Алгебра

Поурочные разработки по Алгебре и началам анализа 11 класс к УМК А. Г. Мордковича - 2011 год

Показательная функция, ее свойства и график - Показательная и логарифмическая функции

Цель: рассмотреть показательную функцию, ее свойства и график.

Ход уроков

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

Ранее было определено понятие степени числа с целым и рациональным показателями. Определим теперь степень числа с иррациональным показателем, и тогда степень числа будет определена для произвольного действительного показателя.

Пример 1

Обсудим, что понимается под числом  Число r = √2 является иррациональным числом и может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби:  где а₁ и а₂, а₃, а₄, ..., а_n, ... - цифры целой и дробной части числа соответственно.

Очевидно, что  где  - рациональное приближение числа r с избытком. Например, для r = √2 эти приближения равны (соответственно, для одной, двух, трех и т. д. значащих цифр): r_n: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; r'_n: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422;

Для n значащих цифр разница между приближением r’_n с избытком и приближением r_n с недостатком число r составляет величину  и уменьшается с увеличением числа значащих цифр. Это позволяет оценить иррациональное число r сколь угодно точно рациональными числами r_n, r’_n.

Так как понятие степени с рациональным показателем было уже введено, то число 3^r удовлетворяет неравенству: 

С увеличением n число 3^r может быть оценено сколь угодно точно числами  При больших п можно считать, что  что и считается степенью числа с иррациональным показателем.

Дадим точное определение степени с иррациональным показателем (заметим, что в школьном курсе это определение не приводится, но при учебе в вузе требуется).

Определение 1. Степенью a’ положительного числа a(a > 0) с иррациональным показателем r называется предел числовой последовательности степеней этого числа с рациональными показателями r_n или r'_n, являющимися n-значными приближениями числа r по недостатку или избытку:

После введенного определения степень числа с произвольным действительным показателем определена.

Пример 2

Теперь можно ввести понятие показательной функции.

Определение 2. Функция, заданная формулой у = a^x (где a > 0, а ≠ 1, х - любое действительное число), называется показательной функцией с основанием а.

Составив таблицу значений показательной функции для различных значений аргумента, легко построить график такой функции. Приведем подобную таблицу и график функции у = 2^х.

Перечислим основные свойства показательной функции.

1) Область определения - множество действительных чисел (-∞; +∞).

2) Определенной четности не имеет.

3) Монотонность: при 0 < a < 1 функция убывающая, при a > 1 функция возрастающая.

4) Функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

5) Функция ни наименьшего, ни наибольшего значений не имеет.

6) Функция непрерывна.

7) Область значений - множество всех положительных чисел (0; +∞).

8) Выпукла вниз.

На рисунках приведены графики функций у = a^x.

Отметим, что показательную функцию у = a^x, а также ее график называют экспонентой. Прямая у = 0 (т. е. ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой графика функции у = a^x (т. е. для 0 < a < 1 х → +∞ и для a > 1 у → 0 при х → -∞). Для всех а график функции у = a^x пересекает ось ординат в точке (0; 1).

Рассмотренные свойства показательной функции позволяют решать значительный круг задач.

Пример 3

Сравним числа 

Второе число запишем в виде степени с основанием 2 и получим:  Сначала сравним показатели степеней. Так как √5 ≈ 2,2, то -3√5 < -5,6. Функция у = 2^х является возрастающей. Поэтому большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Тогда имеем:  или  т. е. второе число больше.

Пример 4

Сравним числа х и у, если верно неравенство 

Используя свойство степеней, запишем первое число в виде  Тогда данное неравенство имеет вид: (0,6)^х > (0,6)^y. Так как функция (0,6)^x убывающая, то показатели степеней связаны неравенством противоположного знака, т. е. х < у.

Пример 5

Графически решим уравнение 2^х = 3 - х.

Построим графики показательной функции у₁ = 2^х и линейной функции у₂ = 3 - х. Видно, что графики этих функций пересекаются в одной точке А, абсцисса которой х = 1 является решением данного уравнения (что легко проверяется подстановкой).

Пример 6

Построим график функции у = |2^х - 2|.

Сначала построим график функции у = 2^х - 2. Он получается смещением графика функции y = 2^х на 2 единицы вниз.

Затем построим график функции у = |2^Х - 2|.

Для этого сохраняем часть предыдущего графика, для которой у ≥ 0. Ту часть графика, для которой у < 0, отражаем вверх относительно оси абсцисс.

Пример 7

Построим график функции 

Данная функция является сложной  где аргумент  является функцией переменной х. Поэтому сначала построим график функции z(x), например используя производную. Учтем, что функция нечетная и ее график проходит через начало координат. Теперь перейдем к построению основного графика y(х).

Как видно из графика, при x → ∞ z → 0 и  Поэтому график функции y(x) имеет горизонтальную асимптоту у = 1. Рассмотрим также точку минимума А (для которой х = -1 и z = -1), тогда  Строим точку А' с координатами х = -1 и у = 2. Учтем точку В с координатами х = 0 и z = 0, тогда  Строим точку В' с координатами х = 0 и у = 1. И наконец, рассмотрим точку С (для которой х = 1 и z = 1), тогда  Построим точку С с координатами х = 1 и у = 0,5. После изложенного строим окончательный график функции у(х).

Отметим, что рассмотренные примеры основывались на свойствах показательных функций у = a^x, в первую очередь на свойстве монотонности. Сформулируем это свойство в виде, полезном при решении уравнений и неравенств.

Теорема 1. Равенство a^t = a^S справедливо только при t = S.

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a^t > a^S справедливо только при t > S, неравенство a^t < a^S - только при t < S. Другими словами, неравенство a^t v a^S выполнено, если аргументы функций tи S связаны неравенством того же знака t v S.

Теорема 3. Если 0 < a < 1, то неравенство a^t > a^S справедливо только при t < S, неравенство a^t < a^S - только при t > S. Другими словами, неравенство a^t v a^S выполнено, если аргументыфункций t и S связаны неравенством противоположного знакаt ^ S.

Разумеется, t и S могут быть и числами, и некоторыми функциями, зависящими от х.

Пример 8

Решим неравенство 

Так как основание показательной функции a = 1/3 удовлетворяет условию 0 < а < 1, то по теореме 3 аргументы функций связаны неравенством противоположного знака: х³ - х² + 4 ≤ 4х. Решим это кубическое неравенство методом интервалов. Запишем его в виде: х³ - х² - 4х + 4 ≤ 0, или х²(х - 1) - 4(х - 1) ≤ 0, или (х – 1)(x² - 4) ≤ 0, или (х – 1)(x – 2)(x + 2) ≤ 0. Решение этого неравенства х ∈ (-∞; -2] U [1; 2].

На следующих уроках более детально будет рассмотрено решение показательных уравнений и неравенств.

Заметим, что показательные функции часто используются как математические модели реальных ситуаций в различных областях науки и отраслях техники.

III. Контрольные вопросы

1. Поясните понятие степени с иррациональным показателем.

2. Дайте определение показательной функции.

3. Приведите графики показательной функции.

4. Перечислите основные свойства показательной функции (фронтальный опрос).

5. Теоремы о показательных уравнениях и неравенствах (фронтальный опрос).

IV. Задание на уроках

§ 39, № 3 (а, 6); 10 (б, г); 11; 14; 19 (а); 20 (в, г); 22 (а, б); 24 (в); 26; 29 (а); 30 (б); 31 (а, б); 36; 41 (в, г); 42 (а, г).

V. Задание на дом

§ 39, № 3 (в, г); 10 (а, в); 15; 19 (б); 20 (а, б); 22 (в, г); 24 (а); 27; 29 (б); 30 (в); 31 (в, г); 37; 41 (а, б); 42 (б, в).

VI. Творческие задания

Постройте график функции, уравнения или неравенства:

Указание: используйте способы преобразования графиков функций и определение модуля.

VII. Подведение итогов уроков