Дидактический проект урока по математике "Комплексные числа" (11 класс)

Дидактический проект урока в XI « б » классе Учитель: Дьячук Габриела Дата       15. 02. 2019                                             Предмет          Математика   Тема  :        « Определение комплексных чисел.                              Арифметические действия над ними».  (2ч) Тип урока Ѵ Урок формирования способностей добывания знаний                                       Ѵ Урок формирования способностей   применения знаний                                      Урок формирования способностей  оценивать знания                                      Урок формирования способностей  понимания  знаний                                      Урок формирования способностей  анализа –  синтеза знаний                                      Комбинированный урок Специфические компетенции IV Субкомпетенции: 4.6, 4.7, 4.8. Операциональные цели: К концу урока ученик должен:  О1:  Распознавать   и   использовать   терминологию   соответствующему   понятию действительного и комплексного числа   в различных контекстах, в том числе при общении;  O2:     Выполнять  сложения,   вычитания,   умножения,   возведение   в   степень   с натуральным показателем, деление  комплексных чисел записанных в алгебраической форме;  O3:  Использовать   свойства   действий   над   комплексными   числами   записанных   в алгебраической форме в вычислениях с комплексными числами;  O4 : Оценивать критически свою деятельность на уроке, отстаивать свою точку зрения. Дидактические стратегии:                                               а) формы: фронтальная, индивидуальная, в парах; б) методы: Анализ, синтез и обобщение; упражнение, конспектирование, работа с книгой, практическая работа, презентация. в) оборудование:  учебник, таблицы, компьютер, мультимедийный проектор.           Интерактивная  доска. Компьютерная презентация в  Microsoft Power   Point . Библиография: 1. И.Акири и др. Математика. Учебник для  XI­го класса.  Chişinău, ed. Prut  Internaţional 2014, reeditare 2. Victor Iavorschi. Matematica. Culegere de exerciții și probleme pentru clasele a X­a – a  3. XII­a. Chișinău. 2012  Акири И., Чапа В., Шпунтенко O. Гид по внедрению  модернизированного  куррикулума по математике в лицее. Саrtier, Кишинэу. 2010 Этапы ОЦ Учебная деятельность учителя и ученика Дидактические стратегии (формы и методы) Оценива ние 1. ВЫЗОВ. Организационный момент. Формулирование целей. Проверка домашнего  задания. Актуализация опорных  знаний и способностей.  2. РЕАЛИЗАЦИЯ  ЗАМЫСЛА. Преподавание – изучение  нового материала (в  случае изучения нового  материала) О1 О4 О1 О4 <слайд 1> Проверка готовности учащихся к уроку. Приветствие. На доске записаны число и месяц Классная работа Проверка готовности к уроку. Что было задано на дом? ­Есть ли вопросы по домашней работе?  Проверка домашнего задания.  <Слайд 2­6> ­Числа – один из основных математических объектов.   Понятие числа  развивалось и изменялось на протяжении всей истории человечества.  Всем известно, что математика, как наука, возникла и развивалась  исходя из практических нужд людей. x Актуализация материала.  Изучение нового материала.   Мотивация.   2  – 6x + 13 = 0 (пример из домашнего задания). Δ=−16 √−16   невозможно на множестве R выполнить действие. Расширение множества вещественных чисел состоит в том, что к действительным  числам присоединяются новые числа (мнимые). Введение этих чисел связано с  невозможностью во множестве действительных чисел извлечения корня из  отрицательного числа. Приведите другие примеры действий невыполнимых на R. (На примере решения уравнения x4=­81).  Сообщение темы и целей урока<слайд 9> Сегодня на уроке мы познакомимся с новым числовым Самооценка ( устная проверка  домашнего задания,  ответы на слайдах) Фронтальный опрос Беседа Презентация <Слайд 7­8> Фронтальная работа Эвристическая  беседа. множеством ­ множество комплексных чисел.  Рассмотрим историю её  возникновения, введём  арифметические операции на множестве комплексных чисел  и их свойства. ­ Запишем тему сегодняшнего урока. Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: <слайд 10 ­11>  Что нам для этого понадобиться?  Вводится понятие о мнимой единице­i  и понятие о множестве комплексных  чисел. √(−1)=i <Слайд 12 ­13>  Пример 1:  √−36=√−1∙36=6i     Устно вычислите:  √−900,√ −1 4 ,√−12,25 Вернемся к заданию №10 из домашней работы.  Решим это уравнение на множестве  C . - x2  – 6x + 13 = 0 S={3−2i,3+2i} <Слайд 14 ­16>  О2 О1 Формулируются цели  урока. 1. Степени  мнимой  единицы. Пользуясь  равенством   i2 = ­1,  легко  определить  любую  целую  положительную степень  мнимой  единицы.  Имеем: i3 = i2 i = ­i, i4 = i2 i2 = 1, i5 = i4 i = i, i6 = i4 i2 = ­1, i7 = i5 i2 = ­i, i8 = i6 i2 = 1 и т. д.    Это  показывает,  что  значения  степени  in,  где  n – целое  положительное  число, периодически    повторяется  при  увеличении  показателя  на  4 .      Поэтому,   чтобы   возвести   число    i   в   целую   положительную   степень,   надо показатель  степени  разделить  на  4  и  возвести  i  в  степень,  показатель  которой равен  остатку  от  деления.   Пример   i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1, i 17 = i 4 4+1  =  (i 4)4 i = 1 ∙ i = i. i 23 = i 4 5+3  =  (i 4)5 i3 = 1 ∙ i3 =  ­ i.   2. Вычислите: (i 36 + i 17) ∙ i 23. Устная работа Работа на местах, с  комментарием (i 36 + i 17) ∙ i 23 = (1 + i) (­ i) = ­ i + 1= 1 – i. <Слайд 17 ­25>  2. Введение понятия комплексного числа.      Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = ­ 1.    Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа. Определение   действительные числа. При этом выполняются условия: а) Два комплексных числа a1 + b1i и a2 + b2i равны тогда и только тогда, когда  a1=a2, b1=b2. Пример     3. Найдите  xиy  из равенства:  3y+5xi=15=7i  . Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b ­ <Слайд 17 ­25>  У доски 3.         Алгебраическая форма комплексного числа. О1 О2 О1 О3 Запись комплексного числа в   виде  a  +  bi   называют   алгебраической   формой комплексного   числа, где  а  – действительная часть,  bi  – мнимая часть, причем  b  – действительное  число.    Комплексное  число a + bi  считается  равным  нулю,  если  его действительная  и мнимая  части  равны  нулю: a = b = 0     Комплексное  число a + bi  при  b = 0  считается  совпадающим  с  действительным числом  a:  a + 0i = a.    Комплексное  число a + bi  при  a = 0  называется  чисто  мнимым  и  обозначается bi:  0 + bi = bi.     Два  комплексных  числа   z = a + bi  и   = a – bi,  отличающиеся  лишь  знаком z О3 мнимой  части,  называются  сопряженными. 4.          Действия над комплексными числами в алгебраической форме.    Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.  1) Сложение.      Определение. Суммой комплексных чисел z1  = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z,  действительная  часть  которого  равна сумме  действительных частей   z1 и z2,   а  мнимая  часть  ­  сумме  мнимых  частей  чисел  z1  и  z2 ,  то  есть   z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.     Пример 4. Выполните сложение (3 – i) + (­1 + 2i).                   (3 – i) + (­1 + 2i) = (3 + (­1)) + (­1 + 2) i = 2 + 1i. 2) Вычитание.      Определение.  Вычесть из комплексного числа  z1  комплексное число  z2, значит найти такое комплексное число z, что z  + z2 = z1. Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственна. Пример 5. Выполните вычитание (4 – 2i) ­ (­3 + 2i).                   (4 – 2i) ­ (­3 + 2i) = (4 ­ (­3)) + (­2 ­ 2) i = 7 – 4i. 3) Умножение.        Определение. Произведением   комплексных   чисел     z1=a1+  b1i   и   z2=a2+b2i называется  комплексное  число z,  определяемое  равенством:  z = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) i.      Числа  z1 и  z2   называются  сомножителями.   Презентация Беседа Рассмотрим четыре  вида операций Презентация <Слайд 26 ­30> На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения  суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части. В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму. Пример 6. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i). 1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2 5 – 3 (­ 7)) + (2 (­ 7) + 3 5)i = = (10 + 21) + (­ 14 +  15)i = 31 + i. 2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2 5 + 2 (­ 7i) + 3i 5 + 3i (­ 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 =  31 + i. <Слайд 26 ­30>  Пример 7. Выполните умножение (5 + 3i) (5 – 3i). Пример 8. Выполните умножение   Пример 9.  Разложите на множители   25m2+16 <Слайд 26 ­28>  (2−7i)2 4) Деление. Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z ∙ z2 = z1. Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если  z2 ≠ 0 + 0i. На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и  знаменателя на число, сопряженное знаменателю. Пример 10. Назовите сопряженные числа к комплексным числам: О2 О3 О4 Индивидуальная  работа у доски 4  ученика  (примеры № 6­7) Проверка  ответов  учащихся  Устный опрос Слайд 27 −1+5i,2−i,−3i,1,5,−3 Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда Один из учеников  оформляет его на  доске, остальные  записывают в тетрадь. . О4 В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на  число, сопряженное знаменателю. Пример 11. Найти частное  1 способ. . 2 способ. . . Дифференцированные  задания 3. РЕФЛЕКСИЯ  (обратная связь). Закрепление материала и  формирование  способностей.  Оценивание уровня  достижения целей. Применение умений и  навыков. Анализ ошибок. 4. ЭКСТЕНЗИЯ  (РАСШИРЕНИЕ). Итоги урока.  Объяснение домашнего  задания.  Применение. О2 О4 О3 О4 Обобщение материала урока  ­  Самостоятельная работа обучающего характера.  Работа в парах (7 вариантов). Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары  один ответ), обсуждение ответов. (Взаимооценивание)  Закрепление изученного материала. 1.  Работа с учебником:  . Письменная работа.  № 4 (а, е), № 6 (а, б). (работа на местах, с комментарием) Решение опорных задач.  Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают  алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные  записывают в тетрадь. 2.Самостоятельная работа контролирующего характера.  (работа дифференцированная, проверяет учитель к следующему уроку) Подведение итогов урока. <слайд 31­35> Дом. задание: 1. Модуль 6.§1 выучить. 2. Решать  на странице 168 : № 1 (а ,б, г, з),  №2 , №3 (а), № 4 (в, и). 3. Задание повышенной сложности:  № 12 (б), Бак­2018 задание №5(по  желанию) ­ Учитель: ­ Итак, мы сегодня говорили о …?.  Учитель: ­ Я думаю, слова, записанные на доске, вы заметили?  Поделитесь своими мыслями по поводу высказывания И. Гете. “Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир”.  ­ Ученик читает слова. Рассуждения детей, пожалуй, станут ответом на вопрос ­ зачем мы изучаем  математику и, в частности, числа? Учитель: ­ Язык чисел, фигур, формул – это язык, на котором с нами  говорит окружающий мир. Научиться понимать этот язык – научится  понимать все вокруг, а значит жить в гармонии с миром, с его законами,  красотой. Взаимооце нивание Работа в парах Письменная работа. Анализ Работа  дифференцированная,  проверяет учитель к  следующему уроку Слайд 36 Беседа Выставле ние  отметок  за урок