Геометрическая оптика и фотометрия

15. Геометрическая оптика и фотометрия Глава V ОПТИКА Значение показателя преломления п для некоторых веществ можно найти в таблице 18 приложения. 15.1. Горизонтальный луч света падает на вертикально расположенное зеркало. Зеркало поворачивается на угол а около вертикальной оси. На какой угол повернется отраженный луч? Решение: При повороте зеркала на угол а перпендикуляр к зеркалу, восстановленный в точке О падения луча, также повернется на угол а, поэтому угол падения тоже будет равен а, а угол между падающим и отраженным лучами равен 2а . расположен за центром зеркала, то его изображение действительное 2 Увеличение k=k /k =0.5 . Следовательно, высота y  = ky  =0,5 A<. обратное уменьшенное. 1 2 1 изображения y  = ky  =0,5 A<. 2 1 15.3. На каком расстоянии от зеркала получится изображение предмета в выпуклом зеркале с радиусом кривизны R = 40 см, если предмет помещен на расстоянии = 30 см от зеркала? Какова будет высота изображения, если предмет имеет высоту =2 см? Проверить вычисления, сделав чертеж на миллиметровой бумаге. Решение: Изображение А'В' предмета АВ мнимое, прямое, уменьшенное. Фокусное расстояние зеркала . sin    Используя  sin формулу зеркала имеем , откуда =-12 см. Увеличение  cos  + cos       +  ) = sin    = sin( . Высота изображения 15.4. Выпуклое зеркало имеет радиус кривизны R = 60 см. На расстоянии =10 см от зеркала поставлен предмет высотои =2 см. Найти положение и высоту изображения. Дать чертеж. Изображение А'В' предмета АВ мнимое, прямое, уменьшенное (см. рисунок к задаче 15.3). Фокусное расстояние зеркала. Используя формулу зеркала, имеем , откуда Увеличение Высота изображения 15.5. В вогнутом зеркале с радиусом кривизны R=40 см хотят получить действительное изображение, высота которого вдвое меньше высоты самого предмета. Где нужно поставить предмет и где получится изображение? Решение: Из подобия треугольников ABF и CDF следует, что —(1). По формуле вогнутого зеркала имеем — (2), откуда — (3). Из сравнения соотношений (1) и (2) получаем . По условию , следовательно , или — (4). Фокусное расстояние зеркала Из (2) найдем , подставляя (4), получим F= , следовательно, . Таким образом, предмет нужно поместить в центр кривизны зеркала, а его изображение получится в фокусе. 15.6. Высота изображения предмета в вогнутом зеркале вдвое больше высоты самого предмета. Расстояние между предметом и изображением =15 см. Найти фокусное расстояние F и оптическую силу D зеркала. Решение: Имеем (см. задачу 15,5). По условию =15 см. Т.к. =10 см. изображение получится прямое, мнимое, увеличенное, если предмет находится м/у зеркалом и фокусом. Тогда по формуле зеркала , откуда фокусное расстояние . Оптическая сила зеркала 15.7. Перед вогнутым зеркалом на главной оптической оси перпендикулярно к ней на расстоянии от зеркала поставлена горящая свеча. Изображение свечи в вогнутом зеркале попадает на выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F'=2F. Расстояние между зеркалами F = 16  , их оси совпадают. Изображение свечи в первом зеркале играет роль мнимого предмета по отношению ко второму зеркалу и дает действительное изображение, расположенное между обеими зеркалами. Построить это изображение и найти общее линейное увеличение k системы. Решение: Имеем — (1), —(2), по условию —(3). Увеличение вогнутого зеркала , увеличение выпуклого зеркала , общее увеличение системы —(4). По условию , тогда из (1) найдем . Подставляя значение в (3), получим , откуда . Тогда из (2) найдем . Подставляя значения , в (4), найдем 15.8. Где будет находиться и какой размер будет иметь изображение солнца, получаемое в рефлекторе, радиус кривизны которого R=16 м? Решение: Диаметр Солнца , расстояние от Земли до Солнца м. Имеем —(1), где - расстояние от рефлектора до изображения Солнца (см. задачу 15.5). по формуле зеркала , откуда т.е. изображение будет находиться в фокусе. Это следует также из того, что расстояние до Солнца очень велико и его лучи можно считать параллельными, следовательно, они дадут изображение в фокусе. Из (1) найдем 15.9. Если на зеркало падает пучок света, ширина которого определяется углом , то луч, идущий параллельно главной оптической оси и падающий на край зеркала, после отражения от него пересечет оптическую ось уже не в фокусе, а на некотором расстоянии AF от фокуса. Расстояние называется продольной сферической аберрацией. Вывести формулы, связывающие эти аберрации с углом и радиусом кривизны зеркала R. Решение: Из равнобедренного треуголника ОАМ имеем . Продольная сферическая аберрация x=AF=OA­ , или =. При имеем , следовательно . Поперечная сферическая аберрация . Но , как внешеий угол треугольника АОМ, отсюда . При 15.10. Вогнутое зеркало с диаметром отверстия d=40 см имеет радиус кривизны R=60 см. найти продольную и поперечную сферическую аберрацию краевых лучей, параллельных главной оптической оси. Решение: Из задачи 15.9 имеем = — (1) — (2). Из рисунка видно, что , отсюда ; ; . подставляя числовые данные, получим х=1,8 см; у=1,44 см. 15.11. Имеется вогнутое зеркало с фокусным расстоянием F = 20 см. На каком наибольшем расстоянии h от главной оптической оси должен находиться предмет, чтобы продольная сферическая аберрация , - составляла не больше 2% фокусного расстояния F? Решение: Имеем (см. задачу 15.9).из рисунка видно, что или — (2). Из основного тригонометрического тождества имеем или с учетом (2): — (3). Подставляя (3) в (1) и учитывая, что х=0,02F, получим h=2F*0,2=0,08. 15.12. Луч света падает под углом i = 30° на плоскопараллельную стеклянную пластинку и выходит из нее параллельно первоначальному лучу. Показатель преломления стекла n = 15. Какова толщина d пластинки, если расстояние между лучами ℓ = 1,94 см? Смещение луча , где r—угол преломления луча в стекле. Толщина пластинки d связана со смещением луча следующим соотношением: . Согласно закону преломления sinr=sini/n  , т.е. cosr=, поэтому . Подставляя числовые данные, получим: d=0,1 м. 15.13. На плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной d = 1 см падает луч света под углом i = 60° . Показатель преломления стекла n = 1,73. Часть света отражается, а часть, преломляясь, проходит в стекло, отражается от нижней поверхности пластинки и, преломляясь вторично, выходит обратно в воздух параллельно первому отраженному лучу. Найти расстояние ℓ между лучами. Решение: Согласно закону преломления sin 3 = sini/n = 0,5,  следовательно, угол преломления г = 30°. Из ADC найдем тогда AB = 2d*tgr , а R = pE  . Подставляя числовые данные, получим: =0,58  см. l 15.14. Луч света падает под углом / на тело с показателем преломления п. Как должны быть связаны между собой величины i и η, чтобы отраженный луч был перпендикулярен к преломленному? Решение: Согласно закону преломления — (1). Из рисунка видно, что КOВ = , KOA = r (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Поскольку по закону отражения , а KOB+ KOA = 90°  (по условию), тоi + r = 90°.  Совместное решение (1) и (2) дает . 15.15. Показатель преломления стекла η = 1,52. Найти предельный угол полного внутреннего отражения β для поверхности Раздела: а) стекло — воздух; б) вода — воздух; в) стекло — вода. Решение: Полное внутреннее отражение происходит, если значение преломленного угла r 90°. При r = 90° из закона преломления имеем sin β =. Подставляя значение и для различных поверхностей раздела, найдем: a) sin  ; б) sin = 1/1,33 = 0.75 ; 49° в) sin   =1/1,52 = 0,65 15.16. В каком направлении пловец, нырнувший в воду, видит заходящее Солнце? Решение: Угол падения солнечных лучей i = 90°. Из закона преломления имеем , откуда ; r. Следовательно, пловец видит Солнце под углом = i­r = 41° к поверхности воды. 15.17. Луч света выходит из скипидара в воздух. Предельный угол полного внутреннего отражения для этого луча β = 42°23'. Найти скорость распространения света в скипидаре. Решение: Физический смысл абсолютного показателя преломления заключается в том, что он показывает, во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости света в данном веществе. Тогда скорости распространения света в скипидаре и в воздухе связаны с соответствующими показателями преломления соотношением — (1). Поскольку то из (1) — (2), где с = 3*10 8 м/с — скорость света в воздухе. Значение найдем из соотношения sin, откуда . Тогда из (2) найдем csinβ . Подставляя числовые данные, получим = 2,02 · 10 8 м/с. 15.18. На стакан, наполненный водой, положена стеклянная пластинка. Под каким углом i должен падать на пластинку луч света, чтобы от поверхности раздела вода — стекло произошло полное внутреннее отражение? Показатель преломления стекла n = 1,5. Решение: Но закону преломления . Если sin β , где — показатель преломления воды, то произойдет полное внутреннее отражение от поверхности раздела стекло — вода. Тогда , т.е. условия задачи неосуществимы. 15.19. На дно сосуда, наполненного водой до высоты h = 10 см, помещен точечный источник света. На поверхности воды плавает круглая непрозрачная пластинка так, что ее центр находится над источником света. Какой наименьший радиус r должна иметь эта пластинка, чтобы ни один луч не мог выйти через поверхность водь!? Решение: Лучи, идущие из светящейся точки А, падают на границу раздела вода — воздух расходящимся пучком. Те лучи, которые падают на границу раздела под углом, большим предельного , отразятся в воду, испытывая полное отражение, а в воздух выйдут лишь лучи, заключенные внутри конуса радиусом r и вершиной в точке А , Для лучей, идущих из воды в воздух под предельным углом, можно записать: — (1), где и — показатели преломления воды и воздуха соответственно. Из — (2). Решая совместно (1) и (2) относительно радиуса пластинки, получим: . Полагая, что показатели преломления воздуха и воды соответственно и , находим: 11,3 см. 15.20. При падении белого света под углом i = 45° на стеклянную пластинку углы преломления β лучей различных длин волн получились следующие: λ, нм β 589 23°47' 687 23°57' 759 24°2' 486 23°27' 397 22°57' Построить график зависимости показателя преломления материала пластинки от длины волны λ . Решение: числовые данные, дополним таблицу значениями n и построим график зависимости . Имеем . Т.к. , то . Подставляя λ, нм β N 759 24°2' 1,74 687 23°57' 1,74 589 23°47' 1,75 486 23°27' 1,78 397 22°57' 1,81 15.21. Показатели преломления некоторого сорта стекла для красного и фиолетового лучей равны =1,51 и = 1,53. Найти предельные углы полного внутреннего отражения и при падении этих лучей на поверхность раздела стекло — воздух. Решение: Имеем (см. задачу 15.15). Отсюда ; ; ; . 15.22. Что происходит при падении белого луча под углом r =41° па поверхность раздела стекло — воздух, если взять стекло предыдущей задачи? (Воспользоваться результатами предыдущей задачи.) Решение: Поскольку полное внутреннее отражение происходит при значениях угла падения (предельного угла полного отражения), то фиолетовые лучи испытают полное внутреннее отражение, а красные лучи выйдут из стекла в воздух. 15.23. Монохроматический луч падает нормально на боковую поверхность призмы, преломляющий угол которой γ = 40°. Показатель преломления материала призмы для этого луча n = 1,5. Найти угол отклонения δ луча, выходящего из призмы, от первоначального направления. Решение:  +      = 90°.    + 90° ­   +   = 180° Т. к. луч падает по нормали, то на первой поверхности он испытывает преломления. Обозначим через и в углы падения и преломления на второй поверхности. δ — угол между входящим лучом и продолжением — луча, выходящего из призмы. Угол — (1). Из 90° +   = 90°  (2). Подставим (2) в (1): Отсюда = ­  — (3). Угол α = 90°- φ. Из уравнения (2) φ = 90°- γ, следовательно, α-γ = 40° . Угол β найдем из закона преломления , откуда ; = 0,96, отсюда β = 74° . Тогда из (2) 74° - 40° = 34°. 15.24. Монохроматический луч падает нормально на боковую поверхность призмы и выходит из нее отклоненным на угол S~25°- Показатель преломления материала призмы для этого луча и = 1,7. Найти преломляющий угол у призмы. Решение:    +  ; См. решение задачи 15.23. Из уравнения (3) преломления n sin 0 = sin ; sin   +  ) = sin  отсюда sina = sin;n sin  = sin  cos  + cos  sin   = sin(      Из закона  =  +     cos  + cos     ;sin (n­cos ) = sin  cos , 0,53      .    . Но α = γ,  sin ; 15.25. Преломляющий угол равнобедренной призмы γ = 10° . Монохроматический луч падает на боковую грань под углом i = 10°. Показатель преломления материала призмы для этого луча n = 1,6 . Найти угол отклонения δ луча от первоначального направления. Решение: Преломляющий угол призмы и угол падения луча малы, для малых углов падения и преломления получаем . Поскольку , находим . Угол отклонения луча призмой . Подставляя числовые данные, получим δ = 6,2°. 15.26. Преломляющий угол призмы γ =45° . Показатель преломления материала призмы для некоторого монохроматического луча n = 1,6. Каков должен быть наибольший угол падения i этого луча на призму, чтобы при выходе луча из неё не наступало полное внутреннее отражение? Решение: Полное внутреннее отражение выходящего луча наступит при 90°. Согласно закону или n, откуда ; = 38,7°. Поскольку сумма углов γ , 90° - , и 90° - треугольника ABC равна 180°, найдем 6,3°. Далее имеем , откуда = arcsin(nsin) = 10°. Т. е, при углах падения больших 10° наступит полное внутреннее отражение. 15.27. Пучок света скользит вдоль боковой грани равнобедренной призмы. При каком предельном преломляющем угле γ призмы преломленные лучи претерпят полное внутреннее отражение на второй боковой грани? Показатель преломления материала призмы для этих лучей n = 1,6 . Решение: Полное внутреннее отражение выходящего луча наступит при = 90°. Согласно закону преломления или , откуда 0.625 ; = 38,7°. Поскольку сумма углов γ, 90°-, и 90°- треугольника АВС равна 1800, найдем — (1). Далее имеем , откуда . Тогда из (1) . 15.28. Монохроматический луч падает па боковую поверхность прямоугольной равнобедренной призмы. Войдя в призму, луч претерпевает полное внутреннее отражение от основания призмы и выходит через вторую боковую поверхность призмы. Каким должен быть наименьший угол падения i луча на призму, чтобы еще происходило полное внутреннее отражение? Показатель преломления материала призмы для этого луча n = 1,5. Решение: Полное внутреннее отражение выходящего луча наступит при = 90° . Согласно закону преломления или , откуда . Поскольку сумма углов 45°, 90°-, и 90° - треугольника ABC равна 180°, найдем = 45 °- =3,2°. Далее имеем , откуда . 15.29. Монохроматический луч падает на боковую поверхность равнобедренной призмы и после преломления идет в призме параллельно ее основанию. Выйдя из призмы, он оказывается отклоненным на угол δ от своего первоначального направления. Найти связь между преломляющим углом призмы γ, углом отклонения луча δ и показателем преломления для этого луча . Решение: Согласно закону преломления — (1). Поскольку сумма углов γ, 90°- и 90°-, треугольника ABC равна 180°, найдем γ = — (2). АВС —равнобедренный, следовательно, BAC = BCA  или 90°-= 90°-, откуда — (3). Тогда из (2) γ = или — (4). АОС также равнобедренный, сумма его углов 180°-δ + 20=180°, откуда — (5). Подставляя (5) в (2), с учетом (4), получим , откуда — (6). Поскольку , и с учетом (6), уравнение (1) можно записать в виде . 15.30. Луч белого света падает на боковую поверхность равнобедренной призмы под таким углом, что красный луч выходит из нее перпендикулярно к второй грани. Найти углы отклонения и красного и фиолетового лучей от первоначального направления, если преломляющий угол призмы γ = 45°. Показатели преломления материала призмы для красного и фиолетового лучей равны = 1,37 и = 1,42 . Красный луч выходит из второй грани под углом 0° (рис. 1 ) , следовательно, Решение: = 0, откуда = 0 °, т. е. красный луч падает на вторую грань перпендикулярно к ней. В АВС угол BAC равен 45°. Тогда = 90° - ВАС = 45° . По закону преломления , откуда 75,6° . Таким образом, мы найдем угол падения белого луча. Сумма углов треугольника ABC равна , откуда найдем угол отражения красного луча =30,6°. Угол отражения фиолетового луча — ( 1) , как внешний угол АВС (рис. 2). Кроме того, АЕВ =BDK , как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Угол BDK является внешним углом треугольника ABD, поэтому — (2). По закону преломления света — (3) и — (4) . Из (3) . Из (2) Из (4):. Подставив найденные значения углов в (1), получим 15.31. Найти фокусное расстояние кварцевой линзы для ультрафиолетовой линии спектра ртути ( = 259 нм), если фокусное расстояние для желтой линии натрия (= 589 нм) 16 см. Показатели преломления кварца для этих длин волн равны и . Решение: Для линзы, имеющей радиусы кривизны и имеем — (1), где — показатель пре ломления материала, из которого изготовлена линза. Для желтой линии из (1) имеем , откуда — (2). Поскольку для ультрафиолетовой линии — (3), то, подставляя (2) в (3), получим 15.32. Найти фокусное расстояние F для следующих линз: а) линза двояковыпуклая: = 15 см и = -25 см; б) линза плоско-выпуклая: =15 см и = см; в) линза вогнуто-выпуклая (положительный мениск): =15 см и = 25 см; г) линза двояковогнутая: = -15см и =25 см; д) линза плоско- вогнутая: = см; = -15 см; е) линза выпукло-вогнутая (отрицательный мениск): =25 см, =15 см. Показатель преломления материала линзы = 1,5. Решение: По формуле линзы — (1), откуда — (2). В случае плоско-выпуклой линзы уравнение (1) имеет вид: , откуда — (3). В случае плоско-вогнутой линзы уравнение (1) имеет вид: , откуда — (4). Подставляя числовые данные, получим: а) из (2) =0,188 м; б) из (2) в) из (2) г) из (2) д) из (4) е) из (2) 15.33. Из двух стекол с показателями преломления = 1,5 и = 1.7 сделаны две одинаковые двояковыпуклые линзы. Найти отношение их фокусных расстояний. Какое действие каждая из этих линз произведет на луч, параллельный оптической оси, если погрузить линзы в прозрачную жидкость с показателем преломления и ? Решение: Имеем ; (см. задачу 15.32). Отсюда 15.34. Радиусы кривизны поверхностен двояковыпуклой линзы == 50 см. Показатель преломления материала линзы = 1,5. Найти оптическую силу D линзы. Решение: Согласно формуле тонкой линзы . Поскольку по условию R, то . Подставляя числовые данные, получим . 15.35. На расстоянии =15 см от двояковыпуклой линзы, оптическая сила которой D = 10дптр, поставлен перпендикулярно к оптической оси предмет высотой =2 см. Найти положение и высоту изображения. Дать чертеж. Решение: F = 1/D = 0,1м предмет находится за фокусом. По условию AO= =0,15 м , OF = F = 0,1 м , АВ =   = 0,02 м . Фокусное расстояние линзы , т. е. Поскольку АВО подобен A’B’O, — (1). Кроме того, ABF подобен OKF, следовательно, или , откуда ОК = 0,04 м. По построению А'В' = OK = 0,04 м . Подставляя числовые данные в (1), получим , откуда OA’ = 0,3 м. 15.36. Доказать, что в двояковыпуклой линзе с равными радиусами кривизны поверхностей и с показателем преломления = 1,5 фокусы совпадают с центрами кривизны. Решение: По формуле тонкой линзы откуда , откуда при = = R, имеем 1.5 получим . 15.37. Линза с фокусным расстоянием F = 16  см дает резкое изображение предмета при двух положениях, расстояние между которыми d = 6 см. Найти расстояние от предмета до экрана. Решение: При n = Запишем формулу тонкой линзы для двух положений: . Предмет и экран неподвижны, следовательно, в первом случае предмет по отношению к линзе находится между первым и вторым фокусом, а во втором случае за вторым фокусом. Из (1) получим — (3). Из (2) получим — (4). Приравняем левые части уравнении (3) и (4) , откуда . Раскрыв скобки и проведя небольшое преобразование, получим — (5). Подставляя (5) в (3), получим ; ; . Тогда из (5) 15.38. Двояковыпуклая линза с радиусами кривизны поверхностей = = 12 см поставлена на таком расстоянии от предмета, что изображение на экране получилось в k раз больше предмета. Найти расстояние а, + а2 от предмета до экрана, если: а) к = \; б) к = 20; в) к = 0,2 . Показатель преломления материала линзы л = 1,5. Решение: Линейное увеличение линзы k = — (1). По формуле линзы или, при , , — (2). Из (1) имеем — (3). Подставляя (3) в (2), получим , откуда . Подставляя числовые данные, получим: а ) = 0,24м;  =  = 0,24 м;  = 0,48м  б) = 0,126 м;   =    = 2,52 м;   = 2,65 м в) = 0,72 м;  =  = 0,144 м;  = 0,864 м. 15.39. Линза предыдущей задачи погружена в воду. Найти ее фокусное расстояние F. Решение: В общем случае формула для расчета фокусного расстояния линзы имеет вид — (1), где = 1,5 — показатель преломления стекла, = 1,33 — показатель преломления воды. Т. к. R, то из (1) получим . Подставляя числовые данные, получим F = 0,46 м. 15.40. Решить предыдущую задачу при условии, что линза погружена в сероуглерод. Решение: Имеем . Показатель преломления сероуглерода = 1,63 . Подставляя числовые данные, получим F= -0,75 м. Т. е. линза будет рассеивающей. 15.41. Найти фокусное расстояние F2 линзы, погруженной в воду, если ее фокусное расстояние в воздухе F1 = 20 см. Показатель преломления материала линзы n =1,6. Решение: Имеем — (1); — (2), где - показатель преломления воздуха, = 1,33 — показатель преломления воды. Разделив (1) на (2), получим . Отсюда 15.42. Плоско-выпуклая линза с радиусом кривизны R = 30 см и показателем преломления n = 1,5 дает изображение предмета с увеличением k = 2. Найти расстояния и предмета и изображения от линзы. Дать чертеж. Решение: Толстые линзы, имеющие радиус кривизны и — двояковыпуклые, или и — плоско-выпуклые, проявляют себя как тонкие линзы, если рассматривать лучи, находящиеся вблизи главной оптической оси. Тогда аберрация не учитывается и построения аналогичны построениям в тонкой линзе. Линейное увеличение линзы , откуда — (1). Для плосковыпуклой линзы — (2) (см. задачу 15.32). Из (2) имеем . Подставляя это выражение в (1), получим , откуда м. Тогда из (1 ) найдем = 1,8 м. 15 43. Найти продольную хроматическую аберрацию двояковыпуклой линзы из флинтгласа с радиусами кривизны см. Показатели преломления флинтгласа для красного  ( кр крn = 1,5  и фn = 1,8  .  ( кр и фиолетового лучей равны = 430нм)   = 760нм)    ; б) 2  = 430 . Решение: Имеем (см. задачу 15.36). Подставляя числовые данные, получим м. Аналогично Таким образом, продольная хроматическая аберрация составляет . 15.44. На расстоянии = 40 см от линзы предыдущей задачи на оптической оси находится светящаяся точка. Найти положение изображения этой точки, если она испускает монохроматический свет с длиной волны: а)  1 = 760 =нм Решение: Из формулы линзы имеем — (1). В задаче 15.43 мы нашли, что для данной линзы длине волны λ1 =760нм соответствует фокусное расстояние 0,08 м, а длине волны λ2 = 430 нм соответствует фокусное расстояние 0,05 м. Подставляя числовые данные в (1), получим: а) = 0,1 м; б) = 0,057 м. 15.45. В фокальной плоскости двояковыпуклой линзы расположено плоское зеркало. Предмет находится перед линзой между фокусом и двойным фокусным расстоянием. Построить изображение предмета. Построение хода лучей показано на рисунке. Решение: Найти увеличение k, даваемое лупой с фокусным расстоянием , 15.46. для: а) нормального глаза с расстоянием наилучшего зрения ; б) близорукого глаза с расстоянием наилучшего зрения . Решение: Увеличение лупы . Подставляя числовые данные, получим: а) ; б) . 15.47. Какими должны быть радиусы кривизны поверхностей лупы, чтобы она давала увеличение для нормального глаза k = 10? Показатель преломления стекла, из которого сделана лупа, n = 1,5. Решение: Для нормального глаза расстояние наилучшего зрения L = 0,25 м — (1). Фокусное расстояние лупы (см. задачу 15.36), откуда — (2). Увеличение лупы , откуда — (3). Подставляя (3) в (2) и с учетом (1), получим 0,025 м. 15.48. Зрительная труба с фокусным расстоянием F = 50 см установлена на бесконечность. После того, как окуляр трубы передвинули на некоторое расстояние, стали ясно видны предметы, удаленные от объектива на расстояние α = 50м. На какое расстояние d передвинули окуляр при наводке? Решение: Зрительная труба дает изображение предметов, находящихся на бесконечности, в своей фокальной плоскости. Изображение предметов, находящихся на расстоянии α1 от объектива, получается на расстоянии , т. е. на дальше. Следовательно, окуляр нужно отодвинуть на столько же, чтобы созданное объективом изображение по-прежнему находилось в фокальной плоскости окуляра. Таким образом, 0,005 м. 15.49. Микроскоп состоит из объектива с фокусным расстоянием F1 = 2 мм и окуляра с фокусным расстоянием F2 = 40 мм. Расстояние между фокусами объектива и окуляра d = 18 см. Найти увеличение k , даваемое микроскопом. Решение: Поскольку созданное объективом изображение лежит в фокальной плоскости окуляра, то — (1), где α — расстояние от рассматриваемого предмета до объектива. Объектив дает изображение в фокальной плоскости окуляра, линейное увеличение объектива . Окуляр работает как лупа, поэтому угловое увеличение окуляра , где L = 0,25 м — расстояние наилучшего зрения нормального глаза. Отсюда полное увеличение микроскопа — (2). Из (1) найдем м. Подставляя числовые данные в (2), получим k = 568. 15.50. Картину площадью снимают фотоаппаратом, установленным от нее на расстоянии α = 4,5 м. Изображение получилось размером s = 5x5см2 . Найти фокусное расстояние F объектива аппарата. Расстояние от картины до объектива считать большим по сравнению с фокусным расстоянием. Решение: Поперечное увеличение ооъектива , отсюда — (1). По формуле линзы , откуда — (2). Подставляя (1) в (2), получим 15.51. Телескоп имеет объектив с фокусным расстояш F1 =150 см и окуляр с фокусным расстоянием F2 =10см. Под каким углом зрения видна полная Луна в этот телескоп, если невооруженным глазом она видна под углом = 31’ ? Решение: Из треугольника  СВ О найдем = CB1/CO2=CB1/F2 . Углы и малы, поэтому можно записать = CB1/F1 , 0 = CB1/F2 . Угловое увеличение телескопа . Отсюда найдем = CB1/CO1=CB1/F1. Из треугольника 1  СВ О 1 1 2 15.52. При помощи двояковыпуклой линзы, имеющей диаметр D = 9см и фокусное расстояние F = 50см, изображение Солнца проектируется на экран. Каким получается диаметр d изображения Солнца, если угловой диаметр Солнца α = 32' ? Во сколько раз освещенность, создаваемая изображением Солнца, будет больше освещенности, вызываемой Солнцем непосредственно? Решение: Диаметр изображения м. Поток лучей, попадающих на поверхность линзы площадью , концентрируется в изображении Солнца площадью . Тогда 15.53. Свет от электрической лампочки с силой света ℐ = 200 кд падает под углом а = 45° на рабочее место, создавая освещенность E = 141лк . На каком расстоянии r от рабочего места находится лампочка? Над какой высоте h от рабочего места она висит? Решение: Освещенность, создаваемая лампочкои, равна , отсюда = 1м. Высота 15.54. Лампа, подвешенная к потолку, дает в горизонтальном направлении силу света ℐ = 60 кд. Какой световой поток Ф падает на картину площадью S = 0,5 м2 , висящую вертикально на стене на расстоянии r=2 м от лампы, если на противоположной стене находится большое зеркало на расстоянии а = 2 м от лампы? Решение: Лампа создает на площади S картины освещенность или, поскольку , . Изображение лампы в зеркале, находящемся на расстоянии r+2a от картины, создает освещенность . Результирующая напряженность . Кроме того , откуда . Подставляя числовые данные, получим Ф = 8,3 лм. 15.55. Большой чертеж фотографируют сначала целиком, затем отдельные его детали в натуральную величину. Во сколько раз надо увеличить время экспозиции при фотографировании деталей? Решение: При фотографировании всего чертежа, размеры которого гораздо больше фотопластинки, изображение получается приблизительно в главном фокусе объектива. При фотографировании деталей изображение в натуральную величину получается при помещении предмета на двойном фокусном расстоянии от объектива (на таком же расстоянии получается и изображение на фотопластинке). Площадь изображения при этом увеличится в раза. Во столько же раз уменьшится освещенность фотопластинки, следовательно, время экспозиции надо увеличить в 4 раза. 15.56. 21 марта, в день весеннего равноденствия, на Северной Земле Солнце стоит в полдень под углом α = 10° к горизонту. Во сколько раз освещенность площадки, поставленной вертикально, будет больше освещенности горизонтальной площадки? Решение: Освещенность вертикальной площадки . Освещенность горизонтальной площадки . Отсюда ctga = 5,7. 15.57. В полдень во время весеннего и осеннего равноденствия Солнце стоит на экваторе в зените. Во сколько раз в это время освещенность поверхности Земли на экваторе больше освещенности поверхности Земли в Ленинграде? Широта Ленинграда φ = 60°. Решение: Освещенность поверхности Земли на экваторе . Освещенность поверхности Земли в Ленинграде . Отсюда отношение 15.58. В центре квадратной комнаты площадью S = 25м2 висит лампа. На какой высоте h от пола должна находиться лампа, чтобы освещенность в углах комнаты была наибольшей? Решение: Освещенность Е находится по формуле , где ℐ — сила света  = 2  . Тогда = 2,5 м. источника, r — расстояние от источника до угла комнаты, α — угол падения лучей. Из рисунка видно, что , поэтому можно записать . Для нахождения максимума Е возьмем производную и приравняемее к нулю: 0, отсюда 2tg 15.59. Над центром круглого стола диаметром D = 2 м висит дампа с силой света ℐ = 100кд. Найти изменение освещенности Е края стола при постепенном подъеме лампы в интервале 0,5 h 0.9 м через каждые 0.1 м. Построить график Е = f(h). Решение: Подставляя числовые данные, получим . Для заданного интервала значений h построим график. Освещенность края стола , где , . Отсюда . 15.60. В центре круглого стола диаметром D = 1,2 м стоит настольная лампа из одной электрической лампочки, расположенной на высоте h1 = 40 см от поверхности стола. Над центром стола на высоте h2 = 2 м от его поверхности висит люстра из четырех таких же лампочек. В каком случае получится большая освещенность на краю стола (и во сколько раз): когда горит настольная лампа или когда горит люстра? Решение: Настольная лампа создает освещенность (см. задачу 15.59). Люстра создает освещенность . Отсюда отношение . Подставляя числовые данные, получим Предмет при фотографировании освещается электрической 15.61. лампой, расположенной от него на расстоянии r1= 2 м. Во сколько раз надо увеличить время экспозиции, если эту же лампу отодвинуть на расстояние r2 = 3 м от предмета? Решение: Имеем , . Отсюда . Освещенность уменьшилась в 2,25 раза, следовательно, время экспозиции необходимо увеличить в 2,25 раза. Найти освещенность Е на поверхности Земли, вызываемую 15.62. нормально падающими солнечными лучами. Яркость Солнца В = 1,2*10 9 кд/м2. Решение: Яркость Солнца можно определить по формуле , где S — площадь видимого диска Солнца. По условию θ = 90°, следовательно, — (1), где D 1,4*10 м — диаметр Солнца. Отсюда освещенность поверхности Земли — (2), где R — расстояние от поверхности Земли до Солнца. Из (1) найдем — (3). Подставляя (3) в (2), получим 82*103 лк. 15.63. Спираль электрической лампочки с силой света ℐ = 100кд заключена в матовую сферическую колбу диаметром: a) d = 5 см; б) = 10см. Найти светимость R и яркость В лампы. Потерей света в оболочке колбы пренебречь. Решение: Если потерь света в оболочке колбы не происходит, то светимость R численно равна освещенности Е, т.е. R = E = — (1). Светимость R и яркость В связаны отношением , откуда — (2). Подставляя чиcловые данные, получим: а) В = 1,27*10  кд/м . R = 16*10лм/м   ; B = 4*10лм/м   ; B = 5,1*10кд/м б) 4 2 4 2 4 2 9  4 2 4 2 7 2 . Отсюда 15.64. Лампа, в которой светящим телом служит накаленный шарик диаметром d = 3 мм, дает силу света ℐ = 85 кд. Найти яркость В лампы, если сферическая колба лампы сделана: а) из прозрачного стекла; б) из матового стекла. Диаметр колбы D = 6см. Решение: Яркость лампы , где S — площадь проекции излучающеи поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения, а) Излучающей поверхностью является поверхность шарика, т. е. 1,2*10  кд/м . б) Если колба лампы сделана из матового стекла, то свет рассеивается и излучающей поверхностью является поверхность лампы, т. е. , отсюда 3*10  кд/м . 15.65. Какую освещенность E дает лампа предыдущей задачи на расстоянии r = 5 м при нормальном падении света? Решение: По определению . Таким образом, освещенность будет одинакова и для прозрачной и для матовой колбы. Подставляя числовые данные, получим Е = 3,4 лк. 15.66. На лист белой бумаги площадью S = 20х30 см2 перпендикулярно к поверхности падает световой поток Ф = 120лм. Найти освещенность E, светимость R и яркость В бумажного листа, если коэффициент отражения р = 0,75 . Решение: Имеем 2*103 лк. Поскольку светимость листа обусловлена его освещенностью, то = 1,5*103 лм/м2 . Светимость R и яркость В связаны соотношением , откуда = 480 кд/м2 . 15.67. Какова должна быть освещенность Е листа бумаги в предыдущей задаче, чтобы его яркость была равна Решение: Имеем — (1); R = pE — (2). Подставив (2) в (1), получим , откуда 4,2*104 лк. В = 10  кд/м ? 4 2 15.68. Лист бумаги площадью S = 10x 30 см2 освещается лампой с силой света ℐ = 100 кд, причем на него падает 0,5% всего посылаемого лампой света. Найти освещенность Е листа бумаги. Решение: Полный световой поток, испускаемый лампой 0Ф =4. На лист падает световой поток Ф =5*103Ф0. Освещенность . Подставляя числовые данные, получим Е = 210 лк. 15.69. Электрическая лампа с силой света ℐ = 100 кд посылает во все стороны в единицу времени =122 Дж/мин световой энергии. Найти механический эквивалент света К и к.п.д. η световой отдачи, если лампа потребляет мощность N = 100Вт. Решение: Принято переходный множитель, определяющий в ваттах мощность, необходимую для получения светового ощущения, вызываемого потоком в 1 люмен, измерять для определенного узкого интервала длин волн, соответствующего максимуму чувствительности глаза, а именно, λ= 555 нм. Этот фактор носит название механического эквивалента света. Он равен . Пересчитаем световую энергию из Дж/мин в Вт. 2,03 Дж/с = 2,03 Вт. Подставляя числовые данные, получим K = 0,0016Вт/лм. К.п.д. световой отдачи ; .