Урок по математике на тему "Числовые неравенства и их свойства"

Тема урока: Числовые неравенства и их свойства "

Дата 11.03.25г.

Класс: 8ж

Цель:

рассмотреть теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств; сформировать навыки применения их к решению простейших задач на оценку выражений; закрепить свойства неравенств; привитие интереса к изучаемому предмету; формирование математического мышления и умения учащихся воспроизводить мысли устной и письменной речью.

Планируемые образовательные результаты

Личностные: развивать находчивость при решении задач. Критически оценивать полученный ответ, осуществлять самоконтроль. Готовность учиться самостоятельно. Доброжелательно и уважительно относиться к другим людям, уметь работать в режиме диалога.

Метапредметные:

Принимать учебную проблемную ситуацию и рассматривать ее как начальный этап ее последующего обсуждения и разрешения. Выдвигать гипотезы и их обосновывать. Использовать знаково-словесные способы кодирования информации. Структурировать знания. Осознанно строить речевое высказывание в устной форме.

Предметные: Уметь читать числовые неравенства; знать свойства числовых, уметь доказывать их и применять их на практике. Уметь оценивать значение выражения, используя свойства числовых неравенств.

Планируемые результаты: Учащийся научится применять полученные знания при решении практических задач, оперировать терминами, закрепят свойства неравенств.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

План урока:

1.     Организационный этап (1 мин)

2.     Актуализация опорных знаний и умений учащихся (10 мин)

3.     Формулировка целей урока (1 мин)

4.     Формирование новых знаний (10 мин)

5.     Разминка для глаз (1 мин)

6.     Применение теоретических положений в условиях выполнения упражнений. (15 мин)

7.     Домашнее задание (1 мин)

8.     Рефлексия (1 мин)

ХОД УРОКА

1.Организационный момент. Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие.

2. Актуализация опорных знаний.

Девиз урока: «Рано или поздно всякая   правильная математическая

 идея находит применение в том или ином деле»

Ребята, скажите, чем мы с вами занимались на прошлом уроке?

       (Познакомились со свойствами числовых неравенств).

             -  а что будем делать сегодня на уроке? (закрепим свойства числовых неравенств, правила сравнения числовых неравенств, будем решать различные задачи по этой теме)

             Повторение:

Устная работа: Прочитайте фразу и продолжите её:

}  Если  а>b, то  b…a. (Привести пример)

}  Если  а>b  и   b>c, то  а…с. (Привести пример)

}  Если  a>b и m – произвольное число, то  a+m…b+m. (Проговорить формулировку) (Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и тоже число, то получится верное неравенство)

}  Если   a>b  и   c>0, то   ac…bc. (Проговорить формулировку). (Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже положительное число, то получится верное неравенство

}     Если  a>0,  b>0  и  a<b , то         (Привести пример)

}  Если   a>b  и   c<0, то   ac…bc. (Проговорить формулировку) (Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и тоже отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.)

Следствие из теоремы: если, а и b – положительные числа, то ,  если а и b – отрицательные числа, то

  Задание 1.  Сравните, а и в если:

  1)   в – а = 0,8   2)   в – а = - 0,2       4)  в + 3 = а + 2

   3)   а = в + 2,5         5)   в +  = а +

Задание 2. Известно, что, а> b. Сравните:

1) a + 4 * b + 4

2) −3,2a * −3,2b

3) 10,5a * 10,5b

4) b – 6 * a – 6

5) 3 b * 3 a

Задание 3.  (работа в парах)

А)     

Какое из следующих утверждений верно:

1.      а – в > 0    2.  а + в > 0    3. а (а + в) > 0    4.  в (а + в) > 0

2.    

Б)    

Какое из следующих утверждений неверно:

1.      а в < 0    2.  а –в < 0   3.  а (а – в) > 0      4. (а – в)(а +в) > 0

Темой нашего урока будет тема: «Свойства числовых неравенств» (озвучивают ученики)

Открываем тетради, записываем число тему урока «Свойства числовых неравенств».   

Давайте определим ваши цели и задачи на уроке.

-научиться решать задачи по теме;

-проявить и развить свои способности;

-самому оценить свой уровень знаний по теме;

-пообщаться с друзьями.

-Итак, с целями определились

4.Создание проблемной ситуации и поиск путей решения проблемы (мотивация учащихся к изучению новой темы)

Часто значения величин, являющихся результатами измерений, не точны. Измерительные приборы, как правило, позволяют лишь установить границы, между которыми находится точное значение.

Предложить обучающимся задачу

 Задача 1«Измеряя длину, а и ширину b прямоугольного участка, (в метрах), нашли

Что, дина и ширина равны: 2<а <3 и   4 <b <5. Оцените длину изгороди вокруг этого участка и его площадь».

Возможные наводящие вопросы:

1.     Как найти периметр и площадь прямоугольника.

2.     Что нужно сделать, чтобы оценить площадь и периметр?

3.     Достаточно ли знания изученных ранее свойств для решения задачи?

Дети: Читают задачу, анализируют. Выдвигают свои способы (гипотезы) для решения поставленной задачи. Отвечают на вопросы:

                   Р=2*(а+b);            S=a*b.

1.     Для оценки периметра нужно почленно сложить неравенства, а затем все части неравенства умножить на 2.

Для оценки площади необходимо умножить неравенства почленно.

Сейчас рассмотрим  свойства, когда неравенства почленно перемножаются и складываются

6. Изучение нового материала

Теперь давайте рассмотрим теоремы о почленном сложении и умножении числовых неравенств.

Теорема 5. Если a< b и  c <d, то a + c <b + d

Доказательство
Прибавим к обеим частям неравенства a <b  число c, получим  a + c <b + c
Прибавим к обеим частям неравенства c <d  число b, получим   b + c <b + d
Из неравенств a + c< b + c и b + c <b + d  следует, что  a + c  <b + d.

Вывод: Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Пример 1. Сложите числовые неравенства:

u Например: Сложите почленно неравенства  

–3,1 <–0,5   и   6,3 < –3,5.

Теорема 6.  

Если a <b  и  c< d, где a, b, c, d – положительные числа, то aс< bd.

Доказательство

Умножим обе части неравенства a <b на положительное число c, получим aс< bc. 

Умножим обе части неравенства c<d  на положительное число b, получим bс <bd.

Из неравенств ac< bc и  bc<bd,  следует, что aс <bd

Вывод: Если перемножить почленно верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

Пример 2. Перемножьте числовые неравенства:

Например:

                    7<15                       10>6                           -3<-5

                  ^*  3<10                      ^* 7 >  2                        – 4< 6

                   21< 150 верно         70>12 верно              12< -30 неверно

Следствие: 

Если числа а и b положительные и а b, то aⁿ< bⁿ ( n– натуральное число)

Например: 3 > 2, значит 3³ > 2³

                                          27 > 8 верно

Заметим, что все рассмотренные свойства неравенств справедливы и в случае нестрогих неравенств:

если a  b и c   d, то a + c <b + d;
если a  b, c  d и a, b, c, d – положительные числа, то ac  bd;
если a  b и a, b – положительные числа, то , где n – натуральное число, то aⁿ bⁿ

Задания из дидактического материала:

Пример:   7< x <9                      2 < y < 5

Оцените:  x+y , x-y , xy ,

Решение:

                   7 < x < 9                               7  < x  < 9    

                 ⁺ 2 < y < 5                              -5 < -y < -2

                  9 <х+у<14                              2< x-y < 7

                   7< x <9                                 7<x<9 

                       ^*2 < y < 5                                 <<

                        14<x*y<45                               <<

Возвращаемся к проблемной задаче.

Решают задачу №1. Обучающиеся решают задачу.

2<а <3 и   4 <b <5.

С помощью теоремы оценим периметр прямоугольника

2<а <3                                            6< a+b <8

4 <b <5                                          2·6<2·(a+b)<2·8

6< a+b <8                                       12<2·(a+b)<16

Тогда с помощью теоремы 6 можно оценить площадь прямоугольника.

2<а <3

4 <b <5

8<a·b<15

Вообще, если известны значения границ величин, то, используя свойства числовых неравенств, можно найти границы значения выражения, содержащего эти величины, т. е. оценить его значение.

Разминка (для глаз) 

 - Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, прямоугольник, изображенный на слайде по часовой стрелке(красной) и следующий против часовой стрелки. Пробегите взглядом по жёлтой линии, затем по голубой. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и продолжим работу

6. Закрепление изученного материала

Пример: Зная, что 7≤ x ≤9

2 ≤ y ≤ 5 Оцените: x+y , x-y , xy , 

Решение: 7 ≤ x ≤ 9 7 ≤ x ≤ 9

⁺ 2 ≤ y ≤ 5 -5 ≤ -y ≤ -2

9 ≤х+у≤14 2≤ x-y ≤ 7

7≤ x ≤9 7≤x≤9

^*2 ≤ y ≤ 5  ≤ ≤

14≤xy≤45  ≤ ≤

№ 768. Выполняют учащиеся

Выполним а), в), затем б), г) (слайд № 25 )

8. Итоги урока. Выставление оценок.

1.     Сформулируйте теорему о почленном сложении числовых неравенств.

2.     Сформулируйте теорему о почленном умножении числовых неравенств.

3.     Как вы думаете, данные теоремы справедливы только для двух числовых неравенств?

4.     Что значит оценить значение выражения?

9. Домашнее задание изучить п.30 учебника (выучить правила), №769,773

10. Рефлексия 

Ученикам предлагается закончить предложения:

Я сегодня познакомился с ...
У меня сегодня получилось ...

Какие вопросы остались для меня неясными?