Функции и их графики

Функции и их графики. Преобразование графиков функций. Свойства функций. Линейная функция Квадратичная функция Степенная функция Обратная пропорциональность Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические функции Свойства линейной функции Свойства квадратичной функции Свойства степенной функции Свойства обратной пропорциональности Свойства показательной функции Свойства логарифмической функции Свойства тригонометрических функций: y = sin x y = tg x y = cos x y = ctg xфункции и их графики

Функции и их графики

y c xв x1 x x2 ув y b α 0 b k x y 0 x Функции и их графики y y 0 x 0 x y 0 x

Функции и их графики

Содержание Содержание  Функции и их графики.  Преобразование графиков функций .  Свойства функций.

Функции и их графики

Функции.  Линейная функция  Квадратичная функция  Степенная функция  Обратная пропорциональность  Показательная функция  Логарифмическая функция  Тригонометрические функции

Функции и их графики

Линейная Линейная y = kx + функцияy = kx + функция b b y b – свободный коэффициент k – угловой коэффициент k = tg α b k Свойства линейной функции b α 0 x

Функции и их графики

Квадратичная y = ax2 + bx + c, а функцияy = ax2 + bx + c, а ≠ 0 ≠ 0 bb 2   x 2a 1,2 4ac  y bвx 2а y в  b4ac 2  4a Свойства квадратичной функции c x1 0 ув xв x2 x Квадратичная функция

Функции и их графики

Степенная функцияy = xn y y = xn, где n = 2k, k  Z y = xn, где n = 2k, k  Z y = xn, где n = 2k +1, k  Z y = xn, где n = 2k +1, k  Z 1 0 1 x Свойства степенной функции

Функции и их графики

Обратная пропорциональность y kk xx y = , k < y = , k < 0 0 kk xx y = , k > y = , k > 0 0 0 x Свойства обратной пропорциональности

Функции и их графики

Степенная функция y = x-n, n – четное y y =y =11 x2x2 0 x Свойства степенной функции

Функции и их графики

Степенная функция y = x-n, n – нечетное y y =y =11 x3x3 0 x Свойства степенной функции

Функции и их графики

Показательная функция y y = ax, а > 0, a ≠ 1 y = y = ax y = ax y = 0 < a < ax 0 < a < ax 1 a > 1 1 a > 1 Свойства показательной функции 1 0 x

Функции и их графики

Логарифмическая функция y = loga x , а > 0, a ≠ 1 y y = loga y = loga 0 < a < 0 < a < 0 x x 1 1 y = loga y = loga a > 1 a > 1 x x 1 x Свойства логарифмической функции

Функции и их графики

Тригонометрические Тригонометрические функции y = sin x и y = функции y = sin x и y = cos x cos x y = sin y = sin x x y 1 0 -1 y = cos y = cos x x x Свойства функции y = sin x Свойства функции y = cos x

Функции и их графики

Тригонометрические Тригонометрические функции y = tg x и y = функции y = tg x и y = ctg x ctg x у y = tg y = tg x x −2 − π π y = ctg y = ctg x x Свойства функции y = tg x 1 0 -1 π x 2 π Свойства функции y = ctg x

Функции и их графики

Геометрические преобразования графиков  Преобразование вида y = f(x)+ b  Преобразование вида y = f(x – a)  Преобразование вида y = kf(x)  Преобразование вида y = f(mx)  Преобразование вида y = |f(x)|  Преобразование вида y = f(|x|)  Преобразование вида |y|= f(x)

Функции и их графики

1. Преобразование вида y = f(x)+b — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на b единиц вдоль оси ординат Если b > 0, то происходит смещение Если b < 0, то происходит смещение

Функции и их графики

1. Преобразование вида y = f(x)+b y y = x2 + y = x2 + b b b 0 y = y = x2 x2 x

Функции и их графики

2. Преобразование вида y = f(x – a) — Это параллельный перенос графика функции y = f(x) на а единиц вдоль оси абсцисс Если а > 0, то происходит смещение смещени е Если а < 0, то происходит

Функции и их графики

2. Преобразование вида y = f(x – a) y y = y = x3 x3 0 a x y = (x – y = (x – a)3 a)3

Функции и их графики

3. Преобразование вида y = kf(x) — Это растяжение (сжатие) в k раз графика функции y = f(x) вдоль оси ординат Если , |k| > 1, то происходит Растяжени е Если , |k| < 1, то происходит Сжатие

Функции и их графики

3. Преобразование вида y = y k 1 0 kf(x) у = k √х у = k √х у = √х у = √х 1 x

Функции и их графики

4. Преобразование вида y = f(mx) — Это растяжение (сжатие) в m раз графика функции y = f(x) вдоль оси абсцисс Если , |m|> 1, то происходит Если , |m|< 1, то происходит Сжатие Растяжени е

Функции и их графики

4. Преобразование вида y = f(mx) y x2y = y = (mx)2 (mx)2 x2 y = y = 1 2m 0 1 x

Функции и их графики

5. Преобразование вида y = | f(x)| — Это отображение нижней части графика функции y = f(x) в верхнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением верхней части графика у 0 y = f(x) y = |f(x)| х

Функции и их графики

Функции и их графики

6. Преобразование вида y = f (|x|) — Это отображение правой части графика функции y = f(x) в левую полуплоскость относительно оси ординат с сохранением правой части графика y = f (|x|) у 0 х y = f(x)

Функции и их графики

6. Преобразование вида y = f (|x|) у =у =kk |x||x| y 0 у =у =kk x x x

Функции и их графики

7. Преобразование вида |y|= f(x) — Это отображение верхней части графика функции y = f(x) в нижнюю полуплоскость относительно оси абсцисс с сохранением только верхней части графика у 0 y = f(x) |y| = f(x) х

Функции и их графики

Функции и их графики

Свойства функций • Свойства линейной функции • Свойства квадратичной функции • Свойства степенной функции • Свойства обратной пропорциональности • Свойства показательной функции • Свойства логарифмической функции • Свойства тригонометрических функций: y = sin x y = tg x y = cos x y = ctg x

Функции и их графики

Свойства линейной функции y = kx + b 1о D(y) = (−∞; +∞); E(y) = (−∞; +∞). 2о Если b = 0, то функция нечетная. Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 3о Если х = 0, то у = b, если у = 0, то х = − . 4о Если k > 0, то функция возрастает при х(−∞; +∞). Если k < 0, то функция убывает при х(−∞; b k

Функции и их графики

Свойства квадратичной y = ax2 + bx + c, а ≠ 0 1о D(y) = (−∞; +∞). 2о Если a > 0, то E(y) = [ув ; +∞); Если a < 0, то E(y) = (−∞; ув ]. 3о Если b = 0, то функция четная. Если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 2a 4о Если х = 0, то у = c, если у = 0, то х1,2 = 5о Если a > 0, то функция возрастает при х[xв ; +∞); функция убывает при х(−∞; хв ]. Если a < 0, то функция возрастает при х(−∞; хв ]; - b ± √ b2-4ac функции Подробнее

Функции и их графики

Свойства степенной функции y = xn Если n = 2k, где k  Z 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[0 ; +∞). 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х[0 ; +∞); Если n = 2k +1, где k  Z 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция

Функции и их графики

Свойства обратной пропорциональност у =k x и 1о D(y) = (−∞; 0)u(0; +∞) 2о E(y) = (−∞; 0)u(0 ; +∞) 3о Функция нечетная. 4о х ≠ 0, у ≠ 0. 5о Если k > 0, то функция убывает при х(−∞; 0)u(0; +∞). Если k < 0, то функция возрастает

Функции и их графики

Свойства степенной функции y = x- n Если n = 2k, где k  Z 1о D(y)=(−∞; 0)U(0; +∞). 2о E(y)=(0 ; +∞). 3о Функция четная. 4о Если х = 1, то у = 1. 5о Функция возрастает при х(−∞; 0); убывает при х(0 ; +∞). Если n = 2k +1, где k  Z 1о D(y)=(−∞; 0)U(0; +∞). 2о E(y)=(−∞; 0)U(0; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 1, то у = 1; если х = -1, то у = -1.

Функции и их графики

Свойства показательной y = ax, а > 0, a ≠ 1 функции 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=(0 ; +∞). 3о Функция ни четная, ни нечетная. 4о Если х = 0, то у = 1. 5о Если а > 1, то функция возрастает при х(−∞; +∞). Если 0 < а < 1, то функция убывает Подробнее при х(−∞; +∞).

Функции и их графики

Свойства логарифмической функции y = loga x , а > 0, a ≠ 1 1о D(y)= (0 ; +∞). 2о E(y)= (−∞; +∞). 3о Функция ни четная, ни нечетная. 4о Если х = 1 , то у = 0. 5о Если а > 1, то функция возрастает при х(0; +∞). Если 0 < а < 1, то функция убывает при х(0; +∞). Подробнее

Функции и их графики

Свойства функции y = sin x 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[−1; 1]. 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. х[− +2πn; +2πn]. 5о Функция возрастает π при х[ +2πn; +2πn]. 2 π Функция убывает при 2 6о Подробнее xmin = − +2πn, где nZ. π xmax = 2 +2πn; π 2 π 2 3 π2

Функции и их графики

Свойства функции y = cos x 1о D(y)=(−∞; +∞). 2о E(y)=[−1; 1]. 3о Функция четная. 4о Если х = 0, то у = 1. 5о Функция возрастает при х[−π+2πn;2πn], nZ. Функция убывает при х[2πn; Π+2πn], где nZ. 6o xmax = 2πn; xmin = π+2πn, где nZ. Подробнее

Функции и их графики

π 2 (− +πn; +πn), Свойства функции y = tg x π 1о D(y)= 2 где nZ. 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. 4о Если х = 0, то у = 0. 5о Функция возрастает при х где nZ. 6o Экстремумов нет. Подробнее (− +πn; +πn), π 2 π 2

Функции и их графики

Свойства функции y = ctg x 1о D(y)=(πn; π+πn), где nZ 2о E(y)=(−∞; +∞). 3о Функция нечетная. π 4о х ≠ 0; у = 0 если х , где nZ. = 2 +πn 5о Функция убывает при х(πn; π+πn), где nZ. 6o Экстремумов нет. Подробнее

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

06.11.2017