ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. Урок 1. Двугранный угол Цели урока: ученик, владеющий теоретическими и  практическими знаниями. Задачи урока: 1) ввести понятие двугранного угла и его линейного угла; 2) рассмотреть задачи на применение этих понятий; 3) сформировать конструктивный навык нахождения угла между  плоскостями. Ход урока I. Организационный момент Сообщить тему урока, сформировать цели урока. II. Актуализация знаний учащихся 1. Сообщить итоги самостоятельной работы. Анализ распространенных ошибок. 2. Проверка домашнего задания. 3. Подготовка к изучению нового материала. ­ Что называется углом на плоскость? ­ Что называется углом между прямыми в пространстве? ­ Что называется углом между прямой и плоскостью? III. Изучение нового материала 1. Понятие двугранного угла (рис. 1 а,б). а) прямая a разделяет плоскость на две полуплоскости; б) двугранный угол. а а) Вывод: а б) Рис. 1 Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя   полуплоскостями   с   общей   границей  a,  не   принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости – грани, прямая a – ребро двугранного угла. ­ Какие предметы в обыденной жизни имеют форму двугранного угла? (Полураскрытая   папка,   стена   комнаты   совместно   с   полом, двускатные крыши зданий и т.д.) 2. Пусть    , O a AO a BO a AOB    , ,   –   линейный   угол двугранного угла (рис. 2,3). С О В А D Рис. 2 А P О Q В R Рис. 3 3. Все линейные углы двугранного угла равны. Докажем это. Рассмотрим два линейных угла  АОВ  и  PQK. Лучи  ОА  и  QP лежат   в   одной   грани   и   перпендикулярны  OQ,   значит,   они сонаправлены. Аналогично лучи ОВ и QR сонаправлены. Значит,   (как углы с сонаправленными сторонами). AOB PQR   4. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла. α α α а) б) в) Рис. 4 а) острый ( 90о ); б) прямой ( 90о ); в) тупой (90 о   о 180 ). 5. Обозначение двугранного угла. Двугранный   угол   с   ребром  АВ,  на   разных   гранях   которого отмечены  точки C и D, называется углом CABD. IV. Закрепление изученного материала 1. Сделайте чертежи к задачам С C D С D С O A M Рис. 5 B №1 B Рис. 6 №2 A K B Рис.7 №3 Дано:  ABC AC BC AB , лежит   в   плоскости  ,      CD   , , C Дано:  лежит   в   плоскости ABC C   90 ,o BC , Дано:  ABC C , лежит   в   плоскости   90 ,o AB , A AO        , (рис. 5). Построить  линейный (рис. 6). угол двугранного угла Построить   . CABD CM AB DC AB , ABCO AB BC CMD AO BC значит,  ACO , OC BC .  ­ искомый.  ­ искомый.   . , , , C  CD     ,  (рис. 7). Построить DABC CK AB  DC AB DK AB значит,  ACO  ­ искомый.   . , , , 1.Дано: ABCD – квадрат,  MB ABC   (рис. 8). Построить: а) (MDC; ABC); б) MADB; б)  MCB  ­ искомый; в)  MAD  ­ искомый. 2.Дано: DABC – тетраэдр,  DO ABC   (рис. 9). Построить: ABCD DM BC ,  DO BC , значит, OM BC ;  OMD   ­ искомый. рис. 9. M B C M D Рис. 8 2. Решение задач Дано:   ABC C o 90 , между  CB  и  30o (рис. 9).   , AC BC AB ,    лежит   в   плоскости  ,   угол Найти:  угол между плоскостью    и  плоскостью  треугольника ABC . Решение: 1) Проведем  CO  .  , тогда   COB CO a   Тогда   CBO  30o .   Пусть   в CB a 2 . 2) 3) 4) ,   тогда   AB DO Проведем  CD AB обратной   теореме   о   трех   перпендикулярах.   CDO искомый угол.   по   теореме,   ­ Из   CDB CBD  ,  o 45 , CD CB   o sin 45 ,  CD a 2. Из   CDO :sin  CDO  a CO CD a  2  1 2 ,  CDO  o 45 . (Ответ: 45°.) V. Подведение итогов Домашнее задание Дано: DABC – тетраэдр;  M AC AM MC ,    (рис. 11). DA DB DC AB BC AC ,       Доказать:  DMB Решение: Так как  ABC  ­ линейный угол двугранного угла BACD.   и  ADC  ­ равнобедренные, то медианы BM  и  DM  являются   высотами.   Значит,   линейный угол двугранного угла BACD. BM AC DM AC DMB , .      ­ Дано:  ABC AC ,     ­   лежит   в   плоскости ,     2, BAC  150 ,o   двугранный   угол   BACB   равен   45о  (рис. 1 BB 1  , AB 12). Найти: расстояние от точки B до прямой AC и до . Решение:   ­   тупоугольный   ( BAC  150o ),   поэтому   K AC .   Проведем 1)   ABC BK CK 2) Так как   . AC BK ,   то   AC B K 1   по теореме, обратной  теореме о трех перпендикулярах. Значит,   1BKB   ­ линейный угол двугранного угла   BACB BKB 1 ,   ­   линейный   угол   двугранного   угла BACB , BKB 1  45 .o 3) Из  BAK :     A o 180  150 o  o 30 , BK BA   sin30 o  2 1 2    1. Из   BKB BB 1 : 1  BK 1  sin 45 o  1 2 2  2 2 . (Ответ:  BK  1, BB 1  2 2 ) . Дополнительные задачи I уровень Треугольник ABC – прямоугольный ( Ñ  90o ),    A o 30 , AC a  , DC ABC DC ,   3 2 . a  Чему равен угол между плоскостями ADC и  ACB? Дано:   ABC C   , o 90 ,   A o 30 , AC a DC ABC DC , ,    3 2 a . Найти: угол между плоскостями ADB и ACB. Решение:  1)  DK AB CD AB ,   , значит,  CK AB DKC ;    ­ искомый. 2) Из   AKC CK :  AC a 2 2   (катет противолежащий 30°). 3) Рассмотрим   DCK :   C o 90 , DC  3 2 , a CK  3,  DKC  o 60 .  DC CK  a 3 / 2  2 (Ответ: 60°.)    tg DKC a 2  II уровень Через сторону ромба ABCD проведена плоскость . Сторона  AB  составляет с этой плоскостью угол 30°. Найдите угол   между   плоскостью   ромба   и   плоскостью  ,   если   острый   угол ромба равен 45°. Дано:  ABCD  – ромб,,  AD  лежит в плоскости  ,    угол между плоскостью  и стороной AB составляет 30° (рис. 13). DAB 45 ,o Найти: угол между плоскостью ромба и плоскостью . Решение: 1.   Проведем   BB    Тогда   углом   между   стороной  AB  и . 1 плоскостью  будет угол  1BB  ­ угол между плоскостью ромба и плоскостью . BAB BK AD BB 1 ; , 1   AD ,  значит,  KB 1 AD , 2. Обозначим  AB a ,  тогда  BB   (противолежащий 30°). a 2 1 3. Из   AKB :   A o 45 ;      90 K B o o 45 .   По теореме Пифагора:   2 AB  2 AK  BK 2,   а   AK BK ,   следовательно, 2 BK 2  2 AB , 2 BK 2  2 a BK , 2  2 a 2 , BK  a 2 . 4. Из   KB B 1 :   B 1 o 90 , sin  BKB 1  BB 1 KB  a 2 : a 2  2 2 ,  BKB 1  o 45 . (Ответ: 45°.)