этого угла меньше полуокружности.

4.                 Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360^О.

Проверяем себя

Т1. Вставьте пропущенные слова:

а)       Угол с вершиной в центре окружности называется                             . б)      Каждому центральному углу соответствует                            дуги.

в)       Градусная мера дуги всей окружности равна                  градусов.

г)       Развернутый  центральный  угол  делит   окружность  на                         

полуокружности.

Ответ: а) центральным; б) две; в) 360°; г) две

Т2. Выберите верное утверждение:

Дуга окружности – это…

а)       часть окружности, выделенная ее точками;

б)      часть окружности, ограниченная двумя ее точками.

Ответ: б)

Т3. Выберите неверные утверждения:

а)       Градусная    мера    дуги    равна    градусной    мере          соответствующего центрального угла.

б)      Градусная мера полуокружности равна 90°.

в)       Равные центральные углы опираются на равные дуги.

г)       Перпендикулярные диаметры делят окружность на четыре равные части. д)        Градусная мера полуокружности равна 360°

Ответ: б), д).

Решаем задачи.

1.           а) Колесо имеет 8 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Ответ: 45

б) Колесо имеет 12 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Ответ: 30

в) Колесо имеет 20 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

Ответ: 18

2.               а) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 40°?

Ответ: 9

б) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 15°?

Ответ: 24

в) Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9°?

Ответ: 40.

3.             а) Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Ответ: 6

б) Центральный угол AOB окружности с радиусом 18 опирается  на  хорду AB длиной  18.  Найдите угол OAB. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 60

в) Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 2,5. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Ответ: 2,5.

4.             а) В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 128

б) В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 40°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 100

в) В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 52°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 76

5.             а) В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Ответ: 30

б) В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 6°. Найдите величину угла OAB.

Ответ: 6

в) В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 43°. Найдите величину угла OAB.

Ответ: 43

6.               а) Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите вели- чину центрального угла, опирающегося на мень- шую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 162

б) Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 6:9. Найдите вели-

чину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 144

в) Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 13:17. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 156

7.             а) На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол АОВ равен 28^о. Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.

Ответ: 747

б) На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол АОВ равен 63^о. Длина большей дуги AB равна 132. Найдите длину меньшей дуги.

Ответ: 28

в) На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол АОВ равен 45°. Длина меньшей дуги AB равна 56. Найдите длину большей дуги. Ответ: 392.