Данная методическая разработка предназначена для организации аудитор ной и внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся.
Материалы, представленные в методической разработке, разработаны на основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика». Представлены образцы решений заданий, а также индивидуальные задания по основным разделам темы «Определители, матрицы и операции над ними»: вычисление определителей 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда, вычисление определителей высших порядков, приведение матриц к ступенчатому виду и вычисление ранга матриц, выполнение действий с матрицами, вычисление значений многочленов от матрицы, нахождение неизвестных матриц из уравнений.
Представленные индивидуальные задания по вариантам (30 различных вариантов) могут быть также использованы в качестве раздаточного материала на практических занятиях.
В методической разработке приведены критерии оценивания отдельных заданий.
Министерство образования и науки Челябинской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«ЮжноУральский многопрофильный колледж»
Определители, матрицы
и операции над ними
Индивидуальные заданияЧелябинск 2018
О Д О Б Р Е Н О
Цикловой методической комиссией
естественнонаучных дисциплин
Протокол № 7
« 21 » марта 2018 г.
Председатель ЦМК
_____________О.Н. Суханова
Составитель:
категории ГБПОУ «ЮжноУральский многопрофильный колледж»
М.А. Вуйлова, методист, преподаватель математики высшей
Рецензент:
ГБПОУ «ЮжноУральский многопрофильный колледж»
Е.А.Кондратьева, преподаватель математики высшей категории
Данная методическая разработка предназначена для организации аудитор
ной и внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся.
Материалы, представленные в методической разработке, разработаны на
основе рабочей программы учебной дисциплины «Математика». Представлены
образцы решений заданий, а также индивидуальные задания по основным разделам
темы «Определители, матрицы и операции над ними»: вычисление определителей
3го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод
разложения по минорам какогонибудь ряда, вычисление определителей высших
порядков, приведение матриц к ступенчатому виду и вычисление ранга матриц,
выполнение действий с матрицами, вычисление значений многочленов от матрицы,
нахождение неизвестных матриц X из уравнений.
2Представленные индивидуальные задания по вариантам (30 различных
вариантов) могут быть также использованы в качестве раздаточного материала на
практических занятиях.
В методической разработке приведены критерии оценивания отдельных
заданий.
Критерии оценивания…………………………………….……………….….3
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Образец решения варианта
Вычисление определителя 3го порядка по правилу Саррюса …………....4
Вычисление определителя 3го порядка разложением по элементам
строки (столбца)……………………………………………………………..4
Вычисление определителя высшего порядка ………………………………5
Приведение матрицу к ступенчатому виду и вычисление
ранг матрицы …………………………………………………………………6
Выполнение действий с матрицами……………………………………..…..7
Вычисление значения многочлена от матрицы …………………………...9
Нахождение неизвестной матрицы X из уравнения.…………………...10
Индивидуальные задания…………………….…………………………………….12
Работа по данной теме оценивается следующим образом:
Оценка «отлично» ставится за правильные ответы на контрольные вопросы и
правильно решенные 80 – 100 % заданий.
Оценка «хорошо» ставится за правильные ответы на контрольные вопросы и
правильно решенные 60 – 80 % заданий.
3Оценка «удовлетворительно» ставится за правильные ответы на
контрольные вопросы и правильно решенные 50 – 60 % заданий.
Оценка «неудовлетворительно» ставится за выполнение менее половины
заданий.
Задание к работе
1. Вычислить определитель 3го порядка, используя метод Саррюса (или метод
треугольников) и метод разложения по минорам какогонибудь ряда.
2. Вычислить определитель высшего порядка.
3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы.
4. Выполнить действия с матрицами.
5. Вычислить значение многочлена от матрицы
6. Найти неизвестную матрицу X из уравнения.
( Af
.
)
Образец решения варианта.
1.Вычислить определитель 3го порядка 1) по правилу Саррюса (правило
треугольников). Это правило заключается в равенстве
Δ
а
11
а
а
21
31
а
12
а
а
22
32
а
13
а
а
23
33
ааа
22
11
33
ааа
23
12
31
ааа
21
32
13
.
(
ааа
22
13
31
ааа
12
21
33
ааа
32
23
11
)
Таким образом,
1
4
2
2
6
1
3
5
1
)3()1(4252161
14226)3((
))1(51
.71
2) Второе правило вычисления Δ называется разложением Δ по элементам
некоторой строки (или столбца). Например, разложение по элементам первой
строки имеет вид
4Δ
а
11
а
а
21
31
а
12
а
а
22
32
а
13
а
а
23
33
а
11
)1(
11
а
а
22
32
а
а
23
33
а
12
)1(
21
а
а
21
31
а
а
23
33
.
а
13
)1(
31
а
а
21
31
а
а
22
32
Определитель
Δ
4
0
7
2
13
30
1
0
0
разложим по элементам третьего столбца, т.е.
)1(1Δ
31
00
91
0
7
.
91
13
30
)1(0
32
4
7
2
30
)1(0
33
4
0
2
13
Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей значительно
упрощается, если какойнибудь ряд определителя имеет только один элемент,
отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя свойства
определителей. В определителе
Δ
231
18
2
1
21
умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к
третьей, получим
Δ
1
0
0
3
14
4
2
5
4
4
14
1
5
1
36
.
2. Вычислить определитель высшего порядка
Δ
5
1
9
3
1
8
4
27
9
3
7
2
6
6
2
4
3
10
2
8
2
1
9
3
1
.
Решение :
Используя свойства определителя, понизим порядок определителя. С этой
целью прибавим пятый столбец к первому :
Δ
3
0
0
0
0
8
4
27
9
3
7
2
6
6
2
4
3
10
2
8
2
1
9
3
1
3
4
27
9
3
2
6
6
2
3
10
2
8
1
9
3
1
;
5в полученном определителе 4го порядка четвертый столбец умножим на 3 и
прибавим к первому столбцу, затем умножим его на 2 и прибавим ко второму
столбцу, умножим его на 8 и прибавим к третьему столбцу, получаем
3
4
27
9
3
2
6
6
2
3
10
2
8
1
9
3
1
3
7
0
0
0
4
12
0
0
11
62
22
0
1
9
3
1
(73
)(12
)1)(22
5544
.
Из приведенного примера очевидно, что вычисление определителей высших
порядков значительно упрощается, если определитель привести к треугольному
виду.
3. Привести матрицу к ступенчатому виду и вычислить ранг матрицы
A
2
3
1
2
3212
3
2
2
32
1
1
2
.
Решение.
Говорят, что квадратная матрица имеет ступенчатый вид, если ниже ее
главной диагонали стоят нулевые элементы. Матрица приводится к ступенчатому
виду с помощью элементарных преобразований : а) перестановка строк, б)
умножение строки на число, в) прибавление к одной строки другой, умноженной на
некоторое число. Ранг матрицы A , rangA , равен количеству ненулевых строк
эквивалентной ей матрицы ступенчатого вида.
В первом столбце данной матрицы A ниже первого элемента получим
нулевые элементы с помощью преобразования в). Последовательно умножим
первую строку матрицы на (–2) и прибавим ко второй строке, умножим на (–3) и
прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке,
получим
A
3
2
1
50
8
1040
70
4
2
1
8
5
.
1
В полученной матрице во втором столбце во второй строке и ниже второй
строки отсутствуют единицы. Единицу можно получить, умножив вторую строку
на (
), или поделив на (–5) , а затем во втором столбце ниже второго элемента
получить нули с помощью преобразования в), при этом будут возникать дробные
числа. Во избежание вычислений над дробями получим единицу во втором столбце
второй строки иначе: ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на (–
5
61), результат запишем на месте второй строки. Далее, поделим третью строку на (–
2), четвертую строку на (–1), имеем
A
3
1
2
50
8
1040
70
4
2
1
8
5
1
0
0
0
2
1
4
7
3
2
10
4
2
7
8
5
1
0
0
0
2
3
21
2
5
7
4
2
7
4
5
.
Во втором столбце полученной матрицы ниже второго элемента получим
нулевые элементы. Последовательно умножим вторую строку полученной матрицы
на 2 и прибавим к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке,
затем третью строку поделим на 9 , четвертую строку поделим на 18. Во вновь
полученной матрице в третьем столбце ниже третьего элемента получим нулевой
элемент: третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, имеем
1
0
0
0
2
1
0
0
3
2
9
18
2
7
18
54
1
0
0
0
2
3
21
0
1
0
1
2
7
2
3
1
0
0
0
3
2
21
1
0
0
0
2
7
2
1
.
Отсюда заключаем, что
rang .
4A
4. Выполнить действия с матрицами
2
2
3
2
1
0
1
4
3
1
1
5
2
1
4
1
2
1
1
2
4
1
3
0
1
5
2
3
1
2
.
Решение. Обозначим
A
2
2
3
2
1
0
1
4
3
1
1
5
,
B
Произведение
1
2
4
1
3
0
1
5
C
,
1
2
1
2
1
4
BA имеет смысл, так как число столбцов матрицы A
, элементы которой
BAM
2
3
1
2
,
D
.
равно числу строк матрицы B . Находим матрицу
m
b
1
. Имеем
,4,1
2,1
a
a
a
j
ij
2
1
j
i
j
i
BAM
b
2
j
2
2
3
2
i
3
b
3
1
0
1
4
,
i
3
1
1
5
2
1
4
1
2
1
7
132)1(
)1(2
43)1()1(22
)1(02)2(
1)1(20)1()2(4)1(
41)1(12)3(
1121)1()3(
1524)1()2(
45)1(42)2(
17
8
3
12
1
1
6
15
.
Произведение
DC имеет смысл, так как тоже число столбцов матрицы C
равно числу строк матрицы D . Находим матрицу
p
ij
. Имеем
d
2,1
,
c
c
j
2
1
i
1
i
j
DCP
, элементы которой
DCP
d
j
2
1
2
4
1
i
,4,1
3
0
1
5
2
3
1
2
)1(1)3()3(21
)3(02)2(
)1(4)3()1(24
)3(521
2)3(
20)1()2(
2)1(
25)1(1
11
4
11
13
7
2
6
9
.
Разность
PM
имеет смысл, так как матрицы M и P имеют одинаковую
PMX
, элементы которой
размерность
x
,
m
ij
ij
j
2,1
,4,1
. Имеем
24 . Находим искомую матрицу
p
i
ij
PMX
11
1
1
4
6
11
15
13
)7(1
21
)6(6
15
9
17
11
)4(8
3
11
)13
7
2
6
9
12
(
17
8
3
12
6
4
14
25
6
1
12
6
.
Ответ : Результатом действия данных матриц является матрица
X
6
4
14
25
6
1
12
6
.
5. Вычислить значение многочлена f(x) от матрицы A , где
xf
(
)
2
x
5
x
4
,
A
1
2
32
.
Решение.
При вычислении значения многочлена f(x) от матрицы A вместо x
подставляем данную матрицу A , а свободный член многочлена записываем в
матричной форме, т.е. в виде E4
что и данная матрица A . Таким образом,
E единичная матрица того же порядка,
, где
8Af
(
)
2
1
32
2
5
1
2
32
4
01
10
,
1)
1
2
32
2
2
1
32
2
1
32
)2(122
)2(32)2(
3112
331)2(
2
10
5
7
,
2)
5
2
1
32
10
10
5
15
,
3)
4
01
10
04
40
.
Имеем
( Af
)
2
10
5
7
10
10
5
15
04
40
2
10
10
(
70)10
4
055
4
15
4
0
0
4
.
Ответ :
( Af
)
4
0
0
4
.
6. 1) Найти неизвестную матрицу X из уравнения
X
21
1
3
Решение.
Исходное уравнение запишем в матричной форме
1
3
12
.
AX , где
B
A
21
1
3
,
B
3
2
1
1
.
Матричное уравнение вида
AX имеет решение, если матрицы A и B –
B
квадратные матрицы одинакового порядка и матрица A – невырожденная, т.е.
detA . В этом случае для матрицы A существует обратная матрица
1A .
Умножая слева обе части уравнения
0
AX
A1
BAX
1
1
BA
AX на
1A , получим
B
единичная матрица,
EAA 1
искомая матрица.
, где
9Для данной матрицы A :
detA
1A . Найдем ее по формуле
A 1
1
det
21
1
3
A
11
A
12
A
5
0
. Следовательно, существует
A
21
A
22
, где
ijA
алгебраическое
дополнение элемента
A
,3
,1
A
A
12
21
11
ija матрицы A . Для данной матрицы A :
. Тогда
A 1
,2
A
1
22
1
5
3
1
2
1
и
1X
5
3
1
2
1
3
2
1
1
1
5
2)2(33
)1()2(13
)1()1(1)1(2)1(3)1(
1
5
Ответ :
5
5
1
05
1
11
0
1
X
1
0
.
.
2) Найти неизвестную матрицу X из уравнения
X
2
4
1
3
6
10
5
9
.
Решение.
Исходное уравнение запишем в матричной форме
XA , где
B
A
2
4
1
3
,
B
6
10
5
9
.
Матричное уравнение вида
XA имеет решение, если матрицы A и B –
B
detA , т.е. для матрицы A
0
1A . Умножая справа обе части уравнения
единичная матрица, или
1
AA 1
E
XA
B
квадратные матрицы одинакового порядка и
существует обратная матрица
на
BA
1
XE
1A , получим
, где
AXA
1BA
, или
X
1BA
Для данной матрицы A :
искомая матрица.
2
4
detA
1
3
2
0
. Следовательно, существует
1A . Найдем ее по формуле, указанной в примере 1), имеем
A
11
,1)1(
A
12
и
,3
A
2
22
)4(
1
2
,4
13
24
A
21
.
A 1
Тогда
X
6
10
5
9
1
2
13
24
1
2
6
10
5
9
13
24
10
1
2
453)6(
(
(493)10
251)6(
291)10
1
2
42
86
21
43
.
Ответ :
X
21
43
.
Индивидуальные задания
Вариант № 1
1.1.
21
41
81
3
9
27
1.2.
12011
20211
03120
41302
14021
1.3.
1
2
4
1
2
11
3
1
13
2
0
4
2
2
5
2
1
7
1.4.
143
512
146
1
2
2
43
5
101
31
0
1
5
1
3
0
4
1421
1310
1.5.
f(x)
2
x
2
x
3
,
A
21
43
1.6.
2
1
32
X
2
2
2
14
Вариант № 2
2.1.
2
1
2
2
1
2
1
21
2.2.
30
5
1
9
10
3
1
2
120
34
3
8
80
23
7
15
2.3.
4
3
9
5
1
5
7
21
1
8
15
6
6
7
2.4.
31012
42103
3
1
2
0
5
1
01
2
1
4
1
4
2
3
141
312
301
123
512
112.5.
f(x)
2
x
3
x
4
,
A
12
15
2.6.
X
24
23
23
41
Вариант № 3
3.1
3
1
3
3
1
3
1
31
3.2.
4
2
21
5
2
1
2
21
1
3
1
4
0
3
3.3.
2
5
4
1
4
3
2
1
0
1
1
2
3.4.
431
415
413
1
2
3
143
20
1
1
75
5
1
2
2
6
0
172
210
3
11
3.5.
f(x)
2
x
4
x
1
,
A
20
53
3.6.
3
1
22
X
15
1
22
Вариант № 4
4. 1.
4
1
4
4
1
4
1
41
4.2.
1
0
0
2
2
2
0
4
4
3
5
9
3
7
06
4.3.
3
2
4
10
12
31
02
55
4
6
1
14
4.4.
1
0
1
3
1
1
4
5
32
1
2
27
10
35
41
1
3
5
1
1
22
04
21
01
32
4.5.
f(x)
2
x
7
x
3
,
A
32
40
4. 6.
X
2
2
4
3
2
4
1
3
Вариант № 5
125.1.
5
1
5
5
1
5
1
51
5.2.
1
1
1
1
952
471
3
43
2
43
5.3.
3
5
1
7
1
2
4
1
02
5
1
2
3
4
5.4.
542
133
176
357
1
4
6
45
3
201
73
0
1
1
5
4
3
4
0
1
5412
4601
5.5.
f(x)
2
x
x
2
,
A
2
3
1
1
5.6.
2
1
2
3
X
2
13
2
1
Вариант № 6
6.1.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
6.2.
7
10
5
6
7
8
11
3
7
10
355
576
526
245
057
6.3.
32
21
05
7
4
10
11
7
5
6.4.
123
614
246
2
2
3
34
5
201
14
0
3
6
1
1
2
4
1301
2612
6.5.
f(x)
2
x
x
4
,
A
74
03
6.6.
X
2
2
3
4
4
2
1
3
Вариант № 7
7.1.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7.2.
512
123
321
511
1
2
4
1
7.3.
5
6
0
1
01
5
5
3
1
1
2
2
3
5
7
4
1
4
5
01
4
0
137.4.
34021
02312
2
1
5
2
1
3
0
1
1
2
4
1
1
2
3
412
323
130
123
352
7.5.
f(x)
2
x
4
x
5
,
A
31
12
7. 6.
3
1
22
X
13
2
1
2
Вариант № 8
8.1.
5
1
5
5
1
5
1
51
8.2.
4321
1432
2143
3214
8.3.
68
34
34
68
34
41
21
28
47
25
16
35
2
7
2
0
3
1
8.4.
42
36
32
5
2
835
042
276
124
506
724
123
364
532
8.5.
f(x)
2
x
2
x
4
,
A
31
05
8.6.
X
21
31
2
2
4
6
Вариант № 9
9.1.
6
1
6
6
1
6
1
61
9.2.
2
1
0
1
1
3
2
4
1
6
2
6
8
9
5
0
9.3.
01
2
1
11
5
3
2
1
3
1
8
0
1
5
7
8
15
2
9.4.
413
125
216
432
124
401
23
61
27
8
1
1
6
4
7
9.5.
f(x)
2
x
4
x
3
,
A
21
47
9.6.
1
3
2
2
X
2
14
2
2
14Вариант № 10
10.1.
7
1
7
7
1
7
1
71
10.2.
32
11
33
12
11
5
9
3
5
2
5
2
10.3.
3
4
1
6
4
1
2
1
3
3
11
5
2
2
3
1
4
1
1
10.4.
214
70
5
6
42
5
2
4
431
0
61
323
4
1
3
2
2
6
4321
7642
10.5.
f(x)
2
x
7
x
2
,
A
40
27
10.6.
X
3
2
1
1
4
6
2
2
Вариант № 11
11.1.
8
1
8
8
1
8
1
81
11.2.
11
63
01
32
11.4.
2
1
34
1
134
0
2
13
02
25
32
31
2
2
6
5
5
1
1
4
2
0
5
4
1
11.3.
3
1
5
3
1
5
4
1
7
6
2
10
432
201
13
04
53
1
2
1
11.5.
f(x)
2
x
3
x
2
,
A
3
1
1
2
11. 6.
2
2
3
1
X
2
2
14
2
Вариант № 12
1512.1.
8
0
8
1
8
1
8
1
8
12.2.
5
1
0
3
5
1
01
2
0
5
0
31
1
2
4
0
1
2
1
0
5
1
0
12.3.
2
0
4
1
1
1
0
1
22
42
12.4.
1
3
4
1
21
3
5
12
3
1
04
317
21
4
1
2
0
4
53
32
1
3
24
052
12.5.
f(x)
2
x
3
x
2
,
A
13
60
12.6.
X
31
21
6
4
2
2
Вариант № 13
13.1.
9
1
9
9
1
9
1
91
13.2.
3
1
0
2
0
3
2
1
1
2
3
0
2
0
1
3
13.3.
1
3
1
2
2
2
2
5
4
3
01
7
4
4
3
1
1
2
1
13.4.
1
4
3
2
1
1
12
20
13
31
1
0
21
1
2
2
1
3
4
1
0
1
0
3
6
2
1
4
1
1
5
0
1
2
4
1
0
13.5.
f(x)
2
x
x
6
,
A
31
1
2
13.6.
2
3
1
1
X
2
3
2
7
Вариант № 14
14.1.
3
0
3
1
3
1
3
1
3
14.2.
5
2
4
0
3
2
14
5
1
4
2
0
2
3
3
14.3.
2523
3114
2432
5546
2
8
3
5
14.4.
201
312
3
4
5
1
0
1
1
2
2
4
0
1
1
1
4
2
6
1
01
23
52
10
1
3
2
1614.5.
f(x)
2
x
4
x
5
,
A
2
0
5
2
14.6.
X
21
31
2
2
6
4
Вариант № 15
15.1.
10
1
10
1
10
1
10
1
10
15.2.
2
4
0
1
7
2
8
0
1
0
9
0
53
6
3
15.3.
2
0
2
3
04
42
64
0
2
15.4.
21
12
401
3
12
1
0
2
1
1
2
1
3
1
4
3
2
4
1
1
5
0
31
1
2
1
2
0
1
2
1
1
2
11
3
0
2
3
15.5.
f(x)
2
x
3
x
2
,
A
4
1
01
15.6.
3
2
1
1
X
3
2
7
2
16.1.
11
1
11
1
11
1
11
1
11
16.2.
Вариант № 16
210012
301103
231132
042240
101101
110011
16.3.
478
123
232
5
4
3
16.4.
0
4
1
2
01
12
2
1
2
3
5
1
3
2
2
1
1
3
1
4
01
1
2
1
0
5
1
2
6
1
4
1
3
16.5.
f(x)
2
x
4
x
3
,
A
1
3
2
1
16.6.
X
3
2
1
1
24
62
17Вариант № 17
1
7
0
7
17
7
1
7
17.2.
2
1
0
3
1
0
1
2
3
2
11
2
0
1
0
17.3.
1
4
3
1
1
0
1
3
2
4
2
2
4
9
5
3
4
2
1
0
3
1
1
1
1
0
21
1
3
2
3
45
2
1
1
0
32
0
1
2
1
0
4
3
3
1
4201
411
2
5102
17.1.
17.4.
17.5.
f(x)
2
x
5
x
2
,
A
01
3
5
17.6.
21
31
X
2
2
37
Вариант № 18
18.1.
1
5
0
5
15
5
1
5
18.2.
1
6
0
4
33
5
2
40
321
3
14
18.3.
123
131
312
574
4
5
2
12
18.4.
3
14
011
102
2
2
4
12
3
5
11
2
4
_
4
0
9
7
12
2
5
3
3
1
0
2
21
5
2
0
1
3
1
3
1
1
4
18.5.
f(x)
2
x
5
x
3
,
A
32
0
6
18.6.
X
2
3
1
1
26
42
Вариант № 19
1819.1.
16
60
16
6
1
6
19.2.
13
01
25
10
02
201
01
4
0
12
4
50
311
19.3.
2
3
1
0
2
2
1
53
321
12
1
19.4.
5
2
0
4
1
3
1
5
4
1
2
1
321
102
0
21
4
1
3
3
2
5
1
1
4
0
3
562
30
1
1
2
19.5.
f(x)
2
6
x
x
,
A
1
3
21
19.6.
31
21
X
7
3
22
Вариант № 20
20.1.
1
4
0
4
14
4
1
4
20.2.
3
2
0
1
1
0
21
3
4
2
0
1
1
3
2
20.3.
20341
31572
08121
20.4.
5
6
0
1
01
3
1
1
2
3
5
1
4
1
2
1
0
1
2
1
3
4
6
1
1
3
1
21
1
0
4
0
0
2
1
5
0
1
3
1
7
1
6
20.5.
f(x)
2
x
7
x
1
,
A
2
0
3
4
20.6.
X
2
2
3
1
4
2
14
1
Вариант № 21
21.1.
1
3
0
3
13
3
1
3
21.2.
4321
4322
4333
4444
21.3.
11
12
21
45
3
4
5
13
1
3
0
6
1921.4.
2
0
1
1
1
40
321
2
5
1
2
1
0
0
1
01
34
5
1
3
4
12
5
0
31
10
5
2
0
1
1
5
12
3
1
21
1
4
0
1
21.5.
f(x)
2
x
6
x
1
,
A
47
30
21.6.
3
2
1
1
X
3
2
7
2
Вариант № 22
22.1.
2
0
2
1
2
1
2
1
2
22.2.
3
3
2
4
22.4.
0
1
2
2
5
1
1
4
03
1
1
1
4
3
7
1
3
0
2
3
2
5
3
1
2
2
1
0
5
4
7
5
2
3
1
1
2
8
6
5
6
22.3.
31
53
15
73
52
3
2
43
705
1
14
5
4
0
4
1
2
1
2
41
3
2
22.5.
f(x)
2
x
2
x
3
,
A
1
1
2
3
22.6.
X
1
3
2
2
21
42
Вариант № 23
23.1.
2
4
8
3
9
27
4
16
64
23.2.
11
21
31
41
1
3
6
10
1
4
10
20
23.3.
32
21
53
85
4
6
10
14
23.4.
3
3
1
0
45
1
2
5
4
3
2
1
1
2
0
1
5
3
4
2
1
3
1
5
1
1
4
3
2
23.5.
f(x)
2
x
2
x
5
,
A
13
04
23.6.
21
31
X
22
7
3
20Вариант № 24
24.1.
3
9
27
4
16
64
5
25
125
24.2.
1
2
0
1
2
2
11
0
4
1
1
01
0
1
2
1
6
7
2
1
3
1
8
24.3.
312
241
223
758
0
1
6
12
24.4.
3
1
1
5
1
0
1
4
2
2
3
2
1
2
1
2
1
4
2
0
1
1
1
1
3
1
5
1
4
2
4
2
0
2
2
1
2
1
0
1
3
4
24.5.
f(x)
2
2
x
x
,
A
1
1
2
3
24.6.
X
1
3
22
2
5
2
1
Вариант № 25
25.1.
4
16
64
5
25
125
6
36
216
25.2.
1
3
4
5
3
8
10
12
4
10
11
16
5
12
16
11
25.3.
2
1
2
10
2
0
1
3
9
3
1
4
19
5
0
1
1
1
2
2
25.4.
1
2
01
6
4
3
2
1
4
5
2
1
0
1
2
3
0
13
5
6
5
4
4
1
6
6
2
1
5
4
3
1
1
2
25.5.
f(x)
2
x
2
x
3
,
A
02
51
25.6.
2
2
3
4
X
3
2
1
4
Вариант № 26
2126.1.
1
3
0
3
13
3
1
3
26.2.
10
01
23
34
4
2
0
5
3
3
5
0
26.3.
1
2
4
5
2
4
8
10
6
5
17
16
3
1
7
5
26.4.
2314
432
1
5
0
2
1
2
5
3
1
4
1
0
1
3
7
1
0
4
6
23
4
6
4
1
0
2
1
0
26.5.
f(x)
2
x
2
x
3
,
A
2
3
1
1
26.6.
X
2
1
2
3
5
2
1
2
Вариант № 27
27.1.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
27.2.
2
3
3
8
1
3
2
6
5
2
5
5
1
4
3
6
27.3.
1
1
0
2
1
03
2
0
14
2
26
4
15
051
27.4.
3
4
1
0
15
2
3
4
3
11
2
1
3
5
7
1
0
1
1
3
4
1
0
5
4
0
3
2
27.5.
f(x)
2
x
4
x
1
,
A
21
7
0
27.6.
2
2
4
3
X
2
3
4
1
Вариант № 28
28.1.
1
1
0
1
11
1
1
1
28.2.
2
1
1
1
2
2
0
1
2
01
0
1
1
3
01
1
4
2
6
1
7
81
28.3.
1
1
3
7
51
23
1
5
9
7
7
4
1
1
2228.4.
3
1
4
131
31
0
6
22
4
5
1
1
2
0
1
3
0
3
4
2
1
2
1
1
0
0
1
7
41
2
5
2
4
31
0
1
28.5.
f(x)
2
x
3
x
2
,
A
2
3
1
1
28.6.
X
3
1
22
2
1
2
5
Вариант № 29
29.1.
12
1
12
1
12
1
12
1
12
29.2.
1
3
33
34
1
8
2
5
6
5
4
3
4
6
29.3.
2
1
11
2
1
0
4
1
11
4
5
5
2
1
5
6
29.4.
6
2
3
4
1
3
0
2
4
2
3
7
2
1
0
1
01
7
1
2
1
1
5
0
3
21
13
29.5.
f(x)
2
x
3
x
4
,
A
3
2
01
29.6.
24
23
X
24
31
.
Вариант № 30
30.1.
1
2
0
2
12
2
1
2
30.2.
31
83
42
01
2
4
1
2
1
0
2
11
30.3.
2
4
2
1
2
1
3
2
1
42
7
1
8
2
30.4.
1
2
7
3
0
1
1
04
15
1
0
3
1
3
1
4
4
0
2
2
3
0
5
21
1
1
54
3
012
30.5.
f(x)
2
x
2
x
4
,
A
5
4
02
30.6.
X
1
2
1
1
2
0
1
3
.
2324
Матрицы и определители.doc
