Элективный курс "Уравнения" 9 класс

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Основная общеобразовательная школа №28» Тема: « Уравнения» (элективный курс для 9 класса) Автор: Фомина Анна Юрьевна Предмет алгебра Миасский городской округ 2016 год Пояснительная записка Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым. Л. Карно Понятие   «уравнение»   –   одно   из   фундаментальных   понятий   школьного   курса математики.   Умение   решать   уравнения   различных   видов   позволяет   обеспечить базовую подготовку школьника для успешного прохождения итоговой аттестации по математике за курс основной школы. Кроме того, это может помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего образования, так и повысить уровень своей общей математической культуры. Задачи   обучения   и   воспитания   в   школе   направлены   на   формирование   у обучающихся  умения самостоятельно действовать, получать знания, осмысливать и оценивать их. Педагогическая целесообразность программы в том, что регулярные занятия  позволят привлечь к предмету математики не только одаренных, успевающих  обучающихся, но и учеников, у которых математика на уроках не вызывает  большого интереса. Главное – на этих занятиях учащимся не надо зацикливаться на решении  уравнений, задач, неравенств, что обычно бывает на уроках математики. На  занятиях данного курса учащиеся не получают отметки, а только новую,  интересную информацию, которую на 50% добывают сами в результате  исследовательской деятельности. Они начинают более широко и глобально  мыслить, учатся анализировать, сравнивать, применять знания в практической  жизни. Цели обучения  математике в общеобразовательной школе определяются ее ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека. Математическое   образование   имеет   две   стороны   своего   назначения практическая,  связанная   с   созданием   и   применением   инструментария, необходимого   человеку   в   его   продуктивной   деятельности,   и  эстетическая, позволяющая   рассмотреть   с   помощью   математики   всю   красоту   природных процессов и явлений. Практическая   полезность   математики   обусловлена   тем,   что   ее   предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения — от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте   людей,   до   достаточно   сложных,   необходимых   для   развития   научных   и технологических   идей.   Без   конкретных   математических   знаний   затруднено понимание   принципов   устройства   и   использования   современной   техники, восприятие   научных   знаний,   восприятие   и   интерпретация   разнообразной социальной,   экономической,   политической   информации,   малоэффективна повседневная   практическая   деятельность.   Каждому   человеку   в   своей   жизни приходится   выполнять   достаточно   сложные   расчеты,   пользоваться общеупотребительной   вычислительной   техникой,   находить   в   справочниках   и применять  нужные формулы, владеть практическими  приемами геометрических измерений   и   построений,   читать   информацию,   представленную   в   виде   таблиц, диаграмм,   графиков,   понимать   вероятностный   характер   случайных   событий, составлять несложные алгоритмы и др. Задачи обучения: Обучающие задачи ­ учить способам поиска цели деятельности, её осознания и оформления; ­ учить быть критичными слушателями; ­ учить грамотной математической речи, умению обобщать и делать выводы; ­ учить добывать и грамотно обрабатывать информацию; ­ учить брать на себя ответственность за обогащение своих знаний,  расширение способностей путем постановки краткосрочной цели и достижения  решения. ­ изучать, исследовать и анализировать важные современные проблемы в  современной науке; ­ демонстрировать высокий уровень над предметных умений; ­ достигать более высоких показателей в основной учебе; ­ синтезировать знания. Развивающие задачи - повысить интерес к математике; развивать мышление в ходе усвоения таких приемов мыслительной  ­ деятельности как умение анализировать, сравнивать, синтезировать, обобщать,  выделять главное, доказывать, опровергать; ­ ­ ­  развивать умение быстрого счёта, быстрой реакции. развивать навыки успешного самостоятельного решения проблемы; развивать эмоциональную отзывчивость Воспитательные задачи ­ общения; воспитать активность, самостоятельность, ответственность, культуру  ­ ­  воспитать эстетическую, графическую культуру, культуру речи; формировать мировоззрение учащихся, логическую и эвристическую  составляющие мышления, алгоритмического мышления; развить пространственное воображение;  ­  формировать умения строить математические модели реальных явлений,  анализировать построенные модели, исследовать явления по заданным моделям, применять математические методы к анализу процессов и прогнозированию их  протекания; ­ воспитать трудолюбие; ­ ­ формировать систему нравственных межличностных отношений; формировать доброе отношение друг к другу. Цели курса: ­  развитие математических способностей:  логически мыслить,  умения    анализировать, обобщать, делать выводы через усвоение различных приёмов   решения уравнений и систем уравнений; ­  преодоление психологического барьера, связанного с новой формой проведения   итоговой аттестации по математике, и обретение уверенности в своих силах.  Задачи курса: ­  обобщить понятия: «уравнение», «система уравнений»; ­  систематизировать основные приёмы решения уравнений, систем  уравнений и  научиться применять их в нестандартных ситуациях; ­ приобрести навыки работы с тестами, совершенствовать навыки самостоятельной работы, работы в группах; ­  совершенствовать навыки самоконтроля. При   проведении   занятий   по   курсу   на   первое   место   выйдут   следующие формы организации работы: групповая, парная, индивидуальная; методы работы: частично­поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги. Данный курс поможет ученику основательно подготовиться к итоговой аттестации и осознанно выбрать профиль обучения в старшей школе. Освоение элективного  курса завершается двумя видами итогового контроля: тестирование и контрольная работа. В данной программе представлены приложения в виде теоретических,  практических и контрольно­измерительных материалов, а так же предложен комплект опорных схем по изучаемым темам, который рекомендуется  использовать учащимся в индивидуальной работе. В «Приложении» учитель найдет достаточно широкий набор заданий к каждому занятию и, опираясь на уровень  подготовленности учащихся, сможет выбрать для работы задания разной степени  сложности. Содержание курса:  Курс содержит: вводное занятие, 2 основных блока, итоговые занятия.        Вводное занятие (1 час) предназначено для знакомства учащихся с целями и задачами   данного   элективного   курса,   организацией   занятий,   требованиями   к усвоению курса.                Блок    I    (22  часа)  предполагает   обобщить   знания   учащихся   по   решению уравнений   (линейных,   квадратных,   рациональных,   иррациональных,   дробно­ рациональных) аналитическим и графическим способами.        Блок   II    (7 часов) предназначен для повторения и обобщения способов решения   систем уравнений различных видов.       По всем темам блоков I­II предполагается отработка алгоритмов решения на заданиях продвинутого уровня.       На заключительных занятиях (3 часа) предусматривается проведение итоговой диагностики (тест, контрольная работа, анкетирование). Примерное распределение часов по темам (34 часа). № блока        I   №  темы              1.       2.       3.       4.                         Тема  занятия  Вводное занятие Устный счёт. Решение линейных уравнений. Решение квадратных уравнений. Решение квадратных уравнений по теореме  Количество      часов            1            3            2            4            3 Виета       5. Решение рациональных, дробно­рациональных  и иррациональных уравнений.       6.       7. Биквадратные уравнения. Возвратные уравнения.                         6            2            2       II       8.        9.       10.            1            7               3                                                                                                     Итого:      34 часа. Метод введений новых переменных. Решение систем уравнений. Заключительные занятия. Методические рекомендации. После освоения курса учащийся должен иметь представление о том, что реальные   жизненные   задачи   решаются   с   помощью   математического моделирования. Учащийся должен знать:  ­  понятия «уравнение», «система уравнений»,  ­  виды уравнений и систем уравнений,   ­  методы решения уравнений и систем. Учащийся должен уметь:  ­  различать виды уравнений,  ­  решать уравнения рациональным методом,  ­  выбирать и записывать ответ.  Учащийся должен владеть:  ­  анализом и самоконтролем,  ­  способами решения уравнений и систем уравнений, ­  методами исследования ситуаций, в которых результат принимает те или иные формы.            Программа элективного курса «Уравнения»  считается усвоенной учеником, если   он   положительно   выполнил   все   виды   промежуточного   контроля   базового уровня, итоговый тест и итоговую контрольную работу, посетил не менее 80% занятий. При подготовке к проведению занятий по каждой теме учитель может воспользоваться приведённым ниже теоретическим и дидактическим материалом, а также может видоизменять или дополнять его. Примерное планирование занятий элективного курса. Вводное занятие: 1) знакомство с целями и задачами курса;                               2) вводная диагностика для определения уровня готовности                                   учащихся к  усвоению курса;                               3) анализ результатов диагностики. ТЕМА 1.  ЗАНЯТИЯ 1,2,3. Рассматриваются решение устных примеров и квадратных  уравнений.  ТЕМА 2.  ЗАНЯТИЯ 1, 2.  Рассматриваются линейные уравнения, их свойства,  виды,  способы решений.  ТЕМА 3.  ЗАНЯТИЯ 1,2,3.  Рассматриваются квадратные уравнения общего вида,     квадратные уравнения с четным коэффициентом, неполные квадратные уравнения, приведенные  квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным. ЗАНЯТИЕ   4.  Итоговый   урок   по   теме   «Квадратные   уравнения».   Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы или в форме теста.  ТЕМА 4. ЗАНЯТИЯ   1,2,3.   Рассматриваются   квадратные   уравнения   по   теореме   Виета. Решение квадратных уравнений по теореме Виета. Промежуточный контроль. ТЕМА 5. ЗАНЯТИЯ   1,2,3,4.    Рассматриваются   рациональные   и   дробно­рациональные уравнения. Проводится промежуточный контроль (тест).   ЗАНЯТИЕ5,6. Рассматриваются иррациональные уравнения. ТЕМА 6.  ЗАНЯТИЕ 1,2.  Рассматриваются биквадратные уравнения. Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы. ТЕМА 7.  ЗАНЯТИЕ 1,2. Рассматриваются возвратные уравнения.  Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы. ТЕМА 8.  ЗАНЯТИЕ 1. Рассматривается метод введений переменных. Проводится контроль по данной теме в форме самостоятельной работы. ТЕМА 9.                   ЗАНЯТИЕ 1.   Выполняется входной контроль по теме «Решение систем уравнений». Рассматриваются различные способы решения систем уравнений.                  ЗАНЯТИЕ   2,3.    Отработка   практических   навыков   решения   систем, содержащих уравнения II степени. ЗАНЯТИЕ 4,5.   Рассматривается решение систем уравнений с помощью введения новой переменной.                  ЗАНЯТИЕ   6.    Рассматриваются   различные   способы   решения   систем уравнений в нестандартных ситуациях.           ЗАНЯТИЕ 7.    Итоговый контроль по теме «Решение систем уравнений».   ТЕМА   10.      Заключительные   занятия   по   всем   темам   элективного   курса.   В «Приложении» учителю предлагаются 2 вида итогового контроля: тестирование и традиционная контрольная работа. Учитель может выбрать как один из них, так и провести оба вида контроля.       ЗАНЯТИЕ 1. Проводится итоговый контроль уровня усвоения тем «Решение уравнений» и  «Решение систем уравнений» (контрольная работа).     ЗАНЯТИЕ 2 (заключительное). Проводится итоговый тест по теме «Решение уравнений и систем уравнений», подводятся итоги изучения элективного курса «Уравнения»; проводится анкетирование учащихся для определения полезности данного   элективного   курса   при   подготовке   к   экзамену   и   при   выборе   профиля обучения в старшей школе. Литература: 1. Алгебра: Учебник для 8 класса   общеобразовательных учреждений/ Алимов  Ш.А.  и др.­М.: Просвещение, 2002. 2. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений/ Алимов  3. Ш.А. и др.­  М.: Просвещение, 2002. 4. Алтынов П.И.. Алгебра. Тесты. 7­9 классы: учебно­методическое пособие. –  Издание пятое, стереотипное.­ М.: Дрофа, 2001. 5. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б.  и др. Математика. Алгебра. Функция. 6. Анализ данных.9 кл.: учебник для общеобразовательных учебных 7. заведений. Под ред. Дорофеева Г.В. ­ М.: Просвещение, 2005. 8. Математика в таблицах и схемах. Автор­составитель Калбергенов Г.Е.­ М.:  Лист, 2001. 9. Карп А.П., Евстафьева Л.П. Математика. 9 кл.: дидактические материалы к  учебнику «Математика, алгебра, функции, анализ данных» под ред.  Дорофеева Г.В. ­ М.: Просвещение, 2005. 10.Кочагин В.В., Кочагина М.Н. Алгебра: 9 класс. Тестовые задания к основным учебникам: рабочая тетрадь. – М.: Эксмо, 2007. 11.Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс  основной школы. 9 класс/ Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П.,  Суворова С.Б.   – М.: Дрофа, 2006. 12.Алгебра 9 класс. Предпрофильная подготовка. Итоговая аттестация – 2006.  Под ред. Лысенко С.Ф.  ­Ростов ­ на – Дону: Легион, 2005. 13.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: дополнительные главы к  школьному учебнику 8 кл.: учебное пособие для учащихся школ и классов с  углублённым изучением математики. Под ред. Дорофеева Г.В.­ 5­е издание.  М.: Просвещение, 2003. 14.Певнева А.К. Сборник задач по математике на базе основной  общеобразовательной школы. – Омск:  ФГОУ СПО ОАК, 2006. 15.Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С. Сборник элективных курсов.  Математика 8 – 9. – Волгоград: Учитель, 2006г. Приложение Вводное занятие Цель занятия     : - повторить, обобщить и систематизировать теоретические                            положения по решению уравнений;                            ­ провести входную диагностику учащихся  для определения                               уровня готовности учащихся к  усвоению курса;                            ­ анализ результатов диагностики. Входная диагностика по теме «Уравнения» 1. Из перечисленных математических выражений выбрать уравнения: 1) 6х­4>0,                              2)4=3x,                          3) 12x2­6x+1,            4) 9­3x=4x2 ,                          5)  5 х 4 9 2 ,                       6)  9   6 х х 2 х 2  9 . а) 1,3                 б) 3,6                     в) 4                 г) 2,4 2. Из перечисленных чисел выбрать корни уравнения  3х (х­5)=42.   а) 2                    б) ­2                       в) 3                 г) ­3. 3. Корнем, какого уравнения является число х=1,5:             а) 2х­4=5,          б)  х 1  2  х 3 ,        в) х2­4х+1=0,         г)   х  28 х  5,7 . 4. Решить уравнение 3х­4=5х­10.             а) ­1,75            б) ­3                       в) 3                 г)  1,75 5. Решить уравнение   2  х 4 3 5  х .  3             а) – 1,1       б) 14,5                    в)  11                г)  ­14,5   2 6. Решить уравнение    х2­8х+15=0.             а) 3 и 5          б) ­3 и ­5                 в) ­5; 3             г)  ­3 и 5           7. Решить уравнение  2 х  х 1  х  х .  1             а) 0 и 1          б) 1                         в) 1 и ­1               г) 0 8. Решить уравнение х4­17х2+16=0.             а) 4 и 1          б) ­4 и ­1               в) ±1; ±4.               г)  корней нет       Ключ ответов:   1  г 2  б 3 г 4 в 5 б 6 а 7 б 8 в ТЕМА 1 .  Устные упражнения. 1. Умножение на 11. Для умножения числа на 11, нужно цифры этого числа раздвинуть, а в  середину записать их сумму. Например: 23*11=253 . 43625*11=479875,  составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 (десятки), 6+2=8  (сотни), 6+3=9 (тысячи), 4+3=7 (десятки тысяч) и 4 сотни тысяч. Способ  умножения на 11 можно применять и тогда, когда имеем множитель 1,1; 0,11;  0,011; 110 и т.п., не забывая при этом соответственно увеличить или уменьшить  предварительный результат в 10 раз, в 100 раз и т.п.  Полезно показать детям хорошо известный ещё древним индейцам способ     умножения под поэтическим названием     2.   «Воздушный счет» 96          4                            58         42                     78        22 98          2  94        08                99          1           89         11                57          42                         69         42 Допустим, надо умножить 96 на 98. Дополнения до 100 – соответственно 4 и 2.  Отнимем от первого сомножителя дополнение до второго (96 –2=94) или от  второго сомножителя дополнение первого (98­4=94). И в том, и в другом случае  получим 94. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4*2==8) 08 – это последние цифры произведения. Итак,  96*98=9408 3.Умножение двузначных чисел.   (Способ «крестиком»)     Этот способ умножения отличается необычной для  учащегося записью. В  способе «крестиком»  обращается внимание исключительно на результат  умножения. Схематически   умножение по этому способу можно записать  следующим образом: 4    5    3    8       умножаем единицы обоих чисел (8*5), полученное произведение  подписываем под чертой. От умножения десятков на десятки (4*3) получим сотни, приписываем это число слева к записанному произведению единиц. От умножения  единиц на десятки (4*8) и десятков на единицы (3*5) получим десятки, подпишем  их под десятками. Наконец, производим сложение и получаем ответ 1710.      4 5      3 8      12  40      3  2        1  5      17  10 4.  Возведение в квадрат чисел,  оканчивающихся  на  5. При изучении десятичных дробей рассматриваем эти же приёмы для  десятичных дробей. Примеры, на использование этих приёмов можно давать почти  на каждом уроке, пока дети хорошо их не усвоят. После изучения формул  а сокращенного умножения необходимо  разъяснить ребятам эти приёмы.   10 5   1аа  число сотен искомого квадрата;    25 1  аа  25 100 100 а  2 100 а 2 25 – две последние цифры. НАПРИМЕР:       352= 1225  (3*4=12) 3,52= 12,25                852=7225   (8*9=72) 8,52=72,25 5.  Возведение в квадрат.   2     10 ba  НАПРИМЕР:   472= 2209      Пояснения:   ba 100 20 ab    100 b a  2 2 2 2 a   210 ab   b 2 1 2 3   2  7  2*7*4 4 ;49  ;16  2 девять  16 ;56  6 пишем,  56 ;22 четыре 4 нуль записываем ;60 5'.     Возведение в квадрат. ; запоминаем пишем, .22 шесть запоминаем ; вава  2 в    2  в  : 2 2 2 2 в а         в 972000 2 а НАПРИМЕР   1.  986  а ;986  2 986 978     2.  а ;978  2 978 .3 946 а ;469  956000 2  в в 946 2  438 2 14;        196    а­в      972;  972196 . ва  1000 ;22   ва  ;956 . 956484 484 ва  1000  ;31 1000  ва  ;438 ва  500  961  219000  961  219961 . 6.  Умножение двузначных чисел ab  cd  10 ba   10 dc  100 ac   10 bc  10 ad  bd 100 ac   10 bc  ad  bd  Например :      38*42=1596 Пояснения:  1)   8*2=16;  шесть пишем и один запоминаем; 2)  8*4=32;      3*2=6; 32+6=38;   38+1=39;   девять пишем и три запоминаем; 3)  3*4=12;     12+3=15;   записываем 15. 7.   Извлечение квадратного корня из полных квадратов. 12= 1; 92=81;           22= 4;                  32= 9;     42=16;     52=25; 82=64;        72=49;    62=36 Итак, полный квадрат может оканчиваться только  цифрами: 1;4;6;9 и 5. НАПРИМЕР:  4126 79  2 49 7  2 5625 75   1 2  49 5625 ,62  6241 ,  следовательно, из 1 и 9 на конце берём 9 8.  Извлечение кубического корня. 1³=1, 4³=64,  5³=125, 6³=216, 9³=729;     Значит, кубический корень из числа, на  конце которого цифры 1,4,5,6,9  имеют число единиц также  1,4,5,6,9. 2³=8,  3³=27,  7³=343,   8³=512,  значит, кубический корень из числа, на конце  которого 2,3,7,8 имеет число единиц, дополняющее эти цифры до 10, т.е. 8,7,3,2. НАПРИМЕР: а в г 3 3 3   43093 43   75319518  255447 87     39 27 64     185 216 125    343 512 474  Все эти приёмы устных вычислений  способствуют вызвать мотивацию к предмету. Только там, где разум и чувства в союзе, осуществляется глубокое понимание. II. Приёмы устных решений квадратных уравнений. Приёмы устных решений квадратных уравнений обязательно надо показать  учащимся, т. к. они позволяют значительно сократить время при решении  уравнений. Итак,         ах²+вх+с=0 1 Если ва  с ,0 то х 1  ,1 х 2  НАПРИМЕР : 2 х  3 х  04 х 1  ,1 х 2 с а  . .4 3 2 с а  7 4 . 2 2 х  03 х х 1  ,1 х 2  2 Если ва  с ,0 то х 1  ,1 х 2  НАПРИМЕР 4: х 2  11 х  07 х 1  ,1 х 2 2 х  6 х  07 х 1  ,1 х 2  7 Если в уравнении можно изменить знак перед одним из коэффициентов таким  образом, чтобы получить сумму коэффициентов  равной нулю, то корни уравнения изменят свой знак на противоположный. НАПРИМЕР: 2 4 х  11 х  07 х 1  ,1 х 2  2 4 х  11 х  07 х 1  ,1 х 2 . 7 4  7 4   В    большинстве квадратных уравнений (школьной программы) корни находятся  без особого труда подбором, основанном на теореме, обратной теореме Виета.  Но  этот способ становится практически неприменяемым, если уравнение имеет  дробные корни.   Так как не просто подобрать два числа, сумма которых равна ­  в а , а произведение  с а . Для преодоления возникающей трудности надо использовать известный прием,  позволяющий свести задачу к нахождению целых корней вспомогательного  уравнения. Рассмотрим этот случай: можно 2 Если  вх а 3  х 0 НАПРИМЕР: ас в с и  0 его 2 х 2 2 х  то корни   х 05 11  11 х 0 10 другое решить а. на  в ), 0 с   , 1 10 х , 2 (а х 1 разделить уравнение решаем устно эти разделим корни на 2 , получим х 1  1 2 , х 2  5 . Остановимся на этом приёме более подробно. Пусть требуется решить квадратное  уравнение  ах²+вх+с=0  (для него  х 1  2 х в а   хх 1  2 с а ) Умножив обе части данного уравнения на а, перепишем его в виде: 2   ах  у 2  ву    ахв 0 ас  0 ас у 1 у 1  у ах  у етв , ..  ас у , .. ет 2 2  у у 1 2  уу 1   ах х 1 2   ахх 2 1 2 2 Теперь видно, что для решения исходного уравнения 2 ах  вх 2 у  ву с  0  0 ас  достаточно  решить вспомогательное квадратное уравнение  и его корни разделить на а. Для практического применения этого  приёма формулируем его как инструкцию: «перебросить» коэффициент а в  свободный член, найти корни нового уравнения и разделить на а. НАПРИМЕР:    1.    у  х 6 2 0 х  у у 1 15  0 90 2  ,10 у 2  ,9 х 1  5 3 , х 2  3 2 .    12 у 2 2 х   13 13 у  03 х  0 36                             у 1  4 х 1  у 2  ,9 х 2 , 1 3 3  4 В дальнейшем, по мере накопления учащимися опыта в применении указанного  приёма можно отказаться от выписывания вспомогательного уравнения и  проводить следующие «мысленные» рассуждения: «Чтобы решить уравнение 3 2 х  11 х  06 , надо подобрать два числа, сумма которых ­ 11, а произведение –  18. Эти числа 2 и 9, значит корни данного уравнения    х 1  2 3 , х 2  3 . ТЕМА 2. Решение линейных уравнений. Занятия   1­2. Цель занятия:  обобщить, систематизировать и несколько расширить знания    учащихся об уравнениях первой степени.                                              Ход занятия: I .Теоретический материал.            Уравнения – одно из важнейших понятий математики. В большинстве  практических и научных задач, где какую–то величину нельзя непосредственно  измерить или вычислить по готовой формуле, удается составить соотношение (или  несколько соотношений), которым оно удовлетворяет. Так получают уравнение  (или систему уравнений) для  определения неизвестной величины.           Развитие методов решения уравнений, начиная с зарождения математики как науки, в данное время было основным предметом изучения алгебры. Привычная  для нас буквенная запись уравнений окончательно сложилась в XVI веке; традиция обозначать неизвестные последними буквами латинского алфавита, буквами    x, y,  z,…, а известные величины (параметры) первыми буквами латинского алфавита –  a, b, c,.. идет от французского ученого Р. Декарта. Решение многих практических задач сводится к решению уравнений, которые  можно преобразовать в уравнение  ax = b, где    a и b заданные числа, x –  неизвестное. Такое уравнение называют линейным.     Примеры:     3x – 4 = 5;    2x + 8 = 3x – 4;   (x + 4):2 = 3.      Решить уравнение с одним неизвестным – значит найти все те значения  неизвестного, при которых уравнение обращается в верное равенство. Все такие значения неизвестного называются его корнями  или решениями. Уравнение может иметь единственный корень,    например: 3х – 7 = 29  ­ 6х. Уравнение может иметь  несколько корней, например, уравнение (х ­1)(х ­2)(х–5)=0 имеет три корня: х 1 = 2; х 2 =2; х 3 = 5.    Уравнение может совсем не иметь корней, например, уравнение    х + 5 = х + 1.      Уравнение может иметь бесконечное множество решений, например  5 (х ­3) + 2 = 3(х ­4) + 2х – 1.           При решении линейных уравнений используются основные свойства уравнений. Любой член уравнения можно переносить из одной части уравнения в другую,  изменив его знак  на  противоположный. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не  равное нулю. Уравнения первой степени с одним неизвестным. Уравнением первой степени с одним неизвестным называется уравнения вида  ах +в =0, где х – неизвестное число, а (коэффициент при неизвестном) – любое  данное число, не равное нулю, в  (свободный член) – любое данное число. Примеры уравнений первой степени с одним неизвестным: 3 x 17 ;0     5,0 x 8 ;0      5 x 7 3 4 0  и т.д. Многие уравнения после некоторых преобразований приводятся к уравнению  первой степени с одним неизвестным.     Приведем пример:    1 x   3  x 2 2  3  12 x 1 .  2 Умножив обе части уравнения на 6, получим:  9  .1 72  2  3  1  4 x  x   x Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:                                  x 86 14  .0 Решив данное уравнение, получим корень   43x 7 .      В общем случае,  уравнение первой степени с одним неизвестным имеет  единственный корень. II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. Задания для самостоятельного решения.     Решите уравнения: 1)  x x   1 2  x x   2 1  2 0 .                                                      Ответ:   1,5. 2)  6  2  x x x   2 2  x 2 2  x 4 3)  2 x  x  x 1 2 x 1  1  x  x 1  0 .                                               Ответ:   8.  2 x                                              Ответ:   0. 4)   3 x  2 x 1  2 x x 4   1 3  1 .                                                         Ответ:    11 . 13 5)  x 3   3 x  x x   3 3  3  x 2 9 .                                                    Ответ:    1 . 4 6)  x 9 (6 x   5 )1  3 2  x (18 51 x  2 x 71  )1  15 x x (9   7 )1 .                                 Ответ:   2. 7)   х а  1  1 а 2 b 1   ( a b b a ) .                                                         Ответ:   ab  . ba 8)  27  x  x  31 7 2   x 3 1 .                                                  Ответ:  5. 9)  9 x 3 x   5 1   1 12 x  62 x 9   108 9(4 x  x 2  36 )1 x .                                    Ответ:  х=0,5. 10)  4 x   x 3  5 1  x 3  .                                                        Ответ:  нет решения. 11)  3 x  2 2  4 x  2  2 3  x 6 5  2 x 1 . .                                    Ответ:   6 12)  2  y 3 3  5  y 4 1 4  y  2 .                                                Ответ:  ­39. 13)  y  2 3  4  y 4 y  32 8 .                                                Ответ:  4. 14)  1  x 5   3 x  3 x x   7 5 .                                                         Ответ:  ­1. 15)  3 z   1 2   3 z  2  1  2 .                                                  Ответ:   1 . 6 16)  2 x 3 x 2   1 27  x   3 5  x 9  1  x 3 2 x .                                          Ответ:  5. 17)   7 x   5 x 25  3  5  x 19 3 x   2 2 x 125 2 x                                        Ответ:  х=7. 18)  2   1 y  2 y 4  7  y 2  2 9 y 3 y   7 8 2 y .                                         Ответ:  3. 19)   2 z z   3   z  3  1  3 z 5 .                                              Ответ:   1.                                20)  z  3  4  12 z 2  71  zz 2  21 .                                         Ответ:  5. III. Подведение итогов. ТЕМА 3.   Решение квадратных уравнений. Занятие 1. Квадратные уравнения. Цели занятия:  ­ повторить понятия «квадратное уравнение», «приведенное  квадратное уравнение»; ­ повторить и отработать решение уравнений методом выделения  полного квадрата двучлена и решение квадратных уравнений пообщей формуле  корней квадратного уравнения. Ход занятия. I.  Теоретический материал Уравнение  вида      (1), в котором левая часть – многочлен второй   bx ax  0 2 c степени относительно неизвестного, а правая – нуль, называется уравнением   второй степени  или квадратным.  В нормальном виде  квадратное уравнение записывают так:   2 ax  bx  c 0 , где   а≠0, в и с – любые действительные числа, а х – неизвестное.  Если  в уравнении  а = 1, то уравнение называется приведенным. Оно обычно записывается в таком виде:   , где  p  и q – любые  числа. Всякое  уравнение вида  (1)  можно  сделать приведённым; для этого  достаточно   0 px  q x 2 все  его  члены  разделить   на  a. Число   bD 2  4 ac  называется дискриминантом квадратного трехчлена ax 2 bx  c , а также дискриминантом уравнения   2 ax  bx  c 0 .    В зависимости от значения дискриминанта D  возможны три случая: D<0,  то уравнение не имеет действительных корней. D=0, то уравнение имеет единственное решение x  b a 2 . D>0, то уравнение имеет два корня:  x 2,1  b  2 a D , a  .0 Практические советы 1. Если второй коэффициент b четный  b 2 , то для нахождения корней удобно  k пользоваться формулами:  x 2,1   k 2  ac k a , a  .0 2. Старайтесь по возможности «работать» с квадратным трехчленом, у которого  старший коэффициент а положителен. Этого всегда можно добиться при  решении уравнений, неравенств с числовыми коэффициентами. Если  а=0, то уравнение  2 ax  bx  c 0  является линейным,  bx 0 c  (если 0b , то  x  ) c b II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. Задания для самостоятельного решения. . . . 10 3 1 2    1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.  3 x   1 x  2  20 .                                                         Ответ:  2;  x   44 x   3  3 0 .                                                     Ответ:   11 3 15 .   4 .                                 Ответ:  8; 3. 1; x  2  3   x  2  4   x  2  5  x 24 x  2  5   x 2  2   x  7 x  11 x 7  30 .                       Ответ:  5;   x 2   3 5  1  5 x 2 x  5 x  3  x 3  5   11 4 2  1  x 2   3  x 2 2  6  7 2  x  2  x  2   12 6  6 x   53 2 x 9  2 x   xx  18  9  x    x   x  28 5  14 2  2 3 .                                     Ответ:  2;  .                                     Ответ:  3;  47 . 73 2   5 .                               Ответ:  18;  15,8. x  7  .                               Ответ: 1;  67 . 65 .                                              Ответ: 1;  x 12 .                                               Ответ:   . 23 5 2 ; ­3. 3 9. 5  45  2 x 4  3  x 2 1 10. 1  2 x  1 1  x   2  6 2  x 1 3 39  x 1 2   x  x  x 2   2 11. 2 x 12.  x 13.  . x    63   2 5   4 8  2 1 2 3 x 2 x   2 2  16 2 2  16 x  .                          Ответ:  3; 1,4. 20  3 x .                                       Ответ:   2 0 8  8;57  73 . 2 x  2  3 x  4  x 2  3 x 36  0 .                                 Ответ: ­4; ­2; ­1; 1. 14. 2 2 x x   2 2 x x   7 3 2  x 2 x  4 .                                                 Ответ:  х=­1. 15. 2 x  4 x  10 4 x  5 2 x   2 .                                                 Ответ:  0; 1; 3; 4. III. Подведение итогов. Занятие 2. Неполные квадратные уравнения. Цели занятия:  ­  повторить определение неполного квадратного уравнения;                           ­  повторить способы решения неполных квадратных уравнений.                                              Ход занятия. I. Теоретический материал. Уравнение вида  ах 2 +вх=0.   Решим неполное квадратное уравнение  ах 2 +вх=0  в общем виде. Вынеся  х за  скобки, получим: х (ах+в)=0.    1)  х 1  =0;             2) ах+в=0, откуда  х 2 =­ b . a В частности, если  в=0, то получим:   х 2 =0, то есть уравнение имеет лишь один корень. (Задание для учащихся: привести примеры 2­3 неполных квадратных уравнений данного вида и решить их). Уравнения вида ах 2 +с=0. Перенесем свободный член  с  в правую часть и разделим уравнение на  а; тогда  получим уравнение  x 2 c a , равносильное данному. Рассмотрим следующие возможные случаи.      Случай 1. Пусть  а  и с – одинакового знака (то есть либо оба положительны,  либо оба отрицательны); тогда  c  есть положительное число,   ­ a c  –  a отрицательное число. Но мы знаем, что х 2 ≥0, а  потому не может равняться  отрицательному числу; в этом случае уравнение не имеет решений.      Так, например, уравнение 2х 2 +3=0 не имеет решений. Случай 2. Пусть с=0. Тогда уравнение примет вид: х 2 =0. Очевидно, что это  равенство будет верным только при х=0. Значит, при с=0 уравнение имеет  единственное решение х=0. Случай 3. Числа  а и с имеют противоположные знаки (одно из них положительно,  c а  другое отрицательно). Тогда число  a  отрицательно, а противоположное ему  c число  ­  a  положительно. В этом случае уравнение   исходное уравнение имеет два корня.  имеет два корня:   x  c a . Следовательно, и  x 2 c a   Примеры: 1)  2 9 x  4 ;0 x 1  2 3 , x 2  2 3 .                     2)  2 x  69,1  ;0 , x 21  .3,1                     3)  2 x  5 ;0 , x 21  .5 II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. Примеры для самостоятельного решения. 1. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней. а)  2 x  4 x  ;0       б)  2 x ;16         в)  2 x  x 4 ;0          г)  x 2 .16             А) нет корней;             Б) 0 и­ 4;             В) 0 и 4;                Г) 4 и ­4. 2. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней. а)  2 x ;01,0            б)  2 x  1,0 x  ;0          в)  2 x  1,0 x  ;0           г)  2 x  1,0 x  .0 А) 0 и 0,1;               Б) нет корней;          В) 0 и ­0,1;            Г) ­0,1 и 0,1. 3. Решите уравнение:     4. Решите уравнение:     18 x  3 x 2  0 . 4 2 x  20 x  .0 5. Решите уравнение:    3 2 x  x 4 0 . 6. Решите уравнение:   1 2 2 x  .8 x 7. Каждое уравнение соотнесите с множеством его корней. 4 x 2 0                  б)  а)  А) 0 и 2;                      Б) ­2 и 2;                      В) ­2 и 0;                 Г) Ø.                в)           г)  x 2  0 2 0 4 x x x  2 2  x 2 0 8. Решите уравнения: ; 2 x 4608 а)  8,0 ,0  0 ; 2,7  x   43 х  3 ; x 5 2  12 x б)  в)  г)  2,1 2 x  2 x  9,0 x 2   2 x  ,0 0135  . I. Подведение итогов.                                                               Занятие 3. Теорема Виета.  Цели занятия:  ­  повторить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета;                           ­  рассмотреть примеры применения теоремы Виета и теоремы,                               обратной теореме Виета, для решения квадратных уравнений. I. Теоретический материал. Теорема Виета. Если х1 и х2 – корни уравнения  формулы х1+х2=­р,  х  =q. 1 х 2 x 2 px  q =0, то справедливы     Для квадратного уравнения, заданного в общем виде, имеем:         х1+х2= ­ b ,  х1х2= a c a Теорема, обратная теореме Виета. Если данные числа  p,q, что:   2 1x   и    x  то   и   x 1 x 1 q p x , 2 2x  являются корнями приведенного  1x   и   2x  таковы,  квадратного уравнения  x 2 px  q =0. II. Упражнения по совершенствованию и закреплению знаний и умений. Задания для самостоятельного решения.