"Формулы сокращенного умножения"

Урок  алгебры в 7 классе

 

                                     «У математиков существует свой язык - формулы»

                                                                                                                         С.Ковалевская.

Тема урока: «Формулы сокращенного умножения»

 

Цели урока:

 

Образовательная: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы; создать условия контроля (самоконтроля и взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

 

Развивающая: способствовать формированию умений применять приёмы: обобщения, сравнения, выделения главного, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти. Развитие познавательной активности учащихся.

 

Воспитательная: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности и взаимопомощи, через работу в парах и в группах.

 

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

 

 

Ход урока:

 

1.Организационный момент.

Мотивационная часть . Вступительное слово учителя

Ребята, наш сегодняшний урок посвящен формулам сокращенного умножения.

Эпиграфом к  уроку я выбрала слова Софьи Ковалевской «У математиков существует свой язык - формулы».
 Формулы сокращенного умножения имеют широкое применение в математике, особенно в старших классах, задания на применение формул сокращенного умножения есть и на ОГЭ. Их используют при решении уравнений, раскрытии скобок, разложении многочленов на множители, нахождении значений выражений.

Наша цель – обобщить и систематизировать знания по теме «Формулы сокращенного умножения», показать знание этих формул и умение применять их в различных математических ситуациях.  А напутствием к уроку нам будут слова академика Александрова: «Мне бы хотелось, чтобы слово «формула» не означало для вас «формальность», чтобы вы творчески подходили к применению их на практике».

 

2. Актуализация полученных знаний.

Для того чтобы  было легче обобщить все полученные знания по теме, мы с вами отправимся в небольшое путешествие по стране формул сокращенного умножения, во время путешествия мы посетим различные города этой страны. В каждом городе вы должны показать свои знания, умения и навыки. В процессе путешествия вы должны: закрепить изученный материал, показать уровень усвоения темы, проконтролировать и оценить свои знания. У каждого из вас на столе оценочный лист, где вы будете фиксировать свои результаты . Подпишите свои оценочные листы. Но для того чтобы попасть в страну ФСУ вам нужна виза. Визу выдают за знания.

 

Сейчас вы напишете  графический диктант, и вы сами определите, выдадут ли вам визу. Выполняем в тетрадях. Записываем число, классная работа, формулы сокращенного умножения.

Выполнение графического диктанта  ^ - да,   нет _

  Верно ли утверждение?

 

1. Выражение  2х²у³х³ - одночлен в стандартном виде.

2. Выражение, представляющее собой сумму одночленов – многочлен.

3.Одночлены с одинаковой буквенной частью – подобные одночлены.

4.Выражение (х+5) ² всегда больше или равно 0 

5.Квадрат двучлена  (а-2в) равен а²-4ав-4в² .

6.Выражение (х²-у²)  представляет собой  разность квадратов.

7. (х³+у³)- куб суммы.

8. Уравнение  х² -25=0 имеет два корня  5 и -5  

9.Выражение 16х⁴у⁶ -это квадрат одночлена  8х²у³

10.Выражение (х-у) ³  представляет собой   куб разности.

 

  Меняемся тетрадями, проверяем по слайду и оцениваем работу  соседа по парте.

 

 

НЕТ ДА ДА ДА НЕТ ДА НЕТ ДА НЕТ ДА

10 верных ответов- «5»

9-8 верных ответов  -«4»

7-5 верных ответов –«3»

меньше 5 верных ответов-«2»

 

Поднимите руку, кому поставили « 5»,  « 4», «3» вы получаете разрешение на посещение страны. Поднимите руку, кому поставили «2»? Если такие ученики имеются, то задаются дополнительные вопросы  на знания словесной формулировки фсу.

 

3. Закрепление изученного материала.

Начинаем наше путешествие.

  Оценочный лист.

ФИО------------------------------------------------------------------------------------------

 

Графический диктант	Город Теоретических знаний	Город Формул	Город Истины	Город Уравнений	Город  Эрудитов.	Активность во время путешествия	Всего баллов	Оценка

 

 Город теоретических знаний

 На  каждой  парте имеется карточка-домино. Работаете в парах. Карточка содержит вопрос и ответ. Первым начинает ученик, у которого карточка содержит слова «Старт» и «Финиш». Он задаёт стартовый вопрос. Он же даёт финишный ответ. Каждый ученик должен внимательно следить за ходом игры, чтобы не пропустить свой ответ. Ответив, ученик задаёт свой вопрос и т.д. Учитель указывает на ошибку, если прозвучал неправильный ответ. Все учащиеся одновременно следят и за тем, чтобы был дан правильный ответ. За игру в домино в оценочный лист вы себе поставите один балл, если верно ответите на вопрос, и 0 баллов, если пропустите свой ответ.

        

Итак «Математическое домино».

 

Финиш: Ответ: Произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Старт: Вопрос: Что называют многочленом?

 

Ответ:    Сумму одночленов.

Вопрос: Что называют одночленом?

 

Ответ: Произведение чисел, переменных и их степеней.

Вопрос: Какие слагаемые называют подобными?

 

Ответ:  Слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Вопрос: Как привести подобные слагаемые?

 

Ответ:  Сложить их числовые коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть.

Вопрос: Как умножить одночлен на многочлен?

 

Ответ: Одночлен умножить на каждый член многочлена, а результаты сложить.

Вопрос: Как перемножить одночлены?

 

Ответ: Перемножить числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями и результаты перемножить.

Вопрос: Как умножить две степени с одинаковыми основаниями?

 

Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Вопрос: Как возвести степень в степень?

 

Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Вопрос: Как умножить многочлен на многочлен?

 

 

Ответ: Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и результаты сложить.

Вопрос: Чему равен квадрат суммы  двух выражений?

 

Ответ: Квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

Вопрос: Чему равен квадрат разности?

 

Ответ: Квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

Вопрос: Чему равно произведение разности и суммы двух выражений?

 

Ответ: Разности квадратов этих выражений.

Вопрос: Чему равно произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы?

 

Ответ: Разности кубов этих выражений.

Вопрос: Чему равна сумма кубов двух выражений?

 

 Следующий город « Город формул»

 

Работа в парах. У каждой пары имеется лист  с заданием  № 1. Установите принцип соответствия и заполните таблицу.

А)(a+b)2 Б)(a-b)2 В) a2-b2 Г) (a+b)3 Д) (a-b)3 Е) a3+b3 Ж) a3-b3				1) (-в-а)(в-а) 2) a3+3a2b+3ab2+b3 3) a3-3a2b+3ab2-b3 4) (a+b)·(a2-ab+b2) 5) (a-b)·(a+b) 6) a2-2ab+b2 7) (b-a)2 8) (a-b)·(a2+ab+b2) 9) (-b+a)2 10) a2+2ab+b2 11) (b+a)2 12) (-a-b)2
А	Б	В	Г		Д	Е	Ж
10,11,12	6,7,9	1,5	2		3	4	8

 

В оценочный лист поставить: если все верные –5баллов, 6  верных – 4 балла,  5 верных – 3 балла, 4 верных -2 балла, меньше 4 верных 0 баллов.

 

Едем дальше.  Нам надо посетить «город Истины.»

Найдите лист  с заданием № 2. Каждый самостоятельно должен найти ошибку и записать правильный ответ в соответствующую графу.

 

	Найти ошибку	Ошибка	Правильный ответ
1	(4у-3х)(3х+4у)=8у2-9х2	8у2	16у2
2	100m4-4n6=(10m2-2n2)(10m2+2n2)	2n2	2n³
3	(3x+a)2=9x2-6ах+a2	-6aх	6aх
4	(6a2-9c)2=36a4-108a2c+18c2	18c2	81c2
5	х³+8=(х+2)(х²-4х+4)	-4х	-2х
6	(3х+1) ³=27х³+9х+9х+1	9х	27х2
	Количество баллов:

За каждое верное задание 1 балл. Впишите  количество баллов в оценочный лист.

Физкультминутка

Наверное, пришла пора разминаться? Давайте немного отдохнем.

Физкультминутка. Учитель называет числа или буквенные выражения. Если звучит число, являющееся квадратом какого-либо числа, то дети хлопают в ладоши 2 раза, если кубом – 3 раза, если одновременно и квадратом и кубом - 4 раза,  иначе смотрите на соседа и – улыбаетесь.

4; 27; 8; 1; 15; 49.

 МОЛОДЦЫ! А сейчас закройте глаза и кончиком носика по воздуху напишите слово математика. Садитесь.

 

Следующий город «Город уравнений»

 Мы попали в город уравнений.  

Выдающийся физик Альберт Эйнштейн – основоположник теории относительности - говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Вот и займёмся уравнениями.  Найдите лист с заданием №3.   Вы будете работать  в группе по 4 человека.  Решаете в тетрадях, после того как у каждого ученика группы решение будет оформлено в тетрадях, выписываете в бланк ответы и приносите бланк на проверку. За быстроту добавляется один балл.

Решите уравнения

 

1)  (x+6)²-(x-5)(x+5)=79                                           

2) (2-х)²-х·(х+1,5)=4                                                                3)(x+1)∙(9-x^²)=0

     4)

        

1.	1,5.
2.	0
3.	-3; -1; 3.
4.	-5; 2.

 

Из каждой группы к доске выходит 1 человек и решает уравнение с объяснением.

 

 Следующий город «Город  Эрудитов.»

 Вы знаете, что при помощи формул сокращённого умножения  можно производить вычисления в уме. Например:

         31²= (30+1)²=900+60+1=961

         29²=(30-1)²=900-60+1=841

         31·29=(30+1)(30-1)=900-1=899

         Но самый красивый фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5. О нём расскажет Хасанова Камилла

Сообщение учащегося:

         Проведём соответствующие рассуждения для 85². Имеем:

85²=(80+5)²=80²+2·80·5+5²=80(80+10)+25=80·90+25=7200+25=7225

         Замечаем, что для вычисления 85² достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 35²=1225 (3·4=12 и к полученному числу приписали справа 25).

Чтобы целое число с половиной возвести в квадрат, нужно умножить целое число на соседнее большее число и к результату приписать ¼. Например, (6½)²=42¼     (7½)²=56¼

Быстро и просто.

Давайте посмотрим, поняли ли вы.

1.  Возведите в квадрат: 45², 95², 125², (9½)², (20½)².

2. Задание на смекалку. Изменив положение одной цифры, добейтесь, чтобы равенство было верным:   102=100

Если вы поняли и у вас все получилось. То в оценочный лист поставьте 1 балл.

 

Город- Тест (  если останется время)

 ( Разноуровневая тестовая работа- вариант –А и вариант Б)

  Тестовая работа с самопроверкой. Учащиеся получают лист с тестом .

Букву, под которой записан правильный ответ надо вписать в таблицу.

 

4. Итог урока.

– Ребята! Наше путешествие подошло к концу.

Подведем итог: Для чего нужны формулы сокращенного умножения?

 

         Каждый ученик сегодня принимал участие в уроке. Сегодня, выполняя разнообразные задания, вы иногда допускали ошибки. И это неудивительно, любой человек не застрахован от ошибок, особенно, когда он только учится овладевать какой-либо наукой. Важно вовремя найти и исправить эти ошибки, понять, почему они появились, и стараться впредь не допускать их.

         Давайте, оценим свою активность на уроке (1-3 балла) и поставим себе оценку за урок:  25-21 баллов –«5»,  20-16 баллов  -«4», 15-10  баллов -«3» .

5. Домашнее задание

 тест Формулы сокращенного умножения.

6. Рефлексия

- Молодцы, ребята, я вижу вы успешно справились с заданиями. Мне очень приятно было с вами работать.

 И мое настроение после урока                       

А свое настроение отметьте   на рисунках в оценочном  листе.

 

                           

 

 

Спасибо за урок!    

 

 

 

 

 

 

 

Город теоретических знаний  «Математическое домино»

Старт: Вопрос: Что называют многочленом? Финиш: Ответ: Произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.	Ответ: Сложить их числовые коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть. Вопрос: Как умножить одночлен на многочлен?
Ответ:    Сумму одночленов. Вопрос: Что называют одночленом?	Ответ: Одночлен умножить на каждый член многочлена, а результаты сложить. Вопрос: Как перемножить одночлены?
Ответ: Произведение чисел, переменных и их степеней. Вопрос: Какие слагаемые называют подобными?	Ответ: Перемножить числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями и результаты перемножить. Вопрос: Как умножить две степени с одинаковыми основаниями?
Ответ: Слагаемые с одинаковой буквенной частью. Вопрос: Как привести подобные слагаемые?	Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней сложить. Вопрос: Как возвести степень в степень?
Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить. Вопрос: Как умножить многочлен на многочлен?	Ответ: Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и результаты сложить. Вопрос: Чему равен квадрат суммы  двух выражений?
Ответ: Квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения. Вопрос: Чему равен квадрат разности?	Ответ: Квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения. Вопрос: Чему равно произведение разности и суммы двух выражений?
Ответ: Разности квадратов этих выражений. Вопрос: Чему равно произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы?	Ответ: Разности кубов этих выражений. Вопрос: Чему равна сумма кубов двух выражений?

ФИ______________________________________________________

«Графический диктант»

Таблица ответов.

 

Номер задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ответ

 

 « Город формул»

А)   (a+b)2 Б)   (a-b)2 В)   a2-b2 Г)   a3+b3 Д)   a3-b3			1) (-в-а)(в-а) 4) (a+b)·(a2-ab+b2) 5) (a-b)·(a+b) 6) a2-2ab+b2 7) (b-a)2 8) (a-b)·(a2+ab+b2) 9) (-b+a)2 10) a2+2ab+b2 11) (b+a)2 12) (-a-b)2
А	Б	В	Г	Д

 

«город Истины»

	Найти ошибку	Правильный ответ
1	(4у-3х)(3х+4у)=8у2-9х2
2	100m4-4n6=(10m2-2n3)(10m2+2n3)
3	(3x+a)2=9x2- 6ах+a2
4	(6a2-9c)2=36a4-108a2c+18c2
5	х³+8=(х+2)(х²-2х+4)
6	27х3+1³= (3х+1)( 3х2-6х+1)
	Количество баллов:

  «Город уравнений» (Решение на листе)

 

1)  (x+6)² -(x-5)(x+5)=79

Решение:

 

 

 

 

                                              

2)  (x+1)∙(x^² -х+1)=0

Решение:

 

 

 

 

 

     3)

Решение:

        

 

 

 

 

«Город  Эрудитов» ( решение на листе )

1.     Возведите в квадрат: 45², 95², 125², (9½) ², (20½) ².

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Задание на смекалку. Изменив положение одной цифры, добейтесь, чтобы равенство было верным:  102=100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тест  «Формулы сокращенного умножения».  1 вариант

Примените формулы сокращенного умножения и выберите правильный ответ.

 

1.  (2х+5)²

 Ответы:           а) 4х²+25;                       б) 4х²+10х+25;                в) 4х²+20х+25.

 

2.  25х²-16

Ответы:            а) (4-5х)(4+5х);              б) (5х-4)(4+5х);               в) 5х²-4.

  

3.  (9-а)(а+9)

Ответы:             а) 81-а^2;                          б) а²-81;                            в) а²+81.

 

4.  8-а³ с³

Ответы:             а) (2-ас)(4+4ас+а²с²)      б) (2+ас)(4+4ас+а²с²)      в) (2-ас)(4+2ас+а²с²)

 

 5.  100х²-20ху+у²

 Ответы:            а) (у+10x) ²                     б) (у-10х) ²                          в) 20х²+у²

 

6.  (0,5х+7)(7-0,5х)

Ответы:              а) 49-0,25х²                    б) 49+0,25х                        в) 0,5х²+14

 

7.  (20-1)²

 Ответы:               а)  399                             б)  421                               в) 361

 

8. 49²-39²

Ответы:                а) 880                               б) 889                                в) 394

 

«Город уравнений» (Решение в тетради)

 

 

3)  (x+6)² -(x-5)(x+5)=79                                          

2) (2-х)² -х·(х+1,5)=4                                                               3)(x+1)∙(9-x^²)=0

     4)

        

«Город  Эрудитов» ( решение в тетради)

1.  Возведите в квадрат: 45², 95², 125², (9½) ², (20½) ².

2. Задание на смекалку. Изменив положение одной цифры, добейтесь, чтобы равенство было верным:  102=100

 

 

Тест  «Формулы сокращенного умножения».  2  вариант

Примените формулы сокращенного умножения и выберите правильный ответ.

 

1.  (у⁸-2х⁴у)²

 Ответы:            а) 4х⁸у²+4х⁴у⁹+у¹⁶          б) у¹⁶-4х⁴у⁹+4х⁸у²           в) у¹⁶-2х⁴у⁹+4х⁸у²

 

 

2.  4у⁶-9а⁴

Ответы:             а) (3а²+2у³)(2у³-3а²)       б) (3а²+2у³)(3а²-2у³)       в) (3а²+2у³)(3а²+2у³)

 

3. (с²+а⁴)(а⁴-с²)

 Ответы:            а) а⁴+с ⁸                            б) а⁴-с⁸                              в) а⁸-с⁴

 

4.  0,001х³-8

 Ответы:            а) (0,1х-2)(0,01х²+0,2х+4)     б) (0,1х-2)(0,01х²+0,4х+4)      в) (0,1х+2)(0,01х²-0,2х+4)

 

5.  25а²+49-70а

Ответы:             а) (5а-7) ²                          б) (5а+7)²                       в) (-7-5а)²

 

 

6.   -25- 2а - 0,04а²

Ответы:             а) (5+0,2а)                          б) (5-0,2а)²                      в) –(5+0,2а)²

 

7.  299²

  Ответы:            а)  90001                           б)  89999                          в) 89401

 

8. 299*301

Ответы:               а)  90001                           б)  89999                             в) 89401