Элективный курс по алгебре для учащихся 9-ого класса

Элективный курс «Алгебраические уравнения и способы их решения» для учащихся девятого класса. Среднее   (полное)   общее   образование   –   завершающая   ступень   общего образования,   призванная   обеспечить   функциональную   грамотность   и социальную адаптацию обучающихся.   способствуют Элективные   курсы,   проводимые   в   8­9   классах,   интенсификации  образовательного процесса в целом и призваны помочь профессиональному ориентированию и самоопределению школьников. Данный   элективный   курс   связан   с   реализацией   в   школьном   курсе математики   одной  из  основных  содержательно –  методических  линий – линий уравнений. Для того, чтобы научить решать уравнения учащихся, необходимо рассматривать общие идеи и методы решения, чтобы развивать у ребят математическое мышление. В данном элективном курсе делается акцент на трех основных методах решения уравнений любого типа, в том числе   и   алгебраических.   Это   метод   разложения   на   множители,   метод введения новых переменных и функционально – графический. В каждом из методов рассматриваются случаи, которые не изучаются в основном курсе математики.   Учащиеся,   далее   желающие   продолжить   свое   обучение   в профильных классах, связанных с более детальным изучением математики, должны   владеть   методами   решения   уравнений   на   достаточно   высоком уровне. Цели данного курса:  Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности;  Развитие   математических, учащихся.   интеллектуальных   способностей Для   достижения   поставленных   целей   в   процессе   обучения   решаются следующие задачи:  Приобщить учащихся к работе с математической литературой;  Выделять   логические   приемы   мышления   и   способствовать   их осмыслению, развитию образного и ассоциативного мышления;  Обеспечить диалогичность процесса обучения математике.           Данный курс предназначен для учащихся девятых классов, рассчитан на десять часов аудиторного времени. Курс призван помочь ребенку оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы   дальнейшего   обучения   в   классах   математического   и естественно   –   научного   профилей,   так   и   повысить   уровень   его   общей математической культуры. В  результате изучения  курса  учащиеся  должны уметь применять  общие методы решения уравнений в конкретных задачах. Тематическое планирование элективного курса. № занятия Тема занятия 1 ­ 3 4 ­ 6 7 ­ 8 9 ­ 10 Метод   разложения   на   множители   при   решении алгебраических уравнений Метод   введения   новых   переменных   при   решении алгебраических уравнений Функционально   –   графический   метод   решения уравнений Решение   алгебраических   уравнений   различными методами из вариантов ЕГЭ Занятие № 1. Метод разложения на множители. На   первом   занятии   рассматривается   суть   данного   метода,   учащимся предлагается вспомнить уравнения, при решении которых использовался данный метод (разложение квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения; использование формул сокращенного умножения при решении уравнений,   в   левой   части   которых   многочлены;   способ   группировки   и вынесение   общего   множителя).   Затем   обращается   внимание,   что   очень часто эти методы работают вместе, дополняя один другой. И, наконец, рассматривается ряд примеров. Пример 1. Решить уравнение:  x 73  x  06 Представим слагаемое 7х в виде суммы х + 6х и осуществим последующую группировку. Тогда получим уравнение, равносильное исходному  ( 2 xx  (6)1  x  0)1 .  0)1  x (6)1 x  2 x 0)6 ,  06 2  ( xx )(1  ( x )(1 x   x 01   x x     x ,1    x    x 2   ,3 Следовательно, исходное уравнение имеет три решения. Ответ: {­3; 1; 2}. Пример 2. Решить уравнение:  84  x  0 63 x  0164 4 2 2 2 2 2 2  x 8 x   0)1   2 4 0)9 x 16 x 16   4( x )8    )(7 4 x x  ,07 x 4   x 4 09 x ( x ( x  x   x  Так   как   ни   одно   из   уравнений   совокупности   не   имеет   решений,   то   и исходное уравнение, равносильное совокупности, корней не имеет. Ответ: корней нет.  2 2 Однако, замечаем, что такие искусственные преобразования, которые были выполнены   во     втором   примере,   не   всегда   видны   сразу.   Поэтому   для решения таких уравнений используют ряд теоретических положений. Теорема 1. Если  x  x 1     ­­ корень многочлена p(x), то многочлен p(x) можно   разложить   на  множители,   одним   из   которых   будет   двучлен . ( 1xx ) Докажем   этот   факт.   Пусть   xxbxaxp )(    3 4 2  mdx  .   Если     ­ x1 корень данного многочлена, то p(x) = 0. Тогда  )( xxaxp )( 1  (  xx )( 1 x 2  2 ) x 1 ( xxc )( 1   xx ) 1 xxd ( () 1  xqxx )() 1 2   xx 1 2 ) x 1 x    ( xxb )( 1 . Пример 3. Решить уравнение:  3 x  2 2 x  5 x  02 . Заметим, что х = 1 является корнем уравнения. Воспользуемся тем же способом, что при доказательстве теоремы 1. Тогда получим уравнение, равносильное исходному уравнению  . ( x  )(1 x 2  3 0)2 x Рассматривая решение этого уравнения, решаем совокупность, состоящую из   линейного   уравнения   и   квадратного   уравнения.,   корнями   которых являются числа: 1;   . Значит, исходное уравнение имеет 3  2 17 17  3 ;  2 три решения. Ответ: {1;  }. 3  2  3 17 ;  2 17 Для того, чтобы использовать этот прием решения, необходимо увидеть хотя бы один из корней данного уравнения, а это не всегда бывает просто. В этом случае поможет следующая теорема. Теорема   2.   Если   x  x 1   целочисленный   корень   многочлена  p(x)   с целочисленными коэффициентами, то   ­­ делитель свободного члена x1 многочлена. Теперь   для   решения   уравнения   вида  p(x)   =   0,   где  p(x)   –   многочлен   с целочисленными   коэффициентами,   можно   сформулировать   алгоритм использования метода разложения на множители:  Выписать все делители свободного члена данного многочлена;  Выбрать   из   них   то   число,   которое   является   корнем   данного многочлена;  Разложить данный многочлен на множители, выделяя двучлен  ); (  xx 1  Преобразовать данное уравнение к виду  ( к решению уравнения  . 0)( xq   и перейти xqxx  0)( )1  3   13 решить x x 19 Дома: 6 x                                                                                                                                                                                                             по  0 12 алгоритму данному уравнение:      2 Занятие   №   2.   Метод   разложения   на   множители   с   использованием схемы Горнера. На   втором   занятии   с  учащимися   рассматривается   вопрос   о   разложении многочлена степени ни ниже третьей на линейные множители и множители второй   степени   с   использованием   схемы   Горнера.   Способ   решения рассматривается на конкретных примерах. Пример 1. Решить уравнение:  3  06 Выпишем делители числа 6: 1; ­1; 2; ­2; 3; ­3; 6; ­6. При х = 1 1­2­5+6=0, 0=0, получаем верное равенство, следовательно, 1 – корень многочлена, стоящего в левой части уравнения. 2 2 x 5 x x   1 1 1 ­2 ­1 ­5 ­6 6 0 Тогда   данное   уравнение   примет   вид   ( x  )(1 x 2  x  0)6 ,   которое равносильно совокупности . Второе уравнение совокупности имеет два корня: ­2 и 3.     x x  ,01 2 x   06 Следовательно, исходное уравнение имеет три корня. Ответ: {­2; 1; 3}. Пример 2. Решить уравнение:  x 13 Выпишем делители числа 6: 1; ­1; 2; ­2; 3; ­3; 6; ­6. Проверяя по порядку делители, убеждаемся, что 2 – корень многочлена. 5 3 x x x  06    2 3 4 2 1 1 3 5 ­5 5 ­13 ­3 6 0 Тогда данное уравнение можно переписать в следующем виде x (  0)3 5  5 )(2 x x x  2 3 Теперь найдем корень многочлена, стоящего во вторых скобках, им может  быть делитель числа ­3: 1; ­1; 3; ­3. Проверяя по порядку делители,            убеждаемся, что  ­3 –  корень  многочлена.  Разложим  его   на множители степени ниже третьей. ­3 1 1 5 2 5 ­1 ­3 0 Исходное уравнение примет вид  ( x  )(2 x  )(3 2  0)12 x x Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в третьих скобках. Ими будут числа  .  1 ,2 1 2 Значит, исходное уравнение имеет четыре решения. Ответ: {2; ­3;  }.  1 ,2 1 2 Пример 3. Решить уравнение   4 5 x  4  4 x 13  3 x 6 2 x  9 02 x Корнями   многочлена,   стоящего   в   левой   части   уравнения   могут   быть делители числа 2: 1; ­1; 2; ­2. Проверкой убеждаемся, что числа 1; ­1; ­2 являются корнями многочлена. Тогда исходное уравнение примет вид ( x  0)14 x  )(1 )(1  x x   2 4)(2 x Корнями   квадратного   трехчлена,   стоящего   в   четвертых   скобках,   будут числа  . Значит, исходное уравнение имеет пять корней. 1  2 2 2 1 ,  2 Ответ: {1; ­1; ­2;  }. 1  2 1 ,  2 2 2 Пример   4.  Найти   значения  a  и  b,   при   которых   уравнение   имеет корни 2 и ­1. Найти остальные корни. 4 4  xbxax  3 2  02 x Так как числа 2 и ­1 являются корнями исходного уравнения, то при их подстановке в уравнение вместо переменной х получим верные равенства. 64 4    8 22 a  ba 0 4 b 21 ,0               ,5 ba  2 ba    17           b a  3 a ,5 12                 a b   ,4 9 Исходное уравнение примет вид   4  4 x 4  3 x 9 2 x  02 x                 Так   как   2   и   ­1   –   корни   исходного   уравнения,   то   разделим   многочлен, стоящий   в   левой   части   уравнения   на   произведение   (х   ­   2)(х   +   1).   В ,   корнями   которого результате   получим   квадратный   трехчлен   4 2 x 1 являются   числа:   0,5   и   ­0,5.   Следовательно,   исходное   уравнение   имеет четыре решения. Ответ: {­1; ­0,5; 0,5; 2}. Занятие № 3. Метод разложения на множители. На третьем занятии учащимся предлагается поработать в компьютерном классе,   решить   ряд   уравнений   с   использованием   метода   разложения   на множители   левой   части   уравнения.   На   этом   занятии   используется мультимедийный   проектор   для   закрепления   теоретических   знаний   и выработки   практических   навыков   в   использовании   данного   метода   при решении   алгебраических   уравнений.   Используются   диски   «Математика абитуриенту» и «Готовимся к ЕГЭ». Занятие № 4. Метод введения новых переменных. Умение   ввести   новую   переменную   –   важный   момент   математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной. Следует при решении уравнений не торопиться начинать преобразования. Новая переменная в уравнениях иногда очевидна, иногда ее   трудно   «увидеть»,   ее   можно   выявить   в   процессе   каких­либо преобразований. Бывает так, что в одном упражнении полезно ввести не одну, а две переменные. Пример 1. Решить уравнение:  2  4 x 7 3 x  9  2 x 7 x  02 Так как х = 0 не является корнем уравнения, то разделим обе его части на квадрат переменной х, затем выполним группировку и получим уравнение  (2 x 2   (7) x 1 2 x  09) 1 x Очевидно, что за новую переменную надо обозначить выражение   . x 1 t x Тогда  2 x  2 t 1 2 x   и уравнение примет вид  . 2 2 t  057 t 2 Последнее уравнение решаем как квадратное и находим корни: 1; 2,5. Остается решить совокупность еще двух квадратных уравнений 2     x 2 x  2  x  ,01 x 5  02 Первое   уравнение   совокупности   решений   не   имеет,   второе   имеет   два корня: 0,5; 2. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня. Ответ: {0,5; 2}. Пример 2. Решить уравнение:  .  2 x 2 81 x  ) x 9( 2  40 Заметим, что левая часть уравнения имеет структуру  . Дополним ее 2 2  ba до   полного   квадрата,   добавив   и   вычтя   2ab.   Тогда   исходное   уравнение примет вид   .   Теперь   можно   ввести   новую   переменную. 2  ) ( 2 x  9 x 2 x 18  x 9  40  0 Обозначим выражение   2 x 9 x   через  t   и подставим в уравнение, которое примет   вид   2 t  18 t  0 40 .   Оно   имеет   два   корня:   ­20   и   2.   Остается решить совокупность из двух квадратных уравнений, одно из которых не имеет решения, а корнями другого являются числа  ,  . 1 19 1 19 Исходное уравнение имеет два решения. Ответ: { }. ,  1 19 1 19 Пример 3.  Решить уравнение:  2 (2 x 2  x (7)1  2  )1 (13 x 3  x )1 Заметим, что правая часть уравнения раскладывается по формуле разности кубов,   тогда   можно   ввести   две   переменные,   обозначив   через   Тогда   исходное   уравнение   примет   вид . 2 x  a x 1 2 2 a  13 ab , x  b 7  1 b 2 0  Разложим левую часть уравнения на множители, представив ­13ab = ­14ab +ab, тогда уравнение примет вид (2a +b)(a – 7b)=0. Получим совокупность   .   Вернувшись   к   переменной   х,   получим   2 a  ba ,0   b 0 7    совокупность из двух квадратных уравнений. Решая их, получим четыре корня: ­1; ­0,5; 2; 4. Следовательно, исходное уравнение тоже имеет четыре корня. Ответ: {­1; ­0,5; 2; 4}. Следует   отметить,   что   можно   было   не   вводить   две   переменные,   если догадаться разделить обе части уравнения на выражение, отличное от нуля .   Тогда   в   качестве   новой   переменной   было   бы   выражение 2 ( x  x )1 2 .  1 x  2 x 1 x Занятия № 5, № 6. Метод введения новых переменных. На   этих   двух   занятиях   идет   алгебраических уравнений на конкретных примерах.   отработка   данного   метода   решения Пример 1. Решить уравнение:  2 ( x  4 x  )(1 x 2  4 x  )5 4 Пусть          2 x  4 x  1 a Тогда                   aa ( )4 4   2   a 0 4 4 a   2 ( )2 a 0  a 0 2  a 2           Корнями этого уравнения являются числа ­3;­1 2 2 x x   4 4 x x  2  0 1 3 Ответ:    1;3  Пример 2. Решить уравнение:  4 x  8 2 x  0 9 Пусть  Тогда  2 x  aa ,  0 2 a  a 8  9 0                                                                                             Корни этого уравнения: ­1 и 9. ­1 не удовлетворяет условию  0a 2 x  9 x 1  3 x 2  3 Исходное уравнение имеет два корня Ответ:   3;3 Пример 3. Решить уравнение:  ( xx  )(1 x  )(2 x  15 )3 0  Перемножим попарно множители. 2 ( x  )(3 xx 2  3 x  )2  15 0 Пусть  Тогда  2 x  3 x a aa ( )2  0 15 2 a  2 a  0 15 a 1  5 a  3         2  ,5  .3 3 3 x x 2 2 x x 2 2 x x   3 3 x x   5 3 ,0 .0 Первое уравнение совокупности не имеет корней, второе уравнение имеет два корня:   Исходное уравнение имеет два корня.  3  2 21 ; 3  2 21 . Ответ:   3  2 21 ; 3  2 21 . Пример 4. Решить уравнение:  2 ( x  )(2 xx 2  2 x  8 )7 Пусть  Тогда    2 a  7 2 x  2 x  a )7 aa 8 (     a  0 8 x x a 1         x x  ;1 a 2  8 2 2 2 2     2 2 2 2 x x x x  ,1  .8  ,01  8 .0 .0           ,0  8 2 x  ( )1 x  2 x 2  ,1 x   x ,2   x .4  Исходное уравнение имеет три корня. Ответ:   .4,1,2 Пример 5. Решить уравнение:  2 ( x  7 x  )13 2  ( x  )(3 x  1)4 Пусть  2 x  7 x  13 a Тогда данное уравнение в силу   ( x  )(3 x виде:  )4 x 2   можно записать в 7 x  12 2 a  0 a a 1  ;0 a 2  1 2 2     x x   7 7 x x  ,0  ,1 13 13 Решая данные уравнения, получим  x 1  ;3 x 2  4 Следовательно, исходное уравнение имеет два решения. Ответ:   4:3 Пример 6. Решить уравнение: (х ­ 2)(х + 1)(х + 4)(х + 7)= 63. Заметим, что  ,  ( x  )(1 x  )4 x 2 5 x  4 ( x  )(2 x  )7 x 2 5 x  14 . Введем новую переменную, обозначим через t выражение  2 x  x 5  14 Тогда уравнение примет вид  aa ( )18  63 2 a  a 18  63  0 а =3 или а =­21 Возвращаясь   к   переменной   х,   получим   совокупность,   равносильную исходному уравнению. 85 . Второе уравнение совокупности корней не имеет, первое 2 2     x x   5 5 x x  ,3  21 14 14 имеет два корня:    5  2 93 ; 93 5  2 . Следовательно, исходное уравнение имеет тоже два корня. Ответ: {  5  2 93 ; 5  2 }. 93 Пример 7. Решить уравнение:   2 ( x  x )(1 x 2 .  )2 x 12 Обозначим через t выражение  , тогда уравнение примет вид  2 x  x 1 .  Это   квадратное   уравнение   имеет   два   корня:   ­4   и   3.  Тогда 2 t  t 12 0 исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 2 2     x x ,4  1  31 x x                 2 2     x x   5 2 x x ,0 0             Первое уравнение совокупности корней не имеет, второе имеет два корня: ­2 и 1. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня. Ответ:  {­2; 1}. Пример 8. Решить уравнение:  3 3 x  2 4 x  4 x  3 0 Выполнив   группировку   членов   многочлена,   стоящего   в   левой   части уравнения и вынесем общий множитель. Тогда исходное уравнение будет .   Рассматривая   условие равносильно   уравнению   ( x  3)(1 x 2  0 )3 x равенства   нулю   произведения,   получаем,   что   первый   множитель   равен нулю   при   х   =   ­1,   а   второй   нулю   не   может   быть   равен   ни   при   каких действительных   значениях   х.   Следовательно,   исходное   уравнение   имеет одно решение. Ответ: ­1. Пример 9. Решить уравнение:  4 x  3 5 x  8 x 2  5 x  01 Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой  степени.                                                                                                              Так как х = 0 не является его корнем, то разделим обе части уравнения на квадрат   переменной   х.   Получим   уравнение   .   2 x  5 x  8  0  5 x 1 2 x Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель за скобки.  2 ( x  1 2 x  (5) x   8) 0 1 x .       Пусть   t 1 x x .   Тогда   уравнение   примет   вид . 2 t  5 t  0 6 Это   уравнение   имеет   два   решения:   2;   3.   Возвращаясь   к   переменной   х, получим  совокупность двух квадратных уравнений, левая часть одного из которых представляет полный квадрат двучлена и имеет корень: 1. Второе уравнение имеет корни:  . Следовательно, исходное уравнение имеет три корня. Ответ: {1;  3  2 5 ; 2 }. 5 3  2 3  5 3 ; 5  2 Занятия № 7, № 8. Функционально – графический метод. Трансцендентно – алгебраические уравнения решаются функционально – графическим методом, идея которого проста: если дано уравнение вида f(x)=g(x), то нужно построить графики функций y = f(x)  и  y = g(x) и найти точки   пересечения   этих   графиков.   В   этом   случае   корнями   исходного уравнения   будут   абсциссы   точек   пересечения.     Этот   метод   позволяет определить   число   корней   уравнения,   угадать   значение   корня,   найти приближенные, а иногда и точные значения корней уравнения. В   некоторых   случаях   при   решении   такого   типа   уравнений   построение графиков  можно   заменить   ссылкой   на   какие  –  либо   свойства   функций. Например, если одна из функций y = f(x)  или y = g(x) возрастает на всей области определения, а другая убывает, то уравнение  f(x)=g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень, который можно найти подбором или угадать. Далее, подставив найденное значение в исходное уравнение, можно проверить, действительно найден корень уравнения или нет. Функционально – графический метод работает и в следующем случае: если на множестве Х наибольшее значение одной из функций y = f(x)  или y = g(x)   равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x)=g(x)  Равносильно на множестве Х системе уравнений . xf )( xg )(   A , A    Пример 1. Решить уравнение:   . x 2 x Построим   графики   функций       и     y  x y 2 x     в   одной   системе координат. Они   пересекаются   в   двух   точках   А(1;   1)   и   В(4;     2).   Значит,   исходное уравнение имеет два решения: 1; 4. Ответ: {1; 4}. Пример 2. Решить уравнение:  5 x  x 5  42  0 . 5 x  42 5 x Построить   графики   функций       и   y  5x y 42  5 x   достаточно   неудобно. Поэтому обратим внимание,  что первая  из  этих  функций возрастает на всем множестве действительных чисел, а вторая убывает, так как угловой коэффициент прямой отрицательный. Значит, исходное уравнение имеет не больше одного корня. Замечаем, что при х = 2 значения обеих функций равны 32, т. е. при х = 2 данное уравнение обращается в верное числовое равенство. Следовательно, 2 – корень исходного уравнения. Ответ: 2. Пример 3. Решить уравнение:   cos  2 x x 2 . 2 x  2 Рассмотрим   функцию   y 2  x .   Функция   квадратичная,   графиком 2 x  2 служит   парабола,   ветви   которой   направлены   вверх,   так   как   первый коэффициент   положительный.   Значит,   в   вершине   параболы   функция достигает своего наименьшего значения. у(1) = 1. Наибольшее   значение   функции     равно   1   в   силу   ее y  2 cos  x ограниченности. Значит, исходное уравнение равносильно системе  .    2  x cos 2  2 x ,12  1 x Так   как   решением   первого   уравнения   системы   является   х   =   1,   то   при подстановке этого значения переменной х во второе уравнение получаем верное   числовое   равенство.   Следовательно,   исходное   уравнение   имеет одно решение. Ответ: 1. Пример 4. Решить уравнение:  . x 2 6 x Рассмотрим функции   и  y x 2 y 6 x Первая   функция     ­   показательная   с   основанием   больше   единицы, возрастающая на множестве действительных чисел. Вторая – линейная с отрицательным   угловым   коэффициентом,   убывающая   на   множестве действительных чисел. Исходное уравнение может иметь не более одного корня.   Подбором   убеждаемся,   что   при   х   =   2   исходное   уравнение обращается в верное числовое равенство. Значит, 2 – корень исходного уравнения. Ответ: 2. На седьмом занятии перед рассмотрением функционально – графического метода   стоит   повторить   понятие   функции,   понятие   графика   функции, рассмотреть свойство монотонности и ограниченности функций. Так как занятия   проводятся   с   учащимися,   имеющими   хороший   уровень обученности,   то   можно   познакомить   ребят   с   незнакомыми   для   них функциями, сделав акцент на интересующих нас свойствах. Занятия № 9, № 10. Решение алгебраических уравнений различными способами. На этих занятиях учащимся предлагаются задания, включенные в тексты выпускных   и   вступительных   экзаменов,   в   тексты   ЕГЭ.   Еще   раз   стоит обратить внимание на важность изучения данной темы. Пример 1. Решить уравнение:  3 x  x 9  12 3  0 . Методом  подбора   можно  убедиться, что     является  одним  из  корней 3 исходного уравнения.                                                                                        Разложим   многочлен,   стоящий   в   левой   части   уравнения   на   множители, .   Для   этого   выполним   группировку один   из   которых   имеет   вид   x 3 слагаемых с последующим вынесением общего множителя. Тогда исходное уравнение   примет   вид     .   Многочлен,   стоящий   во ( x  )(3 x 2  x 3  )12  0 вторых   скобках,   не   имеет   корней.   Значит,     единственный   корень 3 исходного уравнения. Ответ:  . 3 Пример 2. Решить уравнение:   2 ( x  x )(1 x 2  x )2  0 12 . Решим данное уравнение методом введения новой переменной. Обозначим через  t  выражение   .   Тогда   исходное   уравнение   примет   вид 2 x  x 1 ,   это   уравнение   имеет   два   корня:   ­4;   3.   Следовательно, 2 t  t 12 0 исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений 2 2     x x ,4  1  31 x x Первое уравнение совокупности корней не имеет, второе имеет два корня: ­2 и 1. Значит, исходное уравнение имеет тоже два корня. Ответ: ­2; 1. Пример 3. Решить уравнение:  2 (3 x  3 x  2 )1  2 (2 x  4 x  2 )1  2 5 x  0 . Так как нуль не является корнем исходного уравнения, то умножим обе части   уравнения   на   выражение   Получим   уравнение   . 1 2 x (3 x  1 x  2 )3  (2 x  1 x  2 )4  5 0 ,   которое   можно   решить   методом   введения новой переменной. Обозначим через t   выражение  . Тогда раскрыв x  1  x 3 скобки   и   приведя   подобные   слагаемые,   получим   уравнение   , t  42 t  0 3 корнями   которого   являются   числа   1   и   3.   Вернемся   к   переменной   х. . Первое уравнение Получим совокупность двух уравнений    ,01 2 2     x x  x 2  01 имеет два корня   и  1 2  1 2 ; второе уравнение имеет тоже два корня 1 и ­1. Следовательно, исходное уравнение имеет четыре решения. Ответ: {­1; 1;  }.  ;  1 2 1 2 Пример 4. Решить уравнение:  2 ( x  2 x  2 )7  2 (2 x  2 x  7)7  x . Раскроем   скобки   и   приведем   подобные   слагаемые.   Получим   уравнение, равносильное исходному уравнению.  4 x  3 4 x  2 8 x  25 x  28 0 Если   это   уравнение   имеет   среди   корней   целое   число,   то   это   один   из делителей свободного члена. Среди делителей числа 28 находим числа 1 и ­4, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное числовое равенство, т. е. являются корнями этого уравнения. Разделив многочлен, стоящий   в   левой   части   на   произведение   (х­1)(х+4),   получим   в   частном многочлен  , корнями которого являются числа   и  2 x  x 7  1 29 2 29 1 2 . Следовательно, исходное уравнение будет иметь четыре корня. Ответ: {1; ­4;  }. ;   1 29 2 29 1 2 Задачи с параметрами являются наиболее трудными для учащихся, хотя для их решения не требуется никаких специальных знаний, выходящих за пределы школьной программы по математике. Решение таких упражнений дает   возможность   показать   глубокое   понимание   изучаемого   материала, логическую   культуру.   На   последнем   занятии   учащимся   предлагается рассмотреть два таких задания. Пример 5. Найти все значения параметра а, при которых один из корней уравнения   в девять раз больше другого. 2 x  2( a  )1 ax  0 2 Пусть   и  1x 2x  ­ корни данного уравнения, а D – его дискриминант. Тогда, чтобы ответить на вопрос задачи, надо решить систему .       Решая   первые   три   уравнения   системы   методом ,1  a 2 ,        2 x x 1 2  a xx 21  x ,9 x 1 2 D 0 подстановки,   находим,   что   решением   системы   являются   значения   а: .   Рассматривая решение неравенства системы, получаем, что оно 3 4 ;  3 16 верно при  a ) ( ; 1 4 . Так как оба найденные значения параметра а лежат в полученном промежутке, то условие задачи выполняется. Ответ:  ,  . 3a 4 3a 16 Пример   6.  Найти   все   значения   параметра   а,   при   которых   уравнение 2( a  )1 x 2  (3 a  )1 x  ( a  )1 0  имеет единственное решение. Квадратное уравнение имеет одно решение, если дискриминант равен нулю или первый коэффициент равен нулю. Пусть 2а+1=0. Тогда исходное уравнение примет вид    (3 a  )1 x  ( a  )1 0 . Это линейное уравнение, решением которого является  , так как первый 1 3 коэффициент   равен   нулю   при   а   =   ­0,5.   Следовательно,   условие   задачи выполняется и уравнение имеет одно решение. Пусть 2а+1 отличен от нуля. Найдем дискриминант. Он имеет вид (а+1) (а+5)   и   принимает   значение   нуль   при   а   =­1   или   а=­5.   Таким   образом, условию задачи удовлетворяют три значения параметра а. Ответ: ­5; ­1; ­0,5. Глава I. Основные определения и теоремы. Определение   1.    Равенство   вида  f(x)   =g(x)   называется   алгебраическим уравнением   с   одной   переменной   х,   где  f(x)     и  g(x)   многочлены относительно х Пример 1.    ­­ является алгебраическим уравнением с одной 2 x  x 5  0 12 переменной. Определение 2. Всякое значение переменной, при котором выражения f(x) и g(x) принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения f(x) =g(x) или его решением. Пример 1.  Уравнение 3х +15 = 0 имеет один корень: ­5, т. к. 3(­5) + 15 = ­15 + 15 = 0, т.е. 0 = 0 Определение 3. Решить уравнение – это значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет. Пример 1. Уравнение 7х – 21 = 0 имеет единственный корень 3, т.к. при этом и только при этом значении переменной 7х ­21 = 0  обращается в верное равенство. Пример 2. Уравнение     не имеет действительных корней, т. к. по x 2 0 5 определению   квадрат   любого   числа   есть   величина   неотрицательная,   а сумма положительного числа и неотрицательного всегда больше нуля. Пример   3.   Уравнение     имеет   бесконечное   множество 2 x  4 x  ( xx  )4 решений, т.  к. после  тождественных  преобразований  получим равенство 0=0.   Т.   е.   данное   уравнение   есть   тождественное   равенство,   верное   для любого действительного значения х. Определение   4.  Тождество   (тождественное   равенство)   –   это   равенство двух выражений с переменными, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.  Тождествами считаются и верные числовые равенства,   а   также   равенства,   превращающиеся   в   верное   числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых эти выражения определены. Определение 5.  Тождественное преобразование выражения – это замена выражения на тождественно равное ему выражение, т. е.  равное для всех числовых значений входящих в него переменных. К   тождественным   преобразованиям   относятся:   приведение   подобных слагаемых, разложение на множители, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю и другие. 5 Определение 6. Областью определения  уравнения f(x)=g(x) или областью допустимых значений переменной называют множество всех тех значений переменной х, при которых оба многочлена  f(x) и g(x)  имеют смысл. Определение 7. Если каждый корень уравнения (1) является одновременно корнем   уравнения   (2),   то   второе   уравнение   называется   следствием уравнения (1). В   процессе   решения   уравнения   часто   приходится   применять   такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению – следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения,   но,   кроме   них,   уравнение­следствие   может   иметь   и   такие решения,   которые   не   являются   корнями   исходного   уравнения, «посторонние корни». Чтобы их выявить, все найденные корни уравнения – следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение. Если при решении уравнения ряд преобразований были равносильными, а некоторые нет, то необходимо проверить каждый из найденных корней. Достаточно очевидным является утверждение: два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого. Определение 8.   Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными   уравнениями.   Уравнения,   не   имеющие   корней,   также считаются   равносильными.   Иными   словами,   два   уравнения   называются равносильными, если множества их решений совпадают. При решении уравнений используют теоремы о равносильности: Теорема 1.  Если какой – либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному. Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же   отличное   от   нуля   число,   то   получится   уравнение,   равносильное исходному. Теорема   3.  Если   в   какой­нибудь   части   уравнения   выполнить тождественные   преобразования,   не   меняющие   области   определения уравнения, то получится уравнение, равносильное исходному. Эти   теоремы   гарантируют   равносильность   преобразований   без   каких   – либо   дополнительных   условий.  Появление   дополнительных   условий   при использовании   ряда   преобразований   связано   с   понятием   области определения уравнения или области допустимых значений переменной. 6 Глава II. Алгебраические уравнения и методы их решения. Алгебраическими   называются   уравнения вида   ­­   действительные   n  1 1 n n n     ......... xaxa числа (коэффициенты),  n  – натуральное число, х – неизвестная величина. При     уравнение   называется   алгебраическим   уравнением  n  –   ого axa 00  ,....... n 1 ,   где   aa , 0 1 a 0an порядка. Рассматривая   левую   часть   данного   уравнения   как   многочлен   от  n  – переменных,   получим   другую   запись   алгебраического   уравнения: P ( xx , 1 2 ,......... ., x 0 ) n ­­ неизвестные. , а  xi Упорядоченный   набор   чисел     удовлетворяет   этому ( aa , 1 2 ,........ a ) n уравнению,   если   при   замене   хn   на   an   получается   верное   числовое равенство. Число,   удовлетворяющее   алгебраическому   уравнению   с   одним неизвестным, называется корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел   удовлетворяющих   данному   уравнению,   составляет   множество решений этого уравнения. Пункт   1.1   Метод   разложения   на   множители   при   решении алгебраических уравнений. В   общем   варианте   идея   этого   метода   состоит   в   том,   что   с   помощью равносильных   преобразований   в   левой   части   уравнения   получают многочлен,   а   в   правой   нуль.   Многочлен   известными   способами раскладывается на линейные множители или многочлены второй степени. Затем используем условие равенства нулю произведения.   Рассматривается   либо   равносильная   совокупность   двух   систем,   когда один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, либо совокупность двух уравнений, когда каждый из множителей равен нулю. Во втором   случае   могут   быть   получены   посторонние   корни,   поэтому обязательна проверка найденных корней. Следовательно, главная задача – это   разложить   на   множители   многочлен,   получившийся   в   левой   части уравнения,   в   произведение   многочленов   меньшей   степени.   Для   этого существует несколько способов, которые чаще всего используются вместе. Пункт   1.1.г.   Метод   подбора   корня   с   использованием   теории многочленов. Одним   из   способов   решения   алгебраических   уравнений   является разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, на множители. Особое место в теории многочленов занимает деление одного многочлена на   другой.   С   делимостью   многочленов   тесно   связано   решение алгебраических   уравнений   высших   степеней.   С   помощью   деления многочлена на многочлен можно понизить степень уравнения, например, свести решение уравнения третьей степени к решению уравнений первой и второй степеней. Данный способ опирается на следующие положения:  Если   многочлен   xaxa  1 n  n n n  1  .......  aa , 0 n  0   с   целыми коэффициентами имеет корень    ­­ несократимая дробь, то p x 0  p q , p q —делитель свободного члена, q – делитель старшего коэффициента;  Если каким – либо образом подобран корень х =  многочлена  )(xPn степени  n,   то   этот   многочлен   можно   представить   в   виде ,  где     ­­ многочлен степени  на единицу  n ( x )( x   ) P меньше степени данного многочлена. )(1 xPn )( 1 x P n Теорема.  Целые   корни   алгебраического   уравнения   с   целыми коэффициентами(если такие есть) нужно искать только среди делителей свободного члена уравнения. Пример 10. Решить уравнение: 4 x  3 3 x  2 5 x  13 x  0 6                                                                                   12 Попробуем   разложить   многочлен,   стоящий   в   левой   части   уравнения   на множители. Для этого найдем целый корень, если такой есть. Согласно теореме этот корень следует искать среди делителей числа 6: 1; ­1; 2; ­2; 3; ­3; 6; ­6. Проверяя по порядку, выясняем, что при х =2 значение многочлена равно нулю, т.е. 2 – корень многочлена. Разделим данный многочлен на двучлен (х ­ 2), используя схему Горнера: 2 1 1 3 5 ­5 5 ­13 ­3 6 0 Данный многочлен можно записать в виде произведения x  x )(2 13 )3    6 5 3 5 5 x x x x x x    ( 2 3 2 3 4 Теперь попробуем найти целый корень получившегося многочлена третьей степени. Его надо искать среди делителей числа 3: 1; ­1; 3; ­3. При проверке выясняем, что при х = ­3 значение этого многочлена равно нулю, т.е. ­3 – корень этого многочлена. ­3 1 1 5 2 5 ­1 ­3 0 Данный многочлен можно записать в виде произведения x  x )(2 )(3 13 )1    6 5 3 2 x x x x x x    ( 2 3 4 2 Чтобы разложить квадратный трехчлен на линейные множители, найдем его корни, используя формулу нахождения корней квадратного уравнения: ;  .  1 2 1 2 Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня. Ответ: {­3; ­1­ ; ­1+ 2 ; 2}. 2 Пример 11. Решить уравнение: 4 x  3 5 x  2 7 x  5 x  6 0 Обозначим многочлен, стоящий  в  левой  части уравнения через     и )(4 xP найдем среди делителей числа 6 целые корни. Так как  , то 2 – корень. Разделим данный многочлен на двучлен (х P )2(4  0 ­ 2). 2 1 1 ­5 ­3 7 1 ­5 ­3 6 0 xP )( 4  x ( 3 )(2 x  2 3 x  x )3 13 Аналогичными   рассуждениями   приходим   к   тому,   что   3   –   корень многочлена  3 x  3 2 x  x 3 4 2 (   )1 x )(2 x )(3  x xP )( Так   как   последний   многочлен   корней   не   имеет,  то   исходное   уравнение имеет два корня: 2; 3. Ответ: {2; 3}. Пример 12. Решить уравнение: 3 x  3 2 x  2 x  2 0 Обозначим левую часть уравнения как     и найдем его целый корень )(3 xP среди делителей числа ­2. Так как  )1(3 P 0 , то 1 – корень. Тогда данный многочлен можно записать в виде  xP )( 3  x ( 2 )(1 x  4 x  )2 . Второй множитель, являющийся квадратным трехчленом, имеет корни: ­2­ ; ­2+ 2 . 2 Исходное уравнение имеет три корня. Ответ: {­2­ ; ­2+ 2 ; 1}. 2 Пример 13. Решить уравнение: 5 4 x  4 4 x  3 13 x  2 6 x  9 x  2 0 Проверяя делители числа 2, находим, что при х=1, х=­1 и х=­2 значение многочлена в левой части уравнения равно нулю, значит 1, ­1 и – 2 – корни . Выполнив   деление   данного   многочлена   на  произведение  (х­1)(х+1)(х+2), получаем  5 4 x  4 4 x  3 13 x  2 6 x  9 x  x 2 ( )(1 x  )(1 x  4)(2 x 2  4 x  )1 Корнями последнего многочлена в произведении являются числа:   ; 2 1 2 . 1 2 2 Значит,  исходное уравнение имеет пять решений. Ответ: { 1  2 1  2 ; 2 2 }. .2;1;1;   Пример 14. Решить уравнение: 4 6 x  3 5 x  2 14 x  0 2 x                                                                                    14 Выпишем делители свободного члена: ­1;+1;­2;+2. Проверив эти значения, убеждаемся,   что   1—корень   уравнения.   Выполним   деление   многочлена, стоящего в левой части уравнения на двучлен(x­1) по схеме Горнера. 1 6 6 5 11 ­14 ­3 1 ­2 2  0 4 6 x  3 5 x  2 14 x  x 2 x ( 6)(1 x 3  11 x 2  3 x  )2 Выполнив   аналогичные   рассуждения,   что   ­2—корень полученного   многочлена   третьей   степени.   Выполним   деление   этого многочлена на двучлен (x+2) по схеме Горнера.     получаем, 6 6 ­2 4 6 x  3 5 x  2 14 x  x 2 x ( )(1 x  6)(2 x 2  x  )1 11 ­1 ­3 ­1 ­2 0 Решая   квадратное   уравнение   по   формуле,   получаем,   что   его   корнями являются числа:  1 3 ; 1 2 Следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня. Ответ:{­2;  ;1}. 1 3 ; 1 2