Функции и их графики.
Преобразование графиков функций.
Свойства функций.
Линейная функция
Квадратичная функция
Степенная функция
Обратная пропорциональность
Показательная функция
Логарифмическая функция
Тригонометрические функции
Свойства линейной функции
Свойства квадратичной функции
Свойства степенной функции
Свойства обратной пропорциональности
Свойства показательной функции
Свойства логарифмической функции
Свойства тригонометрических функций:
y = sin x y = tg x
y = cos x y = ctg xфункции и их графики
y
c
xв
x1
x
x2
ув
y
b
α
0
b
k
x
y
0
x
Функции и их графики
y
y
0
x
0
x
y
0
x
Содержание
Содержание
Функции и их графики.
Преобразование графиков функций
.
Свойства функций.
Функции.
Линейная функция
Квадратичная функция
Степенная функция
Обратная пропорциональность
Показательная функция
Логарифмическая функция
Тригонометрические функции
Линейная
Линейная
y = kx +
функцияy = kx +
функция
b
b
y
b – свободный
коэффициент
k – угловой
коэффициент
k = tg α
b
k
Свойства линейной функции
b
α
0
x
Квадратичная
y = ax2 + bx + c, а
функцияy = ax2 + bx + c, а
≠ 0
≠ 0
bb
2
x
2a
1,2
4ac
y
bвx
2а
y
в
b4ac
2
4a
Свойства квадратичной функции
c
x1
0
ув
xв
x2
x
Квадратичная функция
Степенная
функцияy =
xn
y
y = xn, где n = 2k, k Z
y = xn, где n = 2k, k Z
y = xn, где n = 2k +1, k Z
y = xn, где n = 2k +1, k Z
1
0
1
x
Свойства степенной функции
Обратная
пропорциональность
y
kk
xx
y = , k <
y = , k <
0
0
kk
xx
y = , k >
y = , k >
0
0
0
x
Свойства обратной
пропорциональности
Степенная функция
y = x-n, n – четное
y
y =y =11
x2x2
0
x
Свойства степенной функции
Степенная функция
y = x-n, n – нечетное
y
y =y =11
x3x3
0
x
Свойства степенной функции
Показательная
функция
y
y = ax, а > 0, a
≠ 1
y =
y = ax
y = ax
y =
0 < a <
ax
0 < a <
ax
1
a > 1
1
a > 1
Свойства показательной функции
1
0
x
Логарифмическая
функция
y = loga x , а > 0, a
≠ 1
y
y = loga
y = loga
0 < a <
0 < a <
0
x
x
1
1
y = loga
y = loga
a > 1
a > 1
x
x
1
x
Свойства логарифмической функции
Тригонометрические
Тригонометрические
функции y = sin x и y =
функции y = sin x и y =
cos x
cos x
y = sin
y = sin
x
x
y
1
0
-1
y = cos
y = cos
x
x
x
Свойства функции y = sin x
Свойства функции y = cos x
Тригонометрические
Тригонометрические
функции y = tg x и y =
функции y = tg x и y =
ctg x
ctg x
у
y = tg
y = tg
x
x
−2
−
π
π
y = ctg
y = ctg
x
x
Свойства функции y = tg x
1
0
-1
π
x
2
π
Свойства функции y = ctg x
Геометрические
преобразования
графиков
Преобразование вида y = f(x)+ b
Преобразование вида y = f(x – a)
Преобразование вида y = kf(x)
Преобразование вида y = f(mx)
Преобразование вида y = |f(x)|
Преобразование вида y = f(|x|)
Преобразование вида |y|= f(x)
1. Преобразование вида y =
f(x)+b — Это параллельный перенос
графика функции y = f(x) на b
единиц вдоль оси ординат
Если b > 0, то
происходит смещение
Если b < 0,
то
происходит
смещение
1. Преобразование вида y =
f(x)+b
y
y = x2 +
y = x2 +
b
b
b
0
y =
y =
x2
x2
x
2. Преобразование вида y =
f(x – a)
— Это параллельный перенос
графика функции y = f(x) на а
единиц вдоль оси абсцисс
Если а > 0,
то
происходит
смещение
смещени
е
Если а < 0,
то
происходит
2. Преобразование вида y =
f(x – a)
y
y =
y =
x3
x3
0
a
x
y = (x –
y = (x –
a)3
a)3
3. Преобразование вида y =
kf(x)
— Это растяжение (сжатие) в k раз
графика функции y = f(x)
вдоль оси ординат
Если , |k| > 1, то
происходит
Растяжени
е
Если , |k| <
1, то
происходит
Сжатие
3. Преобразование вида y =
y
k
1
0
kf(x)
у = k √х
у = k √х
у = √х
у = √х
1
x
4. Преобразование вида y =
f(mx)
— Это растяжение (сжатие) в m
раз графика функции y = f(x)
вдоль оси абсцисс
Если , |m|> 1,
то
происходит
Если , |m|< 1,
то
происходит
Сжатие
Растяжени
е
4. Преобразование вида y =
f(mx)
y
x2y =
y =
(mx)2
(mx)2
x2
y =
y =
1
2m
0
1
x
5. Преобразование вида y = |
f(x)|
— Это отображение нижней части
графика функции y = f(x) в верхнюю
полуплоскость относительно оси абсцисс
с сохранением верхней части графика
у
0
y = f(x)
y = |f(x)|
х
5. Преобразование вида y = |
f(x)|
y
y = kx + b
y = kx + b
y
y
=
=
|
|
k
k
x
x
+
+
b
b
|
|
0
b
k
x
6. Преобразование вида y = f
(|x|)
— Это отображение правой части графика
функции y = f(x) в левую полуплоскость
относительно оси ординат
с сохранением правой
части графика
y = f (|x|)
у
0
х
y = f(x)
6. Преобразование вида y = f
(|x|)
у =у =kk
|x||x|
y
0
у =у =kk
x x
x
7. Преобразование вида |y|=
f(x)
— Это отображение верхней части
графика функции y = f(x) в нижнюю
полуплоскость относительно оси абсцисс
с сохранением только верхней части графика
у
0
y = f(x)
|y| = f(x)
х
7. Преобразование вида |y|=
y = kx + b
y = kx + b
x
|
|
y
y
|
|
b
b
=
=
k
k
x
x
+
+
f(x)
y
0
b
k
Свойства функций
• Свойства линейной функции
• Свойства квадратичной функции
• Свойства степенной функции
• Свойства обратной пропорциональности
• Свойства показательной функции
• Свойства логарифмической функции
• Свойства тригонометрических функций:
y = sin x y = tg x
y = cos x y = ctg x
Свойства линейной
функции
y = kx +
b
1о D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; +∞).
2о Если b = 0, то функция нечетная.
Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни
нечетная.
3о Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х = − .
4о Если k > 0, то функция возрастает при
х(−∞; +∞).
Если k < 0, то функция убывает при х(−∞;
b
k
Свойства квадратичной
y = ax2 + bx + c, а
≠ 0
1о D(y) = (−∞; +∞).
2о Если a > 0, то E(y) = [ув ; +∞);
Если a < 0, то E(y) = (−∞; ув ].
3о Если b = 0, то функция четная.
Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни
нечетная.
2a
4о Если х = 0, то у = c, если у = 0, то х1,2 =
5о Если a > 0, то функция возрастает при х[xв
; +∞);
функция убывает при х(−∞; хв ].
Если a < 0, то функция возрастает при
х(−∞; хв ];
- b ± √ b2-4ac
функции
Подробнее
Свойства степенной функции
y =
xn
Если n = 2k, где k Z
1о D(y)=(−∞; +∞).
2о E(y)=[0 ; +∞).
3о Функция четная.
4о Если х = 0, то у =
0.
5о Функция
возрастает
при х[0 ; +∞);
Если n = 2k +1, где
k Z
1о D(y)=(−∞; +∞).
2о E(y)=(−∞; +∞).
3о Функция
нечетная.
4о Если х = 0, то у =
0.
5о Функция
Свойства обратной
пропорциональност
у =k
x
и
1о D(y) = (−∞; 0)u(0; +∞)
2о E(y) = (−∞; 0)u(0 ; +∞)
3о Функция нечетная.
4о х ≠ 0, у ≠ 0.
5о Если k > 0, то функция
убывает
при х(−∞; 0)u(0; +∞).
Если k < 0, то функция
возрастает
Свойства степенной функции
y = x-
n
Если n = 2k, где k Z
1о D(y)=(−∞; 0)U(0;
+∞).
2о E(y)=(0 ; +∞).
3о Функция четная.
4о Если х = 1, то у =
1.
5о Функция
возрастает
при х(−∞; 0);
убывает при х(0 ;
+∞).
Если n = 2k +1, где
k Z
1о D(y)=(−∞; 0)U(0;
+∞).
2о E(y)=(−∞; 0)U(0;
+∞).
3о Функция
нечетная.
4о Если х = 1, то у =
1;
если х = -1, то у
= -1.
Свойства показательной
y = ax, а > 0, a
≠ 1
функции
1о D(y)=(−∞; +∞).
2о E(y)=(0 ; +∞).
3о Функция ни четная, ни
нечетная.
4о Если х = 0, то у = 1.
5о Если а > 1, то функция
возрастает
при х(−∞; +∞).
Если 0 < а < 1, то функция
убывает
Подробнее
при х(−∞; +∞).
Свойства логарифмической
функции y = loga x , а > 0,
a ≠ 1
1о D(y)= (0 ; +∞).
2о E(y)= (−∞; +∞).
3о Функция ни четная, ни
нечетная.
4о Если х = 1 , то у = 0.
5о Если а > 1, то функция
возрастает
при х(0; +∞).
Если 0 < а < 1, то функция
убывает
при х(0; +∞).
Подробнее
Свойства функции
y = sin x
1о D(y)=(−∞; +∞).
2о E(y)=[−1; 1].
3о Функция нечетная.
4о Если х = 0, то у = 0.
х[− +2πn; +2πn].
5о Функция возрастает
π
при
х[ +2πn; +2πn].
2
π
Функция убывает при
2
6о
Подробнее
xmin = − +2πn, где
nZ.
π
xmax =
2
+2πn;
π
2
π
2
3
π2
Свойства
функции
y = cos x
1о D(y)=(−∞; +∞).
2о E(y)=[−1; 1].
3о Функция четная.
4о Если х = 0, то у = 1.
5о Функция возрастает при
х[−π+2πn;2πn], nZ.
Функция убывает при х[2πn; Π+2πn],
где nZ.
6o xmax = 2πn; xmin = π+2πn, где nZ.
Подробнее
π
2
(− +πn; +πn),
Свойства
функции
y = tg x
π
1о D(y)=
2
где nZ.
2о E(y)=(−∞; +∞).
3о Функция нечетная.
4о Если х = 0, то у = 0.
5о Функция возрастает при
х
где nZ.
6o Экстремумов нет.
Подробнее
(− +πn; +πn),
π
2
π
2
Свойства
функции
y = ctg x
1о D(y)=(πn; π+πn), где nZ
2о E(y)=(−∞; +∞).
3о Функция нечетная.
π
4о х ≠ 0; у = 0 если х , где nZ.
=
2
+πn
5о Функция убывает при х(πn; π+πn),
где nZ.
6o Экстремумов нет.
Подробнее
funk.ppt
