Актуальность темы работы определяется тем, что тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ, однако в школьной программе отводится малое количество времени для разбора второй части задания – отбора корней, принадлежащих какому-либо промежутку. По статистическим данным за 2017 год и 2018 в 13 задании у выпускников возникли трудности, что стало причиной потери баллов, а именно
Муниципальное автономное
общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №3
г.Черепанова»
Направление: Физикоматематический проект
Способы решения
тригонометрических
уравнений
Выполнила: Кудаспаева Екатерина
ученица 11 класса «А»
Руководитель: Горькова Ирина Дмитриевна
Учитель математики
г.Черепаново
2019 год5
6
2
Содержание
1. Содержание
2. Введение
3
3. Цель и задачи проекта 3
4. Исторические сведения5
5. Тригонометрические уравнения
6. Способы решения тригонометрических уравнений
7. 1 СПОСОБ 7
8. 2СПОСОБ 9
9. 3 СПОСОБ 11
10.4 СПОСОБ 13
11.5 СПОСОБ 15
12.6 СПОСОБ 17
13.7 СПОСОБ 19
14.8 СПОСОБ 21
15.9 СПОСОБ 23
16.Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях 24
17.Заключение
18.Приложение
2Введение
Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по
планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Еще
древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения
прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие
тригонометрические уравнения.
Исторически учение о решении
тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории
тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их
решения.
Эта исследовательская работа посвящена тригонометрическим
уравнениям, что входят в задания единого государственного экзамена.
Актуальность темы
Актуальность темы работы определяется тем, что тригонометрические
уравнения из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ, однако в школьной
программе отводится малое количество времени для разбора второй части
задания – отбора корней, принадлежащих какомулибо промежутку. По
статистическим данным за 2017 год и 2018 в 13 задании у выпускников возникли
трудности, что стало причиной потери баллов, а именно:
0 баллов
1 балл
2 балла
ЕГЭ 2017 год
59,2%
9,6%
31,2%
ЕГЭ 2018 год
72,1%
4,7%
23,2%
Проблема: Я выбрала эту тему, потому что очень часто
тригонометрические уравнения остаются не решенными, либо допускаются
ошибки, вследствие которых задание оценивается меньшим количеством баллов,
либо вообще не оценивается.
Предмет исследования: Способы решения тригонометрических
уравнений.
Цель работы: Изучение способов решения тригонометрических
уравнений и создание конечного продукта – учебной презентации.
Гипотеза: Если я напомню одноклассникам и другим учащимся, как
правильно решаются тригонометрические уравнения и расскажу о различных
способах отбора корней, то, возможно, они смогут предотвратить появление
ошибок при решении подобных задач.
Задачи:
31.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Изучить литературу по данной теме в различных источниках;
Описать способы решения уравнений и сравнить их;
Привести примеры применения различных способов решения
тригонометрических задач;
Провести исследование в виде анализа пробного экзамена по
математике своего класса;
Рассказать своему классу способы решения данных уравнений;
Провести в классе проверочную работу и выяснить какой из
способов отбора корней используется больше всего среди
одноклассников;
На основе полученных знаний написать реферат;
Выполнить презентацию проекта и конечный продукт.
Практическая значимость: Проект предназначен для
самостоятельной подготовки учащихся 1011 классов к успешной сдаче
ЕГЭ.
4Исторические сведения
История тригонометрии как науки о соотношениях между углами и
сторонами треугольника и других геометрических фигур охватывает более двух
тысячелетий. Большинство таких соотношений нельзя выразить с помощью
обычных алгебраических операций, и поэтому понадобилось ввести особые
тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых
таблиц.
Историки полагают, что тригонометрию создали древние астрономы;
немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем
область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она
включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей
деятельности. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при
изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ
функций и другие инструменты анализа.
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения это уравнения, в которых неизвестная
находится под знаком тригонометрической функции.
Часть тригонометрических уравнений непосредственно решается
сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением
левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. В
некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что
тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения
алгебраическое уравнение.
Простейшие тригонометрические уравнения это уравнения вида:
sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать.
Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует
неограниченное множество углов, то тригонометрическое уравнение, если не
поставлено какихлибо ограничений, имеет бесчисленное множество решений.
Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических
уравнений, когда тригонометрические функции равны 1, 0, 1, в которых
решение записывается без применения общих формул.
5Способы решения тригонометрических уравнений
1 СПОСОБ: Разложение на множители.
2 СПОСОБ: Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям.
3 СПОСОБ: Решение уравнений преобразованием произведения
тригонометрических функций в сумму (разность).
4 СПОСОБ: Решение уравнений преобразованием суммы (разности)
тригонометрических функций в произведение.
5 СПОСОБ: Решение уравнений с применением формул понижения
степени.
6 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений как однородное.
7 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с помощью введения
вспомогательного аргумента.
8 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с помощью
универсальной тригонометрической подстановки
9 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки
левой и правой частей уравнения (метод оценок).
61 СПОСОБ: Разложение на множители
Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде
произведения нескольких множителей. При решении тригонометрических
уравнений этим способом мы преобразуем сумму или разность
тригонометрических функций в произведение с помощью тригонометрических
формул:
Например, дано уравнение:
sin
П
2
x
2sin
x
0
По формулам приведения вычислим:
sin
П
2
x
cos
x
Получаем:
cos
cos
cos
Уравнение будет равно нулю, если хотя бы один из множителей равен
x
x
sin21(
2sin
sin2
x
x
x
0
cos
)
x
0
x
0
нулю.
7cos
0
или
x
П
2
x
ZnПn
,
ZnПn
,
2
kПk
,
Z
Ответ:
П
2
П
6
П
5
6
2
ZmПm
,
sin21
sin2
x
sin
x
0
x
1
1
2
П
6
П
5
6
2
ZkПk
,
2
ZmПm
,
x
1
x
2
82 СПОСОБ: Решение уравнений,
квадратным уравнениям
сводящихся к
Отличительные признаки тригонометрических уравнений, сводящихся к
квадратным:
1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного
аргумента, или они легко сводятся к одному аргументу.
2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция,
или все функции можно свести к одной.
Например,
2
cos
2
x
22
cos
П
2
x
0
По формулам приведения можно вычислить:
cos
П
2
x
sin
x
x
0
x
0
sin22
2
cos
0
x
sin22)
x
x
sin22
Получаем:
2
2
x
sin21(2
2
sin212
Пусть sin x = t, тогда:
21
t
2
2
t
Найдем корни квадратного уравнения
bD
b
a
2
Значит,
22
t
0
01
22
t
4
ac
22
22
2
2
t
2
2
)22(
2
088824124
x
2
2
sin
x
1
2
ZnПn
,
П
4
П
3
4
x
2
2
ZkПk
,
9ZnПn
,
2
2
Ответ:
П
4
П
3
4
ZkПk
,
103 СПОСОБ: Решение уравнений преобразованием
произведения тригонометрических функций в сумму
(разность)
В некоторых уравнениях появляется необходимость преобразовать
формулу суммы тригонометрической функции в произведение. С помощью этого
действия можно сократить и упростить огромные выражения, решить уравнения,
системы уравнений и т.д.
Для решения подобных типов тригонометрических уравнений нам
понадобятся формулы суммы и разности косинусов и синусов:
α+β
¿+sin(α−β)
¿
sinαcosβ=¿
2
2
sin¿
cosαcosβ=cos (α+β)+cos(α−β)
sinαsinβ=cos(α−β)−cos(α+β)
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinα
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
tg(α±β)= tgα±tgβ
1∓tgαtgβ
ctg(α±β)=ctgαctgβ∓1
ctgβ±ctgα
Например,
П
x
12
cos
П
12
1
2
sin
x
Воспользуемся формулой
Получаем:
α+β
¿+sin(α−β)
¿
sin¿
sinαcosβ=¿
11
1
2
sin
x
П
12
x
П
12
sin
x
П
12
x
П
12
П
6
2
1
2
1
2sin
x
sin
2
sin
П
6
1
1
2
1
1
2
2sin
x
2sin
x
2sin
x
2sin
x
1
2
Найдем корни уравнения:
2
ZnПn
,
или
2
x
2
x
x
П
6
П
12
ZnПn
,
П
5
6
П
5
12
2
ZkПk
,
ZkПk
,
x
12
Ответ:
П
12
П
5
2
ZnПn
,
ZkПk
,4 СПОСОБ: Решение уравнений преобразованием суммы
(разности) тригонометрических функций в произведение
Для решения данного типа применяются формулы преобразования суммы
тригонометрических функций в произведение:
x
x
x
sin2
3cos
ctgα−ctgβ=2¿
Пример:
3cos
3cos
x
2sin
2
x
(sin
2
x
sin2
3cos
x
sin21(3cos
Получаем:
3cos
sin2
x
x
x
2
2
3cos
x
0)
x
0
4sin
x
x
0)4sin
x
2
2
x
cos
4
x
0
cos
6
x
2
0
4
x
2
0
2
2
2
cosα∓β
2
cos α−β
2
sin β−α
sinα±sinβ=2sin α±β
cosα+cosβ=2cosα+β
cosα−cosβ=2sinα+β
2
Реже используются формулы:
tgα+tgβ=2 sin(α+β)
cosαcosβ
tgα−tgβ=2 sin(α−β)
sinαsinβ
ctgα+ctgβ=2 sin(α+β)
sinαsinβ
ctgα+ctgβ=2 sin(α+β)
sinαsinβ
β−α
¿
¿
sin ¿
133cos
x
x
0
П
2
П
6
3
x
ZnПn
,
Пn
3
,
Zn
Ответ:
П
6
П
6
П
5
6
Пn
3
,
Zn
2
kПk
,
Z
2
ZmПm
,
sin
x
sin21
1
2
x
x
1
0
2
ZkПk
,
x
2
2
ZmПm
,
П
6
П
5
6
или
142
2
sin2x=1−cos2x
cos2x=1+cos 2x
Например,
2
x
sin
cos
x
2
2
cos
2
x
1
1
cos
2
cos
2
x
2
sin
1
1
1
2
2
x
cos
4
x
01
4
x
2
0
x
0
4
cos
cos
x
2
x
1(2
22
cos
cos
Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Значит,
cos
x
)2
x
4
0
0
0
или
5 СПОСОБ: Решение уравнений с применением формул
понижения степени
Если уравнение содержит sin x или cos x в четной степени, то бывает
удобно применять формулы понижения степени:
0
1
cos
2
x
cos
2
x
2
1
kПk
2
Пx
П
2
kПk
,
,
Z
Z
cos
0
x
cos
2
2
x
П
2
П
4
x
2
x
ZnПn
,
Пn
2
,
Zn
x
15Ответ:
П
4
П
2
ZkПk
Пn
2
,
Zn
,
166 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений как
однородное
Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:
asinx±bcosx=0 (однородное уравнение первой степени);
asin2x±bsinxcosx±ccos2x=0 (однородное уравнение второй степени).
Алгоритм решения однородного уравнения первой степени:
1. Разделить обе части уравнения на cosx ;
2. Решить получившееся выражение.
Алгоритм решения однородного уравнения второй степени:
Условие: в уравнении должно быть выражение вида asin2x. Если его
нет, то уравнение решается методом разложения на множители.
1. Разделить обе части уравнения на cos2x ;
2. Ввести новую переменную t, заменяющую tgx (то есть t = tgx );
3. Решить получившееся уравнение.
Пример 1. Решение однородного тригонометрического уравнения второго
порядка:
2
0
2
x
x
3
x
2
2
2
2
x
x
2
2
sin
sin
cos
cos
sin3
x
x
cos
cos
Разделим обе части уравнения на cos²x≠0 .
cos
x
sin
2
cos
x
cos
2
0
2
x
tg
Пусть t= tgx , тогда:
32
t
t
Так как сумма коэффициентов равна нулю, то
t
1
0
3
tgx
0
1
x
x
2
t
2
2
b
2
a
2
1
Получаем:
x
tgx
1
П
4
Ответ:
П
4
arctg
2
ZnПn
,
ZnПn
,
ZkПk
,
ZkПk
,
tgx
x
2
arctg
2
или
17Пример 2. Решение однородного тригонометрического уравнения первого
порядка:
Разделим обе части уравнения на cosx≠0 .
cos3
sin2
0
x
x
3
x
cos
cos
x
0
3
3
3
2
5,1
arctg
5,1
x
x
0
ZnПn
,
tgx
x
Ответ:
arctg
2
sin
cos
tgx
2
tgx
2
tgx
5,1
ZnПn
,
187 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с
помощью введения вспомогательного аргумента
При решении тригонометрических уравнений вида asinx+bcosx=c , где
(относительно переменной x), применяют прием, который
a2+b2≠0
называется введение вспомогательного аргумента.
Имея уравнение asinx+bcosx=c , следует разделить обе части на
При этом коэффициенты перед синусом и косинусом обладают
a
√a2+b2
за cosφ , а
b
√a2+b2
за sinφ ,
√a2+b2 .
Получаем:
a
√a2+b2 sinx+ b
√a2+b2 cosx= c
√a2+b2
следующими свойствами:
1.
2.
√a2+b2|≤1 ;
| a
√a2+b2|≤1 , | b
√a2+b2)2
√a2+b2)2
( a
+( b
=1
То есть мы можем обозначить
где φ – вспомогательный угол.
Тогда уравнение приобретает вид:
φcosx=¿ c
√a2+b2
cosφsinx+sin¿
По формуле синуса суммы можно получить уравнение вида:
sin(φ+x)= c
Откуда
√a2+b2
√a2+b2)+2πn,nϵZ
x=−φ+arcsin( c
√a2+b2)
Где φ=arcsin( b
√a2+b2)
или φ=arccos( a
.
c
>1,торешенийнет.
√a2+b2
Если
Пример
cos3
x
Делим обе части уравнения на √32+52=√9+25=√34
Получаем:
sin5
x
4
19cos
x
sin
x
5
34
3
√34
=sinφ , а
4
34
=cosφ
5
√34
3
34
Пусть
Тогда:
sin
cos
x
cos
sin
x
4
34
x
x
)
sin(
arcsin
4
34
4
34
4
x
34
Где φ=arcsin( 3
√34)
arcsin
2
ZnПn
,
2
ZnПn
,
ZnПn
,
ZnПn
,
x
arcsin
Ответ:
x
arcsin
4
34
4
34
arcsin
arcsin
3
34
2
3
34
2
208 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с
помощью универсальной тригонометрической подстановки
Запомним две важные формулы:
sinx=
cosx¿
2tgx
2
1+tg2 x
2
1−tg2 x
2
1+tg2 x
2
Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну
и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили
название универсальной подстановки.
Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части
этих формул не определены при x=π+2πn,n∈Z . Поэтому если применение
универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно
проверить непосредственно.
Решим уравнение:
2sin
2
Используя универсальную обстановку:
tgx
x
tgx
2
2
tg
tgx
2
x
1
Пусть tgx=t , тогда:
2
t
t
1
2
t
2
t
3
t
0
2
t
2
2
t
t
2
1(
)
1(2)
t
1(
t
3
22
t
t
1(
)
t
2
3
t
2
t
2
1(
)
t
2
2
0
2
t
)
0
2
0
Умножим обе части уравнения на
(1+t2)≠0 , тогда:
212
t
3
3
2
t
2
t
3
2
0
3
t
2
2
0
t
2
t
t
2
2
)
)
)2
t
2(
t
(
t
(2)1
)1
(
)1
t
tt
2
)(1
t
)2
0
t
t
t
(
t
2
t
(
t
Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
0
0
(
t
или
2
t
t
0
2
Так как дискриминант в данном уравнении
меньше нуля, то уравнение не имеет корней.
(t−1)(t2−t+2)=0 имеет только один корень t=1 .
Сужения ОДЗ в данном случае не было, так
как уравнение с самого начала содержало tg x.
Значит, корень проверять не нужно.
t
t
01
1
1
П
4
Значит, уравнение
Получаем:
tgx
x
ZnПn
,
Ответ:
П
4
ZnПn
,
229 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с
помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод
оценок)
Решение уравнений методом оценки основано на сравнении области
значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения.
Если в уравнении f(x)=g(x)
выполняются условия:
{f(x)≥a
то равенство возможно тогда, когда и f(x)
g(x)≤a
и g(x)
одновременно
равны a:
{f(x)=a
2
2
2
x
2cos
2cos
1
01
2
x
g(x)=a
Пример:
x
x
Оценим левую часть уравнения:
112 x
Оценим правую часть уравнения:
Равенство может достигаться только в том случае, если обе части
2
1
cos
2
1
x
2
x
cos
уравнения одновременно равны единице:
x
10cos
Значит, x=0 – это корень уравнения.
Ответ:
,11
2
x
2
x
,0
2cos
x
,0
;1
;1
2
x=0
23Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях
Обучение решению тригонометрических уравнений предполагает
знакомство школьников с приемами отбора корней из множеств значений
неизвестного. Отбор корней в тригонометрическом уравнении может
осуществляться тремя способами: геометрическим, арифметическим и
алгебраическим.
Геометрический способ
Геометрический способ основан на использовании двух моделей:
тригонометрической окружности и числовой прямой. Тригонометрическая
окружность удобна в случае, когда речь идет об отборе корней на промежутке,
длина которого не превосходит 2π, или если требуется найти наибольший
отрицательный или наименьший положительный корень уравнения. В остальных
случаях предпочтительнее модель числовой прямой.
С помощью тригонометрической окружности
(Способ 1) Нужно отобрать корни на промежутке
при данных x:
[0;3π
2 ]
x
ZnПn
,
П
2
11
П
6
,
ZkПk
x
Отметим на тригонометрической окружности корни, если n=0 и k=0
(значения n и k меньше нуля нам не подходят, т.к при их отрицательном значении
корни не будут входить в данный промежуток)
Получаем:
24
Тригонометрические уравнения( Кудаспаевой) .docx
