Функции.

y c xв x1 x x2 ув y b α 0 b k x y 0 x Функции и их графики y y 0 x 0 x y 0 x

Содержание Содержание  Функции и их графики.  Преобразование графиков функций .  Свойства функций.

Функции.  Линейная функция  Квадратичная функция  Степенная функция  Обратная пропорциональность  Показательная функция  Логарифмическая функция  Тригонометрические функции

Линейная Линейная y = kx + функцияy = kx + функция b b y b – свободный  коэффициент k – угловой  коэффициент k = tg α b k Свойства линейной функции b α 0 x

Квадратичная y = ax2 + bx + c, а функцияy = ax2 + bx + c, а ≠ 0 ≠ 0 bb 2   x 2a 1,2 4ac  y bвx 2а y в  b4ac 2  4a Свойства квадратичной функции c x1 0 ув xв x2 x Квадратичная функция

Степенная функцияy = xn y y = xn, где n = 2k, k  Z y = xn, где n = 2k, k  Z y = xn, где n = 2k +1, k  Z y = xn, где n = 2k +1, k  Z 1 0 1 x Свойства степенной функции

Обратная пропорциональность y kk xx y = , k < y = , k < 0 0 kk xx y = , k > y = , k > 0 0 0 x Свойства обратной  пропорциональности

Степенная функция y = x-n, n – четное y y =y =11 x2x2 0 x Свойства степенной функции

Степенная функция y = x-n, n – нечетное y y =y =11 x3x3 0 x Свойства степенной функции

Показательная функция y y = ax, а > 0, a ≠ 1 y = y = ax y = ax y = 0 < a < ax 0 < a < ax 1 a > 1 1 a > 1 Свойства показательной функции 1 0 x

Логарифмическая функция y = loga x , а > 0, a ≠ 1 y y = loga y = loga 0 < a < 0 < a < 0 x x 1 1 y = loga y = loga a > 1 a > 1 x x 1 x Свойства логарифмической функции

Тригонометрические Тригонометрические функции y = sin x и y = функции y = sin x и y = cos x cos x y = sin y = sin x x y 1 0 -1 y = cos y = cos x x x Свойства функции  y = sin x Свойства функции  y = cos x

Тригонометрические Тригонометрические функции y = tg x и y = функции y = tg x и y = ctg x ctg x у y = tg y = tg x x −2 − π π y = ctg y = ctg x x Свойства функции  y = tg x 1 0 -1 π x 2 π Свойства функции  y = ctg x

Геометрические преобразования графиков  Преобразование вида y = f(x)+ b  Преобразование вида y = f(x – a)  Преобразование вида y = kf(x)  Преобразование вида y = f(mx)  Преобразование вида y = |f(x)|  Преобразование вида y = f(|x|)  Преобразование вида |y|= f(x)

1. Преобразование вида y = f(x)+b — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат Если b > 0, то происходит смещение Если b < 0, то происходит смещение

1. Преобразование вида y = f(x)+b y y = x2 + y = x2 + b b b 0 y = y = x2 x2 x

2. Преобразование вида y = f(x – a) — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на а единиц вдоль оси абсцисс Если а > 0, то происходит смещение смещени е Если а < 0, то происходит

2. Преобразование вида y = f(x – a) y y = y = x3 x3 0 a x y = (x – y = (x – a)3 a)3

3. Преобразование вида y = kf(x) — Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f(x) вдоль оси ординат Если , |k| > 1, то происходит Растяжени е Если , |k| < 1, то происходит  Сжатие

3. Преобразование вида y = y k 1 0 kf(x) у = k √х у = k √х у = √х у = √х 1 x

4. Преобразование вида y = f(mx) — Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс Если , |m|> 1, то происходит Если , |m|< 1, то происходит Сжатие Растяжени е

4. Преобразование вида y = f(mx) y x2y = y = (mx)2 (mx)2 x2 y = y = 1 2m 0 1 x

5. Преобразование вида y = | f(x)| — Это отображение нижней части графика функции y = f(x) в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением верхней части графика у 0 y = f(x) y = |f(x)| х

5. Преобразование вида y = | f(x)| y y = kx + b y = kx + b y y = = | | k k x x + + b b | | 0 b k x

6. Преобразование вида y = f (|x|) — Это отображение правой части графика функции y = f(x) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика y = f (|x|) у 0 х y = f(x)

6. Преобразование вида y = f (|x|) у =у =kk |x||x| y 0 у =у =kk x x x

7. Преобразование вида |y|= f(x) — Это отображение верхней части графика функции y = f(x) в нижнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением только верхней части графика у 0 y = f(x) |y| = f(x) х

7. Преобразование вида |y|= y = kx + b y = kx + b x | | y y | | b b = = k k x x + + f(x) y 0 b k

Свойства функций • Свойства линейной функции • Свойства квадратичной функции • Свойства степенной функции • Свойства обратной пропорциональности • Свойства показательной функции • Свойства логарифмической функции • Свойства тригонометрических функций: y = sin x y = tg x y = cos x y = ctg x

Свойства линейной функции y = kx + b 1о D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; +∞). 2о Если b = 0, то функция нечетная. Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 3о Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х = − . 4о Если k > 0, то функция возрастает при х(−∞; +∞). Если k < 0, то функция убывает при х(−∞; b k

Свойства квадратичной y = ax2 + bx + c, а ≠ 0 1о D(y) = (−∞; +∞). 2о Если a > 0, то E(y) = [ув ; +∞); Если a < 0, то E(y) = (−∞; ув ]. 3о Если b = 0, то функция четная. Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 2a 4о Если х = 0, то у = c, если у = 0, то х1,2 = 5о Если a > 0, то функция возрастает при х[xв ; +∞); функция убывает при х(−∞; хв ]. Если a < 0, то функция возрастает при х(−∞; хв ]; - b ± √ b2-4ac функции Подробнее

Свойства степенной функции y = xn Если n = 2k, где k  Z 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[0 ; +∞). 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х[0 ; +∞); Если n = 2k +1, где k  Z 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция

Свойства обратной пропорциональност у =k x и 1о D(y) = (−∞; 0)u(0; +∞) 2о E(y) = (−∞; 0)u(0 ; +∞) 3о Функция нечетная. 4о х ≠ 0, у ≠ 0. 5о Если k > 0, то функция убывает при х(−∞; 0)u(0; +∞). Если k < 0, то функция возрастает

Свойства степенной функции y = x- n Если n = 2k, где k  Z 1о D(y)=(−∞; 0)U(0; +∞). 2о E(y)=(0 ; +∞). 3о Функция четная. 4о Если х = 1, то у = 1. 5о Функция возрастает при х(−∞; 0); убывает при х(0 ; +∞). Если n = 2k +1, где k  Z 1о D(y)=(−∞; 0)U(0; +∞). 2о E(y)=(−∞; 0)U(0; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 1, то у = 1; если х = -1, то у = -1.

Свойства показательной y = ax, а > 0, a ≠ 1 функции 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=(0 ; +∞). 3о Функция ни четная, ни нечетная. 4о Если х = 0, то у = 1. 5о Если а > 1, то функция возрастает при х(−∞; +∞). Если 0 < а < 1, то функция убывает Подробнее  при х(−∞; +∞).

Свойства логарифмической функции y = loga x , а > 0, a ≠ 1 1о D(y)= (0 ; +∞). 2о E(y)= (−∞; +∞). 3о Функция ни четная, ни нечетная. 4о Если х = 1 , то у = 0. 5о Если а > 1, то функция возрастает при х(0; +∞). Если 0 < а < 1, то функция убывает при х(0; +∞). Подробнее

Свойства функции y = sin x 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[−1; 1]. 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. х[− +2πn; +2πn]. 5о Функция возрастает π при х[ +2πn; +2πn]. 2 π Функция убывает при 2 6о Подробнее  xmin = − +2πn, где nZ. π xmax = 2 +2πn; π 2 π 2 3 π2

Свойства функции y = cos x 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[−1; 1]. 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 1. 5о Функция возрастает при х[−π+2πn;2πn], nZ. Функция убывает при х[2πn; Π+2πn], где nZ. 6o xmax = 2πn; xmin = π+2πn, где nZ. Подробнее

π 2 (− +πn; +πn), Свойства функции y = tg x π 1о D(y)= 2 где nZ. 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х где nZ. 6o Экстремумов нет. Подробнее  (− +πn; +πn), π 2 π 2

Свойства функции y = ctg x 1о D(y)=(πn; π+πn), где nZ 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. π 4о х ≠ 0; у = 0 если х , где nZ. = 2 +πn 5о Функция убывает при х(πn; π+πn), где nZ. 6o Экстремумов нет. Подробнее