Арифметическая и геометрическая прогрессии

С конспектом ознакомлен:  ______ ___________________

(подпись руководителя практики от Университета)

К уроку допущен:  ______ __________________

(подпись руководителя практики от профильной организации)

Презентация

«Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает»

Этапы урока

Дидактическая

задача каждого

этапа урока

Содержание этапа

Планируемые

результаты

этапа урока

Деятельность учителя

Деятельность

учащихся

Орг. этап.

(1 мин)

Подготовка обучающихся к восприятию информации

Приветствие, проверка готовности обучающихся к началу урока.

Готовятся к началу урока

Организация произвольного внимания

Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели и задач урока.

(3 мин)

Подвести к осознанию и принятию цели данного урока

-Задумывались ли вы, зачем нужны математические

знания? Перед Вами высказывание американского ученого и математика Винера Норберта: 

«Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает»

-А значит, наша задача на уроке заключается в том, чтобы навести порядок в том объеме информации, который мы рассмотрели на предыдущих уроках.

Итак, у меня есть ряд ситуаций, которые вам нужно будет объяснить:

1.    В жизни бывает так, что величины изменяются с течением времени на одно и то же значение. Например, поезд едет со скоростью 80 км/час, он за каждый час увеличивает пройденный путь на одно и то же количество километров.

2.    Верблюд, идущий по пустыне, ежедневно уменьшает свои запасы воды в горбах на одно и то же количество.

3.    Человек каждый год увеличивает свой возраст на одну и ту же величину.

4.    Многие микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных для них условиях, через одинаковые промежутки времени, их число удваиваются.

5.    Радиоактивные вещества имеют определённый период полураспада. Это значит, что через одинаковые промежутки времени масса куска такого вещества будет убывать вдвое.

- Ребята, как можно объединить все эти примеры?

-Тогда попробуйте сформулировать тему урока.

- Запишите число и тему урока «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

- Скажите, вы уже знакомы с этой темой? Тогда какова же цель нашего урока? (Повторить и обобщить знания по теме арифметическая и геометрическая прогрессии)

 - Верно. Скажите, а где вам могут пригодиться данные знания в ближайшее время? (на ОГЭ)

- Слушают учителя

- Высказывают свое мнение, дополняя его аргументами

- Формулируют тему, цель урока

Замотивированы к продолжению изучения темы. Осознают цель урока.

Актуализация знаний.

(3 мин)

Актуализация опорных знаний и умений

На столах лежат карточки к уроку, ваша цель внимательно посмотреть и записать правильные ответы.

Задача.

Определите, какая последовательность является арифметической или геометрической прогрессией, ответы запишите на листочках, найти разность и знаменатель, при проверке повторить определение прогрессий.

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) –4; –8; –16; –32;…
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6)–2; –4; – 6; – 8; – 10;…

- А теперь проверьте свои ответы.

На доске появляются ответы

Ответ:

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…

арифметическая прогрессия d = 3

2) 3; 9; 27; 81; 243;…

геометрическая прогрессия q = 3

4) –4; –8; –16; –32; …

геометрическая прогрессия q = 2

5) 5; 25; 35; 45; 55;…

последовательность чисел

6) –2; –4; – 6; – 8; – 10;…

арифметическая прогрессия d = – 2

- Ребята, на ваших партах есть еще один лист. Переверните его и посмотрите на его содержание. То, что вы прочитали вам знакомо? Давайте подпишем каждую формулу на листе.

- Листы-помощники вы можете использовать, если у вас все-таки возникают затруднения при вспоминании формул.

Решают задачу

- Сверяют ответы

Повторили понятия, формулы

Обобщение и систематизация знаний

Подготовка учащихся к обобщенной деятельности

Воспроизведение на новом уровне (переформулированные вопросы).

(3 мин)

Сформировать целостную систему знаний по изученной теме

Задача 1

В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5см в год. Сейчас рост Лёши 170см. Какого роста он будет через 20 лет?

(Ответ: 270 см.)

- Математика наука точная, но... Лёша, конечно, не вырастет до 2м70см? Как вы думаете, почему?

Задача 2

Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Население посёлка 2200 человек. Через сколько дней заболеют все жители посёлка?  (Ответ: на 7-ой день).

- Назови не менее 5 способов профилактики гриппа.

Задача 3

Каждая муха откладывает 120 яиц. Через 20 дней родившиеся мухи снова начинают откладывать яйца. Сколько мух появится на свет от одной мухи через два месяца?  (Ответ: 207 360 000 мух).

- Что можете сделать Вы для предотвращения этого?

-А знаете ли вы, что арифметическая прогрессия применяется и в литературе: у А.С. Пушкина в романе «Евгений Онегин» есть такие строки: «…не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить…»

 Интересно, а вы сможете?

- Ямб – это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8…

Вопрос: Что это за последовательность? (Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию)

Вычислите первый ее член (2) и разность этой прогрессии (2) 

- Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7…

Вычислите первый ее член (1) и разность этой прогрессии (2) 

- Работа в парах. Каждая пара получает по одной задаче. Выполнив задания, учащиеся расскажут, где, кроме математики, применяют знания по теме «Прогрессии».

Применили знания и умения на практике

Применение знаний и умений в новой ситуации

(20 мин)

Организовать тренировку ранее сформированных умений, требующих доработки или доведения до уровня автоматизированного навыка;

Задание

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

1)       83

2)       95

3)       100

4)       102

 Решение.

Найдем разность арифметической прогрессии:

Зная разность и член арифметической прогрессии, решим уравнение относительно n, подставив данные в формулу для нахождения n-го члена:

Членом прогрессии является число 102. Таким образом, правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4.

Примечание.

Заданная арифметическая прогрессия состоит из чисел, кратных трём. Числа 83, 95 и 100 не кратны 3, они не являются членами прогрессии; а число 102 кратно 3, оно является её членом.

Задание.

Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …

Решение.

Определим разность прогрессии:

Найдём выражение для n-го члена прогрессии:

Найдем номер последнего отрицательного члена прогрессии:

Следовательно, чтобы найти сумму всех отрицательных членов данной арифметической прогрессии необходимо сложить её первые 24 члена.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой 

откуда имеем:

Ответ: −90.

Учитель собирает листы-помощники со столов

Самостоятельная работа по вариантам.

- А сейчас вам предстоит самостоятельно выполнить задания по вариантам. Выполняете работу у себя в тетрадях. После выполнения мы обсудим решения.

- Фронтально решают задачи

- Индивидуально решают задачи в тетрадях

Применили знания и умения на практике

Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

(5 мин)

Самоконтроль собственной учебной деятельности

- Итак, вы все выполнили небольшую самостоятельную работу. Что вам помогло при решении? Была ли она трудной? В чем возникли трудности?

- Давайте обсудим, какие формулы нужно было знать для решения этих заданий?

Обсуждение формул для каждого из заданий.

- А теперь посмотрите на свои решения и поднимите руку те, кто считает, что он выполнил все верно.

- У кого 1-2 ошибки?

Учитель спрашивает ребят, допустивших ошибки о том, что они сделали неправильно.

- Те, у кого были ошибки в решении, думаю, вы разобрались с тем, что вы делали неправильно и как это исправить. Теперь у вас есть шанс вырасти в знаниях по этой теме в геометрической прогрессии, надеюсь, вы им воспользуетесь. У вас есть время исправить свои ошибки.

- Отвечают на вопросы учителя

- Анализируют свои решения и делают вывод об их правильности

- Корректируют решения, если есть ошибки

Обучающиеся исправили допущенные ошибки

Рефлексия. Подведение итогов занятия.

(5 мин)

сформировать личную ответственность за результаты этой деятельности.

- Ребята, какой была цель нашего сегодняшнего урока? (Повторить и обобщить знания по теме арифметическая и геометрическая прогрессии)

- Мы ее выполнили?

- Как вы могли заметить, зная основные формулы геометрической и арифметической прогрессий, можно решить большое количество интересных задач литературного, исторического и практического содержания. Формулы и математические законы описывают явления в разных областях знаний, на первый взгляд далеких от математики.

- Прогрессия или прогресс с точки зрения философии – это направление развития сложных систем, для которого характерен переход от низших, менее совершенных форм к более высоким и совершенным.

- Как вы понимаете это? Попробуйте объяснить свою точку зрения.

- Продолжайте двигаться вперед по дороге знаний, совершенствоваться, и это будет правильной дорогой.

Сейчас я вас хочу попросить отметить ваш уровень знаний по сегодняшней теме на этом графике прогрессии.

- Вспоминают цель урока. Делают вывод выполнили они ее или нет.

- Пробуют дать объяснение данному факту.

Обозначают свой уровень на доске пометкой

Обучающиеся оценили результаты своей собственной учебной деятельности

Вариант 1

1)Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии, если а₁ = - 3, d = 3.

2) Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии

-1; 2…

3) Является ли число 19 членом арифметической прогрессии, если а₁ = -17; d=3?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=7; а₉=23.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 3, d=1,5, n=25.

Вариант 2

1)Найдите девятнадцатый член арифметической прогрессии, если а₁ = 9, d =3.

2) Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии

-36,  -34…

3) Является ли число 32 членом арифметической прогрессии, если а₁ = -12; d=4?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=23; а₉=43.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 2, d=3,5, n=27.

Вариант 3

1)Найдите двадцать первый член арифметической прогрессии, если а₁= - 2, d=2.

2) Найдите двадцать седьмой член арифметической прогрессии -109;  -102…

3) Является ли число 42 членом арифметической прогрессии, если а₁=6; d=3?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=14; а₉=22.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁=7, d = - 2, n=30.

Вариант 4

1)Найдите тринадцатый член арифметической прогрессии, если а₁ = 4, d = 3.

2) Найдите двадцать второй член арифметической прогрессии

-98; -96…

3) Является ли число 7 членом арифметической прогрессии, если а₁ = -11; d=2?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=19; а₉=31.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁=8, d=0,5, n=50.

Вариант 5

1)Найдите четырнадцатый член арифметической прогрессии, если а₁=  25, d = -2.

2) Найдите шестнадцатый член арифметической прогрессии

-91; -89…

3) Является ли число 31 членом арифметической прогрессии, если а₁=7; d=3?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=17; а₉=33.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 6, d=4, n=45.

Вариант 6

1)Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии, если а₁ = -3, d = 3.

2) Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии

-30; -25…

3) Является ли число 30 членом арифметической прогрессии, если а₁ = -10; d=4?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=9; а₉=13.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 12, d=14, n=50.

Вариант 7

1)Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии, если а₁ = 1, d=2.

2) Найдите девятнадцатый член арифметической прогрессии

7; 9…

3) Является ли число 30 членом арифметической прогрессии, если а₁=8; d=2?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=15; а₉=23.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁=4, d = - 0,5, n=30.

Вариант 8

1)Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии, если а₁ = - 4, d=3.

2) Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии

-1; 2…

3) Является ли число -12  членом арифметической прогрессии, если а₁=14; d = -2?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=14; а₉=30.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 7, d=15, n=100.

Вариант 9

1)Найдите двадцать второй член арифметической прогрессии, если а₁ = 22, d = -2.

2) Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии

-126; -123…

3) Является ли число -26 членом арифметической прогрессии, если а₁=16; d = -3?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=5; а₉=13.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁=11, d=5, n=100.

Вариант 10

1)Найдите двадцать пятый член арифметической прогрессии, если а₁ = -5, d=3.

2) Найдите двадцать четвертый член арифметической прогрессии

-64; -60…

3) Является ли число -59 членом арифметической прогрессии, если а₁=21; d = -4?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=8; а₉=20.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 0,5, d=8, n=50.

Вариант 11

1)Найдите двадцать четвертый член арифметической прогрессии, если а₁ = -9, d=2.

2) Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии

-36; -32…

3) Является ли число -7 членом арифметической прогрессии, если а₁=13; d = -2?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=10; а₉=14.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 9, d=1,7, n=25.

Вариант 12

1)Найдите шестнадцатый член арифметической прогрессии, если а₁=4, d=3.

2) Найдите тринадцатый член арифметической прогрессии

-12; -10…

3) Является ли число 19 членом арифметической прогрессии, если а₁ = -17; d=3?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=7; а₉=23.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁=15, d = - 2,5, n=100.

Вариант 13

1)Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии, если а₁=1, d=2.

2) Найдите двадцать седьмой член арифметической прогрессии -109;  -102…

3) Является ли число 31 членом арифметической прогрессии, если а₁=7; d=3?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=23; а₉=43.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁ = - 8, d=5,5, n=40.

Вариант 14

1)Найдите двадцать четвертый член арифметической прогрессии, если а₁ = -9, d = 2.

2) Найдите девятнадцатый член арифметической прогрессии

7; 9…

3) Является ли число 42 членом арифметической прогрессии, если а₁=6; d=3?

4)Найти а₁ и разность арифметической прогрессии, если а₅=10; а₉=14.

5) Найдите сумму первых n членов арифметической прогрессии (a_n), если известно, что a₁= - 6, d = - 3,5, n=50.

№

Критерии

Баллы

(0/1)

Комментарии

(обосновать оценку)

1.                   

Достижение цели урока

1

Поставленная цель была реализована

2.                   

Задачи урока реализованы

1

Все запланированные задачи были достигнуты

3.                   

План урока реализован полностью

1

Все основные этапы урока были реализованы

4.                   

Целесообразность использованных методов обучения

1

Используемые методы обучения были целесообразными

5.                   

Целесообразность выбранных форм организации деятельности обучающихся на уроке

1

Используемые формы организации деятельности обучающихся на уроке  были целесообразными

6.                   

Целесообразность использования выбранных средств обучения

1

Используемые средства обучения были целесообразными

7.                   

Результаты обучения достигнуты (метапредметные, предметные, личностные)

1

Все планируемые результаты были достигнуты полностью

8.                   

Рефлексивная деятельность обучающихся подтверждает достижение целей и задач урока

1

Рефлексивная деятельность обучающихся была организована так, что подтверждает достижение целей и задач урока

9.                   

Деятельность обучающихся на уроке была преимущественно активной и самостоятельной

1

Организованная деятельность обучающихся на уроке была преимущественно активной и самостоятельной

10.                

На уроке была реализована атмосфера сотрудничества и взаимодействия

1

На уроке прослеживалась атмосфера сотрудничества и взаимодействия

Итого:

10