График зависимости

Функция у = √х , ее свойства и график
Для построения графика функции  дадим, как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений (неотрицательных, поскольку при х < 0 выражение  не имеет смысла) и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у. Разумеется, мы будем давать х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня. Итак:

Итак, мы составили таблицу значений функции:

Построим найденные точки (0; 0), (1;1), (4; 2), (6,25; 2,5), (0;3) на координатной плоскости (рис. 78). Они располагаются некоторой линии, начертим ее (рис. 79). Получили график функции . Обратите внимание: график касается оси у в точке (0; 0). Заметим, что, имея шаблон параболы у = х², можно без труда с его помощью построить график функции  , ведь это — ветвь той же параболы, только ориентированная не вверх, а вправо.

Свойства функции 
Описывая свойства этой функции, мы, как обычно, будем опираться на ее геометрическую модель — ветвь параболы (рис. 79).

1. Область определения функции — луч [0, +оо).
2. у = 0 при х = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на луче [0, + оо).
4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
5. у_наим. = 0 (достигается при х = 0), у_наи6 не существует.
6. Функция непрерывна на луче [0, +оо).

Комментариев требует лишь свойство 4. Почему мы считаем, что функция не ограничена сверху? Возьмем, например, число 10. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполнено неравенство  > 10? Конечно, достаточно взять х = 121, ведь  = 11, а 11 > 10. Возьмем число 40. Найдется ли такое значение х, для которого будет выполняться неравенство  > 40? Конечно, достаточно взять х = 2500, ведь  = 50, а 50 > 40. И вообще, какое бы положительное число т ни взять, всегда найдется такое х, что будет выполняться неравенство  > m (достаточно взять х = (m + 1)²; подумайте, почему это так).

А теперь обратим внимание на одно любопытное обстоятельство. Рассмотрим две функции: у =  (ее график изображен на рис. 79) и у = х2, где х> 0 (ее график изображен на рис. 80). Мы только что перечислили шесть свойств для первой функции, но абсолютно теми же свойствами обладает и вторая функция. Словесные «портреты» двух различных функций одинаковы. Математики не смогли вынести такой несправедливости, когда разные функции, имеющие разные графики, словесно описываются одинаково. Они обнаружили принципиальные различия в характере графиков, заметив, что график функции  обращен выпуклостью вверх, тогда как
график функции у = х², где х > 0, обращен выпуклостью вниз.

Обычно говорят, что функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 81); функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 82).

Свойство выпуклости будем в дальнейшем включать в процедуру чтения графика.

Функция у = f (х)у где f (х) = , принимает любые неотрицательные значения. В самом деле, какое бы конкретное значение у > 0 ни задать, всегда найдется такое х, что выполняется равенство f (х) = у, т.е.  = у; для этого достаточно положить х = у². Множество всех значений функции называют обычно областью  значений функции. Для функции у = областью значения значений является луч [0, + оо). Это, кстати, хорошо  читается по графику функции (рис. 79). Если спроецировать график на ось у, как раз и получится луч [0, + оо ).

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у =  на отрезке:
а) [0, 4]; б) [1, 5].

Решение, а) Построим график функции у =  и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 83). Замечаем, что У_наим. = 0 (достигается при х = 0), а у_наи6 = 2 (достигается при х = 4).

б) Построим график функции у =  и выделим его часть на отрезке [1, 5] (рис. 84). Замечаем, что у_наим = 1 (достигается при х = 1), а у_наиб =  (достигается при х = 5).
О т в е т: а) у_наим. = 0; у_наиб = 2; б) у_наим. = 1; ушиб = 

Пример 2. Решить уравнение  = 6 - х.
Решение.

1) Рассмотрим две функции у = 6 - x и y = 
2) Построим график функции у =  (рис. 85).
3) Построим график линейной функции у = 6 - х.
Это — прямая, которую можно построить по двум точкам (0; 6) и (6; 0). Прямая изображена на том же чертеже (рис. 85).
4) По чертежу устанавливаем, что графики пересекаются в одной точке А (4; 2). Так ли это на самом деле? Проверим: пара (4; 2) удовлетворяет и уравнению у =  и уравнению у = 6 - х.
Это значит, что точка (4; 2) на самом деле служит точкой пересечения построенных графиков. Заданное уравнение имеет один корень 4 — это абсцисса точки А.
Ответ: 4.
Пример 3. Построить график функции 
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (1; -2) (пунктирные прямые х = 1 и у = - 2 на рис. 86).

2) Привяжем функцию у =  к новой системе координат.
Для этого выберем контрольные точки для функции у = . , например (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3), но строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти точки отмечены на рис. 86). Построим ветвь параболы, проходящую через выбранные точки, — это и есть требуемый график (рис. 87).

Пример 4. Построить и прочитать график функции y = - 
Решение. Выше, в § 8, мы заметили, что график функции у = - f (х) получается из графика функции у = f (x) с помощью преобразования симметрии относительно оси х.
Воспользовавшись этим, построим график функции у =  и отобразим его симметрично относительно оси х (рис. 88). Это и будет график функции у = -  .

Перечислим свойства функции у = -  (по графику):
1. Область определения функции — луч [0, + оо).
2. у = 0 при х = 0; у < 0 при х > 0.

3. Функция убывает на луче [0, + оо).
4. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
5 У_наиб. = 0 (достигается при х = 0), у_наим не существует.
6. Функция непрерывна на луче [0, + од).
7. Область значений функции — луч (- оо, 0].
8. Функция выпукла вниз.

Пример 5. Построить и прочитать график функции  y =f(x), где

Решение. Сначала построим график функции у =  и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 89). Затем построим гиперболу  и выделим ее часть на открытом луче (4, + оо) (рис. 90). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 91).
Перечислим свойства функции у — f(x), т.е. прочитаем график.

1. Область определения функции — луч [0, + °о).
2. у = 0 при x = 0; у > 0 при х > 0.
3. Функция возрастает на отрезке [0, 4] и убывает на луче [4, + оо).
4. Функция ограничена и снизу и сверху.
5 У_наим. = 0 (достигается при х = 0); у_наи6 = 2 (достигается при х = 4).
6. Функция непрерывна в заданной области определения.
7. Область значений функции — отрезок [0, 2].
8. Функция выпукла вверх на отрезке [0, 4] и выпукла вниз на луче [4, + оо).

Скачано с www.znanio.ru