Индивидуальный ученический проект "Способы решения тригонометрических уравнений" 11 класс

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение  «Средняя общеобразовательная школа №3 г.Черепанова» Направление: Физико­математический проект Способы решения тригонометрических уравнений Выполнила: Кудаспаева Екатерина  ученица 11 класса «А»  Руководитель: Горькова Ирина Дмитриевна Учитель математики г.Черепаново 2019 год 5 6 2 Содержание 1. Содержание 2. Введение 3 3. Цель и задачи проекта 3 4. Исторические сведения5 5. Тригонометрические уравнения 6. Способы решения тригонометрических уравнений 7. 1 СПОСОБ 7 8. 2СПОСОБ 9 9. 3 СПОСОБ 11 10.4 СПОСОБ 13 11.5 СПОСОБ 15 12.6 СПОСОБ 17 13.7 СПОСОБ 19 14.8 СПОСОБ 21 15.9 СПОСОБ 23 16.Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях 24 17.Заключение 18.Приложение 2 Введение Тригонометрические  уравнения   возникают   при   решении   задач   по планиметрии,   стереометрии,   астрономии,   физики   и   в   других   областях.   Еще древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных   треугольников,   фактически   составляли   и   решали   простейшие тригонометрические   уравнения.   Исторически   учение   о   решении тригонометрических   уравнений   формировалось   с   развитием   теории тригонометрических  функций, а также  черпало   из  алгебры   общие  методы  их решения. Эта   исследовательская   работа   посвящена   тригонометрическим уравнениям, что входят в задания единого государственного экзамена. Актуальность темы Актуальность   темы   работы   определяется   тем,   что   тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ, однако в школьной программе   отводится   малое   количество   времени   для   разбора   второй   части задания   –   отбора   корней,   принадлежащих   какому­либо   промежутку.   По статистическим данным за 2017 год и 2018 в 13 задании у выпускников возникли трудности, что стало причиной потери баллов, а именно: 0 баллов 1 балл 2 балла ЕГЭ 2017 год 59,2% 9,6% 31,2% ЕГЭ 2018 год 72,1% 4,7% 23,2% Проблема:  Я   выбрала   эту   тему,   потому   что   очень   часто тригонометрические   уравнения   остаются   не   решенными,   либо   допускаются ошибки, вследствие которых задание оценивается меньшим количеством баллов, либо вообще не оценивается. Предмет   исследования:  Способы   решения   тригонометрических уравнений. Цель   работы:  Изучение   способов   решения   тригонометрических уравнений и создание конечного продукта – учебной презентации. Гипотеза:  Если   я   напомню   одноклассникам   и   другим   учащимся,   как правильно   решаются   тригонометрические   уравнения   и   расскажу   о   различных способах   отбора   корней,   то,   возможно,   они   смогут   предотвратить   появление ошибок при решении подобных задач. Задачи: 3 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Изучить литературу по данной теме в различных источниках; Описать способы решения уравнений и сравнить их; Привести   примеры   применения   различных   способов   решения тригонометрических задач; Провести   исследование   в   виде   анализа   пробного   экзамена   по математике своего класса; Рассказать своему классу способы решения данных уравнений; Провести   в   классе   проверочную   работу   и   выяснить   какой   из способов   отбора   корней   используется   больше   всего   среди одноклассников; На основе полученных знаний написать реферат; Выполнить презентацию проекта и конечный продукт. Практическая   значимость:  Проект   предназначен   для самостоятельной  подготовки учащихся 10­11 классов к успешной сдаче ЕГЭ. 4 Исторические сведения История   тригонометрии   как   науки   о   соотношениях   между   углами   и сторонами треугольника и других геометрических фигур охватывает более двух тысячелетий.   Большинство   таких   соотношений   нельзя   выразить   с   помощью обычных   алгебраических   операций,   и   поэтому   понадобилось   ввести   особые тригонометрические функции, первоначально оформлявшиеся в виде числовых таблиц. Историки   полагают,   что   тригонометрию   создали   древние   астрономы; немного позднее её стали использовать в геодезии и архитектуре. Со временем область применения тригонометрии постоянно расширялась, и в наши дни она включает практически все естественные науки, технику и ряд других областей деятельности. Особенно полезными тригонометрические функции оказались при изучении колебательных процессов; на них основан также гармонический анализ функций и другие инструменты анализа. Тригонометрические уравнения Тригонометрические  уравнения ­ это  уравнения,  в  которых неизвестная находится под знаком тригонометрической функции. Часть   тригонометрических   уравнений   непосредственно   решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой   части   уравнения   на   множители,   когда   правая   часть   равна   нулю.   В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое   уравнение   преобразуется   в   «удобное»   для   решения алгебраическое уравнение. Простейшие тригонометрические уравнения ­ это уравнения вида: sin x = a, cos x= a, tq x = a, ctq x = a Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Поскольку каждому значению тригонометрической функции соответствует неограниченное   множество   углов,   то   тригонометрическое   уравнение,   если   не поставлено каких­либо ограничений, имеет бесчисленное множество решений. Особо   используются   частные   случаи   элементарных   тригонометрических уравнений,   когда   тригонометрические   функции   равны   ­1,   0,   1,   в   которых решение записывается без применения общих формул. 5 Способы решения тригонометрических уравнений 1 СПОСОБ: Разложение на множители. 2 СПОСОБ: Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. 3 СПОСОБ: Решение уравнений преобразованием произведения  тригонометрических функций в сумму (разность). 4 СПОСОБ: Решение уравнений преобразованием суммы (разности)  тригонометрических функций в произведение. 5 СПОСОБ: Решение уравнений с применением формул понижения  степени. 6 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений как однородное. 7 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с помощью введения  вспомогательного аргумента. 8 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с помощью  универсальной тригонометрической подстановки 9 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений с помощью оценки  левой и правой частей уравнения (метод оценок). 6 1 СПОСОБ: Разложение на множители Разложить на множители выражение — это значит представить его в виде произведения   нескольких   множителей.   При   решении   тригонометрических уравнений   этим   способом   мы   преобразуем   сумму   или   разность тригонометрических функций в произведение с помощью тригонометрических формул: Например, дано уравнение: sin    П 2  x    2sin x  0 По формулам приведения вычислим: sin    П 2  x    cos x Получаем: cos cos cos Уравнение   будет   равно   нулю,  если   хотя   бы   один   из   множителей   равен  x  x sin21( 2sin sin2  x x x  0 cos ) x  0 x  0 нулю. 7 cos 0 или  x П 2 x  ZnПn  , ZnПn  , 2 kПk ,  Z Ответ: П  2   П 6 П 5 6   2 ZmПm  ,  sin21 sin2 x sin x  0  x  1 1 2  П 6 П 5 6 2 ZkПk  ,  2 ZmПm  , x 1  x 2  8 2   СПОСОБ:   Решение   уравнений, квадратным уравнениям   сводящихся   к Отличительные   признаки   тригонометрических   уравнений,   сводящихся   к квадратным: 1. В   уравнении   присутствуют   тригонометрические   функции   от   одного аргумента, или они легко сводятся к одному аргументу. 2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция, или все функции можно свести к одной. Например, 2  cos 2 x  22   cos  П 2  x   0  По формулам приведения можно вычислить:   cos  П 2  x    sin x x  0 x  0 sin22 2  cos     0  x sin22)  x x sin22 Получаем:  2 2 x sin21(2 2 sin212 Пусть sin x = t, тогда:  21 t  2 2 t Найдем корни квадратного уравнения  bD  b a 2 Значит,   22 t 0  01 22 t 4 ac 22  22 2 2   t  2 2  )22( 2  088824124 x  2 2  sin x 1 2 ZnПn  , П 4 П 3 4 x 2   2 ZkПk  , 9 ZnПn  , 2 2  Ответ:  П 4 П 3 4  ZkПk  , 10 3   СПОСОБ:   Решение   уравнений   преобразованием произведения   тригонометрических   функций   в   сумму (разность) В   некоторых   уравнениях   появляется   необходимость   преобразовать формулу суммы тригонометрической функции в произведение. С помощью этого действия можно сократить и упростить огромные выражения, решить уравнения, системы уравнений и т.д. Для   решения   подобных   типов   тригонометрических   уравнений   нам понадобятся формулы суммы и разности косинусов и синусов: α+β ¿+sin(α−β) ¿ sinαcosβ=¿ 2 2 sin¿ cosαcosβ=cos (α+β)+cos(α−β) sinαsinβ=cos(α−β)−cos(α+β) sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinα cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ tg(α±β)= tgα±tgβ 1∓tgαtgβ ctg(α±β)=ctgαctgβ∓1 ctgβ±ctgα Например,   П  x 12    cos  П 12    1 2 sin x     Воспользуемся формулой  Получаем: α+β ¿+sin(α−β) ¿ sin¿ sinαcosβ=¿ 11  1 2 sin    x  П 12  x П 12    sin    x  П 12  x П 12    П 6 2  1 2  1 2sin x  sin 2  sin П 6  1 1 2  1 1 2 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x  1 2 Найдем корни уравнения: 2 ZnПn  , или 2 x 2 x x  П 6 П  12 ZnПn  ,  П 5 6 П 5 12  2 ZkПk  ,  ZkПk  , x  12  Ответ:  П 12 П 5 2  ZnПn  , ZkПk  , 4 СПОСОБ: Решение уравнений преобразованием суммы (разности) тригонометрических функций в произведение Для решения данного типа применяются формулы преобразования суммы  тригонометрических функций в произведение: x  x x sin2 3cos ctgα−ctgβ=2¿ Пример:  3cos  3cos  x 2sin  2 x (sin  2 x      sin2 3cos x  sin21(3cos Получаем: 3cos sin2 x x  x   2 2 3cos x  0) x  0 4sin x  x 0)4sin  x 2 2 x cos 4 x   0  cos 6 x 2  0 4 x  2   0  2 2 2 cosα∓β 2 cos α−β 2 sin β−α sinα±sinβ=2sin α±β cosα+cosβ=2cosα+β cosα−cosβ=2sinα+β 2 Реже используются формулы: tgα+tgβ=2 sin(α+β) cosαcosβ tgα−tgβ=2 sin(α−β) sinαsinβ ctgα+ctgβ=2 sin(α+β) sinαsinβ ctgα+ctgβ=2 sin(α+β) sinαsinβ β−α ¿ ¿ sin ¿ 13 3cos x   x 0 П 2 П  6 3 x ZnПn  , Пn 3 , Zn  Ответ: П  6 П 6 П 5 6   Пn 3 , Zn  2 kПk ,  Z 2 ZmПm  ,  sin x sin21 1 2   x x 1  0 2 ZkПk  , x 2   2 ZmПm  , П 6 П 5 6 или 14 2 2 sin2x=1−cos2x cos2x=1+cos 2x Например,  2 x sin cos x 2 2 cos 2 x  1  1 cos 2 cos  2 x 2 sin  1 1   1 2 2 x cos  4 x  01 4 x  2  0 x  0  4 cos  cos  x 2 x 1(2  22  cos  cos Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, cos  x )2 x 4 0  0 0 или 5 СПОСОБ: Решение уравнений с применением формул  понижения степени Если уравнение содержит sin x или cos x в четной степени, то бывает  удобно применять формулы понижения степени: 0  1 cos 2  x cos 2  x 2 1  kПk 2 Пx П 2  kПk , ,   Z Z  cos  0 x  cos 2 2 x П 2 П 4   x 2 x ZnПn  , Пn 2 , Zn  x 15 Ответ: П  4 П 2  ZkПk  Пn 2 , Zn  , 16 6 СПОСОБ: Решение тригонометрических уравнений как  однородное Однородное тригонометрическое уравнение – это уравнение двух видов:  asinx±bcosx=0 (однородное уравнение первой степени); asin2x±bsinxcosx±ccos2x=0 (однородное уравнение второй степени). Алгоритм решения однородного уравнения первой степени: 1. Разделить обе части уравнения на  cosx ; 2. Решить получившееся выражение. Алгоритм решения однородного уравнения второй степени: Условие: в уравнении должно быть выражение вида   asin2x. Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители. 1. Разделить обе части уравнения на  cos2x ; 2. Ввести новую переменную t, заменяющую  tgx  (то есть t = tgx ); 3. Решить получившееся уравнение. Пример 1. Решение однородного тригонометрического уравнения второго порядка:  2 0 2 x x  3 x 2 2 2 2 x  x  2  2 sin sin cos cos sin3 x x  cos cos  Разделим обе части уравнения на  cos²x≠0 . cos x sin 2 cos x cos  2 0 2 x tg Пусть t= tgx , тогда:  32 t t Так как сумма коэффициентов равна нулю, то t 1  0 3 tgx  0  1 x x 2 t 2  2 b 2 a 2 1 Получаем: x tgx  1 П 4 Ответ: П  4 arctg 2  ZnПn  , ZnПn  ,  ZkПk  , ZkПk  , tgx  x 2  arctg 2  или 17 Пример 2. Решение однородного тригонометрического уравнения первого порядка:  Разделим обе части уравнения на  cosx≠0 . cos3 sin2  0 x x   3 x cos cos x  0 3  3 3 2  5,1 arctg 5,1   x x  0 ZnПn  , tgx  x Ответ: arctg 2 sin cos tgx 2 tgx 2 tgx 5,1  ZnПn  , 18 7   СПОСОБ:   Решение   тригонометрических   уравнений   с помощью введения вспомогательного аргумента При решении тригонометрических уравнений вида asinx+bcosx=c , где (относительно   переменной  x),   применяют   прием,   который a2+b2≠0   называется введение вспомогательного аргумента. Имея   уравнение   asinx+bcosx=c ,   следует   разделить   обе   части   на При   этом   коэффициенты   перед   синусом   и   косинусом   обладают a √a2+b2  за  cosφ , а  b √a2+b2  за  sinφ , √a2+b2 . Получаем: a √a2+b2 sinx+ b √a2+b2 cosx= c √a2+b2 следующими свойствами: 1. 2. √a2+b2|≤1 ; | a √a2+b2|≤1 ,  | b √a2+b2)2 √a2+b2)2 ( a +( b =1 То есть мы можем обозначить  где  φ  – вспомогательный угол. Тогда уравнение приобретает вид: φcosx=¿ c √a2+b2 cosφsinx+sin¿ По формуле синуса суммы можно получить уравнение вида: sin(φ+x)= c Откуда √a2+b2 √a2+b2)+2πn,nϵZ x=−φ+arcsin( c √a2+b2) Где  φ=arcsin( b √a2+b2)  или  φ=arccos( a . c >1,торешенийнет. √a2+b2 Если  Пример cos3 x Делим обе части уравнения на  √32+52=√9+25=√34 Получаем: sin5  x  4 19 cos x  sin x 5 34 3 √34 =sinφ , а   4 34 =cosφ 5 √34 3 34 Пусть  Тогда: sin  cos x  cos  sin x  4 34 x x )   sin( arcsin   4 34  4   34  4   x  34 Где  φ=arcsin( 3 √34) arcsin       2 ZnПn  ,   2 ZnПn  , ZnПn  , ZnПn  , x  arcsin Ответ: x  arcsin       4 34    4 34    arcsin arcsin       3 34    2 3 34    2 20 8   СПОСОБ:   Решение   тригонометрических   уравнений   с помощью универсальной тригонометрической подстановки Запомним две важные формулы: sinx= cosx¿ 2tgx 2 1+tg2 x 2 1−tg2 x 2 1+tg2 x 2 Их ценность в том, что они позволяют выразить синус и косинус через одну и ту же функцию — тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная   неприятность,   о   которой   не   надо   забывать:   правые   части этих формул не определены при   x=π+2πn,n∈Z . Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно. Решим уравнение:  2sin 2 Используя универсальную обстановку:  tgx x tgx 2  2 tg  tgx  2 x 1 Пусть  tgx=t , тогда: 2 t  t 1  2 t 2 t 3 t   0 2 t 2 2 t t  2 1( )   1(2) t  1( t  3 22 t t  1( ) t  2 3 t 2 t 2 1( ) t  2 2  0 2  t )  0 2  0 Умножим обе части уравнения на  (1+t2)≠0 , тогда: 21 2 t 3 3 2 t 2 t   3  2 0 3 t    2 2 0 t 2 t t    2 2 ) ) )2 t 2( t ( t     (2)1 )1 ( )1 t tt  2 )(1 t )2 0 t t t ( t 2 t ( t Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:  0  0  ( t  или 2 t  t 0 2 Так   как  дискриминант   в  данном  уравнении меньше нуля, то уравнение не имеет корней. (t−1)(t2−t+2)=0  имеет только один корень  t=1 . Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с самого начала содержало tg x. Значит, корень проверять не нужно. t t  01  1  1 П 4 Значит, уравнение  Получаем: tgx x  ZnПn  , Ответ: П  4 ZnПn  , 22 9   СПОСОБ:   Решение   тригонометрических   уравнений   с помощью оценки левой и правой частей уравнения (метод оценок) Решение   уравнений   методом   оценки   основано   на   сравнении   области значений функций, стоящих в левой и правой части уравнения. Если в уравнении  f(x)=g(x)  выполняются условия: {f(x)≥a то   равенство   возможно   тогда,   когда   и   f(x) g(x)≤a   и   g(x)   одновременно равны a: {f(x)=a 2 2 2 x 2cos 2cos 1    01 2 x g(x)=a Пример: x x Оценим левую часть уравнения: 112 x Оценим правую часть уравнения:  Равенство   может   достигаться   только   в   том   случае,   если   обе   части 2  1 cos 2 1 x 2 x cos уравнения одновременно равны единице: x  10cos     Значит,  x=0  – это корень уравнения. Ответ:  ,11  2 x 2  x ,0 2cos x         ,0 ;1 ;1 2 x=0 23 Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях Обучение   решению   тригонометрических   уравнений   предполагает знакомство   школьников   с   приемами   отбора   корней   из   множеств   значений неизвестного.   Отбор   корней   в   тригонометрическом   уравнении   может осуществляться   тремя   способами:   геометрическим,   арифметическим   и алгебраическим. Геометрический способ Геометрический   способ   основан   на   использовании   двух   моделей: тригонометрической   окружности   и   числовой   прямой.   Тригонометрическая окружность удобна в случае, когда речь идет об отборе корней на промежутке, длина   которого   не   превосходит   2π,   или   если   требуется   найти   наибольший отрицательный или наименьший положительный корень уравнения. В остальных случаях предпочтительнее модель числовой прямой. С помощью тригонометрической окружности (Способ 1) Нужно отобрать корни на промежутке   при данных x: [0;3π 2 ] x  ZnПn  , П 2 11 П 6    , ZkПk x Отметим на тригонометрической окружности корни, если  n=0  и  k=0 (значения n и k меньше нуля нам не подходят, т.к при их отрицательном значении корни не будут входить в данный промежуток) Получаем: 24