Тема  «Статистические характеристики»

Урок 1.

Цели и задачи:

Образовательные: формирование у учащихся

-          представления о простейших статистических характеристиках;

-          понимания их практического смысла ;

-           умений и навыков нахождения этих характеристик в несложных случаях.

Развивающие:

-развитие умений выделять главное ,существенное в изучаемом материале;

-формирование умений сравнивать , классифицировать , обобщать факты и понятия ;

-развитие у учащихся  познавательного интереса ;

Воспитательные :

-          содействовать формированию мировоззренческих понятий.

Ход урока

1.Организационный момент.

Учитель. Тема нашего урока «Статистические характеристики»

          Включение в курс алгебры элементарных сведений из статистики имеет важное общеобразовательное значение, так как без  этих знаний невозможно разобраться в разнообразной информации из области экономики и социологии, широко представленной  в газетах и журналах, на радио и телевидении. Но ,вначале , вспомним некоторые сведения из курса алгебры.

2.Математическая разминка.

2.1 «Вычислительная пауза» ( устно)

Задание. Представьте в виде степени с основанием x .Найдите зашифрованные ответы в таблице.

1.  x⁴  * x²

2.  х⁸  / х⁵

3.  (х³)⁴

4.  (х⁹)²*х

Х⁶ х³ х¹² х¹⁹

В   И    Е      Т

Учитель.

Выдающийся французский математик .Его называют «отцом алгебры».Труды Виета привели к тому , что алгебра сформировалась как наука о решении уравнений.

.

 2 .2   Систематизация теоретического материала.

  Учитель.      Слово «алгебра» произошло от слова «ал-джабра» , взятого из названия книги узбекского математика ,астронома и географа Мухамеда ал –Хорезми «Краткая книга об исчислениях ал-джабры и ал-мукабалы».

Выполнив « цепочку» заданий ,вы узнаете ,какое из «исчислений»( «ал-джабра» или «ал-мукабала» ) означает «приведение подобных членов»:

(х⁴*х)² --^:-- х⁴*(х²)³--*-- 2⁵*(2³)⁴/2¹³--^:--4²=

1-  «ал-джабра» , ½- «ал-мукабала»

2.3 Индивидуальные задания на местах.

Во время устной разминки часть учащихся работают по карточкам.

Карточка 1.

Найдите значение выражения :

  а) 2⁴*5⁴;     б) 0,25¹⁵*4¹⁵;      в) (5/7)¹⁰*1,4⁹.

      Карточка 2.

Найдите значение выражения :

  а) 4³*25³;    б) (2/3)⁷*1,5⁷;     в) 0,2*50⁷.

      Карточка 3. (для более подготовленных учащихся)

         а) 2⁵*(2³)⁴/2¹³ ;   б) (5⁸)²*5⁷/5²²;   в) (2⁵)²/2⁶*4;   г) 3⁷*27/(3⁴)³.

3. Изучение нового материала.

 Учитель.

    Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах и мода.

    При изучении учебной нагрузки учащихся выделили группу из 12 семиклассников. Их попросили отметить в определенный день время (в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре. Получили такие данные:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

    Имея этот ряд данных, можно определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение домашнего задания по алгебре.

    Для этого указанные числа надо сложить и сумму разделить на 12:

23 + 18 + 25 + 20 + 25 + 25 + 32 + 37 + 34 + 26 + 34 + 25 = 324/12 = 27

                                                               12

   Число 27, полученное в результате, называют средним ариф­метическим рассматриваемого ряда чисел.

Определение. Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

   Мы нашли, что на выполнение домашнего задания по алгеб­ре учащиеся затратили в среднем по 27 мин. Проводя аналогич­ные наблюдения за этой группой учащихся, можно проследить, какова была средняя затрата времени на выполнение домашнего задания по алгебре в течение недели, сравнить среднюю затрату времени на выполнение в какой-либо день домашних заданий по алгебре и русскому языку и т. п.

   Обычно среднее арифметическое находят тогда, когда хотят оп­ределить среднее значение для некоторого ряда данных: среднюю урожайность пшеницы с 1 га в районе, средний суточный удой мо­лока от одной коровы на ферме, среднюю выработку одного рабо­чего бригады за смену и т. п. Заметим, что среднее арифметичес­кое находят только для однородных величин. Не имеет, например, смысла использовать в качестве обобщающего показателя среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйст­ве. Причем и для однородных величин вычисление среднего ариф­метического бывает иногда лишено смысла, например нахождение средней температуры больных в госпитале, среднего размера обу­ви, которую носят учащиеся школы.

   В рассмотренном примере мы нашли, что в среднем учащиеся затратили на выполнение домашнего задания по алгебре по 27 мин. Однако анализ приведенного ряда данных показывает, что время, затраченное некоторыми учащимися, существенно отличается от

27 мин, т. е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 37 мин, а наименьший— 18 мин. Разность между наиболь­шим и наименьшим расходом времени составляет 19 мин. В этом случае говорят, что размах ряда равен 19.

Определение. Размахом ряда чисел называется разность между наиболь­шим и наименьшим из этих чисел.

   Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду. Пусть, например, в течение суток отме­чали каждый час температуру воздуха в городе. Для полученно­го ряда данных полезно не только вычислить среднее арифмети­ческое, показывающее, какова среднесуточная температура, но и найти размах ряда, характеризующий колебание температу­ры воздуха в течение этих суток.

    При анализе сведений о времени, затраченном семиклассника­ми на выполнение домашнего задания по алгебре, нас могут ин­тересовать не только среднее арифметическое и размах получен­ного ряда данных, но и другие показатели. Интересно, например, знать, какой расход времени является типичным для выделенной группы учащихся, т. е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 25. Говорят, что число 25—мода рассматриваемого ряда.

  Определение. Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встре­чающееся в данном ряду.

   Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь моды совсем.

   Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 две моды — это числа 47 и 52, так как каждое из этих чисел встречается два раза, а остальные числа встречаются в ряду менее двух раз, а в ряду чисел

69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72

моды нет.

  Моду ряда данных обычно находят тогда, когда хотят выявить  некоторый типичный показатель. Например, если изучаются данные о размерах мужских сорочек, проданных в определенный день в универмаге, то удобно воспользоваться таким показателем, как мода, который характеризует размер, пользующийся наибольшим спросом. Находить в этом случае среднее арифметическое  нe имеет смысла. Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели, цены на товар данного вида, рас­пространенной на рынке, и т. п.

  Рассмотрим еще пример. Пусть, проведя учет деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады, получили такой ряд данных:

36, 35, 35, 36, 37, 37, 36, 37, 38, 36, 36, 36, 39, 39, 37, 39, 38, 38, 36, 39, 36.

   Найдем для него среднее арифметическое, размах и моду. Для этого удобно предварительно составить из полученных данных упорядоченный ряд чисел, т. е. такой ряд, в котором каждое после­дующее число не меньше (или не больше) предыдущего. Получим

35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39.

   Вычислим среднее арифметическое:

35 • 2 + 36 - 8 + 37 • 4 + 38 -3 + 39-4      ₌      776    ,т.е. примерно   37

                             21                                          21

   Размах ряда равен 39-35 = 4. Мода данного ряда равна 36, так как число 36 чаще всего встречается в этом ряду.

   Итак, средняя выработка рабочих за смену составляет пример­но 37 деталей; различие в выработке рабочих не превосходит 4 деталей; типичной является выработка, равная 36 деталям.

   Заметим, что среднее арифметическое ряда чисел может не совпадать ни с одним из этих чисел, а мода, если она сущест­вует, обязательно совпадает с двумя или более числами ряда. Кроме того, в отличие от среднего арифметического, понятие «мода» относится не только к числовым данным. Например, про­ведя опрос учащихся, можно получить ряд данных, показываю­щий, каким видом спорта они предпочитают заниматься, какую из развлекательных телевизионных программ они считают наибо­лее интересной. Модой будут служить те ответы, которые встре­тятся чаще всего. Этим и объясняется само название «мода».

    Такие характеристики, как среднее арифметическое, размах и мода, находят применение в статистике — науке, которая за­нимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. Слово «статистика» происходит от латинско­го слова status, которое означает «состояние, положение вещей». Статистика изучает численность отдельных групп населения страны и ее регионов, производство и потребление разнообразных видов продукции, перевозку грузов и пассажиров различными видами транспорта, природные ресурсы и т. п. Результаты ста­тистических исследований широко используются для практичес­ких и научных выводов.

4.Закрепление изученного материала

      № 7. 1 Найдите среднее арифметическое и размах ряда чисел:

а)  24, 22, 27, 20,  16, 31;        

б)   11, 9, 7, 6, 2, 0, 1;            

№7.2.  Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел:

а)  32, 26,  18, 26, 15 ,21,26;

г)  0,6; 0,8; 0,5; 0,9,;1,1.

  №7.4.(устно)

 Как могут измениться размах и мода ряда чисел, если:

а)  дополнить его числом, превосходящим все остальные;

б)  вычеркнуть из него число, меньшее всех остальных;

в)  дополнить его числом, равным наибольшему из чисел?

Решение.

     а) Размах ряда увеличится, так как в рассматриваемой разности увеличится уменьшаемое. Если ряд имел моду, то она не изменится, так как добавленное число не совпадает ни с  одним из данных чисел.

б)  Размах ряда уменьшится, так как в рассматриваемой    разности увеличится вычитаемое. Если ряд имел моду, то она изменится, так как вычеркнуто число, не совпадающее ни с   одним из оставшихся чисел.

Можно предложить учащимся проиллюстрировать свой    ответ примерами.

в)  Размах ряда не изменится. Мода ряда может не измениться , если она совпадала с наибольшим числом. Если мода была меньше наибольшего числа, то после приписывания числа,   равного наибольшему, может появиться еще одна мода. Если в    ряду не было моды, то в полученном ряду чисел мода окажется равной наибольшему числу.

№7.7.

 Среднее арифметическое ряда, состоящего из десяти чисел, равно  15. К этому ряду приписали число 37. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

  Решение.

     Так как среднее арифметическое ряда чисел равно 15, а  число его членов равно 10, то сумма членов равна 15*10, т.е. 150. После приписывания числа 37 сумма стала равна 150 + 37, т. е.  187, а число членов ряда оказалось равным 11. Значит,

 среднее арифметическое нового ряда равно   187/ 11, т. е. равно 17.

  №7.8.

 Среднее арифметическое ряда, состоящего из девяти чисел, равно  13. Из этого ряда вычеркнули число 3. Чему равно среднее арифметическое нового ряда чисел?

  Решение.

 Сумма членов ряда равна 13*9= 117. После вычеркивания числа 3 сумма ряда оказалась равной 117-3, т. е. 114, а число членов ряда стало равно 8. Значит, среднее  арифметическое нового ряда равно  114/8, т. е. равно 14,25.

 №7.9.

 В ряду чисел

2, 7, 10, __, 18, 19, 27

одно число оказалось стертым. Восстановите его, зная, что среднее арифметическое этих чисел равно 14.

Решение.

 . Пусть х — искомое число. Тогда 2 + 7 + 10 + х + 18 + 19 + 27   равно 14

                                                                                   7

Отсюда 83 + х = 14 • 7, х = 15.

5.Итог     урока.

Учитель. Найти среднее арифметическое ,размах и моду  ряда чисел :

2; 4; 6; 8.

Задание на дом.

Ответить на контрольные вопросы .

Контрольные вопросы

1.  Что называется средним арифметическим ряда чисел? Может ли среднее арифметическое ряда чисел не совпадать ни с од­ним из этих чисел?

2.  Что называется размахом ряда чисел?

3.  Что называется модой ряда чисел? Любой ли ряд чисел имеет моду? Может ли ряд чисел иметь более одной моды? Может ли мода ряда чисел не совпадать ни с одним из этих чисел?

№ 7.1 (в ,г),7.3(а) ,7.18(а),7.21(а).