Алгебра логики

1 этап – формальная логика, основатель – Аристотель (384–322гг. до н.э. ) Ввел основные формулы абстрактного мышления. 
2 этап – математическая логика, основатель – немецкий ученый и философ Лейбниц(1642–1716), предпринял попытку логических вычислений. 
3 этап – Алгебра высказываний (Булева алгебра), основатель – английский математик Джордж Буль(1815–1864), ввел алфавит, орфографию и грамматику для математической логики. 

В настоящее время самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. 
Основы нечеткой логики были заложены в конце 60-х лет в работах всемирно-известного математика, азербайджанского происхождения Лютфи Заде. Он родился в Баку, Азербайджан, 4 февраля 1921 года. 

Логика – это наука о формах и способах мышления.
Основные формы мышления:
Понятие;
Высказывание;
Умозаключение. 

В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения "истинно” и "ложно”.
Истинно = 1Ложно = 0 
Примерами высказываний могут служить следующие утверждения:
1. «Земля – планета Солнечной системы».
2. «3 + 6 > 10».
3. «Число 15 – простое».

1-е высказывание – истинно, высказывания 2, 3 – ложные.
Утверждения «х>0», «Выучить логику – просто» не являются высказываниями, так как судить об их истинности или ложности невозможно.

Высказывание в логике является аналогом выражения в арифметике:
В алгебре чисел из чисел при помощи операций +, -, *, / и (,) можно составлять арифметические выражения.
В логике из простых высказываний (ИСТИНА, ЛОЖЬ) можно составлять логические выражения (составные высказывания) с использованием логических операций.

Например:
А, В – логические переменные, которые могут иметь значение ИСТИНА (И), ЛОЖЬ (Л).

А = 2 + 2 = 4;
В = рыбы живут на суше;

Приведенные примеры являются простыми высказываниями (суждениями).
Используя союзы «и», «или» из простых высказываний образуют составные (сложные) высказывания.

Например: «На улице идет дождь и дует ветер».

Если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью алгебры высказываний.

Для образования новых высказываний наиболее часто используют базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «И», «ИЛИ», «НЕ». 

Соединение двух простых высказываний в одно составное с помощью операции И.
Полученное сложное высказывание – логическое произведение (конъюнкция).
Обозначение: & , , · , x – математическим знаком умножения или опуская его.

Таблица истинности:

Например:
«Солнце светит и нет дождя»
Обозначим:
А = «Солнце светит»,
В = «нет дождя».
С = А  В
С = «Солнце светит и нет дождя».

Разъяснение:

Союз ИЛИ в обиходе применим в двух различных значениях:
в исключающем и неисключающем смысле.
Например:
«Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай» — союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как мы можем и смотреть телевизор и одновременно пить чай.

«Данный глагол I или II спряжения» — союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле.

Соединение двух простых высказываний в одно составное с помощью операции ИЛИ, употребляемой в неисключающем смысле.
Полученное сложное высказывание – логическая сумма (дизъюнкция).
Обозначается , + .

Таблица истинности:

Пример: «Студент едет в электричке или читает книгу»
Обозначим:
А = «Студент едет в электричке»,
В = «Студент читает книгу».
С = А  В
С = «Студент едет в электричке или читает книгу».

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Обозначение: АВ
Логическая связка «ЛИБО…, ЛИБО»
Высказывание, соответствующее исключающему или, похоже на дизъюнкцию, но исключает одновременную истинность обоих высказываний

Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.

Определение через основные функции:

Присоединение частицы НЕ к сказуемому данного высказывания А, или словосочетания «неверно, что» ко всему высказыванию
Полученное новое высказывание называется отрицанием высказывания А или логическое отрицание.
Обозначение: ¬A, Ā.
Если А – истинное высказывание, то ¬A – ложное высказывание, и наоборот.

Таблица истинности:

«Число 5 является делителем числа 30»
Обозначим:
А = «Число 5 является делителем числа 30»,
Ā = «Число 5 НЕ является делителем числа 30».
К = «Некоторые цыплята - кошки»,
К = «Неверно, что некоторые цыплята - кошки».
Д = «Идет дождь»,
Д = «Неверно, что идет дождь».

Обозначение: А → В
Логическая связка «ЕСЛИ..., ТО» (логическое следование одного высказывания из другого)
Импликация А→В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно.

Определение через основные функции:

A → B =А + B

Таблица истинности:

Пример:
А = На улице дождь.
В = Асфальт мокрый.
A → B = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый».
Тогда,
если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно.
Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью.
А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Обозначение: ~
Логическая связка «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА»
Сложное высказывание А ~ В (А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.

A ~ B =А B  A  В

Определение через основные функции:

Таблица истинности:

Пример:

А = Площадь квадрата больше единицы,
В = Сторона квадрата больше единицы.
Их соединение эквивалентностью:
A ~ B = Площадь квадрата больше единицы тогда и только тогда, когда сторона квадрата больше единицы.

Изобразить в виде формулы суждение:
«Я обязательно поеду на футбольный матч, если достану билет или меня пригласит товарищ и если не будет дождя».

Поездка на стадион зависит от условий:
я достану билет – я не достану билет;
меня пригласит товарищ – меня не пригласит товарищ;
будет дождь – не будет дождя.

Б – я достану билет;
Б – я не достану билет;
П – меня пригласит товарищ;
П – меня не пригласит товарищ;
Д – будет дождь;
Д – не будет дождя.

Б  ¬Д  П ¬Д
или, то же самое –
Б · Д + П · Д

Данное высказывание равносильно поездке на матч – М

М = Б ·¬Д + П ·¬Д

Сложное высказывание:
«Я достану билет или меня пригласит товарищ и не будет дождя»

Правило:
Число исходных столбцов равно числу переменных (простых высказываний) – n. (в примере n = 3);
Число строк равно 2n. (у нас: 2n = 23 = 8).
Порядок заполнения строк для исходных столбцов:
1-й столбец. Число строк (23 = 8) делится пополам. Верхняя половина заполняется нулями, нижняя – единицами.
2-й столбец. Число строк делится на 4 части. Первая четверть заполняется 0, вторая – 1, третья – снова 0, четвертая 1.
В первых строках таблицы выписаны возможные наборы комбинаций значений истинности простых высказываний (А, В, С). В следующих столбцах – значения истинности последовательно выполняемых операций и окончательного результата.

¬А · (В + С)

1. Составьте таблицу истинности:
М = Б ·¬Д + П ·¬Д

2. Изобразите в виде формулы:

«Если сегодня будет хорошая погода, я пойду на прогулку, или буду делать уроки, если погода будет плохая.»

Столбцы равны. Тождество доказано.

A + B = (A & B)

Определите тип высказывания:a) Усы имеют некоторые звери;b) Все роботы – машины;c) В високосном году 366 дней.
Определите значение истинности следующего высказывания: "Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются”.
Министры иностранных дел России, США, Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из сторон. Отвечая на вопрос журналистов: "Чей именно проект был принят?”, министры дали такие ответы: Россия – "Проект не наш, проект не США”;США – "Проект не России, проект Китая”;Китай – "Проект не наш, проект России”.Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду.Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры. И проект какой страны был принят.
Возле почты растут шесть деревьев: сосна, береза, липа, тополь, ель, клен. Какое из этих деревьев самое высокое и какое самое низкое, если известно, что береза ниже тополя, а липа выше клена, сосна ниже ели, липа ниже березы, сосна выше тополя?