Элементы комбинаторики

Историческая справка

комбинации предметов

перестановки предметов

Р n = n!=1∙2∙3∙…∙n
Рп - число перестановок (Р первая буква французского слова permutation- перестановка)

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! и называют «эн факториал».
Например, 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24
В математике принято считать 0! =1 и 1! = 1

Задача. К кассе зоопарка одновременно подошли 5 человек. Сколькими способами они могут выстроиться в очередь?

Решение: У нас есть множество, состоящее из 5 элементов. Нам нужно подсчитать количество расположений этих элементов на 5 местах, то есть определить число перестановок 5 элементов. Это число равно 5!=1∙2∙3∙4∙5=120

   
   
Задача. Возвращаясь с прогулки, Петя обнаружил, что он забыл код замка от двери подъезда. Он помнит, что замок открывается одновременным нажатием трех кнопок из десяти, которые расположены в два ряда по пять штук в каждом, причем две кнопки должны быть нажаты в верхнем ряду, а одна – в нижнем. Какое максимальное число комбинаций должен перебрать Петя, чтобы открыть дверь?

Решение. Согласно условию задачи, две кнопки должны быть одновременно нажаты в ряду, состоящем из пяти кнопок. Количество выборок из 5 элементов по два равно С52=5!/(2!(5-2)!) =1∙2∙3∙4∙5/1∙2∙1∙2∙3=10
Следовательно, количество комбинаций нажатия двух кнопок в первом ряду равно 10.
Количество способов, которыми можно нажать одну кнопку в нижнем ряду
С51=5!/(1!(5-1)!) =1∙2∙3∙4∙5/1∙1∙2∙3∙4=5
Значит, максимальное количество комбинаций, которые должен перебрать Петя, чтобы открыть замок, равно
10∙5=50

Размещением из n элементов по k называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов .
Другими словами, комбинации, составленные из k элементов, взятых из n элементов, и отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов, называются размещениями из n элементов по k (0< k ≤ n ).


- размещение из n элементов по k элементов. А первая буква французского слова arrangement : «размещение», «приведение в порядок»

Задача. Ученики класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета?
Решение

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение: 1. Найдем сколькими способами можно выбрать 2-х юношей.

 
способами можно выбрать 2-х юношей;2. Найдем сколькими способами можно выбрать 2-х девушек.

 способами можно выбрать 2-х девушек.
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:    способами.
Ответ: 123

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

Решение:   способами можно выбрать 1 юношу;  способами можно выбрать 1 девушку.
Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать:   способами.

Ответ: 130 способов

Домашнее задание

Вычислить:
а) 7! ; б) 8! в) 6!-5! г)

2. Вычислить:

3. Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг?

4. Вычислить:
5. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?