Исследовательская деятельность на уроках математики

Организация исследовательской деятельности учащихся  на уроках математики. Не   существует   сколько­нибудь достоверных тестов на одаренность, кроме   тех,   которые   проявляются   в результате   активного   участия   хотя бы   в   самой   маленькой   поисковой исследовательской работе. А.Н.Колмогоров Сформировать у учащихся умения, позволяющие им активно включаться в   творческую,   исследовательскую   деятельность,   одна   из   важных   задач общеобразовательной школы. На реализацию этой задачи нацелена технология деятельностного метода. Каждому   ребенку   дарована   от   природы   склонность   к   познанию   и исследованию   окружающего   мира.   Задача   учителя   состоит   в   том,   чтобы поддержать   ребенка   и   развить   его   способности.   Правильно   поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих   умений   и   навыков,   привитию   школьникам   интереса   к исследовательской деятельности. Исследовательская деятельность учащихся ­ это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных для учащихся фактов, теоретических   знаний   и   способов   деятельности.   Учебное   исследование сохраняет логику исследования научного, но отличается от него тем, что не открывает объективно новых для человечества знаний.             При включении исследовательской деятельности в процессе обучения, прежде всего, необходимо проанализировать условия ее реализации: – диалогическое взаимодействие ученика и педагога; – компетентность педагога; – способности учащихся; – грамотная организация учебного исследования; – включение механизмов в рефлексии. Деятельность будет неэффективной, если какое­либо условие отсутствует.                  Формы организации исследовательской деятельности могут быть как урочными,   так   и   внеурочными.   Однако   в   них   должны   присутствовать следующие моменты: – продумывание   учителем   возможностей   для   самостоятельного проявления   учеников,   предоставление   им   возможности   высказывать оригинальные идеи и гипотезы; – усиление экспериментальной составляющей занятий, ориентированной на развитие и саморазвитие; – организация обмен мыслями, мнениями, оценками; – стимулирование учащихся к дополнению и анализу ответов товарищей; – побуждение   учащихся   к   поиску   альтернативной   информации   при подготовке к занятиям; – стремление к созданию ситуации успеха для каждого обучаемого. Этапы организации исследовательской деятельности учащихся В первый блок учебно­исследовательской деятельности входит деятельность учителя. К функциям учителя относятся следующие: –  учитель знакомит с построением исследования, с методами; –  выявляет наиболее значимые для учащихся элементы содержания курса и   устанавливает   их   соответствие   с   базисной   программой   и   учебно­ воспитательными задачами курса; – организует  их  изучение   методами  в  той  или  иной   науке (наблюдение, измерение, опрос, интерпретация информации и другие); –   формирует исследовательскую группу из числа учащихся, проявивших интерес   и   способности   к   исследованию   какой­   либо   из   поднятых проблем; –   знакомит учащихся с методикой проведения учебно­исследовательской работы (проводит инструктаж); –  подводит итоги первоначального ознакомления с темой на основе сбора эмпирического, помогает в его анализе; – проводит   учебное   занятие   с   привлечением   материалов   проведенной учебно ­ исследовательской деятельностью (дискуссия); – оценивает   самостоятельную   работу   участников   исследовательской группы. Во   второй   блок   учебно   ­   исследовательской   деятельности   входит   сама деятельность школьников. К функциям учащихся относятся следующие: – ознакомление   учащимися   со   структурной   и   методами   учебно­ исследовательской работы; – участие в совместном поиске тем для исследования, содержание которых отвечает их познавательным интересам и ценностным ориентациям; –  объединение в группы для исследования интересующей их проблемы; – планирование самостоятельной исследовательской работы по избранной проблеме; – организация и проведение исследования в соответствии с разработанной программой; – подведение итогов проведенного исследования (выводы и обобщения) и формулирование   наиболее   острых   вопросов   для   дальнейшего дискуссионного обсуждения всем классом на уроке, учебном занятии или во внеурочное время; – участие в дискуссионном изучении темы; –   выполнение   контрольной   работы   по   изученной   проблеме   или   теме,  в целях  проверки  приобретенных  знаний   и умений, а также  выполнение письменного отчета о проведенном исследовании. Учебные   исследования   на   уроках   делают   процесс   изучения   математики интересным, увлекательным, так как они дают возможность детям в результате наблюдения,   анализа,   выдвижения   гипотезы   и   ее   проверки,   формулировки вывода – познание нового. (см. приложение) В качестве основного средства организации исследовательской работы выступает система исследовательских заданий, задач.         Так как ведущая деятельность учащихся – это решение задач. То именно они   могут   являться   средством   реализации   исследовательской   деятельности учащихся. Учащиеся, решая задачи, могут не только открыть факты, способы их обоснования, установить взаимосвязи между ними, но и получают крупицу собственного открытия, которое они переводят с языка символов, буквенных выражений   на   естественный   язык,   что   способствует   более   глубокому пониманию изучаемого материала и развитию логического мышления.  Исследовательские   задачи   ­   это   предъявляемые   учащимся   задания, содержащие проблему; решение ее требует проведение теоретического анализа, применение   методов   научного   исследования,   с   помощью   которых   учащиеся открывают ранее неизвестное для них знание. Цель   исследовательского   метода   ­   «вызвать»   в   уме   ученика   тот   самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель открытия или изобретения. Таким образом, исследовательский процесс ­ это не только логико­мыслительное, но и чувственно­эмоциональное освоение знаний. И если ребенок   осознает   способ   поиска,   то   тогда   он   сможет   использовать   его   и   в следующий раз. Когда ребята сами придумывают задачи, алгоритмы, примеры, то материал данной темы усваивается ими лучше  Применение   исследовательского   метода   возможно   в   ходе   решения сложной   задачи,   анализа   информации   из   первоисточников,   разрешения поставленной   учителем   проблемы.   Причем   формы   задания   при исследовательском методе обучения могут быть различными. Это или задания, поддающиеся   быстрому   решению   в   классе,   дома,   или   задания,   требующие целого урока, домашние задания на определенный срок. Помогают   развитию   творческих   способностей   детей   задания, подобранные в учебнике или дополнительной литературе. Если ребенок решил задачу   на смекалку, то  здесь  важно  помочь  детям  осознать  найденный   ими способ ­ этим мы тоже развиваем их творческие способности.        Задачи с элементами исследования   очень полезны. Решение таких задач имеет   для   учащихся   большое   развивающее   и   воспитательное   значение.   Они способствуют   развитию   мышления,   его   определенного   стиля,   культуры, формируют   алгебраические   и   геометрические   представления.   Навыки самостоятельной и исследовательской работы, способствует более глубокому вниманию математики.   Рассмотрим несколько примеров заданий исследовательского характера. При   решении   практических   задач   часто   бывает   так,   что   исследования   не сводятся к известным случаям. Тогда на помощь приходит совет: попробуй, а если не получится, попробуй ещё.  Рассмотрим примеры: Задача 1.  Найди число x, если выполняется равенство x(x + 3) = 70  Никакие   известные   пятиклассникам   правила   преобразований   не   помогают найти   ответ.  Попробуем   тогда   подобрать   решение   «экспериментально»,  так называемым методом проб и ошибок. Нам надо найти такое число x, чтобы значение выражения x(x + 3) было равно 70. Попробуем подставить в это выражение, например, x = 4. 4(4 + 3) = 28. Мы видим, что выбранное число x слишком мало. Возьмем теперь x  = 6:       6(6 + 3) = 54, и снова выбранное значение мало, хотя и ближе к искомому. Следующая попытка оказывается удачной: при x = 7 имеем 7(7 + 3) = 70. Значит, при x = 7 данное в условии равенство верно. Казалось бы,  задача  уже решена,  но  это  не  так: ведь  может оказаться,  что буквенное   выражение   равно   70   и   при   других   значениях   букв.   Например, произведение x(17 ­ x) = 70 при x = 7  и при x = 10. Поэтому нужны некоторые дополнительные рассуждения. Если бы число x было больше 7, то число x + 3 было бы больше 10, и тогда произведение было бы больше 70, точно так же число x не может быть больше 7. Следовательно, равенство, данное в условии верно только при x = 7. Задача 2. Сравните числа:  19981999 20002001 ;               б)  1234567890 2345678901  и  1234567892 2345678903 ;          1998 2000  и  101998−1 101999−1  и  а)  в)  101999−1 102000−1 . Учащиеся знают несколько способов сравнения чисел:   ­   путем   умножения   числителя   и   знаменателя   на   соответствующее   число уровнять   знаменатели   и,   сравнения   числители,   дать   ответ   на   поставленный вопрос;  ­ составить разность этих чисел и по знаку этой разности дать ответ;  ­ найти отношение этих чисел и сравнить его с единицей;  ­ разделить у каждой дроби числитель на знаменатель и сравнить результаты. В применении к предложенным числам ни один из перечисленных способов не является рациональным. Каждый требует громоздких вычислений. Выход из создавшего   положения   мы   сможем   найти,   если   откажемся   от   привычного действия. Покажем, как это может быть сделано.      а) Введем обозначения a = 1998,b=2000, тогда 19981999 = 19980000 + 1999 = 19980000 + 1 = a• 10000 + a + 1 = 10001 • a+ 1, 20002001 = 20000000 + 2001 = 20000000 + 2000 + 1 = b • 10000 + b+ 1 = 10001 • b + 1.  Сравниваем такие две дроби:  a b  и  10001a+1 10001b+1 . Пока мы не знаем, какой знак неравенства нужно поставить между ним, будем писать знак «v», заменяющий союз «или». Умножив обе части неравенства на произведение   знаменателей  b(10001  b  +   1),   сведем   сравнение   дробей   к сравнению выражений с целыми коэффициентами.    Итак, что больше:  a b v 10001a+1 10001b+1  ?  a(10001a + 1) v b(10001b + 1), то есть a v b. Но так как a1), нужно поставить верный знак неравенства между дробями a−1 10a−1  v  10a−1 100a−1 , (a­1)(100a ­ 1) v (10a ­ 1)2, 100a2 – a ­100a + 1 v 100a2 – 20a + 1, ­100av ­20a. По условию a>0, тогда  ­100a<­20a, а значит, 101998−1 101999−1 < 101999−1 102000−1 . Задача 3. Рассмотрим арифметическую прогрессию, у которой первый член равен 15873 и разность прогрессии также равна 15873.  Решение: Запишем несколько членов прогрессии: 15873; 31746; 47619; 63492; 79365;   95238;   ….   Умножим   члены   прогрессии   на   7   (почти   «шоковое состояние») получим: 111111; 222222; 333333; 444444; 555555; …. Почему?  На вопрос легко ответить, например, возьмем пятый член прогрессии. Умножая на 7 получаем число, все цифры которого – 5. Это получается в связи с  небольшим «секром»: 79365 • 7 = (5 • 15873) • 7 = 5 • (15873 • 7) = 5 • 111111 =  555555.[2] Задача 4.  Дан угол ABC и точка M внутри этого угла. Построить окружность S,  касающуюся сторон угла и проходящую через точку M [3]. Решение: Предположим, что задача решена и S­ искомая окружность. Произведем  гомотетию с центром в точке B и каким – либо коэффициентом гомотетии k.  (рис.5) При этом окружность  S  перейдет в окружность  R, также вписанную в угол ABC,   но   уже,   вообще   говоря,   не   проходящую   через   точку  M;   если зафиксировать где – либо на биссектрисе угла ABC центр Q окружности R, то мы сможем ее построить. Окружность S пока указана быть не может (ибо мы не знаем коэффициента  k  гомотетии, переводящего окружность  S  в окружность R);   мы   знаем   только,   что   окружность  S  проходит   через   точку  M. Рассматриваемая   гомотетия   переводит   точку  M  окружности  S  в   точку  N окружности  R, лежащую на прямой  BM; эту точку можно найти (как точку пересечения прямой  BM  с окружностью  R). Далее, радиус OM окружности  S гомотетичен радиусу QN окружности R; следовательно, OM параллельные QN (по   свойству   гомотетии).   Поэтому   центр  Q  искомой   окружности  S  можно найти   как   точку   пересечения   биссектрисы  BQ  угла  ABC  и   прямой  MO, параллельной NQ. Построение. 1) Строим произвольную окружность R, вписанную ABC; центр окружности обозначим через Q. 2) Пусть N – точка пересечения окружности R и прямой BM. 3) Точка O – точка пересечения биссектрисы угла ABC и прямой MO,  параллельной прямой NQ. 4) Окружность S с центром O и радиусом OM и будет искомой. Доказательство. Гомотетия с центром B и коэффициентом  BM BN    переводит окружность R окружность S, проходящую через точку M и,  так же как и окружность R, вписанную в угол ABC, то есть в искомую  окружность. Радиусу NQ окружности Rгомотетичен радиус MO  окружности S; поэтому MO параллельны NQ и центр S­ это есть точка  пересечения прямой MO параллельны NQ и биссектрисы угла ABC.  (Центр O окружности S принадлежит биссектрисе угла ABC, так как  окружность S касается сторон угла). Задача 5.  Установить, чему равно произведение разности двух выражений и их суммы. 1 группа:  (6 ­ 4) • (6 + 4) и 62 ­ 42,  2 группа:  (9 + 3) • (9 ­ 3) и 92 ­ 32, 3 группа:  (2 ­ 8) • (2 + 8) и 22 ­ 82. В результате получаем, что  (6 ­ 4) • (6 + 4) = 62 ­ 42, (9 + 3) • (9 ­ 3) = 92 ­ 32, (2 ­ 8) • (8 + 2) = 22 – 82. Далее ученики анализируют результаты наблюдений и выдвигают  гипотезу: вероятно, произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Доказательство гипотезы: Используя  правило умножения многочлена на многочлен имеем, что  (a ­ b) • (a + b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2. Итак, гипотеза доказана. Вывод: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности  квадратов этих выражений. Задача 6.  Изучи внимательно пары множителей. Что в них общего? Вычисли  произведения и изучи их запись, отделив справа две цифры. Догадайся, как  легко найти произведения таких пар чисел. Проверь свою догадку на других  парах чисел [5]. 23 • 27 =621             51 • 59 = 3009    18 • 12 = 216           34 • 36 = 1224 96 • 94 = 9024          43 • 47 = 2021  72 • 78 = 5616         85 • 85 = 7225  Изучив результаты умножения, приходим к выводу что отделенные справа две цифры не что иное, как значение произведения числа единиц обоих множителей (3 • 7 = 21; 6 • 4 = 24; 1 • 9 = 9 и так далее), а оставшиеся цифры – это значение произведения числа десятков и следующего за ним числа (2 • 3 = 6; 9 • 10 = 90; 5 • 6 = 30; 4 • 5 = 20;  1 • 2 = 2; 7 • 8 = 56; 3 • 4 = 12; 8 • 9 = 72) Учащиеся сами выдвигают гипотезы: – произведение любых двузначных чисел можно легко вычислить,  пользуясь полученными выводами; – произведение двузначных чисел, у которых число десятков одинаково вычисляется по данному правилу; – произведение   всех   двузначных   чисел,   у   которых   число   десятков одинаково, а сумма единиц равна 10, можно легко вычислить: две цифры справа это произведение единиц обоих множителей, а первые – значение произведения числа десятков и следующего за ним числа Проверяем гипотезу на некоторых примерах: 1) 31 • 27 = 837 (но 1 • 7 = 7, 3 • 3 = 9)  2)   23 • 25 = 575 (но 3 • 5 = 15, а 2 • 3 = 6); 55 • 52 = 2970 (но 5 • 2 = 10, а 5 • 6 =  30). 3) 32 • 38 = 1216 (2 •8 = 16, 3 • 4 = 12), проверив все двузначные числа, у которых число десятков одинаково, а сумма цифр единиц равна 10, учащиеся делают вывод, что гипотеза подтвердилась. Задача  7. Найдите   ошибку   в   приведенном   ниже   доказательстве   следующего утверждения: «В любом тупоугольном треугольнике сторона, противолежащая тупому углу, больше суммы двух других его сторон»[1]. Доказательство. Пусть в тупоугольном треугольнике ABC: ∠A>∠B + ∠C. По теореме синусов, синусы углов треугольника ABC пропорциональны противолежащих им  сторонам: sin A: sin B: sin C = a : b : c. Но по условию ∠A>∠B + ∠C , поэтому и a>b +c. Решение. В приведенном «доказательстве» предполагается что, если  ∠A >∠B + ∠C, то sinA>sinB + sinC. Но   это   неверно,   поскольку   из   того,   что  ∠A>∠B  +  ∠C  следует,   что   в треугольнике ABC: sinA = sin(1800 – (B + C) = sin (B + C)≤ sinB = sinC). Задача  8. Продолжите ряд выражений: 1 •9 + 2, 12 • 9 + 3, 123 • 9 + 4, подметив способ образования их. Найдите значения каждого выражения. Заметьте любопытную особенность[5]. Учащиеся   подмечают   способ   образования   выражений:   первый   множитель получается   приписыванием   справа   следующего   однозначного   натурального числа,   второй   множитель   остается   без   изменений,   а   второе   слагаемое   это число,   следующее   за   последней   цифрой   в   записи   первого   множителя. Составляя новые выражения и вычисляя их значения, учащиеся формируют подмеченную особенность: значение выражения, составленного такому правилу равно числу, записанному с помощью единиц, количество знаков в числе равно второму слагаемому в выражении. Получается, что таких равенств так много и перебрав все они доказали высказанное суждение. Далее можно предположить продолжить цепочку выражений. Чтобы выяснить, как продолжить составление выражений, предложим решить уравнение x • 9 + 11 = 11111111111. Получаем решение x = 12345678900. Это решение пока не дает возможности высказывать предположение.   Решая   следующее   уравнение  y  •   9   +   12   =   111111111111, учащиеся   получают   результат  y  =  123456789011.  На   этом   этапе   некоторые могут   высказать   более   правдоподобные   предположения.   Для   уточнения предположения   решают   еще   одно   уравнение  z  •   9   +   13   =   1111111111111, получают   решение  z  =   1234567890122.   Сейчас   уже   большинство   учащихся увидели закономерность составления первого множителя в выражении, можно переходить к обоснованию полученного суждения. Работа с этой задачей может быть продолжена. Задача 9. Найти общую формулу записи уравнений и сделать выводы о корнях квадратного уравнения в зависимости от коэффициентов уравнения [6] 2x2 + 5x +2 = 0                      (x1 = ­2, x2 = ­  1 2 ), 3x2 – 10x + 3 = 0                   (x1 = 3, x2 =  1 3 ), 4x2 + 17x + 4 = 0                   (x1 = ­4, x2 = ­ 1 4 ), 5x2 – 26x + 5 = 0            (x1 = 5, x2 =  1 5 ). Гипотеза. Если уравнение имеет вид ax2± (a2 + 1) + a= 0, то его корнями  являются соответственно числа  1 a ,a (для случая, когда второй коэффициент отрицательный) или ­ 1 a  , ­ a (для случая, когда второй  коэффициент положительный). Доказательство гипотезы. Рассмотрим уравнение ax2+ (a2 + 1)x + a = 0 и  найдем его корни: ¿2−¿  = −(a2+1)±√¿ x1,2 =  −(a2+1)±√a4+2a2+1−4a2 2a  =  −(a2+1)±∨a2−1∨ ¿ 2a ¿ a ¿ 1 ¿ ¿ ¿ ¿ Можно считать, что перед нами квадратичное уравнение с целыми  коэффициентами (если бы коэффициенты были дробными, уравнение  можно было бы свести к уравнению с целыми коэффициентами), то есть  a Zϵ , и тогда a2 – 1 > 0, а значит, x1,2 =  −(a2+1)±(a2−1)  , откуда x1 = ­ a, x2  2a 1 a .  = ­  В заключении следует отметить, что учебное исследование в процессе преподавания математики  формирует  самосознание  школьника, в обретении позиции   заинтересованного   и   ответственного   участия   в   познавательной   и творческой   работе   на   уроках.   Исследовательская   деятельность характеризуется   высокой   степенью   самостоятельности,   формирует   умения работы   с   информацией,   помогает   выстроить   структуру   своей   деятельности, учит обобщать и делать выводы. Способствует формированию у школьников таких   качеств,   настойчивость, терпеливость, аккуратность. Развивает исследовательский подход к изучаемым технологическим процессам.    как   сообразительность,   вдумчивость, Исследовательская   деятельность,   с   точки   зрения   учащихся,   ­   это деятельность, позволяющая проявить себя, попробовать свои силы, приложить свои знания, принести пользу и публично показать результат, самоутвердиться. Задачи   исследовательского   характера   делают   процесс   изучения математики   интересным,   увлекательным,   так   как   дают   учащимся   новые позитивные   эмоции,   возможность   быть   самостоятельнее   в   суждениях   и действиях. Что способствует достижению требований к результатам обучения, заявленных в ФГОС основного общего образования. 1. Далингер В. А. О тематике учебных исследований// Математика в школе. ­ №9. – 2000.­С.7­10.   2. Далингер В. А., Толпекина Н. В. Организация и содержание поисково­ исследовательской деятельности учащихся по математике: Учебное  пособие. – Омск: Изд­во ОмГПУ, 2004. – 263 с. 3. Погорелов А. В. Геометрия 7­9 классы: учеб. для общеобразоват.  учреждений/А. В. Погорелов. ­ М.: Просвещение, 2015. – 224 с. 4. Цукарь А. Я. Математика 5­6. Задания образного и исследовательского  характера/ А. Я. Цукарь. – Новосибирск, НГПУ, 1997 – 140 с. 5. М Н Сухоносенко задания на формирование познавательных  универсальных действий на уроках математики 6. Далингер В.А. О тематике учебных исследований школьников //  Математика в школе. – 2000. ­ № 9 Примеры организации исследовательской работы                    Приложение В качестве иллюстрации учебного исследования приведу фрагмент урока геометрии по теме «Теорема Пифагора».  Мотивирующая (исходная) задача:  «Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?»  Анализируя   математическую   модель   этой   практической   задачи,   учащиеся формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам. Для   решения   этой   проблемы   можно   организовать   практическую   работу исследовательского характера, предложив учащимся задание по группам: построить прямоугольные   треугольники   с   катетами   12   и   5;   6   и   8;   8   и   15   см   и   измерить гипотенузу. После   установления   зависимости   между   сторонами   прямоугольного   треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.  В качестве домашнего задания по этой теме:  «Кто же на самом деле открыл теорему Пифагора? Почему она долгое время называлась   «теоремой   невесты»?   Существуют   ли   другие   доказательства теоремы?» При изучении темы «Сумма внутренних углов треугольника»  в   качестве   исходного   задания   можно   предложить   такую   задачу: «Построить треугольник по трем заданным углам:  1)  2)  3)   А = 90о,   А = 70о,   А = 50о,   В = 60о,   В = 30о,   В = 60о,   С = 45о;  С = 50о;  С = 70о». Учащиеся, с помощью линейки и транспортира, начинают строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45о от луча АС (или ВС, кому как нравится), они увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие первые два угла выбирают для построения, всегда   получается   треугольник,   третий   угол   которого   больше,   либо   меньше заданного. И только в третьем случае выстраивается треугольник по трем заданным углам. По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что почти в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов   тупоугольного   треугольника   больше,   чем   остроугольного.   Далее   им предлагается на практике проверить свое утверждение. На   уроке   алгебры   по   теме «Сумма   бесконечной   геометрической прогрессии» обучающимся можно задать следующий вопрос: «Возможно ли найти сумму   бесконечного   числа   слагаемых?» Обучающиеся,   скорее   всего,   ответят,   что такое невозможно. Разубедить их помогает знакомство с формулой для вычисления суммы   бесконечной   геометрической   прогрессии   при   |q|<1 .Такое   учебное исследование можно назвать «учебным расследованием». Расследование показывает учащимся, что наглядность, жизненный стереотип иногда приводят к ошибке, а может выручить лишь математика. Математика дает широкое поле для исследования. Изучая математику, обучающиеся кратко повторяют путь человечества, который оно прошло, добывая математические знания. Например,   изучая  число   π ,обучающиеся   могут   самостоятельно   прийти   к тому,   что   отношение   длины   окружности   к   её   диаметру   одно   и   то   же   число.   Для эксперимента предлагаются различные предметы «круглой формы» разного диаметра. Больше   пользы   будет   в   том   случае,   если   кадеты   сами,   выполняя   действия   над числовыми   характеристиками,   получат   требуемое   значение.   Лишь   в   случае значительных затруднений можно оказать им некоторую помощь. Задача в один урок, на котом решается одна крупная проблема, или же урок может содержать несколько мелких проблемных заданий. Урок­исследование по   теме «Свойства   квадратного   корня» можно   провести   в форме   эвристической   беседы,   т.е.   с   помощью   системы   вопросов­ответов,   в результате чего обучающиеся «открывают» свойства квадратного корня.  Сначала   задаются   вопросы,   нацеливающие   обучающихся   на   наблюдение   за математическими объектами, на абстрагирование от несущественных свойств этих объектов.  1) Выполните действия и сравните полученные результаты:  2) Запишите в буквенной форме замеченное вами свойство. ? ? ?  Каковы допустимые значения входящих в записываемое равенство переменных?  3) Выполняется ли записанное вами равенство, если входящие в него множители не являются точными квадратами? Теперь наблюдения обучающихся должны оформиться в виде доказательств. К ним подталкивают следующие вопросы.  4)   Докажите   ваше   предположение,   используя   определение   арифметического квадратного корня.  Чему равно выражение  Чему равно выражение  5) Как бы вы назвали доказанное свойство? Сформулируйте его в словесной форме.  6) Выполняется ли такое свойство для корня из произведения трех множителей?  7) Можно ли обобщить это свойство на случай произвольного числа сомножителей?  8) Имеет ли смысл выражение  9) Можно ли применить к нему свойство корня из произведения?  10) Как записать в буквенной форме равенство, позволяющее это сделать? После   того   как   сформулировано   свойство   арифметического   корня   из   дроби, обучающиеся демонстрируют на примерах применение этого свойства.  Следующий   этап   урока   нужно   посвятить   предупреждению   ошибок,   которые обучающиеся часто допускают в этой теме.  11) Существует ли свойство корня из суммы; корня из разности?  На описанном уроке происходит формирование таких исследовательских умений, как умение   выдвигать   гипотезу   на   основе   анализа   данных   и   по   аналогии   с   известным решением.   Обучающимся   приходится   проводить   доказательство   утверждения   с опорой на определение и посредством записи закономерности в буквенной форме.   Мини­исследования. В них присутствуют лишь некоторые исследовательские элементы. Выполнение задания занимает несколько минут.  Вот   примеры   совсем   небольших   проблем­вопросов: «Почему   треугольник   назван «треугольником»?   Можно   ли   дать   ему   другое   название,   также   связанное   с   его свойствами?» «Как можно объяснить название «развернутый угол»?»  «В   Древнем   Египте   после   разлива   Нила   требовалось   восстановить   границы земельных   участков,   для   чего   на   местности   необходимо   было   уметь   строить прямые углы. Египтяне поступали следующим образом: брали веревку, завязывали на равных расстояниях узлы и строили треугольники со сторонами, равными 3, 4 и 5 таких отрезков. Правильно ли они поступали?»