Дидактические материалы по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла».

  • Раздаточные материалы
  • pdf
  • 31.05.2018
Публикация в СМИ для учителей

Публикация в СМИ для учителей

Бесплатное участие. Свидетельство СМИ сразу.
Мгновенные 10 документов в портфолио.

Теоретические вседения приведены очень кратко. Только понятие неопределенного интеграла и его свойства. Разобраны примеры нахождения неопределенного интеграла с помощью непосредственного интегрирования, заменой переменных, а также интегрирование по частям. Приведены контрольные вопросы по данной теме и присеры для самостоятельного решения, в которых надо подставить вместо n номер своего варианта.Примеры нахождения неопределенных интегралов с решениями и для самостоятельного решения.
Иконка файла материала Интегралы.pdf

Дидактические материалы по теме «Методы вычисления неопределенного интеграла».

 

Непосредственное  интегрирование, замена переменных, внесение под знак дифференциала.  Интегрирование по частям.

 

 

 

Краткие теоретические сведения.

1. рал. Таблица интегралов

            Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство 

F(x) f (x).                                                    (1)

            Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида

f (x)dx F(x) C , где F(x) f (x). Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

 

 

2.Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала части подынтегральной функции

 При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ( f1(x) f2(x))dx ( f1(x) f2(x))dx ;                            2) k f (x)dx k f (x)dx ;

                                      3) dzzc .

(cos x3ctgx5)dx

Пример 1.  Найти                                         .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

(cos x 3ctgx 5)dx cos x dx ctgx dx5dx = sinx3lnsinx 5xC .

                                                    =                 +3

sinx3lnsinx 5xC

Ответ: .

Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала: 

1

dxd(axb)

a                         .                                            (2) dx

Пример 2.  Найти   (3x5)2/3 .

Решение. Согласно формуле (2) можно записать:

1 d(3x5)

dxd(3x5)

            13               (3x5)2/3 (33x5)2/3 .

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

(3xdx5)2/3 13 (3x5)2/3d(3x5) 13 (3x25/)32/131 C13 (3x1/53)1/3 C(3x5)1/3 C.

Ответ: (3x5)1/3 C .

 

            Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании  подведение под знак дифференциала части подынтегральной  функции, основанное на следующей формуле: 

f ((x))(x)dx f ((x))d(x) .                                       (3)

cos x esinx dx

Пример 3.  Найти                            .

Решение. Воспользуемся методом  подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:

cos x esinx dx esinx (sinx)dx = esinxd(sin x) esinx C . =

esin x

Ответ:            C .

 

 

3.Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

udvuvvdu.                                             (4)

Обычно за dv выбирают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.  Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям: 

       Pn(x) sinbxdx        Pn(x) cosbx dx        Pn(x) ebxdx        Pn(x) abx dx

1)                               ;                                    ;                               ;                                

–  здесь за  u принимают многочлен Pn(x),за dv – оставшееся выражение, тоесть, напримерsinbx dx .

     Pn(x) arcsin bx dx      Pn(x) arctgbx dx     Pn(x) lnbx dx

2)                                   ;                                      ;                                 

– здесь за  u принимают обратную функцию, например, arcsinbx,за dv – оставшееся выражение,тоесть Pn(x)dx .

 

 

Образцы:  

 x1519x186 dx 1915 x1919x186 dx 1915 (x19x196)6dx 1915d(xx191966) 1915 ln x19 6C .

Проверим результат дифференцированием:  1915 ln x19 6   1915 191 6 (19 x18) x1519x186 ,

x

следовательно, выполнено условие (1).

15 19 6C ln x

Ответ: 19.

 

(13x1)ln(14x)dx

б) Интеграл  относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

1

                                                     u ln(14x); du 14

 (13x 1)ln(14x) dx dv (13x 1)dxv14x13 2               x2 x ln(14x) 132 x2 x dxx  x

2

(6,5x2 x)ln(14x)(6,5x 1)dx (6,5x2 x)ln(14x) 3,25x2 x C .

Проверим результат дифференцированием:

 (13x1)ln(14x) (6,5x2 x)14 6,5x1(6,5x2 x)ln(14x) 3,25x2 x 14x

(13x1)ln(14x)6,5x16,5x1(13x1)ln(14x). (6,5x2 x)ln(14x)3,25x2 xC .

Ответ:

 

Контрольные вопросы.

1.     Первообразная и неопределенный интеграл.

2.     Табличные интегралы.

3.     Свойства неопределенного интеграла. 4. Вывод формулы для интегрирования по частям.

 

 

Примеры для самостоятельного решения:

Задача 1.Найти неопределенные интегралы:

a)(nxn4)4 xn123 x12dx , b) (n6)xn3   c)cossinnxxdx

                                                     xn 4 6    dx

d) ((n 1)x 1)ln(2nx dx) ,    e) lnxdx f ) ex sin xdx

 

В примерах a), b), c) правильность полученных результатов проверить дифференцированием.