Доклад "Тригонометрические уравнения и неравенства"

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 1. Общие указания по выполнению внеаудиторных самостоятельных работ по математике для   студентов   1   курсов   НПО   и   СПО   по   теме   «Тригонометрические   уравнения   и неравенства»…………………………………………………………………………………..…5 2. Основные тригонометрические тождества………………………………………………….5 3. Обратные тригонометрические функции………………………………...………………….7 4. Тригонометрические уравнения……………………………………………………….……..7 5. Самостоятельная работа № 1………………………………………………………………..11 6. Тригонометрические неравенства……………………………………………….………….12 7. Самостоятельная работа № 2………………………………………………………………..15 Заключение Литература ВВЕДЕНИЕ В   настоящее   время   основной   задачей   современного   образования   является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план   выходит   задача   интеллектуального   развития   личности,   т.е.   развитие   учебно­ познавательной деятельности. Пожалуй, ни один общеобразовательный предмет не может конкурировать   с   возможностями   математики   в   воспитании   мыслящей   личности.   Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина образовательного курса математики   не   существует,   она   плавно   растеклась   не   только   в   геометрию   и   алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.  Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе   математики   в   системе   СПО,   как   по   содержанию   учебного   материала,   так   и   по способам   учебно­познавательной   деятельности.   Которые   могут   и   должны   быть сформированы   при   их   изучении   и   применены   к   решению   большого   числа   задач теоретического и прикладного характера. Тригонометрические уравнения и неравенства одни из самых сложных тем в курсе математики, которые могут возникать при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для   систематизации   знаний   обучающихся,   связанных   со   всем   учебным   материалом   по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т.д.), так же даёт возможность установить действенные связи   с   изученным   материалом   по   алгебре   (уравнения,   равносильность   уравнений, неравенства,   тождественные   преобразования   алгебраических   выражений   и   т.д.).   Иначе говоря,   рассмотрение   приёмов   решения   тригонометрических   уравнений   и   неравенств, предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание. Методические   рекомендации   предназначены   для   оказания   методической   помощи студентам   1   курса   СПО   и   НПО   при   изучении   модуля   занятий   по   теме «Тригонометрические уравнения и неравенства».  2 1. Общие указания по выполнению самостоятельных работ по математике для студентов 1 курсов НПО и СПО по теме «Тригонометрические уравнения и неравенства» При выполнении и оформлении самостоятельных работ следует руководствоваться следующими правилами:  1. Представляемые самостоятельные работы должны быть правильно и грамотно оформлены.  2. Задания самостоятельных работ следует решать в порядке их расположения в тексте самостоятельных работ. 3. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. При необходимости следует делать соответствующие ссылки на вопросы теории, с указанием формул, используемых при решении данной задачи. 4. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно, четко. 2. Основные формулы тригонометрии Ниже приводятся формулы, наиболее важные при решении математических задач по разделу «Тригонометрия». Основные тригонометрические Четность, нечетность тождества тригонометрических функций 3 Формулы двойного угла Формулы тройного угла Формулы преобразования произведения в сумму (разность) Формулы сложения и вычитания Формулы преобразования суммы и разности в произведение 4 Формулы половинного аргумента Универсальная подстановка через тангенс половинного аргумента 3. Обратные тригонометрические функции Арксинус (y  = arcsin x) –   это   функция,   обратная   к   синусу   (x   = sin y),   имеющая область определения  11;   и множество значений     ; 2 2 . Арккосинус (y = arccos x) – это функция, обратная к косинусу (x = cos y), имеющая область определения  11;   и множество значений  0;  . Арктангенс (y = arctg x) – это функция, обратная к тангенсу (x = tg y), имеющая область определения  ;   и множество значений      ;   2 2 . Арккотангенс   (y   = arcctg x) –   это   функция,   обратная   к   котангенсу   (x   = ctg y), имеющая область определения  ;   и множество значений   0; . 5                        4. Тригонометрические уравнения.  Тригонометрические уравнения — уравнения, содержащие неизвестное под знаком тригонометрической функции. Уравнения вида sinx a ,  cosx a ,  tgx a ,  ctgx a , называются   простейшими  тригонометрическими  уравнениями. Рассмотрим схему их решения.  a) Уравнение sinx a Общий вид решения уравнения sinx a , где  k 1 arcsin  решений.  (целые   числа),   при   a kk Z      x ,  1a  определяется формулой: 1a   уравнение  sinx a   не   имеет 0 1 sinx sinx sinx  1 Частные случаи ,x kk Z    x   2   x 2  kk Z ,  , kk Z  2   2 Пример 1. Найти решения уравнения  sinx . 1 2 Применяя формулу общего вида решения уравнения sinx a , получим:  x  k arcsin kk Z ,       1 1   2 x   1  k  6   kk Z ,  . Ответ:  x    1 k  6   kk Z ,  . b) Уравнение cosx a Общий вид решения уравнения cosx a , где  arccos  a kk Z   , при    2 , x   1a  уравнение cosx a  не имеет решений. 1a  определяется формулой: 6     cosx 0 cosx 1 cosx  1 Частные случаи  x kk Z ,    2 x kk Z 2 ,    , kk Z x      2 Пример 2. Найти решения уравнения  cosx . 1 3 Применяя формулу общего вида решения уравнения cosx a , получим:  x arccos kk Z ,  .   2   1   3 Ответ:  x   arccos 1   3   2 kk Z ,  . c) Уравнение tgx a Общий вид решения уравнения tgx a  определяется формулой:  x  arctg  Пример 3. Найти решения уравнения  tgx . 1 a kk Z   .   , Применяя формулу общего вида решения уравнения tgx a , получим:  x  kk Z ,  ,   arctg  1  x 4   kk Z ,  . Ответ:   x 4   kk Z ,  . d) Уравнение ctgx a Общий вид решения уравнения ctgx a  определяется формулой: x  arcctg  Пример 4. Найти решения уравнения  ctgx 3 . a kk Z   .   , Применяя формулу общего вида решения уравнения ctgx a , получим:  x  kk Z ,  ,   3  arcctg kk Z ,  .    x 6 Ответ:   x 6   kk Z ,  . 7         Рассмотрим уравнения, которые являются алгебраическими, относительно какой ­ либо тригонометрической функции, а так же уравнения, которые требуют преобразования тригонометрических выражений. Пример 5. Найти решения уравнения  cos 2 2 cosx x   . 1 0 Сделаем замену cosx t . t t   . 22 1 0 Найдем корни уравнения:  1 1t ,  2 t   1 2 Делаем обратную замену:  cosx , 1 1 cosx  2 1 2 . x kk Z  ,   2 , 1 x 2    2 3   2 kk Z ,  . Ответ:  x kk Z  ,     2 , 1 x 2    2 3   2 kk Z ,  . Пример 6. Найти решения уравнения  Применяя формулы двойного угла, получим:  sin cos x x x 2 sin cosx x  .  0 sin  1  . 0 2 sin sin x sinx . x x x  . 2 2 sin cos sinx  или  0 1 cosx . 2 1 ,x kk Z  ,       2 x 2 kk Z ,  . 3 Ответ:  ,x kk Z  ,     1 x 2     2 kk Z ,  . 3 При   решении   уравнений,   содержащих   тригонометрическую   функцию,   удобно использовать общий план решения любого тригонометрического уравнения: 1. Выражаем   все   входящие   в   уравнении   тригонометрические   функции   через   одну какую­либо функцию и один и тот же аргумент. 2. Определяем   значение   этой   функции,   пользуясь   общим   алгоритмом   решения уравнений.  3. Находим по полученным значениям функции соответствующие значения аргумента. 8 4. Записываем   ответ,   пользуясь   формулами   общего   вида   решения   простейших тригонометрических уравнений. 5. Проверяем найденные решения (в случае нарушения равносильности уравнений) и объединяем решения (если это возможно). 9 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 5. Самостоятельная работа №1 0 5 2 Вариант 1. Решите уравнения: sin ,x cos x 4 0 cos x 3 3 cosx  1 2 tgx  1 0 sin x   4 3 x cos  2 3 2   1 x cos 4 3   1 0 Вариант 2. Решите уравнения: cos ,x 0 5 2 sin x 2 1 sin x 2 2 sinx 1 2 ctgx  1 0  cos x   2 1   3 x cos cos x  8 4 3 4 2   3 0 10          6. Тригонометрические неравенства Тригонометрическими   неравенствами называются   неравенства,   которые   содержат переменную под знаком тригонометрической функции. Решение   тригонометрических   неравенств   зачастую  сводится   к  решению   простейших тригонометрических неравенств вида: Решаются простейшие тригонометрические неравенства графически или с помощью  единичной тригонометрической окружности. По определению, синус угла     есть ордината точки   ,P xy  единичного круга   (рис.  1),  а косинусом – абсцисса этой точки. Этот факт используется при решении простейших тригонометрических неравенств с косинусом и синусом с помощью единичного круга. Рассмотрим схему решения тригонометрических неравенств с помощью единичного Рис. 1 круга.  1a   1 1a 1a  a) Неравенства    arcsin 2 sinx a  a k x arcsin     R  a kk Z   2  , Рис. 2 b) Неравенства sinx a 11 1a   1 1a 1a  1a   1 1a 1a  1a   1 1a 1a   a R arcsin a kk Z   2  , arcsin 2 a k x        R Рис. 3 c) Неравенства  a k x arccos cosx a  arccos 2 2       R  a kk Z   2  , Рис. 4 d) Неравенства   arccos 2 cosx a  arccos a k x      R a kk Z   2  , Рис. 5 tgx a e) Неравенства       k x 2 arctg a kk Z    , 12 a R  a R Рис. 6 f) Неравенства  tgx a  2 arctg a k x       , kk Z  Рис. 7 g) Неравенства  ctgx a arcctg a k x        , kk Z  Рис. 8 h) Неравенства   a R     k x    ctgx a arcctg   a kk Z    , Рис. 9 7. Самостоятельная работа №2 Вариант 1. Решите неравенства: 13 1. 2. 3. 2 0 tgx  1 cosx  1 2 2 sinx 1  cos x 4   4 sin x  3   2 12 cos x    6 2 cos x  3 2 2 2 2 2    1 4  4. 5. 6. 7. Вариант 2. Решите неравенства: 0 3 2 2 2     3 sin x  4. tgx 1. 2.   3 3 2 cosx 3. 2 2  sin x 3   3 cos x 1    4 sin x    3 4 sin x  2 5. 6. 7.  3 1 3 14                               ЗАКЛЮЧЕНИЕ Мною   были   рассмотрены   способы   решения   тригонометрических   уравнений   и неравенств,   как   простейших,   так   и   более   сложного   уровня   и   приведены   варианты внеаудиторных   самостоятельных   работ,  а   так  же   рассмотрены   основные   теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических  и обратных тригонометрических функций;   выражение   тригонометрических   функций   через   другие   тригонометрических функции,   что   очень   важно   для   преобразования   тригонометрических   выражений,   в особенности   содержащих   обратные   тригонометрические   функции.   Кроме   основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции. Ввиду того, что решения тригонометрических  уравнений и неравенств можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми   или   различными,   рассмотрена   общая   схема   решения   тригонометрических уравнений и неравенств. Следует   отметить,   что   выполнение   внеаудиторных   самостоятельных   работ способствует   систематизации   и   закрепления   полученных   теоретических   знаний   и практических   умений   обучающихся,   углубления   и   расширения   теоретических   знаний, развития   познавательных   способностей   и   активности   обучающихся:   творческой инициативы,   самостоятельности,   ответственности,   организованности   и   формирование самостоятельности   мышления,   способностей   к   саморазвитию,   совершенствованию   и самоорганизации. Можно   сделать   вывод   о   том,   что   умение   и   навыки   решать   тригонометрические уравнения   и   неравенства   в   курсе   алгебры   и   начала   анализа   являются   очень   важными, развитие которых требует значительных  усилий со стороны преподавателя математики. Тригонометрические   уравнения   и   неравенства   занимают   достойное   место   в   процессе обучения математики и развитии личности в целом.  15 ЛИТЕРАТУРА 1. Алимов, А. Ш. Алгебра и начала математического анализа. 10­11 классы. Учебник / А. Ш.  Алимов, Ю.М. Колягин и др. 18­е изд. ­ М.: Просвещение, 2012. ­ 464 с. 2. Гельфанд, И. М. Тригонометрия / И. М. Гельфанд, С. М. Львовский, А. Л.  Тоом 5­ е изд., стереотип. – М.: МЦНМО, 2014. – 200 с.  3. Макарычев, Ю.Н. Тригонометрические неравенства и их преобразование / Под ред. С.А. Теляковского. 21­е изд.  – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.  4. Медынский,   М.   М.  Полный   курс   элементарной   математики   в   задачах   и упражнениях. Книга 7 / М. М. Медынский ­ М.: Эдитус, 2015. – 553 с.  5. Шапкина,   Н.   Е.  Пособие   по   математике   для   10­11   классов   подготовительных курсов. Тригонометрия / Н. Е. Шапкина, И. Е. Могилевский ­ М.: Физический ф­т МГУ, 2014. – 89 с. 16