Исследование функций с помощью производной

ОГБПОУ «Карсунский медицинский техникум» Методическая разработка урока по математике на тему:  «Исследование функций с помощью производной. Упражнения» Автор­разработчик: Л.Н.Тимохина,   преподаватель математики РЕКОМЕНДОВАНА                                         УТВЕРЖДАЮ р.п. Карсун, 2014 г. На заседании ЦМК                                          Заместитель директора по  Председатель ЦМК                                              учебной работе ОГБПОУ «КМТ» ________________/Е.И.Соловьёва/               _____________ /  Т.Н.Лазарева  /       подпись                                                       подпись Протокол заседания ЦМК                              «     »__________20___г. № ________от «   »_____ 20__ г. Автор­разработчик: Л.Н.Тимохина,     преподаватель     ОГБПОУ         «Карсунский     медицинский техникум» Общее количество часов:    173 Итоговая аттестация в форме экзамена. Коллективный способ обучения (КСО) Обучение – это общение человека с человеком. Вид общения – общение в парах сменного состава (диалогические сочетания). Организационная форма обучения – коллективная (каждый учит каждого). Способ обучения – коллективный способ обучения (КСО) включает четыре формы способа обучения: коллективную, групповую, парную и индивидуальную.   Коллективным   способом   обучения   является   такая   его   организация,   при   которой обучение осуществляется путем общения в «динамических парах» (со сменным составом), когда каждый учит (проучивает каждого). Этот способ использует идею взаимного обучения, без учета различий наличного уровня знаний и способностей, включая в посильный диалог – общение всех обучаемых, применяя форму   динамических   (меняющихся)   пар,   в   которых   обучаемый   выступает   поочередно   то учащимся, то учителем. Целевые ориентации. Усвоение ЗУН, своевременная их коррекция. Проверка каждого обучаемого по каждой изучаемой теме. Формирование самостоятельности. Развитие коммуникативных качеств личности. Воспитание общечеловеческих качеств личности. Концептуальные положения. КСО – это включение в учебный процесс естественной структуры общения между людьми – динамических диалогических пар.     Принципы: ­ завершенность или ориентации на высшие конечные результаты, ­ непрерывности и безотлагательности передачи полученных знаний друг другу, ­ сотрудничества и взаимопомощи между обучаемыми, ­ разнообразия тем и заданий (разделение труда), ­ разноуровности (разновозрастности) участников педагогического процесса, ­ обучение по способностям индивида, ­ педагогизации деятельности каждого участника учебного процесса.   Организационно – методические особенности.     Каждый   учащийся   в   процессе   обучения   систематически   становится   обучаемым   и   обучающим.   Методика взаимообмена заданиями, взаимопередачи тем. Теоретический   материал   и   упражнения   распределяются   по   карточкам,   которые   выдаются учащимся с заданием освоить (повторить) в самостоятельной работе (прием «запуска»). Затем каждый выбирает партнера и происходит взаимообучение, выполнение упражнений на закрепление. Обмен карточками, поиск нового партнера. При   этом   ведется   экран   учета   работы   учащихся,   применяются   маршрутные   карты, различные формы контроля: самоконтроль, взаимоконтроль, контроль учителя. Алгоритм работы по методике КСО. 1) Получите карточку своим вариантом (карточка с цветовым сигналом). Поставьте точку на листке учета против своей фамилии. 2)   Выучите   самостоятельно   (или   со   своим   соседом)   материал,   данный   в   первой   части карточки (правила, определение, понятия, формулировки законов).  3) Выполните самостоятельно задание второй части карточки. Проверьте себя, сможете ли вы записать всё, что необходимо и рассказать товарищу по первой части своей карточки, и в листке учета исправьте точку на «+», то есть готовь к обмену с заданиями. 4) Найдите по цветовому сигналу, отличному от   вашего карточку партнера, запишите его фамилию и вариант в листке учета. 5) Проработайте с ним первую часть вашей карточки. 6) Ваш партнер прорабатывает с вами материал первой части своей карточки. 7)   Обменяйтесь   карточками   и   выполните   задания   второй   части   новой   для   себя   карточки самостоятельно. 8) Обсудите результаты с партнером. 9) Поблагодарите друг друга и найдите нового партнера по цвету карточки. 10) Работайте с новым партнером, начиная с шага 4.  Итоговый контроль – тестирование (самостоятельная работа). Особенности методики и функции КСО. 1) Организационные: все говорят, общаются друг с другом, смена рабочего места. 2) Дидактические6 сотрудничество – основа обучения, полная самостоятельность, усвоение и применение максимально приближены. 3) Развивающие:   учатся   выступать,   рассуждают,   доказывают,   работают   в соответствии   с   индивидуальными   особенностями,   развитие   педагогических способностей. 4) Воспитательные: каждый работает на себя и другого, отношения ответственной зависимости ( коллективистские). 5) Здоровьесберегающие:   смена   форм   учебной   деятельности.   Постоянное движение, смена партнеров, общение снимает усталость, напряжение. В результате применения КСО на уроках формируются следующие универсальные учебные действия (УУД): ­ коммуникативные ­ познавательные ­ регулятивные ­ личностные. Регулятивные  учебные действия: целеполагание, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция. Личностные:  самоопределение,   смыслообразование,   нравственно   –   этическое   оценивание («что такое хорошо, что такое плохо»). Познавательные: общеучебные универсальные действия, логические универсальные действия, постановка и решение проблемы. Коммуникативные  действия:   планирование,   постановка  вопросов,  разрешение  конфликтов, контроль, коррекция действий. Применяя КСО можно провести следующие типы уроков: урок изучения нового материала, урок закрепления знаний, урок повторения, урок систематизации изученного материала. Урок по КСО (2 ч). План конспект урока. Преподаватель  математики: Тимохина Людмила Николаевна. Предмет: математика. Курс: 1  Тема: Исследование функций с помощью производной. Упражнения. Цель: повторить изученный материал, создать и управлять ситуацией, где учащиеся повторят правила дифференцирования, геометрический, механический смысл производной, признаки возрастания и убывания функции, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. Задачи: Образовательные   (формирование познавательных УУД (универсальные учебные действия)): создать условия для систематизации и обобщения знаний учащихся по теме «Производная». Воспитательные  (формирование   коммуникативных   и   личностных   УУД).   Возможность сотрудничества: умение слышать, слушать и понимать партнера, планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, взаимно контролировать  действия  друг друга, уметь договариваться,   вести   дискуссию,   правильно   выражать   свои   мысли,   оказывать   поддержку друг другу, эффективно сотрудничать как с учителем, так и со сверстниками. Развивающие  (формирование   регулятивных   УУД):   обеспечение   возможности   управления познавательной   и   учебной   деятельностью   посредством   постановки   целей,   планирования, контроля, коррекции своих действий, оценки успешности усвоения. Тип урока: урок повторение. Формы работы учащихся: индивидуальная, в парах сменного состава. Планируемые результаты:  Предметные: научиться решать несложные задачи на применение производной к исследованию функций. Личностные:  умение   работать   в   парах   сменного   состава,   уважать   собеседника, сориентироваться в нравственных нормах и правилах. Метапредметные:  уметь   обрабатывать   информацию:   выбрать   способы   решения   задач   в зависимости от конкретных условий; контролировать и оценивать процесс и результат своей деятельности. Ход урока. Деятельность учителя Деятельность учащегося 1 урок. 1. Организационный момент   Девизом сегодняшнего  урока  будут слова   ученого  – физика Эдисона: «Гений состоит из одного процента вдохновения и 99 процентов потения». Что это значит? Учитель   приветствует   учащихся,   проверяет   их   готовность  к уроку.       Сегодня   на   уроке   мы   будем   работать   в   парах   сменного состава. У каждого из вас на столе есть карточка с цветовым сигналом, листок учета, листок с алгоритмом работы, вариант ЕГЭ.   В   течение   урока   вы   должны   разработать   материал   изложенный в четырех карточках и выполнить предложенные задания.   С   помощью   листка   учета   вы   можете   оценить   свою работу.     Сначала каждый из вас получит один из четырех вариантов, разберет   теоретический   материал,   выполнит   практическую часть. Потом будете работать в парах сменного состава.    Система оценивания:  «5»   ­   успел   обработать   и   решить   задания   всех   четырех карточек   без   затруднения.  I  карточку   оцениваешь   сам, остальные – партнеры. «4» ­ успел обработать все карточки, но возникли некоторые затруднения в решении задач II части. «3» ­ успел обработать 3 карточки. 2. Актуализация знаний.       Задания   на   исследований   функций   встречаются   в   ЕГЭ. Задание   №   8  проверяет   умение   устанавливать   взаимосвязь между   свойствами  функции   и  ее  производной.   Здесь   можно выделить   два   основных   типа   заданий:   1)   задачи   на геометрический смысл производной, 2) задачи на исследование промежутков монотонности и точек экстремумов функции. Задание   №   14  представляет   собой   задачу   на   поиск   точек экстремумов, наибольшего или наименьшего значения функции на заданном промежутке. Учащиеся слушают учителя. Учащиеся слушают учителя,  задают вопросы по мере их  возникновения. Сегодняшний   урок   будет   посвящен   повторению   формул дифференцирования, дифференцирования, геометрического   и   механического   смысла   производной   к исследованию функций. правил     3. Индивидуальная работа. Учитель   консультирует   по   мере   возникновения   вопросов   со стороны учащихся до тех пор, пока не будет отработан каждый вариант хотя бы одним из учащихся, то есть до тех пор пока не произошел так называемый «запуск» материала.  Учащиеся работают со своими карточками. 4. Работа в парах сменного состава. Учитель наблюдает за работой учащихся, при необходимости помогает. 5. Окончание 1 урока.    Собираются листки учета.    Кабинет проветривается. 2 урок. 1. Оганизационный момент. Проводится игра «Перекличка». Ребята, в ходе переклички мы узнаем все ли пришли на урок. Вы   по   цепочке   задаете   друг   другу   вопросы   по   формулам дифференцирования.   Например,   Серёжа   Маше,   Маша   Коле, Коля Саше и т. д. 2. Самостоятельная работа. Ребята, я хочу узнать насколько эффективно вы работали на первом уроке. Учитель   в   это   время   проверяет   листки   учета   и   выставляет оценки. В конце самостоятельной работы объявляет их.     3. Физкультминутка. ­ Встаньте. Улыбнитесь. Передайте своему товарищу мысленно или   через   рукопожатие   положительные   эмоции,   поделитесь капелькой теплоты, добра.      Хочу я, чтоб добро к тебе пришло      Как свет весенний, как тепло костра      Пусть для тебя источником добра      Не станет то, что для другого – зло.           4. Решение заданий ЕГЭ.     5. Рефлексия. Урок завершается опросом. Каждый учащийся получает анкету следующего содержания. 2. Тебе понравился урок? 3. Комфортно   ли   было   тебе   работать   со   своими сверстниками? 4. Считаешь   ли   ты,   что   помог   своим   одноклассникам   в освоении темы? Учащиеся работают в парах  сменного состава. Сдают листки учета, уходят  на перемену. Учащиеся проводят  перекличку. Выполняют самостоятельную  работу. Выставляют оценки в дневник. Решают на доске и в тетрадях. 5. Ты всегда был доброжелателен и вежлив с ними? 6. Ты порадовался их успехам? 7. Считаешь ли ты, что работа в парах помогла тебе лучше справляться с заданиями, освоить материал? 8. Хотелось бы тебе еще раз работать в парах? 6. Домашнее задание. Решить из вариантов ЕГЭ по 2 задания № 8 и № 14. Литература: Алгебра и начала математического анализа                        10 – 11 классы под ред. М.И. Башмаков Математика  ЕГЭ 2014 г. авторы  Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, Л.И. Мальцева Народное образование. Москва 2014 г. 3 учащихся готовят  презентацию по д/з. Карточка 1. Формула дифференцирования Приложение 1 Функция f kx+C sin x tg x ctg x Производн ая  функция f  (f’(x)) k cos x I часть.Прочитать правила дифференцирования .Выписать основные формулы. Правила дифференцирования П Р А В И Л О 1.(Дифференцирование суммы).Если функции f и gдифференцируемы в точке  то их сумма дифференцируема в этой точке и (f + g)’=f’+g’. П Р А В И Л О 2.(Дифференцирование произведения).Если функции fи gдифференцируемы  в  точке  П Р А В И Л О 3.(Дифференцирование частного).Если функции f и g дифференцируемы в точке  ,то их произведение дифференцируемо  в этой точке и (f∙g)’=f ∙ g + f ∙ g’ . ,   и функция g не равна нулю в этой точке ,то частное также дифференцируемо в этой точке   и( )’= П Р А В И Л О 4.(Производная сложной функции)Если функция fдифференцируема  в точке  функция g имеет производную в точке дифференцируема в точке IIчасть. Найти  производную функцию и выбрать номер правильного ответа. ,то сложная функция  h(x)=g(f(x))также  )) ∙f’( =f(  и h’( )=g’(f( ). ,а 1.    y=  –  1) 3)x  ­               2) +   ­        4)x  + 2.y=  ­  1)4x ­                     2)4  ­  3)4  +                 4)4x +  3.  y= 1) 3)                 2)­                 4)­ 4. y=xlnx 1)1 + lnx      2)­1 + lnx     3)1    4)1 – lnx 5.Найти значение f’(4),если f(x)=4  – 5 1)3   2)2   3)­1   4)1 6.Найти значение  f’(0),если f(x)=  +x 1)1+     2)2ln2 +1   3)1 + ln2   4)1 7.Решите неравенство f’(x)>0,если  f(x)=­ ­4x+2005 1)(­∞;­2)      2)(­2;+∞) 3)(­∞;2)        4)(2;+∞) 8.Решите уравнение f’(x)=0,если f(x)=(x­1)(  + 1) (x + 1) 1)­1     2)1    3)±1    4)0 Функция f kx+C Карточка 2. Формулы дифференцирования sin x tg x ctg x Производн ая  функция f  (f’(x)) k cos x Прочитать геометрический смысл произведений, механический смысл производной, записать  основные формулы                Геометрический смысл производной. Касательная к графику функции   Существование   производной   функции   ;  f( (невертикальной) касательной в точке ( касательной равен f’(  f  в   точке     эквивалентно   существованию )) графика, при этом угловой коэффициент ). В этом и состоит геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции f в  точке  A( ;  )) имеет вид:  ) .   называют Замечание:  Число     в   уравнении   прямой   угловым коэффициентом   прямой,k  равен   тангенсу   угла, который   образует   прямая   с положительным   направлением   .   В   значит, уравнении   касательной , значение   производной   в   точке     в   точке   с   абциссой   к   оси   ,   т.е.     , равно   тангенсу   угла   наклона   касательной   графика   функции  f положительному направлению оси  . Механический смысл производной.     этой   точки   есть   известная   функция   Если   материальная   точка   движется   по   координатной   прямой,   причем   задан   закон времени   ,   то  , . Т.е. механический смысл производной состоит  в том, что производная . движения,   т.е.   координата   мгновенная скорость  при этом  от координаты по времени есть скорость. Аналогично и с ускорением движения:   Короче: производная от скорости по времени есть ускорение. определена (только) для любой дифференцируемой функции  Пример 1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абциссой  .  ,     . Решение:       – общее уравнение касательной. Y=5+3(x­2)=5+3x­6=3x­1 Y=3x­1 Пример 2.    Найти скорость и ускорение точки в момент   , если x(t)= Решение:  II часть. 1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абциссой   ,  чему  равен тангенс угла наклона касательной? 2. Найдите скорость и ускорение точки в момент  , если Функция f kx+C Карточка 3. Формулы дифференцирования  sin x tg x ctg x Производн ая  функция f  (f’(x)) k cos x  часть. Прочитать и законспектировать тему «Применение производной к исследованию  функции». Применение производной к исследованию функции Признак возрастания (убывания) функции Достаточный признак возрастания функции. Если  в каждой точке интервала  ,  то функция fвозрастает на интервале  . Достаточный признак убывания функции. Если  в каждой точке интервала  , то  функция  убывает на интервале  . Промежутки возрастания и убывания функции называют промежутками монотонности  функции . Критические точки функции, максимумы и минимумы. Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная  равна нулю или не существует, называется критическими точками. Признак максимума функции. Если функция  на  интервале является точкой максимума  функции. Короче: если в точке  производная функции   меняет знак с плюса на минус, то  точка максимума функции   непрерывна в точке  на интервале  , то точка   и  , a есть Признак минимума функции. Если функция непрерывна в точке  и  интервале  функции. Короче: если в точке  производная функции  точка минимума функции  на интервале . на  является точкой минимума   , a  меняет знак с минуса на плюс, то  есть Точки максимума и минимума называют точками экстремума. Значения функции в этих  очках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название –  экстремум функции). Пример. Исследовать функцию  точки экстремума и экстремумы функции. Решение.  Найдем критические точки на возрастание и убывание. Найти Функция убывает на промежутках Функция возрастает на промежутке  Точка минимума  Точка максимума  Минимум функции  Максимум функции  Исследовать функцию  на возрастание и убывание. Найти точки  экстремума и экстремумы функции. Функция f kx+C Карточка 4. Формулы дифференцирования sin x tg x ctg x Производн ая  функция f  (f’(x)) k cos x Iчасть.Переписать пункты нахождения наибольшего и наименьшего значений. Более подробно разобрать задание на нахождение наименьшего и наибольшего значения функций на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение функций на отрезке  Теорема Вайерштрасса.  Непрерывная на отрезке [a;b] функция fпринимает на этом отрезке  наибольшее и наименьшее значения. Правило нахождения наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции f на  отрезке. 1. Находим критические точки функции f. 2. Выбираем те из них, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычисляем значения функции в выбранных критических точках и на концах отрезков. 4. Из полученных чисел выбираем  наибольшее (наименьшее).   Задание 15. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f( )=  на отрезке [­ 1; 1]. Решение. Функция f(x) определена и  дифференцируема на R. Найдем  критические точки функции, т.е в данном случае решим уравнение f'(x)=0. Функция имеет критические точки: ­ 2,    и 0. Отрезку  [­1;  1] принадлежит только точка 0. Вычислим значения функции на концах отрезка в точке 0. Ответ:  II часть.  Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [0; 3].  В ответе укажите их сумму. Листок учета 1 2 3 4                  №                           Фамилия, Имя Приложение 2 Приложение 3