Исследовательская работа "Графы"

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение  средняя общеобразовательная школа №1  с. Красноусольский МР Гафурийский район РБ. Исследовательская работа по математике на тему «Графы»                                   Выполнила:  ученица 8 «А» класса МОБУ СОШ №1                                                   Кузьмина Екатерина.                                     Руководитель:                                                           учитель первой категории                                          Ермолаева А.Г. с .Красноусольский 2015г.  Введение Впервые с понятием “граф” я встретилась при решении олимпиадных задач  по математике. Трудности в решении этих задач объяснялись отсутствием этой темы в обязательном курсе школьной программы. Возникшая проблема стала главной  причиной выбора темы данной исследовательской работы. Я решила подробно изучить всё, что связано с графами. Как широко используется метод графов и насколько важен он в жизни людей.   Цель выяснить особенности применения теории графов при решении задач и в  практической деятельности.   Объект исследования: сфера деятельности человека на предмет применения метода  графов. Предмет исследования: раздел математики «Теория графов» .   Гипотеза Если метод графов так важен, то обязательно найдется его широкое  применение в различных областях науки и жизнедеятельности человека.   Задачи познакомиться с историей теории графов; изучить основные понятия теории  графов и виды графов; рассмотреть способы решения задач с помощью графов;  показать применение теории графов в различных областях жизни человека.   Исследование были изучены ресурсы сети Интернет и печатные издания; выписаны  области науки и жизнедеятельности человека, в которых используется метод графов;  рассмотрено решение задач с помощью теории графов; сделан вывод.  Актуальность и  новизна Теория графов в настоящее время является интенсивно развивающимся  разделом математики. Это объясняется тем, что в виде графовых моделей  описываются многие объекты и ситуации. Теория графов находит применение в  различных областях современной математики и ее многочисленных приложениях, в  особенности это относится к экономике, технике, к управлению. Решение многих  математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление  данных в виде графа придает им наглядность и простоту. Многие математические  доказательства также упрощаются, приобретают убедительность, если пользоваться  графами.   Из истории Родоначальником теории графов принято считать математика Леонарда  Эйлера(1707­1783, российский математик, швейцарец по происхождению, академик  Петербургской и Берлинской академии наук). Он предложил изящное решение  знаменитой задачи о 7 Кенигсбергских мостах в 1736 году, а также придумал общий  метод решения подобных задач.   В дальнейшем над графами работали Кениг (1774­1833), Гамильтон (1805­1865), из  современных математиков ­ К. Берж, О. Оре, А. Зыков. Термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш Кениг. Широкое развитие теория графов  получила с 50­х годов 20 века в связи со становлением кибернетики и развитием  вычислительной техники.  В математике графом называют набор точек некоторые из которых соединены линиями. Точки именуются вершинами графа, а отрезки –  рёбрами.   Виды графов Нулевой граф Неполные графы Полные графы Связные графы  Ориентированные графы Плоские графы Граф дерево Эйлеровы графы   Графы обладают многими интересными свойствами. Так, Эйлер обнаружил простую  связь между количеством вершин (B), количеством рёбер (Р), количеством частей (Г)  на которые разделяется плоскость: В – P + Г = 2 Если полный граф имеет n вершин, то количество ребер будет равно n(n­1)/2   Применение графов Графы и коммуникация Графы и информатика Графы и история  Графы и биология Графы и физика Графы и химия Графы и астрономия   Спорт Разработка стратегии игры методом графов Строительство Для составления  чертежей, для расчета материалов Физика В электродинамике, энергетике,  радиоэлектронике Химия Для исследования стационарных ферментативных реакций  Социология Применение метода графов при моделировании политик безопасности  Техника Для установки связей в технике.   Транспорт Для расчета пассажиропотоков Медицина Исследование биоритмов  методом графов Прикладная математика Для прикладных моделей и задач Живопись  Графовая структура рисунка Финансы и кредит «Теория графов в управлении  организационными системами» Экология Метод графов при составлении  дихотомических ключей для определения растений. Решение некоторых задач методом графов Действительно ли четырёх красок  достаточно для раскраски произвольно взятой политической карты с протяжёнными  границами, чтобы две соседние были окрашены в различные цвета? Любую  политическую карту можно раскрасить всего четырьмя красками, причём так, что  соседние страны на ней будут окрашены не в один цвет.   10 рукопожатий Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече  обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько  всего рукопожатий было сделано?   Три человека жили в трех домиках, неподалеку от них находились три колодца: один  с водой, другой с маслом, а третий с повидлом, и ходили к ним по тропинкам.  Однажды эти люди перессорились и решили провести тропинки от своих домов к  колодцам так, чтобы эти тропинки не пересекались. Это невозможно .  В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис Виктор,  Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из  участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис – с Андреем,  Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина – с Андреем, Виктором и  Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?  Получим, что сыграно 7 игр, а осталось – 8. Можно проверить: в графе 6 вершин тогда всего ребер 6*5/2=15 (7+8).   Рукава реки Прегель, на берегу которой расположен город Кенигсберг, образовывали  два острова. В эту эпоху четыре образовавшихся участка суши (правый и левый берег  и два острова) соединяло семь мостов так, как это показано на рисунке. Горожане,  гуляя по городу, пытались составить маршрут, чтобы он проходил по каждому мосту  ровно один раз Эту задачу решил Леонард Эйлер. Он построил следующий граф и  получил, что все четыре вершины нечетные, то есть нельзя пройти по всем мостам  один раз и закончить путь там, где он был начат. Говорят, что Магомет вместо подписи (он был неграмотен) описывал одним  росчерком состоящий из двух рогов луны знак, представленный на рисунке. Возможно  ли это? Да, потому что в данном случае мы имеем дело с вершинами четного порядка.   Вывод Какую бы область человеческой жизни мы не затрагивали, в этой области  обязательно находилась проблема или задача решаемая с помощью графов. Я пришла  к выводу, что метод графов прост и удобен, поэтому так широко распространен.  Теория графов играет очень важную роль в жизни человека. Графы используют  практически во всех отраслях нашей жизни.   Заключение Чтобы найти ответ на интересующую меня вопрос, мне пришлось  познакомиться с новым разделом математики «Теорией графов», который не  изучается в школьном курсе. Из всего вышесказанного неопровержимо следует  практическая ценность теории графов, доказательство которой и являлось целью  данной работы. Задачи, поставленные перед собой, я выполнила: познакомилась с  историей теории графов; изучила основные понятия теории графов и виды графов;  рассмотрела наиболее интересные задачи и их решения с помощью графов;  познакомилась с применением метода графов в практической деятельности человека.   Источники : 1."В помощь учителю математики",  1972 (ст. "Изучение элементов теории графов");  2.Гарднер М. "Математические головоломки и развлечения", М. "Мир", 1971; 3. Оре О. "Графы и их применения", М. "Мир", 1965;  4.Зыков А. А. "Теория конечных графов", Новосибирск, "Наука", 1969;  5.Берж К. "Теория графов и ее применение", М., ИЛ, 1962;  6. Ю. Нестеренко, С. Олехник, М. Потапов “Лучшие задачи на смекалку”,  7. http://ru.wikipedia.org 8. http://www.vseznaika.ru 9. http://lib.repetitors.eu  8..Ресурсы сети