Элективный курс "Графики с модулями"

Брянская область Жуковский район МОУ «Ржаницкая средняя общеобразовательная школа ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ График линейной функции с  модулями и его практическое применение                                                       Авторы:  Булаткина Татьяна,                                                                          Кошеленко Яна,                                                                         учащиеся 10 класса.  Руководитель:  Приходько Юрий                                          Владимирович,                                                                                    учитель математики. 2008­2009 учебный год Содержание Введение. 1. Способы построения графика линейной функции с несколькими модулями 1.1 Способ сложения ординат. 1.2 Метод интервалов. 2. Задачи на нахождение наименьшего значения функции. 3. Задача «о перевозках по кольцевым маршрутам».  Заключение. Введение. Решая различные занимательные задачи по математике, мы встретились с задачей подобной задаче « на раскладывание спичек в несколько коробок». Эта задача решалась методом подбора. Уже тогда мы задумался о том, нельзя ли решить эту задачу более строгим и рациональным способом. Мы пробовали различные алгебраические способы, составляя уравнения, системы уравнений, но нужного результата получить ­ не удалось. В 9 классе, изучая элективный курс « Графики элементарных функций. Геометрические   образы   на   плоскости»,   мы   научились   строить   графики линейных функций с несколькими модулями и с несколькими вложенными модулями.   Изучая   дополнительную   литературу   по   этой   теме,   мы   так   же узнали, что свойство этих функций принимать свое наименьшее значение в точке или на некотором интервале, имеет прямое отношение к решенной нами когда­то   задаче   со   спичками.   Далее   возникла     идея,   применить   эту математическую модель для задач прикладного содержания, решение которых может  быть  полезным  в  повседневной  жизни, в  экономике, в  бизнесе. Так появилась   задача,   связанная   с   составлением   экономного   графика   перевоза грузов «по кольцевым маршрутам». § 1. Способы построения графика линейной функции с несколькими модулями Для построения графиков функции вида f(x) = |x­a1| + |x­a2| + |x­a3| + … + |x­an| существует два способа.  1.1 Способ сложения ординат. Для построения графиков функции вида f(x) = |x­a1| + |x­a2| + |x­a3| + … + |x­an|  способом сложения ординат представим эту функцию в виде суммы функций  f1 (x) = |x­a1|, f2 (x) = |x­a2|, …  Приведем примеры: 1. Построить график функции  y = | x + 1 | + | x ­ 2 | . 2. Построить график функции  y = | x + 1 | ­ | x ­ 2 | . Решение в приложении (рис. 1 и 2 ) Но этот способ практически не применим, если количество модулей больше трех. В таком случае лучше использовать метод интервалов. 1.2 Метод интервалов.   Для построения графиков функции вида f(x) = |x­a1| + |x­a2| + |x­a3| + … + |x­an| методом   интервалов   мы   разбиваем   область   определения   точками   с абсциссами равными a1, a2, a3, …, an на интервалы (­∞;a1) U (a1;a2) U (a2;a3) U … U (an;∞). Определяем знак выражений x­a1, x­a2, x­a3, …, x­an на каждом из этих   интервалов   и   находим   значение   функции  f(x)   на   каждом   из   этих интервалов. Таким   образом,   получаем   кусочную   функцию,   состоящую   из   отрезков, определенных на каждом интервале. Пример:  1. Постройте график функции  f(x) = |x+5| + |x| + |x­2| + |x­6|. 1. x Є (­∞;­5]    f(x) =  – x – 5 – x – x + 2 – x  + 6 = –4x + 3 2. x Є [­5;0]     f(x) =  x + 5 – x – x + 2 – x  + 6 = –2x + 13 3. x Є [0;2]     f(x) =  x + 5 + x – x + 2 – x  + 6 = 13 4. x Є [2;6]     f(x) =  x + 5 + x + x – 2 – x  + 6 = 2x + 9 5. x Є [6; ∞]   f(x) =   x + 5 + x + x – 2 + x – 6 = 4x – 3 График этой функции см. в приложении, рис. 3  § 2. Задачи на нахождение наименьшего значения функции. 1. Найдем наименьшее значение функции у = |x ­ 2| + |x| + |x+2| + |x+4|. Эту   задачу   легко   решить,   опираясь   на   свойства   графика   линейной функции, содержащей несколько модулей: функция принимает наименьшее значение на среднем интервале. Следовательно,   функция   y   =   |x­2|   +   |x|   +   |x+2|   +   |x+4|   принимает наименьшее значение при x Є [­2;0] y = ­x + 2 – x + x + 2 + x + 4 = 8,   ymin = 8. Решим несколько задач, которые, на первый взгляд, не имеют никакого отношения к линейной функции содержащей знак модуля. 1) Семь спичечных коробок расположены в ряд. В первой лежит 19 спичек, во второй 9 спичек, в следующих соответственно 26, 8, 18, 11  и 14 спичек.   Спички   можно   перекладывать   из   любой   коробки   в   любую соседнюю с ней. Нужно переложить спички так, чтобы во всех коробках их стало поровну. Как это сделать, перекладывая как можно меньше спичек? 19             9            26            8            18            11           14     Решение. Всего во всех коробках содержится 105 спичек. Значит, если спичек в коробках было бы поровну, то в каждой коробке лежало бы по 15 спичек. При таком расположении коробок задача имеет всего одно решение. А именно, из первой коробки во вторую нужно переложить 4 спички. После этого   в   первой   коробке   будет   15,   а   во   второй   –   13   спичек.   Добавим недостающие   две   спички   из   третьей   коробки   во   вторую,   тогда   в   третьей останется 24 спички. Лишние спички из этой коробки переложим в четвертую и так далее.                                                   4               2            9             2              5             1                       19             9            26            8             18           11           14     2) На окружности расположено 7 коробок со спичками. В первой лежит 19 спичек, во второй – 9, в остальных соответственно 16, 8, 18, 11 и 14. Спички разрешается перекладывать  из любой коробки в любую из соседних с ней. Требуется переложить спички так, чтобы во всех коробках их стало поровну.                                                                                                                                                         19  14  11  18   8   9  26 Решение: Всего спичек 19 + 9 + 26 +8 + 18 + 11 + 14 = 105. Поэтому нам нужно добиться, чтобы в каждой коробке было 105 : 7 = 15 спичек. Обозначим буквой  x  число   спичек,   которые   нужно   переложить   из   первой   коробки   во вторую.   (   Может   быть,   конечно,   что   спички   придется   перекладывать   из второй коробки в первую – тогда x будет отрицательным). После того как мы переложим x спичек из первой коробки во вторую, во второй коробке будет x + 9 спичек. Значит, из второй коробки в третью нужно переложить  x  – 6 спичек,   из   третьей   в   четвертую  x  +   5   спичек.   Аналогично   из   четвертой коробки в пятую перекладывается x – 2, из пятой в шестую x + 1, из шестой в седьмую x – 3, наконец, из седьмой в первую x – 4 спички. Обозначим теперь через S общее число переложенных спичек: S = |x| + |x­6| + |x+5| + |x­2| + |x+1| + |x­3| + |x­4|. В этой формуле знаки абсолютной величины использованы потому, что нам важно лишь число переложенных спичек, а не то, в каком направлении их перекладывали. Нам теперь нужно выбрать x так, чтобы S имело наименьшую величину. Здесь нам может помочь график функции S = f(x) (см. приложение, рис. 4). Самая низкая точка графика есть вершина А4, значит, функция S = f(x) принимает свое наименьшее значение при x = 2. Таким образом, x найден и мы можем сказать, сколько и куда спичек нужно перекладывать.                                                                                                                           19 2                                                  1                                                    14  11  3 2           9  4  26  7  18   8 Этим  способом   задачу   можно  решить,  конечно, и  для  произвольного числа   коробок.   Для   этого   нужно   так   же,   как   в   нашем   примере   написать выражение для S. Оно будет иметь вид: S = |x| + |x­a1| + |x­a2| + … + |x­an­1|. Для того чтобы найти значение  x  в случае нечетного числа  n, можно воспользоваться следующим простым правилом: числа a1, a2, a3, …, an нужно выписать в возрастающем порядке. После этого x выбирается равным числу, стоящему ровно в середине этой последовательности чисел (если  n  нечетно, такое число всегда найдется). Если n нечетно, то x принадлежит срединному интервалу. § 3. Задача « о перевозках по кольцевым маршрутам ». С этой похожей на игру задачей связана другая практически важная задача о перевозках по кольцевым маршрутам. Представьте себе несколько объектов, приблизительно равноотстоящих друг от друга. На некоторых объектах находятся склады готовой продукции, на других – торговые точки, куда нужно доставить товар. Условно соединим эти объекты кольцевой дорогой. На рисунке 5 указаны запасы единиц товара на складах (со знаком +) и потребность в нем (со знаком ­).  Необходимо   составить   наиболее   экономный   план   перевозок,   чтобы удовлетворить   потребности   торговых   точек,   перевозя   как   можно   меньше единиц товара.   +250  ­50   ­70  ­40  ­50  +50 +150 9 ­130 ­110 Решение:  Обозначим   буквой  x  количество   единиц   товара,   которое нужно перевезти с первого объекта на второй.  Тогда   со   второго   объекта   на   третий   нужно   перевезти  x–   70   единиц товара, с третьего на четвертый x + 80, с четвертого на пятый x – 50, с пятого на шестой x – 160, с шестого на седьмой x – 110, с седьмого на восьмой x – 160, с восьмого на девятый x – 200 и с девятого на первый x – 250. Обозначим   теперь   через  S  общее   количество   единиц   перевезенного товара, тогда S = |x| + |x­70| + |x+80| + |x­50| + |x­160| + |x­110| + |x­160| + |x­200| + |x­ 250|. Выпишем эти числа в порядке возрастания: ­80; 0; 50; 70; 110; 160; 160; 200; 250.  В середине этой последовательности стоит число 110. Значит при  x  = 110   наша   функция  S(x)   принимает   свое   наименьшее   значение,   то   есть количество единиц перевезенного товара является минимальным. Зная, что x = 110, мы можем точно определить, сколько и куда товара надо перевозить. Тогда схема перевозок будет выглядеть следующим образом:                             140  +250  110  ­50  ­40  ­50 +50   ­70 +150 ­130 ­110 90 50 0   50 40  190 60 Заключение. Круг представленных в этой работе задач может быть расширен за счет изменения формы маршрута. Это может быть не только линейный (задача №2) или круговой (задача №3) маршрут, но и маршруты любой другой формы. Например, коробки со спичками или склады и торговые точки могут быть расположены «собачкой». Спички можно перекладывать только по линиям (маршрутам),   соединяющим   коробки.   Эту   задачу решить   довольно   просто,   если   применить   метод, использованный при решении задачи №3. В   дальнейшем,   мы   хотели   бы   придумать   и   решить   задачи   с использованием маршрутов другой формы. Если   еще   учесть   и   расстояние   между   объектами   при   составлении наиболее экономного плана перевозок, то, возможно, эта задача будет связана с   так   называемой     «задачей   коммивояжера».   Эта   задача   заключается   в составлении   кратчайшего   маршрута   посещения   нескольких   объектов.   Из литературы мне известно, что такие задачи решаются  с помощью линейного программирования. В этих двух направлениях мы будем продолжать свою работу.    Список литературы. 1. Виленкин Н. Я. « Функции в природе и технике » ­ М. Просвещение,  1985  2. Гельфанд И. М. и др. « Функции и графики » ­ М. Наука, 1973  3. Садыкина И. « Построение графиков функций и зависимостей,  содержащих знак модуля » ­ Математика №33, 2004  4. Пичурин Л. Ф. « За страницами учебника алгебры » ­ М. Просвещение,  1999 5. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7­9 классов  средней школы. И. Л. Никольская – М. Просвещение, 1991  Приложение. Рис. 3 Рис. 4