Что такое алгебра логики?

1 Что такое алгебра логики? Алгебра   логики  —   это   раздел   математики,   изучающий   высказывания,   рассматриваемые   со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Алгебра логики возникла в середине XIX в, в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами. Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Так, например, предложение «6 — четное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Рим — столица Франции» тоже высказывание, так как оно ложное. Разумеется, не всякое предложение является логическим  высказыванием.  Высказываниями не являются, например, предложения «ученик десятого класса» и «информатика — интересный предмет». Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет». Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла. Предложения   типа   «в   городе   А   более   миллиона   жителей»,   «у   него   голубые   глаза»   не   являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются  высказывательными формами. Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями. Алгебра   логики   рассматривает   любое   высказывание   только  с  одной   точки  зрения   —  является   ли   оно истинным   или   ложным.   Заметим,   что  зачастую   трудно   установить   истинность   высказывания.  Так,   например, высказывание «площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн. км2» в одной ситуации можно посчитать ложным,   а   в   другой   ­   истинным.   Ложным   —   так   как   указанное   значение   неточное   и   вообще   не   является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если ..., то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками. Высказывания,   образованные   из   других   высказываний   с   помощью   логических   связок,   называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными. Так, например, из элементарных высказываний «Петров — врач», «Петров — шахматист» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание «Петров — врач и шахматист», понимаемое как «Петров — врач, хорошо играющий в шахматы». При помощи связки «или» из этих же высказываний можно получить составное высказывание «Петров — врач или шахматист», понимаемое в алгебре логики как «Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно». Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний. Чтобы   обращаться   к   логическим   высказываниям,   им   назначают   имена.  Пусть   через   А   обозначено высказывание «Тимур поедет летом на море», а через В — высказывание «Тимур летом отправится в горы». Тогда составное высказывание «Тимур летом побывает и на море, и в горах» можно кратко записать как А и В. Здесь «и» ­ логическая связка, А, В ­ логические переменные, которые могут принимать только два значения — «истина» или «ложь», обозначаемые соответственно «1», и «0». Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение: Операция,   выражаемая   словом   «не»,   называется       отрицанием  и   обозначается   чертой   над высказыванием (или знаком ┐).  Высказывание   А   истинно,   когда А ложно,   и ложно,   когда А истинно.     Например, «Луна» ­ спутник Земли» (А); «Луна» — не спутник Земли» ( А ). Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией, (лат. conjunctio ­ соединение) или логическим умножением и обозначается точкой • (может обозначаться знаком ^ или &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание «10 делится на 2 и 5 больше 3» истинно, а высказывания «10 делится на 2 и 5 не больше 3», «10 не делится на 2 и 5 больше 3», «10 не делится на 2 и 5 не больше 3» ложны.2 Операция,   выражаемая   связкой   «или»  (в   неразделительном,   не   исключающем   смысле   этого  называется   дизъюнкцией  (лат.  disjunctio  ­   разделение)   или  логическим   сложением  и слова), обозначается знаком «v» (или плюсом).  → Высказывание  AvB  ложно   тогда   и   только   тогда,   когда   оба   высказывания   А   и   В   ложны.  Например, высказывание «10 не делится на 2 или 5 не больше 3» ложно, а высказывания «10 делится на 2 или 5 больше 3», «10 делится на 2 или 5 не больше 3», «10 не делится на 2 или 5 больше 3» истинны. Операция,   выражаемая   связками   «если   ...,   то»,   «из   ...   следует»,   «...   влечет   ...»,   называется импликацией (лат. implico ­ тесно связаны) и обозначается знаком   .→   Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. Каким   же   образом   импликация   связывает   два   элементарных   высказывания?   Покажем   это   на   примере высказываний:   «данный   четырехугольник   ­   квадрат»   (А)   и   «около   данного   четырехугольника   можно   описать окружность» (В). Рассмотрим составное высказывание А В, понимаемое как «если данный четырехугольник — квадрат, то около него можно описать окружность». Есть три варианта, когда высказывание А В истинно: → → А истинно и В истинно, т. е. данный четырехугольник — квадрат, и около него можно описать окружность; А ложно и В истинно, т.е. данный четырехугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырехугольника); А ложно и В ложно, т.е. данный четырехугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность. Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. данный четырехугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность. В обычной речи связка «если ..., то» описывает причинно­следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому   не  надо   смущаться   «бессмысленностью»  импликаций,   образованных   высказываниями,   совершенно   не связанными по содержанию. Например, такими: «если президент США ­ демократ, то в Африке водятся жирафы», «если арбуз ­ ягода, то в бензоколонке есть бензин». Операция,   выражаемая   связками   «тогда   и   только   тогда»,   «необходимо   и   достаточно»,   «... ↔ равносильно ...», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком   или ~ .   Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпа дают.  Например, истинны высказывания: «24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3», «23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3» — и ложны высказывания: «24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5», «21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3». Высказывания А и В, образующие составное высказывание А В, могут быть совершенно не связаны по содержанию,  например:   «три   больше   двух»   (А),   «пингвины   живут   в   Антарктиде»   (В).   Отрицаниями   этих высказываний являются высказывания «три не больше двух» ( А ), «пингвины не живут в Антарктиде» ( В ). Образованные из высказываний А, В составные_ высказывания А В и ↔ А ↔ В  истинны, а высказывания А↔ В  и А В ложны. Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и ↔ ↔ ↔ эквиваленция. Импликацию можно выразить через   дизъюнкцию и отрицание: А В= → А vB.  Эквиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: A B↔  = ( А vB)•( В vA). Таким   образом,  операций   отрицания,   дизъюнкции   и   конъюнкции   достаточно,   чтобы   описывать   и обрабатывать логические высказывания. Порядок   выполнения   логических   операций   задается   круглыми   скобками.   Но   для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»),   затем   —   конъюнкция   («и»),   после   конъюнкции   ­   дизъюнкция   («или»)   и   в   последнюю очередь — импликация! Что такое логическая формула? С   помощью   логических   переменных   и   символов   логических   операций   любое   высказывание   можно формализовать, т. е. заменить логической формулой. Дадим определение логической формулы: 1.  Всякая логическая переменная и символы «истина» («1») и «ложь» («0») ­ формулы. 2.  Если А и В ­ формулы, то  А , (А • В), (AvB), (А В), (А В) ­ формулы.   | 3.   Никаких других формул в алгебре логики нет.                                                  → ↔3