Ощущение тайны –
наиболее прекрасное
из доступных нам
переживаний.
Именно это чувство
стоит у колыбели
истинного
искусства и
настоящей науки.
А .Эйнштейн
Мы живём в мире чисел
и уравнений. Существует
ряд практических и
учебных задач, при
решении которых
возникают уравнения,
называемые
иррациональными.
Рассмотреть основные типы
иррациональных уравнений и
способы их решений,
уточнить, расширить знания
Цели и задачи урока:
учащихся по теме:
«Иррациональные уравнения»
пифагорейцев.
Удивительное открытие
Каким числом выражается длина
диагонали квадрата со стороной 1?
С латыни слово «irrationalis» означает
«неразумный».
«surdus» - «глухой» или «немой»
Примеры
Примеры
5
7
33
2
иррациональных уравнений
иррациональных уравнений
x
4
x
x
3
x
1
x
04
3
1
2
x
x
3
5
x
1
2
5
x
1
5
2
15
Являются ли перечисленные
Являются ли перечисленные
5
4
2
x
2
уравнения – иррациональными ?
уравнения – иррациональными ?
02
23)1
)2
)3
3
624
29
x
x
75
7
2
0
17
3
132
)4
x
4
3
x
5
3
3
I. Область допустимых
значений переменной х
(ОДЗ)
ОДЗ – это числовое
множество, на
котором уравнение
определено.
1) Найти ОДЗ
иррационального
4
уравнения
2
5
1
x
2
x
1
1
x
2) Найти ОДЗ
иррационального
уравнения
3
x
2
4
9
x
2
5
Найти ОДЗ
иррационального
уравнения
3)1
)2
x
6
1
6
x
4
1
3
x
2
5
x
x
2
существования решений
уравнения (ОСР)
II. Область
ОСР это множество
значений переменной,
при которых решение
уравнения возможно.
Рассмотрим
Рассмотрим
уравнение и
уравнение и
найдём ОСР
найдём ОСР
3
36
x
4
2
x
5
x
x
1
2
Рассмотрим
Рассмотрим
уравнение и
уравнение и
найдём ОДЗ и
найдём ОДЗ и
ОСРОСР
4
2
x
6
x
x
8
5
Очевидно, что решение
иррационального
уравнения может
находиться только в
множестве значений
переменной, которое
является пересечением
ОДЗ и ОСР.
Решение
иррациональных
уравнений, которые
не требуют
применения
основных методов
Решить
Решить
уравнения
уравнения
7
7
x
3
)1
3
x
5
1
4
2)2
2
x
5
x
4
2
x
6
x
2
8
3
3
x
4
4
2)3
2
x
5
x
4
2
x
6
x
18
3
3
x
4
Решить уравнения:
Решить уравнения:
(
2)4
5
)5
)1
x
x
3
2
2
3
x
3
4
1
x
x
x
3
2
1
x
2
x
x
x
2
x
)6
)7
01
4
2
2
Основные
методы
решения
иррациональных
уравнений
1. Метод
возведения обеих
частей исходного
уравнения в одну
и ту же степень.
n
xg
)(
xfn
)(
xg
)(
)(
xf
n
Пусть даны уравнения
или , тогда алгоритм решения
для этих уравнений состоит в следующем:
1.Возводят обе части исходного уравнения в
одну и ту же степень, предварительно
уединив один из радикалов.
)
a n
a
2. С учетом тождества ,
где , если n – четное;
, если n – нечетное,
xg
(
получаем уравнение:
xg
)(
3. Решают уравнение , и делают
проверку, которая является неотъемлемой
частью решения и
с
помощью подстановки значений переменной
в исходное уравнение.
осуществляется
0a
Ra
)(
xf
)(
xf
n
(
).
Замечание № 1.
Если выполнять
только равносильные
преобразования, то
проверку делать не
нужно.
Замечание № 2.
2
n
)(
xf
При натуральном n уравнение
xg
)(
xf
0)(
xg
Необходимо учитывать, что
нередко записывают:
xg
)(
,)(
2
n
)(
xf
xg
)(
)(
xf
,0)(
xg
xf
.0)(
,)(
xg
2
n
2
n
Замечание № 2.
Последняя форма записи
уравнения содержит
лишнее неравенство , но она
более наглядная и включает
ОДЗ ( ).
0)( xf
0)( xf
2
xfn
)(
)(
xg
Замечание № 3.
xf
)(
)(
xg
,0)(
xf
,0)(
xg
)(
xf
)(
xg
,0)(
xf
)(
xf
)(
xg
,0)(
xg
)(
xf
xg
(
).
Из трёх записанных
систем выбирают ту,
где проще решить
0)( xf
неравенство
или неравенство
0)( xg
Если же оба неравенства
решить несложно, то
можно выбрать первую
систему, которая также
наглядна, хотя содержит
одно лишнее неравенство.
).1
).2
).3
3
x
3
x
7
x
6
;29
x
x
x
5
3
2
x
7
x
2
1
4
x
5
x
;3
2
x
;
).4
6
).5
).6
x
x
x
11
1
20
;2
x
5
;
x
3
.2
Работа с
распечаткой: №№
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
8; 9; 10.
1)Учебник: § 26, стр. 317 – 319
(теория+записи в тетради).
2)Задачи №1; №2; №3; №4 из
объяснительного текста.
3)Стр. 322 №1; №2; №3; №4.
4)К следующему уроку при
себе иметь распечатку.